Dreiecke (in der Ebene) 1) EinfÄhrung Trigonometrie bedeutet: die Lehre von den Dreiecken. Ein Dreieck entsteht aus drei geraden, nicht parallelen Seiten, die sich jeweils unter einem Winkel treffen. Dies gilt in der Ebene, nicht auf einer Kugel z.b. Jedes Vieleck kann aus Dreiecken zusammengesetzt werden, z.b. ein FÄnfeck nach Bild 1-1: So kånnen FlÇchen, Winkel, SeitenlÇngen im FÄnfeck aus den Dreiecken bestimmt werden. Bild 1-1: FÄnfeck, in Dreiecke aufgeteilt. Eine besondere Rolle spielt das rechtwinklige Dreieck bei der Angabe von Punkten in der Ebene mit Koordinaten, siehe Bild 1-2: Bild 1-2: Koordinaten-Dreieck Aus dem rechtwinkligen Dreieck werden die Winkelfunktionen sin(), cos(), tan() usw. abgeleitet. Landvermessung, Ortung
Seiten- und Winkelangaben Die Seiten und Winkel eines Dreiecks werden allgemein folgendermaéen bezeichnet: Bild 2-1: Bezeichnungen im allgemeinen Dreieck Einteilung der Winkel: Winkel im GradmaÉ und im BogenmaÉ: Das in der Geometrie verwendete GradmaÉ (Alt-Grad) zur Messung von Winkeln beruht auf der Einteilung des ebenen Vollwinkels in 360 gleiche Teile oder 360Ñ (gespr. Grad ). Die feinere Unterteilung der Einheit 1Ñ erfolgt entweder dezimal (Dezimalbruchangabe in Grad) oder sexagesimal: 1Ñ = 60 (Minuten), 1 = 60 (Sekunden). Beispiel: 1,125Ñ = 1Ñ 7 30 Neben dem GradmaÉ wird auch das BogenmaÉ zur Angabe von Winkeln verwendet. Die Angabe im BogenmaÉ erhçlt man aus folgender Darstellung: Der Winkel im BogenmaÉ ist die LÇnge b des BogenstÄcks, das von dem Winkel auf einem Kreis abgeteilt wird, bezogen auf den Kreisradius r: = b/r. Die Einheit fär das BogenmaÉ ist damit eine Pseudoeinheit, der Radiant (AbkÄrzung: rad). WÇhlt man fär den Radius r =1Einheit, so ist die BogenlÇnge b (in Einheiten gemessen) direkt gleich dem Winkel.
Beispiele fär spezielle Winkel: Vollwinkel Rechter Winkel GradmaÉ 360Ñ 90Ñ 45Ñ BogenmaÉ 2 rad = 6,283rad /2 rad = 1,571rad /4 rad = 0,785rad 1 rad 1Ñ 1 1 57Ñ 17 44,8 0,017453rad 0,000291rad 0,000 005rad Ist der Winkel im GradmaÉ und der Winkel im BogenmaÉ, dann gilt die Beziehung: Man erhçlt damit den Umrechnungsfaktor C=180Ñ/. Somit gilt: = àc oder = C
2) Aussagen zu ebenen Dreiecken Die folgenden Aussagen beziehen sich auf Bild 2-1. 1. Die Summe zweier Seiten ist im ebenen Dreieck stets gråéer als die dritte Seite, z.b. b+c>a. 2. Die Summe der Winkel betrçgt im ebenen Dreieck =180Ñ oder. 3. VollstÅndige Bestimmung des Dreiecks, d.h. ein Dreieck ist vollstçndig bestimmt, wenn folgende BestimmungsstÄcke bekannt sind: drei Seiten zwei Seiten und der zwischen ihnen eingeschlossene Winkel eine Seite und die beiden anliegenden Winkel Wenn zwei Seiten gegeben sind und ein Winkel, der einer der Seiten gegenäber liegt, dann kånnen entweder zwei, ein oder kein Dreieck konstruiert werden. 4. Seitenhalbierende des Dreiecks wird die Gerade genannt, die einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenäberliegenden Seite verbindet, siehe Bild 3-1. Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in dem Schwerpunkt S des Dreiecks. Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden, vom Scheitel des Winkels aus gerechnet, im VerhÇltnis 2:1. 5. Winkelhalbierende wird die Gerade genannt, die einen der drei Winkel in zwei gleiche Teile teilt. 6. Inkreis wird der in das Dreieck einbeschriebene Kreis genannt. Sein Mittelpunkt ist der gemeinsame Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Bild 3-1: Seitenhalbierende, Schwerpunkt 7. Umkreis wird der das Dreieck umschreibende Kreis genannt. Sein Mittelpunkt ist der gemeinsame Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks. Bild 3-2: Inkreis und Winkelhalbierende Bild 3-3: Umkreis mit Radius R und Mittelsenkrechten
8. HÇhe des Dreiecks wird das Lot genannt, das vom Scheitelpunkt eines der drei Winkel auf die gegenäber liegende Seite gefçllt wird. Die drei HÅhen des Dreiecks schneiden sich im sog. Orthozentrum. Die HÅhe bildet mit je zwei Seiten des Dreiecks zwei rechtwinklige Teildreiecke. Bild 3-4: Die HÅhe h auf der Seite a 9. Gleichschenkliges Dreieck Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Welche der drei Seiten gleich lang sind, spielt keine Rolle. HÅhe, Seiten- und Winkelhalbierende der dritten Seite sind identisch. 10. Gleichseitiges Dreieck Im Sonderfall des gleichseitigen Dreiecks fallen die Mittelpunkte des In- und Umkreises mit dem Schwerpunkt und dem Orthozentrum zusammen. 11. Mittellinie wird eine Gerade genannt, die die Mittelpunkte zweier Dreieckseiten verbindet; sie liegt parallel zur dritten Seite und ist halb so lang wie diese (Strahlensatz). 12. Rechtwinkliges Dreieck wird ein Dreieck genannt, das sich durch einen Winkel von 90Ñ in einer der Dreiecksecken auszeichnet, siehe Bild 3-5: Bild 3-5: Das rechtwinklige Dreieck mit den zusçtzlichen KenngrÅÉen HÅhe h und TeilstÄcke p und q der Grundseite c. Bild 3-5: Das rechtwinklige Dreieck 13. Kongruente Dreiecke sind durch Verschieben, Drehen, Spiegeln an einer Achse ineinander zu ÄberfÄhren. Kongruente Dreiecke stimmen in den drei Seiten und den drei Winkeln Äberein. Dabei kann der Umlaufsinn entgegengesetzt sein. 14. Éhnliche Dreiecke stimmen in der Gestalt vållig Äberein, ohne dass die GrÅÉe gleich ist. Die âhnlichkeit erkennt man an drei gleichen Winkeln oder am gleichen VerhÇltnis entsprechender Seiten. Die âhnlichkeit ist eine wichtige Eigenschaft bei der Berechnung von Dreiecken, z.b. fär FlÇchen oder Strecken oder Winkel.
3) Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck Grundlage sind die Darstellung und die Bezeichnungen in Bild 3-5. ZusÇtzlich werden die Begriffe Hypotenuse: Seite c Katheten: Seiten a und b Hypotenusenabschnitte p, q FlÇcheninhalt des Dreiecks: S verwendet. Winkelsumme: Da die Winkelsumme im Dreieck allgemein gleich 180Ñ ist, gilt =90Ñ. Halbkreis: Der Winkel auf dem Halbkreis Äber c ist immer ein rechter Winkel. Éhnlichkeit: Das Grunddreieck a,b,c und die Teildreiecke a,p,h und b,h,q sind Çhnlich. Definitionen der trigonometrischen Funktionen: sin( )=a/c (Gegenkathete a/hypotenuse); sin( )=b/c (Gegenkathete b/hypotenuse); cos( )=b/c (Ankathete b/hypotenuse); tan( )=a/b (Gegenkathete a/ankathete b); cot( )=b/a (Ankathete b/gegenkathete a); cos( )=a/c (Ankathete a/hypotenuse); tan( )=b/a (Gegenkathete b/ankathete a); cot( )=a/b (Ankathete a/gegenkathete b); Im allgemeinen Fall eines Winkels mit 0Ñ 360Ñ werden die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis mit dem Radius 1 definiert, siehe Bild 4-1. Der Winkel wird von einem festen Radius 0A der LÇnge 1 bis zu einem beweglichen Radius 0C im entgegengesetzten Uhrzeigersinn (mathematisch positiver Drehsinn) gemessen. sin( )=BC; cos( )=0B; tan( )=AD; cot( )=EF Bild 4-1: Definitionen der Winkelfunktionen am Einheitskreis Die Strecken sind immer vom ersten zum zweiten Punkt gerichtet. Je nachdem, in welchem Quadranten des Einheitskreises der bewegliche Radius 0C liegt, haben die Funktionen ein ganz bestimmtes Vorzeichen, siehe folgende Tabelle.
1. Quadrant 2. Quadrant 3. Quadrant 4. Quadrant sin( ) + + - - cos( ) + - - + tan( ) + - + - cot( ) + - + - Bild 4-2: Graphen der Winkelfunktionen
Seitenberechnung: a = càsin( ) = càcos( ) = bàtan( ) = bàcot( ) Satz des PYTHAGORAS: a 2 + b 2 = c 2 Verallgemeinert: Legt man an die Seiten a, b, c jeweils FlÇchen, die eine Çhnliche Gestalt haben, dann ist die Summe der FlÇchen Äber den Seiten a und b gleich der FlÇche Äber der Seite c. SÅtze des EUKLID: h 2 = p q, a 2 = p c, b 2 = q c FlÅcheninhalt: S = aàb/2 = ä a 2 tan( ) = ã c 2 sin( ) 4) Das allgemeine schiefwinklige Dreieck Bild 5-1: Schiefwinkliges Dreieck Sinussatz: = 2R; R: Radius des Umkreises Projektionssatz: c = a cos( ) + b cos( ) (aus Bild 5-1 zu erkennen) Kosinussatz oder Satz des Pythagoras fär schiefwinklige Dreiecke: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos( ) Tangensformeln: tan( ) = HÇhe der Seite a: Seitenhalbierende der Seite a: h a = b sin( ) = c sin( ) m a = ä
Aus jeder Formel fär bestimmte Seiten oder Winkel kånnen zwei weitere gewonnen werden, wenn man Seiten und Winkel gemçé Bild 5-2 zyklisch vertauscht: Bild 5-2: Zum Vertauschen von Seiten und Winkeln Grundaufgaben zur Berechnung von Seiten oder Winkeln aus gegebenen StÄcken: s = ä (a+b+c): halber Umfang; S: FlÇche des Dreiecks; r: Radius des Inkreises