Lineare Näherungen =f() Tangente bei 0 =f( 0 )+f ( ).( 0 ) 0 Fehler der linearen Näherung 0 f( ) 0 Lineare Näherung einer Funktion einer Variablen f () f ( 0 ) + f ( 0 ) ( 0 ) f ( 0 ) (für nahe bei 0 ) Hier steht kurz für = f () f ( 0 ) und für = 0. Die näherungsweise Gleichung f ( 0 ) zeigt, wie stark oder schwach die Funktion in der Nähe von 0 auf eine Änderung von reagiert: Hier ist f ( 0 ) = 2: ist doppelt so groß wie. Hier ist f ( 0 ) = 1 2 : ist halb so groß wie.
Beispiel Lineare Näherung von bei 0 = 1. Die Werte von f () und f () bei 0 = 1: f () = f ( 0 ) = 1 f 1 () = 2 f ( 0 ) = 1 2 Damit ergibt sich: 1 1 + ( 1) 2 bzw 2 + 1 2 oder in der -Version 1 2 1 1 = Steigung ½ Beispiel Lineare Näherung von e bei 0 = 0. Die Werte von f () und f () bei 0 = 1: Damit ergibt sich: f () = e f ( 0 ) = 1 f () = e f ( 0 ) = 1 e 1 + oder in der -Version 1 =e Steigung 1 0
Lineare Näherung zwei Variable ( nahe bei 0 und nahe bei 0 ) f (, ) f ( 0, 0 ) + f ( 0, 0 ) ( 0 ) + f ( 0, 0 ) ( 0 ) f f + Lineare Näherung drei Variable ( nahe bei 0, nahe bei 0 und z nahe z 0 ) f (,, z) f ( 0, 0, z 0 )+f ( 0, 0, z 0 ) ( 0 )+f ( 0, 0, z 0 ) ( 0 )+f z ( 0, 0, z 0 ) (z z 0 ) f f f + + z z Hier bezeichnen f ( 0, 0, z 0 ) = f und f ( 0, 0, z 0 ) = f und f z ( 0, 0, z 0 ) = f die partiellen z Ableitungen von f (,, z) nach, nach, bzw. nach z, und zwar jeweils an der Stelle = 0, = 0 und z = z 0. Die -Ausdrücke stehen für die Differenzen = f (,, z) f ( 0, 0, z 0 ), = 0, = 0 und z = z z 0. Es gibt natürlich ganz analoge lineare Näherungsformeln für vier und mehr Variable. Beispiel Lineare Näherung von f (, ) = 2 cos ( ) bei 0 = 1 und 0 = π Wir ermitteln die Werte von Funktion und beiden partiellen Ableitungen bei = 1 und = π: Damit ergibt sich: f (, ) = 2 cos ( ) f ( 0, 0 ) = 1 + π f (, ) = 2 + 2 sin ( ) f ( 0, 0 ) = 2 f (, ) = cos ( ) + sin ( ) f ( 0, 0 ) = 1 bzw. 2 cos ( ) (1 + π) + 2 ( 1) + 1 ( π) 1 + 2 + 2 + Beispiel Gegeben ist ein zlinderförmiger Tank mit Soll-Radius r = 2 m und Soll-Höhe h = 4 m. Wie groß ist in erster Näherung die Volumenabweichung, wenn der Radius um 2 cm und die Höhe um 1 cm größer ausfallen? ( Erste Näherung bedeutet lineare Näherung.) Das Volumen V eines Zlinders mit Radius r und Höhe h ist V (r, h) = π r 2 h. Die partiellen Ableitungen sind V r (r, h) = 2π r h und V h (r, h) = π r 2. Bei r 0 = 2 m und h 0 = 4 m hat man V r (r 0, h 0 ) = 16π m 2 und V h (r 0, h 0 ) = 4π m 2. Mit r = 2 cm und h = 1 cm ist die Volumenabweichung V näherungsweise V V r (r 0, h 0 ) r + V h (r 0, h 0 ) h 16π m 2 0,02 m + 4π m 2 0,01 m 0,36π m 3 1,1 m 3 r h
Fehlerfortpflanzung Angenommen hat eine maimale Messabweichung, sagen wir: = 0 ± und entsprechend gegebenenfalls für weitere Größen, z.b. = 0 ± z = z 0 ± z Durch ± wird dabei angedeutet, dass es sich um eine Abweichung nach oben oder auch nach unten um den (hier positiven) Betrag (bzw., z) handeln kann. Wir wollen jetzt mithilfe der linearen Näherung abschätzen, wie groß die maimale Abweichung einer von... abhängig berechneten Größe f (... ) ist. Wenn wir die maimale Abweichung von f berechnen wollen, müssen wir allerdings Beträge nehmen. Sonst riskieren wir, dass sich in der Rechnung Fehler aufgrund unterschiedlicher Vorzeichen gegenseitig wegheben. Es soll ja aber die maimale Abweichung ermittelt werden, und die ergibt sich eben, wenn sich die Beträge der