Physikalisches Praktikum Versuch : Kapillarität und Viskosität Name: Hendrik Söhnholz, Benedikt Over Datum der Durchführung 17.05.200 Gruppe 5 Assistent: Wilko Westhäuser testiert: 1 Einleitung und Motivation In diesem Versuch sollen die Wechselwirkungen von Molekülen in Flüssigkeiten untersucht werden. Es sollen dazu die Oberflächenspannung und Viskosität von Wasser und anderen Flüssigkeiten betrachtet werden. Um die Dichte der Flüssigkeiten zu bestimmen, benutzen wir die Mohr sche Waage. 2 Theorie 2.1 Oberflächenspannung Es gibt zwei Wechselwirkungen zwischen Molekülen. Die Van-der-Waals-Wechselwirkung und die Dipol-Dipol - Wechselwirkung. Die van-der Waals- Wechselwirkung tritt vor allem bei großen unpolaren Molekülen auf. Sie resultiert aus einer temporären Verformung der Elektronenwolke, wodurch kurzzeitig eine Polung des Moleküls auftritt (es wird zu einem Dipol). Dadaruch induziert sie Ladungen in anderen Molekülen, wodurch eine Anziehung entsteht. Die Dipol-Dipol- Wechselwirkung ist größer, ihre Stärke sinkt mit zunehmender Größe. Wasser hat sehr kleine Moleküle. Daher hat es eine hohe Dipol-Dipol-Wechselwirkung, auch als Wasserbrückenbildung bezeichnet. Die OH-Gruppe und der kurze unpolare Rest machen das Methanol zu einem Molekül, bei dem die Dipol-Dipol-Wechselwirkung überwiegt. Bei Ethylenglykol ist die Dipol-Dipol-Wechselwirkung größer als bei Wasser. Diese Anziehungskräfte zwischen Molekülen werden als Kohäsionskräfte bezeichnet. Aus diesen Wechselwirkungen resultiert eine Oberflächenspannung. Da die Moleküle im Inneren in alle Richtungen erfahren. Die Moleküle am Rand der Flüssigkeit werden aber nur ins Innere gezogen, abgesehen von den Kräften, die zwischen der Flüssigkeit und dem darüber liegenden Gas existieren. Die Oberflächenspannung ist definiert als die Arbeit dw die frei wird, wenn die Oberfläche der Flüssigkeit um da verändert wird: σ = dw da Die Wechselwirkung von molekülen einer Substanz bezeichnet man als Kohäsionskräfte, bei zwei verschiedenen Substanzen bezeichnet man die Wechselwirkungen als Adhäsion. Der Winkel zwischen dem senkrecht auf der Flüssigkeit stehenden Vektor und einem tangentialen einer anderen Substanz, wird als Randwinkel ϕ bezeichnet. Der Winkel ϕ kann je nach Substanzen Postiv oder Negativ sein. Bei ϕ = 0 spricht manvon vollständiger Benetzung. Wenn man nun eine kapillare in eine Flüssigkeit hält, wie in unserem Versuch, dann steigt oder sinkt sich je nachdem ob die Oberflächenarbeit Positiv oder Negativ ist. Für unsere Berechnungen können wir uns die Flüssigkeitsoberfläche als Halbkugel vorstellen, da der Radius der Kapillare R kleiner als der konkav gekrümmte Bereich der Oberfläche ist. Für R cos ϕ den Krümmungsradius r gilt r =. Außerdem herrscht an der Oberfläche der Flüssigkeit ein Druck, für den gilt: dw = p dv, wobei V das Volumen der fiktiven Kugel ist. Nach der Formel für die Oberflächenarbeit gilt: dw = σ da, wobei A die Oberfläche der f. Kugel. Für dv gilt: dv = d( 3 πr3 ) = πr 2 dr und für da gilt: da = 8πrdr. Setzt man nun die Energiedifferenzen gleich und löst nach σ auf, erhält man: σ = p dv da = πr2 dr p 8πrdr = rp 2 p = 2σ r
