Hans Walser, [0090411a] Fibonacci, Kreisfunktionen und hyperbolische Funktionen Spezielle verallgemeinerte Fibonacci-Rekursionen führen auf Kreis- und Hyberbelfunktionen. 1 Fibonacci und Kreisfunktionen 1.1 Einstiegsbeispiel Wir untersuchen die Folge mit der Rekursion a n+ = 0.95a n+1 a n = 1.9a n+1 a n und den Startwerten a 0 = 1 und a 1 = 0.95. Excel liefert für die ersten 50 Folgenglieder: n a_n n a_n n a_n 0 1 17 0.633554136 34-0.19718313 1 0.95 18 0.843463666 35 0.118759788 0.805 19 0.9690689 36 0.4861911 3 0.5795 0 0.997687309 37 0.68467784 4 0.9605 1 0.96579058 38 0.87805989 5-0.017005 0.7681901 39 0.983571538 6-0.383595 3 0.5765455 40 0.99075993 7-0.60687805 4 0.3044146 41 0.89887333 8-0.84708795 5-0.08496676 4 0.717097501 9-0.960068661 6-0.39180147 43 0.46361919 10-0.99941660 7-0.659497403 44 0.163767045 11-0.93883493 8-0.8614919 45-0.15455534 1-0.784360078 9-0.976864143 46-0.45343559 13-0.551451654 30-0.994798953 47-0.70906638 14-0.63398065 31-0.91353867 48-0.893793465 15 0.050995331 3-0.740383395 49-0.98914155 16 0.36089193 33-0.493474583 50-0.985574919
Hans Walser /10 Das zugehörige Säulendiagramm lässt eine Kosinuskurve erkennen: Diagramm. Kosinuskurve 1. Rekursion und Startwerte Wir untersuchen Folgen mit der Rekursion: a n+ = pa n+1 a n, p < 1 Mit den Startwerten a 0 = 1 und a 1 = p ergibt sich eine Folge, deren Werte auf einer Kosinuskurve liegen. Mit derselben Rekursion, aber den Startwerten a 0 = 0 und a 1 = 1 p ergibt sich eine Folge, deren Werte auf einer Sinuskurve liegen. Beispiel: p = 0.95. Startwerte a 0 = 0 und a 1 = 1 p. n a_n n a_n n a_n 0 0 17-0.773698363 34-0.980359596 1 0.31499 18-0.5371869 35-0.9993014 0.5937481 19-0.4695547 36-0.90619413 3 0.8149739 0 0.06797083 37-0.78845836 4 0.95517444 1 0.37610005 38-0.47861956 5 0.999855405 0.64661968 39-0.180518781 6 0.9445585 3 0.85476557 40 0.135677 7 0.794794963 4 0.973086190 41 0.43810598 8 0.565557604 5 0.99638704 4 0.69697864 9 0.79764485 6 0.90049497 43 0.886037844 10-0.03400508 7 0.751706841 44 0.986499040 11-0.344374141 8 0.508193501 45 0.988310331 1-0.60305787 9 0.13860811 46 0.89190589 13-0.83406853 30-0.101857960 47 0.705141789 14-0.96468734 31-0.407390936 48 0.448478809 15-0.99869889 3-0.67184818 49 0.146967949 16-0.93840660 33-0.86976018 50-0.16939706
Hans Walser 3/10 Das zugehörige Säulendiagramm lässt eine Sinuskurve erkennen: Diagramm. Sinuskurve 1.3 Beweis Wir untersuchen den Fall a n+ = pa n+1 a n, p < 1 mit den Startwerten a 0 = 1 und a 1 = p, und setzen = arccos( p). Wir haben also die Rekursion a n+ = cosa n+1 a n und die Startwerte a 0 = cos( 0) sowie a 1 = cos. Dann gilt: a n = cos( n ) Beweis induktiv. Die Startwerte erfüllen die Behauptung. Weiter ist: a n+ = cosa n+1 a n a n+ = coscos( ( n + 1) ) cos( n ) a n+ = coscos( n + ) cos( n ) a n+ = cos ( cos( n )cos sin( n )sin ) cos( n ) a n+ = cos( n )( cos 1) cossin ( ) sin ( n ) cos( ) sin( ) a n+ = cos( n )cos( ) sin( )sin( n ) a n+ = cos n + a n+ = cos ( n + ) Damit ist die Behauptung bewiesen.
