Grundlagen der Technischen Informatik 3. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit
3. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Zahlendarstellungen Zahlendarstellungen Zahlenkonversion Zahlensysteme Bin- und Hex Arithmetik Zahlenbereiche
3. Übungsblatt Aufgabe 1 a) Beschreiben Sie den allgemeinen Aufbau einer Zahl N in einem polyadischen Zahlensystem. N = d n * R n + + d 1 * R 1 + d 0 * R 0 R: Basis R i : Wertigkeit d i : Ziffer der Stelle i Z: 0,, R-1
3. Übungsblatt Aufgabe 1 b) Welche ist die größte mit n Bits darstellbare Dezimalzahl? 2 n - 1
3. Übungsblatt Aufgabe 1 c) Geben Sie den Wertebereich einer m Bit breiten Zahl R = r m-1 r m-2 r 1 r 0 in (I) Binär-, (II) Einserkomplement- und (III) Zweierkomplementdarstellung an und nennen Sie die Formel für die Berechnung des Zahlenwertes. Darstellung Wertebereich Zahlenwert I +/- (2 m-1-1) II [-2 m-1 + 1, 2 m-1-1] III [-2 m-1, 2 m-1-1] r rm 1 ( 1) m 2 i 0 i r 2 m 2 m 1 i m 1 ( rm 1 2 ) ri 2 i 0 m 2 m 1 i 1 2 ) i 2 i 0 ( r m r i
3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, 255 10, -254 10, -32 10. Stellen Sie diese Zahlen in der (I) 1er-Komplement, (II) 2er-Komplement Und (III) Vorzeichen / Betragsdarstellung dar (I) 1er-Komplement: 1. Umwandeln der Dezimalzahl in Binärzahl 2. Führende 0 an den Beginn der Binärzahl 3. Falls Dezimalzahl < 0 invertieren der Bits der Binärzahl
3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, 255 10, -254 10, -32 10. Stellen Sie diese Zahlen in der (I) 1er-Komplement, (II) 2er-Komplement Und (III) Vorzeichen / Betragsdarstellung dar (I) 1er-Komplement: 2 10 = 2 1 = 010 2 64 10 = 2 6 = 0100 0000 2 255 10 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 0 1111 1111 2 254 10 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 0 1111 1110 2 => -254 10 = 1 0000 0001 2 32 10 = 2 5 = 010 0000 2 => -32 10 = 101 1111 2
3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, 255 10, -254 10, -32 10. Stellen Sie diese Zahlen in der (I) 1er-Komplement, (II) 2er-Komplement Und (III) Vorzeichen / Betragsdarstellung dar (II) 2er-Komplement: 1. Dezimalzahl > 0: 2er-Komplement = 1er-Komplement 2. Dezimalzahl < 0: 2er-Komplement = 1er-Komplement + 1
3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, 255 10, -254 10, -32 10. Stellen Sie diese Zahlen in der (I) 1er-Komplement, (II) 2er-Komplement Und (III) Vorzeichen / Betragsdarstellung dar (II) 2er-Komplement: 2 10 = 2 1 = 010 2 64 10 = 2 6 = 0100 0000 2 255 10 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 0 1111 1111 2 254 10 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 0 1111 1110 2 => -254 10 = 1 0000 0001 2 => -254 10 = 1 0000 0010 2 32 10 = 2 5 = 010 0000 2 => -32 10 = 101 1111 2 => -32 10 = 110 0000 2
3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, 255 10, -254 10, -32 10. Stellen Sie diese Zahlen in der (I) 1er-Komplement, (II) 2er-Komplement Und (III) Vorzeichen / Betragsdarstellung dar (III) Vorzeichen / Betragsdarstellung: 1. Umwandeln der Dezimalzahl in Binärzahl 2. Dezimalzahl < 0: Voranstellen einer 1 3. Dezimalzahl > 0: Voranstellen einer 0
