Modul 20: Binomialverteilung!
Kurzzug durch die Kombinatorik 2
Kurzzug durch die Kombinatorik # Wörter mit {A, M, O}? 3
Kurzzug durch die Kombinatorik # Wörter mit {A, M, O}? A.. M.. O.. 3 4
Kurzzug durch die Kombinatorik # Wörter mit {A, M, O}? A.. AM. AO. M.. O.. 3
Kurzzug durch die Kombinatorik # Wörter mit {A, M, O}? A.. M.. O.. AM. AO. MA. MO. OA. OM. 3 * 2
Kurzzug durch die Kombinatorik # Wörter mit {A, M, O}? A.. M.. O.. AM. AO. MA. MO. OA. OM. AMO AOM MAO MOA OAM OMA 3 * 2 * = 3! = 7
Kurzzug durch die Kombinatorik n Elemente können auf n! Arten in eine Reihenfolge gebracht werden. Es gibt n! Permutationen von n Elementen 8
9 Kurzzug durch die Kombinatorik 2432902008740000 20 328800 0 2400408832000 9 32880 9 40237370728000 8 40320 8 38742809000 7 040 7 20922789888000 720 3077438000 20 877829200 4 24 4 227020800 3 3 4790000 2 2 2 399800 328800 0 0 n! n n! n
0 Kurzzug durch die Kombinatorik 2432902008740000 20 328800 0 2400408832000 9 32880 9 40237370728000 8 40320 8 38742809000 7 040 7 20922789888000 720 3077438000 20 877829200 4 24 4 227020800 3 3 4790000 2 2 2 399800 328800 0 0 n! n n! n Tabelle Seite
Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen.
Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen. 4 2
Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen. 4 3 3
Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen. 4 3 4 3 = 4 3 2 2 =! )! = 20 2 = 0 2! =! 3 4
Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen. 4 3 4 3 = 4 3 2 2 =! )! = 20 2 = 0 2! =! 3
Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen. 4 3 4 3 = 4 3 2 2 =! )! = 20 2 = 0 2! =! 3
Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen. 4 3 4 3 = 4 3 2 2 =! )! = 20 2 = 0 2! =! 3 7
Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen. 4 3 4 3 = 4 3 2 2 =! )! = 20 2 = 0 2! =! 3 8
Wer die Wahl hat, hat die Qual Auswählen und anordnen k Plätze... n n n k + Auswählen und anordnen # Möglichkeiten n n ) n k + ) = n! n k)! 9
Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen. 4 3 4 3 = 4 3 2 2 =! )! = 20 2 = 0 2! =! 3 Es gibt 3! = Anordnungsmöglichkeiten. 20
Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen. 4 3 4 3 = 4 3 2 2 =! )! = 20 2 = 0 2! =! 3 Es gibt 3! = Anordnungsmöglichkeiten. Verzicht auf Ordnung: Durch 3!= dividieren 0 Auswahlmöglichkeiten 2
Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} ohne anordnen. 4 3 2 3 = 4 3 2 2 3 2 =! 3! 2! =! 3! 3 )! = 20 2 = 0 Es gibt 3! = Anordnungsmöglichkeiten. Verzicht auf Ordnung: Durch 3!= dividieren 0 Auswahlmöglichkeiten 22
Wer die Wahl hat, hat die Qual Aus n deren k auswählen: n n ) n k+ 2 k ) = n! k! n k)! n ) k = n! n k )! k! = n! k! n k)! " n tief k " " n choose k " 23
n ) k = n! n k )! k! = n! k! n k)! Tabelle Seite 2 n \ k 0 2 3 4 0 2 2 3 3 3 4 4 4 0 0 20 ) 3 = 0 24