einzelnen Fehlerbeiträge konsequent addieren. Es ergeben sich die folgenden Varianten der linearen Näherungsformeln: Fortpflanzung der maimalen Abweichung in erster Näherung df d f + f f + f + f z z (d.h. linearer Näherung) In die Ableitungen df f d, bzw., f usw. muss jeweils 0, 0 usw. eingesetzt werden. Beispiel Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Längen a und b. Angenommen, a = 4000m ± 50m und b = 3000m ± 10m (jew. ma. Abw.). Wie groß ist dann (in erster Näherung) die maimale Abweichung der aus a und b berechneten Länge der Hpotenuse c = a 2 + b 2? Wir berechnen die partiellen Ableitungen c=? a b c a = 1 2 a 2 + b 2a = a 2 c und c b = 1 2 a 2 + b 2b = b 2 c sowie die sich aus a 0 = 4000m und b 0 = 3000m ergebende Hpotenusenlänge c 0 = a0 2 + b 0 2 = (4000m) 2 + (3000m) 2 = 5000m und setzen in die lineare Näherung für c ein: c c a + c a b b = a 0 a + b 0 b c 0 c 0 = 4000m 5000m = 46m 50m + 3000m 5000m 10m Also ist c = 5000m mit einer maimalen Abweichung von ±46m.
Oft interessiert statt der absoluten Abweichung die relative Abweichung, die dann oft in Prozent des Bezugswertes f angegeben wird. Beispiel Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Längen a und b. b Angenommen, a ist bis auf eine Abweichung von maimal 2% genau bekannt und b bis auf eine maimale Abweichung von 1%. A=? Wie groß ist dann (in erster Näherung) die maimale relative Abweichung des aus a und b berechneten Flächeninhalts A = 1 2 ab? a Wir berechnen die partiellen Ableitungen A a = 1 A 2 b und b = 1 2 a und setzen in die lineare Näherung für A ein: A A a + A a b b = 1 2 b 0 (0, 02 a 0 ) + 1 2 a 0 (0, 01 b 0 ) = 0,03 1 2 a 0b 0 = 0,03A Ergebnis: der Flächeninhalt A ergibt sich mit einer maimalen relativen Abweichung von 3%. Einfache Spezialfälle Funktion absolute maimale Abweichung f (, ) = A + B f (, ) = + f (, ) = Funktion f (, ) = C α β f (, ) = C f (, ) = C = C 1 A + B + + relative maimale Abweichung α + β + + Entsprechendes gilt für Summen bzw. Produkte mit mehr als zwei Summanden bzw. Faktoren. Beispiel (noch einmal) Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Längen a und b. Angenommen, a ist bis auf eine Abweichung von maimal 2% genau bekannt und b bis auf eine maimale Abweichung von 1%. Wie groß ist dann (in erster Näherung) die maimale relative Abweichung des aus a und b berechneten Flächeninhalts A = 1 2 ab? Hier liegt der Spezialfall f (, ) = C (mit C = 1 2, = a und = b) vor. Also können wir ohne lange Rechnung gleich konstatieren: A A a a + b b = 2% + 1% = 3% A=? a b
Beispiel (noch einmal) Gegeben ist ein zlinderförmiger Tank mit Radius r und Höhe h. Wie groß ist in erster Näherung die relative Volumenabweichung, wenn der Radius um 1% und die Höhe um 1 4 % vom Sollwert abweicht? r h Das Volumen des Tanks ist V = V (r, h) = π r 2 h. Hier liegt also der Spezialfall f (, ) = C α β (mit C = π, = r, α = 2, = h und β = 1) vor. Ohne weitere Rechnung kann man sofort sagen: V V 2 r r + h h = 2 1% + 1 4 % = 2 1 4 % Begründungen der Spezialfälle. Der Fall f (, ) = A + B Die partiellen Ableitungen sind f Also ergibt sich = A und f = B. f f + = A + B Der Fall f (, ) = C α β Die partielle Ableitung nach ist f = C αα 1 β = α f Die partielle Ableitung nach ist f = C α β β 1 = β f Also ergibt sich f f + = α f β f + = α f + β f Und wenn man auf beiden Seiten noch durch teilt: α + β