3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, 255 10, -254 10, -32 10. Stellen Sie diese Zahlen in der (I) 1er-Komplement, (II) 2er-Komplement Und (III) Vorzeichen / Betragsdarstellung dar (III) Vorzeichen / Betragsdarstellung: 2 10 = 2 1 = (0) 10 2 64 10 = 2 6 = (0) 100 0000 2 255 10 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 + 2 0 = (0) 1111 1111 2 254 10 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = (0) 1111 1110 2 => -254 10 = (1) 1111 1110 2 32 10 = 2 5 = (0) 10 0000 2 => -32 10 = (1) 10 0000 2
3. Übungsblatt Aufgabe 2 Gegeben seien die Zahlen: 2 10, 64 10, 255 10, -254 10, -32 10. Stellen Sie diese Zahlen in der (I) 1er-Komplement, (II) 2er-Komplement Und (III) Vorzeichen / Betragsdarstellung dar Dezimal 1er-Komplement 2er-Komplement Vorzeichen/Betrag 2 010 010 (0) 10 64 0100 0000 0100 0000 (0) 100 0000 255 0 1111 1111 0 1111 1111 (0) 1111 1111-254 1 0000 0001 1 0000 0010 (1) 1111 1110-32 101 1111 110 0000 (1) 10 0000
3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, 10100 2, 111111 2, 1000000 2, 11111111 2, 11111110 2. Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (I) Hexadezimal 1. Erweitern der Binärzahlen auf 4er-Blöcken 2. Zusammenfassen der 4er-Blöcke
3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, 10100 2, 111111 2, 1000000 2, 11111111 2, 11111110 2. Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (I) Hexadezimal 10 2 = 0010 2 = 2 16 10100 2 = 0001 0100 2 = 14 16 111111 2 = 0011 1111 2 = 3F 16 1000000 2 = 0100 0000 2 = 40 16 11111111 2 = 1111 1111 2 = FF 16 11111110 2 = 1111 1110 2 = FE 16
3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, 10100 2, 111111 2, 1000000 2, 11111111 2, 11111110 2. Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (II) Oktalzahl 1. Erweitern der Binärzahlen auf 3er-Blöcken 2. Zusammenfassen der 3-Blöcke
3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, 10100 2, 111111 2, 1000000 2, 11111111 2, 11111110 2. Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (II) Oktalzahl 10 2 = 010 2 = 2 8 10100 2 = 010 100 2 = 24 8 111111 2 = 111 111 2 = 77 8 1000000 2 = 001 000 000 2 = 100 8 11111111 2 = 011 111 111 2 = 377 8 11111110 2 = 011 111 110 2 = 376 8
3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, 10100 2, 111111 2, 1000000 2, 11111111 2, 11111110 2. Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (III) BCD-Zahl 1. Umwandeln der Binärzahlen in Dezimalzahlen 2. Umwandeln der Dezimalziffern zu 4er-Blöcken
3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, 10100 2, 111111 2, 1000000 2, 11111111 2, 11111110 2. Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. (III) BCD-Zahl 10 2 = 2 1 = 2 10 = (0010) BCD 10100 2 = 2 4 + 2 2 = 20 10 = (0010 0000) BCD 111111 2 = 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 63 10 = (0110 0011) BCD 1000000 2 = 2 6 = 64 10 = (0110 0100) BCD 11111111 2 = 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 = 255 10 = = (0010 0101 0101) BCD 11111110 2 = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 = 254 10 = = (0010 0101 0100) BCD
3. Übungsblatt Aufgabe 3 Gegeben seien die positiven Binärzahlen: 10 2, 10100 2, 111111 2, 1000000 2, 11111111 2, 11111110 2. Stellen Sie diese Zahlen als (I) Hexadezimalzahl, (II) Oktalzahl und (III) BCD-Zahl dar. Binär Hexadezimal Oktal BCD 10 2 2 0010 10100 14 24 0010 0000 111111 3F 77 0110 0011 1000000 40 100 0110 0100 11111111 FF 377 0010 0101 0101 11111110 FE 376 0010 0101 0100