n ) k = n! n k )! k! = n! k! n k)! Binomische Formel a + b) 0 = a + b) =a +b a + b) 2 =a 2 + 2ab +b 2 a + b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +b 3 a + b) 4 =a 4 + 4a 3 b + a 2 b 2 + 4ab 3 +b 4 a + b) =a + a 4 b +0a 3 b 2 +0a 2 b 3 + ab 4 +b a + b) =a + a b +a 4 b 2 + 20a 3 b 3 +a 2 b 4 + ab +b a + b) n = k n n )a n k b k k=0 2
n ) k = n! n k )! k! = n! k! n k)! Binomische Formel a + b) 0 = a + b) =a +b a + b) 2 =a 2 + 2ab +b 2 a + b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +b 3 a + b) 4 =a 4 + 4a 3 b + a 2 b 2 + 4ab 3 +b 4 a + b) =a + a 4 b +0a 3 b 2 +0a 2 b 3 + ab 4 +b a + b) =a + a b +a 4 b 2 + 20a 3 b 3 +a 2 b 4 + ab +b a + b) n = k n n )a n k b k k=0 2
n ) k = n! n k )! k! = n! k! n k)! Binomische Formel a + b) 0 = a + b) =a +b a + b) 2 =a 2 + 2ab +b 2 a + b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +b 3 a + b) 4 =a 4 + 4a 3 b + a 2 b 2 + 4ab 3 +b 4 a + b) =a + a 4 b +0a 3 b 2 +0a 2 b 3 + ab 4 +b a + b) =a + a b +a 4 b 2 + 20a 3 b 3 +a 2 b 4 + ab +b a + b) n = k n n )a n k b k k=0 27
n ) k = n! n k )! k! = n! k! n k)! Pascalsches Dreieck 2 3 3 4 4 0 0 Blaise Pascal, 23-2 20 28
Kopf oder Zahl Erfolg oder Misserfolg Mädchen oder Knabe To be or not to be oder 0 Er liebt mich / liebt mich nicht 29
Genau zwei möglichen Ausgänge: Bernoulli-Experiment 30
Jacob Bernoulli, - 70 3
Original in der Aula des Museums der Kulturen Jacob Bernoulli, - 70 32
Bernoulli Nicolaus 23-708 Jacob I 4-70 Nicolaus 2-7 Johann I 7-748 Nicolaus I 87-79 Nicolaus II 9-72 Daniel 700-782 Johann II 70-790 Johann III 744-807 Jacob II 79-789 33
Genau zwei möglichen Ausgänge: Bernoulli-Experiment Beispiel: Würfelwurf: Fünf oder nicht fünf 34
Genau zwei möglichen Ausgänge: Bernoulli-Experiment Beispiel: Würfelwurf: Fünf oder nicht fünf p = P Erfolg) = 3
Bernoulli-Kette: Folge von gleichen Bernoulli-Experimenten. 3
Beispiel: Wir werfen einen Würfel vier Mal hintereinander. Erfolg ist jeweils die Augenzahl fünf. p = P Erfolg) = 37
Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg 38
Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg 39
Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg 40
Binärer Baum ) 4 Vier mal Erfolg Erfolg Start Misserfolg 4
Binärer Baum ) 4 ) 3 Drei mal Erfolg, ein Misserfolg Erfolg Start Misserfolg 42
Binärer Baum ) 4 3 ) 3 Erfolg ) 3 Start ) 3 Misserfolg 43
Binärer Baum Erfolg ) 4 3 ) 3 ) 2 ) 2 ) 3 Start ) 3 Misserfolg 44
Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg ) 4 3 ) 3 ) 2 ) 2 ) 3 2 2 ) 2 ) 2 ) 3 2 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 4
Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg ) 4 3 ) 3 ) 2 ) 2 ) 3 2 2 ) 2 ) 2 ) 3 2 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 3 4
Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg ) 4 3 ) 3 ) 2 ) 2 ) 3 2 2 ) 2 ) 2 ) 3 2 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 47
Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg ) 4 3 ) 3 ) 2 ) 2 ) 3 2 2 ) 2 ) 2 ) 3 2 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 4 48
Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg ) 4 3 ) 3 ) 2 ) 2 ) 3 2 2 ) 2 ) 2 ) 3 2 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 4 Verteilung: 4 4 49
Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg 0.00077 0.0038 0.0038 0.0929 0.0038 0.0929 0.0929 0.094 0.0038 0.0929 0.0929 0.094 0.0929 0.094 0.094 0.4822 Verteilung: 4 4 0
k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) 0 2 3 4
k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) 0 4 2 3 4 4 2
k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) 0 ) 4 4 2 3 4 4 3
k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) 0 2 4 4 ) 4 ) 3 ) 2 ) 2 3 4 4 4 ) 3 ) 4 4
Binomialverteilung P 4 k) = 4 ) k ) k ) 4 k
Binomialverteilung P 4 k) = 4 ) k ) k ) 4 k Anzahl Versuche
Binomialverteilung Anzahl Erfolge P 4 k) = 4 ) k ) k ) 4 k Anzahl Versuche 7
Binomialverteilung Anzahl Erfolge P 4 k) = 4 ) k ) k ) 4 k Anzahl Versuche Binomialkoeffizient 8
Binomialverteilung Anzahl Erfolge Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch P 4 k) = 4 ) k ) k ) 4 k Anzahl Versuche Binomialkoeffizient 9
Binomialverteilung Anzahl Erfolge Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch P 4 k) = 4 ) k ) k ) 4 k Anzahl Versuche Binomialkoeffizient Misserfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch 0
k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) 0 2 4 4 ) 4 ) 3 ) 2 ) 2 3 4 4 4 ) 3 ) 4
k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) 0 2 4 4 ) 4 0.4822 ) 3 0.3880 ) 2 ) 2 0.74 3 4 4 ) 3 0.043 4 ) 4 0.00077 2
k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) Tabelle Seite 4 0 ) 4 0.4822 0.482 4 4 ) 3 0.3880 0.38 2 ) 2 ) 2 0.74 0. 3 4 4 ) 3 0.043 0.0 4 ) 4 0.00077 0.00 3
k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) 0 2 4 4 ) 4 0.4822 ) 3 0.3880 ) 2 ) 2 0.74 3 4 4 ) 3 0.043 4 ) 4 0.00077 Summe 0.99999 4
k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) 0 2 4 4 ) 4 0.4822 ) 3 0.3880 ) 2 ) 2 0.74 3 4 4 ) 3 0.043 4 ) 4 0.00077 Summe =
P 4 k) Histogramm 0.482 0. p = 0.38 0.4 0. 0.3 0.2 0.0 0. 0.00 0 0 2 3 4 k = # Fünfer
P 4 k) Histogramm 0.482 0. p = 0.38 0.4 0. 0.3 0.2 0.0 0. 0.00 0 0 2 3 4 k = # Fünfer 7
P 4 k) Histogramm 0.482 0. p = 0.38 0.4 0. 0.3 0.2 0.0 0. 0.00 0 0 2 3 4 k = # Fünfer 8
P 4 k) Histogramm 0.482 0. p = 0.38 0.4 0. 0.3 0.2 0.0 0. 0.00 0 0 2 3 4 k = # Fünfer 9
0.482 Histogramm Simulation mit 000 Viererwürfen 0.38 0. 0.0 Anteile: Null Fünfer: 0.497 Ein Fünfer: 0.37400 Zwei Fünfer: 0.47 Drei Fünfer: 0.0883 Vier Fünfer: 0.00083 0.00 70
Binomialverteilung allgemein 7
Binomialverteilung Anzahl Erfolge Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch P n k) = n ) k p k q n k Anzahl Versuche Binomialkoeffizient Misserfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch q = p 72
Beispiel Münzenwurf. Erfolg = Kopf. n = 4. p = q = 2 73