Hans Walser 4/10 Im Fall a n+ = pa n+1 a n, p < 1 mit den Startwerten a 0 = 0 und a 1 = 1 p setzen wir wieder = arccos( p). Wir haben also dieselbe Rekursion a n+ = cosa n+1 a n und die Startwerte a 0 = sin( 0) sowie a 1 = sin. Dann gilt: Der Beweis läuft analog. a n = sin n 1.4 Periodenlänge Für die Periodenlänge T der so generierten Kreisfunktionen gilt: T 1 = T = arccos p In unserem Beispiel mit p = 0.95 erhalten wir: T = 19.7858 arccos( 0.95) Aus den Diagrammen lesen wir eine Periodenlänge von etwa 0 ab. 1.5 Noch ein Beispiel Wir verwenden einen negativen Wert für p. Startwerte a 0 = 1 und a 1 = p. Beispiel: p = 0.99 n a_n n a_n n a_n 0 1 17 0.741547963 34 0.099786763 1-0.99 18-0.88774555 35-0.3915167 0.960 19 0.89945656 36 0.37373456 3-0.911196 0-0.9508844 37-0.50084196 4 0.84396808 1 0.985709066 38 0.61793301 5-0.759860798-0.999615708 39-0.7665186 6 0.660556301 3 0.993530035 40 0.81944047 7-0.548040677 4-0.96757376 41-0.88696407 8 0.4456440 5 0.966013 4 0.9434477 9-0.9596518 6-0.85851944 43-0.98066053 10 0.154776866 7 0.777589617 44 0.99846317 11-0.013861676 8-0.681114496 45-0.99696459 1-0.17330747 9 0.571017086 46 0.9740386 13 0.65976555 30-0.449499335 47-0.9367187 14-0.3993083 31 0.318991596 48 0.87397969 15 0.54643053 3-0.1810406 49-0.7947079 16-0.63949041 33 0.041574375 50 0.701149198
Hans Walser 5/10 Das Diagramm sieht lustig aus: Diagramm Wir haben einen Flipflop-Effekt. Es ist aber immer noch a n = cos( n ). Und nicht, wie der Schreiber dieses zuerst vermutete, a n = ( 1) n cos( n ). Die Periodenlänge ist viel kürzer, als man denkt: Wie ist das zu verstehen? T =.0944 arccos( 0.99)
Hans Walser 6/10 1.6 Andere Startwerte Beispiel: p = 0.95, Startwerte a 0 = 0.5 und a 1 = 1.1. Wir erhalten das Diagramm: Diagramm Wir haben eine Linearkombination einer Kosinusfunktion und einer Sinusfunktion.
Hans Walser 7/10 p > 1 Bis jetzt war p < 1, und das war ja auch gut so, weil wir in unseren Überlegungen mit gearbeitet haben, was für p > 1 nicht ginge. Allerdings können wir = arccos p gleichwohl mit der Rekursion a n+ = pa n+1 a n und den Startwerten a 0 = 1 und a 1 = p arbeiten..1 Beispiel Im Beispiel p = 1.01 erhalten wir n a_n n a_n n a_n 0 1 6 1.38145339 1.81681131 1 1.01 7 1.5303994 13 3.1839769 1.040 8 1.709941367 14 3.6840500 3 1.09104 9 1.93688637 15 4.3764334 4 1.1640308 10.175909680 16 4.847798954 5 1.6014080 11.471648916 mit dem Diagramm: Diagramm Das schmeckt sehr nach hyperbolischem Kosinus. Tatsächlich gilt: mit = arcosh p wird a n = cosh n. Und mit den Startwerten a 0 = 0 und a 1 = p 1 ergibt sich a n = sinh( n ). Die Beweise laufen analog zu denen der Kreisfunktionen, wobei der Leser / die Leserin gut tut, vor dem Beweis die einschlägigen Formeln für die hyperbolischen Funktionen nachzu-
Hans Walser 8/10 sehen. Wir haben damit ohne Würgen und Murksen einen Link von den Kreisfunktionen zu den hyperbolischen Funktionen gefunden.. p < 1 Im Beispiel p = 1.01 erhalten wir n a_n n a_n n a_n 0 1 6 1.38145339 1.81681131 1-1.01 7-1.5303994 13-3.1839769 1.040 8 1.709941367 14 3.6840500 3-1.09104 9-1.93688637 15-4.3764334 4 1.1640308 10.175909680 16 4.847798954 5-1.6014080 11 -.471648916 mit dem Diagramm: Diagramm Hier kommt man wohl nicht darum herum, die Formel a n = 1 zu akzeptieren. ( ) n cosh narcosh p
Hans Walser 9/10 3 Hintergrund 3.1 Die Formel von Binet Eine Folge mit der Rekursion a n+ = pa n+1 + qa n und den Startwerten a 0 und a 1 kann explizit dargestellt werden mit: a n = 1 n a 1 1 a 0 1 + n ( ( a0 1 a 1 ) ) Dabei ist: 1 = p + ( p + q) 1 Beweis induktiv mit einiger Rechnung. In unserem Fall ist q = 1, also: und = p ( p + q) 1 1 = p + ( p 1) 1 und = p ( p 1) 1 Weiter haben wir 1 = p + ( p 1) 1 p ( p 1) 1 = ( p 1) 1 und: 1 = p + ( p 1) 1 p ( p 1) 1 = p ( p 1)= 1 = 1 1 3. Spezielle Startwerte Mit den speziellen Startwerten a 0 = 1 und a 1 = p erhalten wir: 1 a 1 a 0 = p p p 1 1 = p 1 a 0 1 a 1 = p + ( p 1) 1 p = ( p 1) 1 Eingesetzt in die explizite Formel von Binet liefert: a n = 1 n a 1 1 a 0 1 + n ( a0 1 a 1 ) a n = 1 1 p 1 ( p 1) 1 n 1 + p ( 1 ) 1 n a n = 1 1 n + 1 n Das erinnert an die Definitionen von cos und cosh. Wir machen nun eine Fallunterscheidung bezüglich p.
Hans Walser 10/10 3..1 p < 1 In diesem Fall ist: Es ist also: 1 = p + ( p 1) 1 = p + i 1 p 1 = p + 1 p = 1 arg( 1 )= arccos( p)= 1 = e i Die explizite Formel von Binet wird zu: a n = 1 1 n n ( + 1 )= 1 ( ein + e in )= cos n 3.. p > 1 Hier ist: Weiter ist: ln( 1 )= ln p + p 1 1 = p + ( p 1) 1 > 0 1 = Formelsammlung Die explizite Formel von Binet wird zu: a n = 1 1 n n ( + 1 )= 1 en ln ( 1) + e n ln( 1 ) arcosh( p)= = 1 en + e n = cosh n