3. Übungsblatt Aufgabe 4 a) Konvertieren Sie die folgende Hexadezimalzahl mit sukzessiver Division unter ausschließlicher Verwendung der angegebenen Zahlensysteme ins Binär- bzw. Ternärsystem: (A03) 16 = (?) 2 (A03) 16 = (?) 3 Anmerkungen: I. Konvertierung von großem auf kleines Zahlensystem: sukzessive Division II. Konvertierung von kleinem auf großes Zahlensystem: Horner-Schema oder sukzessive Division bei sukzessiver Division: Umwandlung der großen Basis in kleines Zahlensystem
3. Übungsblatt Aufgabe 4 a) (A03) 16 = (?) 2 A03 : 2 = 501 + 1 A : 2 = 5 + 0 501 : 2 = 280 + 1 5 : 2 = 2 + 1 280 : 2 = 140 + 0 2 : 2 = 1 + 0 140 : 2 = A0 + 0 1 : 2 = 0 + 1 A0 : 2 = 50 + 0 50 : 2 = 28 + 0 28 : 2 = 14 + 0 14 : 2 = 0A + 0 (A03) 16 = (1010 0000 0011) 2
3. Übungsblatt Aufgabe 4 a) (A03) 16 = (?) 3 A03 : 3 = 356 + 1 356 : 3 = 11C + 2 11C : 3 = 5E + 2 5E : 3 = 1F + 1 1F : 3 = 0A + 1 A : 3 = 3 + 1 3 : 3 = 1 + 0 1 : 3 = 0 + 1 (A03) 16 = (10 111 221) 3
3. Übungsblatt Aufgabe 4 b) Konvertieren Sie die folgende Binärzahl unter ausschließlicher Verwendung der angegebenen Zahlensysteme ins Oktal- bzw. Ternärsystem: (11100111) 2 = (?) 8 (11100111) 2 = (?) 3 Horner-Schema: von links nach rechts
3. Übungsblatt Aufgabe 4 b) (11100111) 2 = (?) 8 1 * 2 = 2 + 1 3 * 2 = 6 + 1 7 * 2 = 16 + 0 16 * 2 = 34 + 0 34 * 2 = 70 + 1 71 * 2 = 162 + 1 163 * 2 = 346 + 1 = 347 11100111 2 = 347 8
3. Übungsblatt Aufgabe 4 b) (11100111) 2 = (?) 3 1 * 2 = 2 + 1 10 * 2 = 20 + 1 21 * 2 = 112 + 0 112 * 2 = 1001 + 0 1001 * 2 = 2002 + 1 2010 * 2 = 11020 + 1 11021 * 2 = 22112 + 1 = 22120 11100111 2 = 22120 3
3. Übungsblatt Aufgabe 4 b) (11100111) 2 = (?) 3 11100111 2 : 11 2 = 1001101 2 R0 1001101 2 : 11 2 = 11001 2 R2 11001 2 : 11 2 = 1000 2 R1 1000 2 : 11 2 = 10 2 R2 10 2 : 11 2 = 0 2 R2 11100111 2 = 22120 3
3. Übungsblatt Aufgabe 4 c) Konvertieren Sie die Dezimalzahl 234,428734 10 ins Binärformat. Verwenden Sie für die Nachkommadarstellung maximal 8 Bits. 234 : 2 = 117 + 0 117 : 2 = 58 + 1 58 : 2 = 29 + 0 29 : 2 = 14 + 1 14 : 2 = 7 + 0 7 : 2 = 3 + 1 3 : 2 = 1 + 1 1 : 2 = 0 + 1 234 10 = 11101010 2
3. Übungsblatt Aufgabe 4 c) Konvertieren Sie die Dezimalzahl 234,428734 10 ins Binärformat. Verwenden Sie für die Nachkommadarstellung maximal 8 Bits. 0,428734 * 2 = 0,857468 + 0 0,857468 * 2 = 1,714936 + 1 0,714936 * 2 = 1,429872 + 1 0,429872 * 2 = 0,859744 + 0 0,859744 * 2 = 1,719488 + 1 0,719488 * 2 = 1,438976 + 1 0,438976 * 2 = 0,877952 + 0 0,877952 * 2 = 1,755904 + 1 0,428734 10 0,01101101 2
3. Übungsblatt Aufgabe 4 c) Konvertieren Sie die Dezimalzahl 234,428734 10 ins Binärformat. Verwenden Sie für die Nachkommadarstellung maximal 8 Bits. 234,428734 10 11101010,01101101 2
3. Übungsblatt Aufgabe 5 Führen Sie die folgenden Berechnungen im angegebenen Zahlensystem aus, ohne die Zahlen ins Dezimalsystem umzuwandeln: a) Addition im Dualsystem: 111010100110 2 + 010101111110 2 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 + 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 111010100110 2 + 010101111110 2 = 1010000100100 2