Abbildung 1: Depression Für die Gleichgewichtsbedingung ist p der hydrostatische Druck der Flüssigkeit: p = ϱgh. Wobei ϱ die Dichte der Flüssigkeit und h die Steighöhe. Außerdem nehmen wir an, das die Flüssigkeit die Innenwände vollständig benetzen(ϱ = 0 ), also r = R Dann folgt: ϱgh = 2σ r h = 2σ ϱgr Um die Dichte der Flüssigkeiten zu bestimmen, benutzen wir die Mohr sche Waage. 2.1.1 Mohr sche Waage Die Mohr sche Waage ist im Prinzip wie eine Balkenwaage aufgebaut. An der einen Seite hängt die Masse, deren Dichte bestimmt werden soll, vollständig eingetaucht in einer Flüssigkeit. An die andere Seite können Ausgleichgewichte gehängt werden, um die Waage ins Gleichgewicht zu bringen. Die Dichte wird nun mit Hilfe der Auftriebskraft des Massenstückes bestimmt, für die gilt: F = ϱgv. Die Waage muss durch eine Flüssigkeit gereicht werden deren Dichte man kennt (z.b Wasser). Wenn nun eine andere Flüssigkeit gemessen wird, wirkt ein kleineres oder größeres Drehmoment auf die Waage, dieses kann durch das Verändern der Massen ausgeglichen werden. Nun kann mit Hilfe der Formel und der Messung der bekannten Flüssigkeit, die Dichte bestimmt werden. 2.2 Dynamische Viskosität Es existieren zwei Arten von Strömungen, laminare und turbulente. Ob eine Strömung laminar oder turbulent ist, hängt von der Inneren Reibung (gemessen durch die Viskosität η) und der Geschwindigkeit ab. Bei turbulenten Strömungen werden durch das Reiben an Grenzflächen einige Schichten gegenüber anderen mehr abgrebremst. Dadurch entsteht ein Geschwindigkeiktsgefälle innerhalb der Strömung. Dieses führt zur Wirbelbildung. Bei laminaren Strömungen wird die Geschwindigkeit durch die innere Reibung bestimmt. So dass die Abbremsung an Grenzflächen kontinuierlich an die Schichten weitergegeben wird. Der Übergang der Strömungsarten wird durch die Rynoldszahl R bestimmt. Unterhalb des Wertes von 1200 herrscht eine laminare Strömung vor, oberhalb eine Turbulente. Die Rynoldszahl ist als das Verhältnis von Trägheitskraft und Reibungskraft definiert. Für die Trägheitskraft gilt: F T = ϱv (dv/dt), und für die Reibungskraft: ηa(dv/dz). Es gilt also: ϱv (dv/dt) ηa(dv/dz) = ϱl η dz dt = ϱlv η Wobei l meistens der Rohrradius ist. Für die Reibungskraft bei bewegten Flüssigkieten gilt: F = ηa dv dz Betrachtet man ein dünnes Rohr mit dem Radius R und der Länge L, wird die beschleunigende Kraft der Flüssigkeit, die durch das Rohr fließt, durch den Druckunterschied hervorgerufen. Dann gilt: F = (p 1 p 2 )πr 2. Ändert man das Bezugssystem und betrachtet ein Rohr mit dem Radius z, das mit der Strömungsgeschwindigkeit mitbewegt wird, dann wirkt eine Reibung, die vom Druckunterschied aufgehoben wird: F = η2πz L dv dz = (p 1 p 2 )πz 2 dv dz = p 1 p 2 η2l z 2
Nun ist v(r) = 0, dann folgt v(z) = [v(r) v(z)]. Also: R dv v(z) = z dz dz = (p 1 p 2 ) ηl (R2 z 2 ) Dann lässt sich das Volumen pro Zeit errechnen, das durch das Rohr fließt: dv t = 2π v(z) dz = π (p 1 p 2 ) 2ηL (R2 z 2 )zdz Integriert man nuun über den Radius, folgt: V t = V = π (p 1 p 2 ) 2ηL Das Hagen-Poiseuille sche Gesetz. R 0 (R 2 z 2 )zdz = pi p 1 p 2 2ηL ] R [R 2 z2 2 z 0 = π(p 1 p 2 ) R 8ηL 3 Durchführung Wir haben in deisem Versuch die Oberflächenspannung von Wasser, Ethylenglykol und Methylalkohol. Wir haben zur Messung drei Kapillaren mit verschiedenen Durchmessern benutzt. Diese haben wir, nach gründlicher Reinigung, jeweils dreimal in jede der drei Flüssigkeiten gehalten und den Höhenunterschied zwischen Flüssigkeit in der Kapillare und außerhalb diesen gemessen. Außerdem haben wir den Durchmesser der Kapillare bestimmt. Dann haben wir die Dichte der Flüssigkeiten mit Hilfe der Mohr sche Waage gemessen. Indem wir die Masse der Gegengewichte bei den drei verschiedenen Substanzen bestimmt haben. Wasser dient hier als Referenzmessung, um die Waage zu eichen, da diese Dichte allgemein bekannt ist. Im zweiten Teil der Messungen haben wir die Durchflussmenge pro Zeiteinheit bei destillierten Wasser gemessen. Diesen Vesuch haben wir für 2 Kapillaren in einem kurzen Zeitintervall gemessen und für die mit dem kleinsten Durchmesser für einen langen Zeitraum. Auswertung.1 Dichte der Flüssigkeiten Da die Auftriebskraft proportional zum wirkenden Drehmoment auf die Waage ist, folgt: T W T F = F AW F AF = ϱ W V g ϱ F V g Dabei ist F AW die Auftriebskraft und T W das wirkende Drehmoment für Wasser, F AF und T F für die zu bestimmende Flüssigkeit. Da das eingetauchte Massenstück der Mohr schen Waage immer dasselbe ist, ist auch das verdrängte Volumen das gleiche. Dann folgt: Dann ergeben sich für die verschiedenen Dichten: Methanol: ϱ M = 876, 29 ±, 6 kg m 3 Ethylglykol: ϱ E = 1195, 88 ± 6, 73 kg m 3 ϱ F = T F T W ϱ W.2 Oberflächenspannung Für die Oberflächenspannung gilt wie unter 2.1 hergeleitet: h = 1 2 h ϱ g r 3
Für die Fehlerfortpflanzung ergibt sich nach der Formel σ = σ σ = σ 2 x ( ) 2 ( ) 2 f x + f y : ( 1 2 hϱg)2 σ 2 r + ( 1 2 ϱgr)2 σ 2 h Außerdem brauchen wir zur weiteren Berechnung die Radien, die wir wie folgt gemessen haben: rote Kapillare: r = 0, 1 ± 0, 0115 mm grüne Kapillar: r = 0, 91 ± 0, 0133 mm blaue Kapillare: r = 0, 575 ± 0, 0273 mm Weiter benötigen wir die Steighöhen der verschiedenen Flüssigkeiten in den verschiedenen Kapillaren (es wurden je 3 Messungen durchgeführt): bei Wasser: rote Kapillare: h = 26, 33 ± 0, 6 mm grüne Kapillar: h =, 33 ± 0, 33 mm blaue Kapillare: h = 25 ± 0, 5 mm Da der errechnete Wert von σ W bei der Messung mit der grünen Kapillare weit von den anderen Abweicht, haben wir ihn beim gewichteten