3. Übungsblatt Aufgabe 5 Führen Sie die folgenden Berechnungen im angegebenen Zahlensystem aus, ohne die Zahlen ins Dezimalsystem umzuwandeln: b) Multiplikation im Dualsystem: 11101010 2 * 1011 2 1 1 1 0 1 0 1 0 * 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 + 1 1 1 0 1 0 1 0 + 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 11101010 2 * 1011 2 = 101000001110 2
3. Übungsblatt Aufgabe 5 c) Subtraktion im Dualsystem: 11010010 2 10110101 2 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 Minuend - 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 Subtrahend 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 Subtrahend (B-1) + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 Subtrahend (B-2) + 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 Minuend 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 = 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 Übertrag = 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 => Ergebnis positiv 11010010 2 10110101 2 = 11101 2
3. Übungsblatt Aufgabe 5 c) Subtraktion im Dualsystem: 01110110 2 10011001 2 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 Minuend - 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 Subtrahend 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 Subtrahend (B-1) + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 Subtrahend (B-2) + 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 Minuend 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 = 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 Übertrag = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 => Ergebnis negativ + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 Ergebnis im Betrag
3. Übungsblatt Aufgabe 5 Führen Sie die folgenden Berechnungen im angegebenen Zahlensystem aus, ohne die Zahlen ins Dezimalsystem umzuwandeln: d) Addition im Hexadezimalsystem: B674FC12 16 + 2DA9D4B2 16 B 6 7 4 F C 1 2 + 2 D A 9 D 4 B 2 1 1 0 1 1 0 0 0 E 4 1 E D 0 C 4 B674FC12 16 + 2DA9D4B2 16 = E41ED0C4 16
3. Übungsblatt Aufgabe 6 In einem Prozessor ist die Verarbeitungswortbreite beschränkt und somit auch der im Prozessor darstellbare Zahlenbereich. Was bedeutet dies, wenn eine Zahl in einem Prozessor einmal positiv ganzzahlig und einmal als vorzeichenbehaftete Zahl in 2er-Komplementdarstellung interpretiert werden? Wiederholen Sie die Subtraktionsaufgaben von Aufgabe 1c) und erweitern Sie dieses mal nicht die Operanden mit führenden Nullen. Worin liegt der Unterschied?
3. Übungsblatt Aufgabe 6 In einem Prozessor ist die Verarbeitungswortbreite beschränkt und somit auch der im Prozessor darstellbare Zahlenbereich. Was bedeutet dies, wenn eine Zahl in einem Prozessor einmal positiv ganzzahlig und einmal als vorzeichenbehaftete Zahl in 2er-Komplementdarstellung interpretiert werden? Wiederholen Sie die Subtraktionsaufgaben von Aufgabe 1c) und erweitern Sie dieses mal nicht die Operanden mit führenden Nullen. Worin liegt der Unterschied? Der Unterschied ist der, dass ein negatives Ergebnis nicht durch ein Vorzeichenbit erkennbar ist, sondern durch einen nicht vorhandenen Übertrag.
3. Übungsblatt Danke für die Aufmerksamkeit