Mittelwert nicht berücksichtigt. Dann ergibt sich für die Oberflächenspannung: σ W = 5, 62 10 2 ± 6, 1 10 2 kg bei Methanol: m 2 s 2 rote Kapillare: h = 12, 17 ± 0, mm grüne Kapillar: h = 7, 33 ± 0, 67 mm blaue Kapillare: h = 10 ± 0, 5 mm Dann ergibt sich für die Oberflächenspannung: σ M = 2, 3 10 2 ± 0, 57 10 2 Ethylglykol rote Kapillare: h = 1, 67 ± 0, 88 mm grüne Kapillar: h = 8 ± 0, 58 mm blaue Kapillare: h = 1, 33 ± 0, 33 mm Dann ergibt sich für die Oberflächenspannung: σ E =, 22 10 2 ± 0, 76 10 2 kg m 2 s 2 kg m 2 s 2.3 Viskosität von destillierten Wasser.3.1 Hagen-Poisseulle-Gleichung Nach Hagen-Poisseulle gilt: Dann gilt für die Viskosität: V t = π( 1 p 2 ) 8ηl η = π(p 1 p 2 ) t R 8 V l Wobei R der Radius der Kapillare ist. Die Druckdifferenz zwischen den Kapillarenenden p 1 p 2,ist gleich dem Schweredruck des Wassers, da an beiden enden p 1 = p 2 der Luftdruck herrscht. Also: R p 1 p 2 = ϱ W g h 0
Wir können diese Annahme machen, dass der Druck annährend linear abfällt, darum benutzen wir die mittlere Höhe von h = 7cm. Dann erhält man: η = π ϱ W g h t R = ϱ g h t 8 V l 8 r 2 h l R Dabei ist r = 0, 0115 ± 0, 05 10 3 m der Radius des Wassergefäßes. Für den Fehler gilt: (ϱg ) t R 2 ( ) ϱg t R σ η = 8r 2 σh 2 h l + 2 ( ) ϱg t R 8r 3 σr h l 2 2 ( ) ϱg t R + 8r 2 h 2 σ h 2 l + 2 ( ) ϱg t R 8r 2 h l 2 σl 2 + 3 2 8r 2 σr 2 h l Es ergeben sich folgende Werte: rote Kapillare: 8, 2 10 ± 0, 91 10 P a s grüne Kapillare: 1, 12 10 3 ± 0, 016 10 3 P a s blaue Kapillare: 7, 6 10 ± 0, 65 10 P a s Daraus ergibt sich der gewichtete Mittelwert mit: η = 1, 09 10 3 ± 0, 016 10 3 P a s.3.2 Geradengleichung Messwerte lin. Regression Hoehe (h) 0.1 0 50 100 150 200 250 300 350 00 50 500 Zeit (t) Abbildung 2: Die Wasserhöhe in Abhängigkeit von der Zeit (halblogarithmisch) Es gilt wie oben: Also: V = π p 8 η l R dv dt = π p 8 η l R 5
Dabei gilt wie eben:dv = π dh r 2 und p = ϱ g h. Eingestzt folgt: dv = π dh r 2 = πϱ g h R dt 8 η l 1 h π ϱ g h 1 dh = 8 η π l r dt h 0 H dh = ϱ g 8 η r 2 l R dt ln h ln h 0 = ϱ g ( ) ϱ g R 8 η r 2 l R t h = h 0 exp 8 η r 2 l t Der Graph der Abbildung 2 zeigt die Ausflusszeit t (h) in Abhänigkeit von der Höhe logarithmisch. Dann ergibt sich ein Graph mit der Steigung m, so dass gilt: ( ) ϱ g R m = 8 m r 2 l Dann gilt für η: ( ) ϱ g R η = 8 m r 2 l Nach der linearen Regression ist m = 5, 32 10 ± 0, 12 10. Für den Fehler gilt die obere Formel und der Fehlereinbeziehung von σ m. Dann ist η = 2, 3 10 3 ± 0, 33 10 3 P a s. Diskussion Die Werte liegen größtenteils im annehmbaren Bereich, bis auf die letzte Messung, bei der wir die Viskosität mit der Geradensteigung berechnet haben. Dieses ungenaue Ergebnis kann auf folgende Fehlerquellen zurückgeführt werden: Durch Verunreinigung oder Beschädigung der Kapillaren. Durch die schlechten Dichtungen. Außerdem ist eine genaue Zeitmessung bei einer hohen Ausflussgeschwindigkeit nicht möglich. 6