Beispiel Tabelle Seite 4 Münzenwurf. Erfolg = Kopf. n = 4. p = q = 2 n 4 4 4 4 4 p k 0 2 3 4 0. 0.03 0.20 0.37 0.20 0.03 74
P 4 k) 0.4 p = q = 2 0.3 0.2 0. 0 0 2 3 4 k = # Köpfe 7
P 4 k) 0.4 p = q = 2 0.3 0.2 0. 0 0 2 3 4 k = # Köpfe 7
Summative Binomialverteilung: Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben wir höchstens x Erfolge auf n Versuche? 77
Summative Binomialverteilung: Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben wir höchstens x Erfolge auf n Versuche? P n k x) = P n 0) + P n ) + + P n x x k =0 ) = P n k) 78
Eine Münze wird 8-mal geworfen. n = 8, p = q = 2 P - mal Kopf) = P 8 ) = P höchstens - mal Kopf ) = P 8 k ) = P mindestens - mal Kopf) = P 8 k ) = P 8 3 k ) = 79
Eine Münze wird 8-mal geworfen. n = 8, p = q = 2 P - mal Kopf) = P 8 ) = 0.29 nicht summativ!) Tabelle Seite P höchstens - mal Kopf ) = P 8 k ) = P mindestens - mal Kopf) = P 8 k ) = P 8 3 k ) = 80
Eine Münze wird 8-mal geworfen. n = 8, p = q = 2 P - mal Kopf) = P 8 ) = 0.29 nicht summativ!) Tabelle Seite P höchstens - mal Kopf ) = P 8 k ) = 0.8 summativ) Tabelle Seite 8 P mindestens - mal Kopf) = P 8 k ) = P 8 3 k ) = 8
Eine Münze wird 8-mal geworfen. n = 8, p = q = 2 P - mal Kopf) = P 8 ) = 0.29 nicht summativ!) Tabelle Seite P höchstens - mal Kopf ) = P 8 k ) = 0.8 summativ) Tabelle Seite 8 P mindestens - mal Kopf) = P 8 k ) = - 0.37 = 0.33 P 8 3 k ) = 82
Eine Münze wird 8-mal geworfen. n = 8, p = q = 2 P - mal Kopf) = P 8 ) = 0.29 nicht summativ!) Tabelle Seite P höchstens - mal Kopf ) = P 8 k ) = 0.8 summativ) Tabelle Seite 8 P mindestens - mal Kopf) = P 8 k ) = - 0.37 = 0.33 P 8 3 k ) = 0.8-0.4 = 0.70 83
Ein Würfel wird -mal geworfen. Erfolg ist das Werfen der Augenzahl. n =, p = P 4 - mal Augenzahl fünf) = P 4) = P mindestens 3 - mal Augenzahl fünf) = P 3 k) = P 2 k ) = 84
Ein Würfel wird -mal geworfen. Erfolg ist das Werfen der Augenzahl. n =, p = P 4 - mal Augenzahl fünf) = P 4) = 0.42 Tabelle Seite P mindestens 3 - mal Augenzahl fünf) = P 3 k) = P 2 k ) = 8
Ein Würfel wird -mal geworfen. Erfolg ist das Werfen der Augenzahl. n =, p = P 4 - mal Augenzahl fünf) = P 4) = 0.42 Tabelle Seite P mindestens 3 - mal Augenzahl fünf) = P 3 k) = 0.48 Tabelle Seite 9, umrechnen P 2 k ) = 8
Ein Würfel wird -mal geworfen. Erfolg ist das Werfen der Augenzahl. n =, p = P 4 - mal Augenzahl fünf) = P 4) = 0.42 Tabelle Seite P mindestens 3 - mal Augenzahl fünf) = P 3 k) = 0.48 Tabelle Seite 9, umrechnen P 2 k ) = 0.973-0.20 = 0.73 Tabelle Seite 9 87
Glücksrad mit Problem p = P = 3 4 Nicht in Tabelle 88
Erfolg und Misserfolg uminterpretieren 89
Erwartungswert und Varianz 90
X i = Anzahl Erfolge beim i-ten Versuch x 0 w i x) q p 9
X i = Anzahl Erfolge beim i-ten Versuch x 0 w i x) q p E X i ) = 0 q + p = p 92
Varianz x p) 2 0 p) 2 p) 2 w i x) q p 93
Varianz x p) 2 0 p) 2 p) 2 w i x) q p Var X i ) = q 0 p ) 2 + p p )2 =q ) = p 2 q + pq 2 = pq p + q = pq = 94
Varianz x p) 2 0 p) 2 p) 2 w i x) q p Var X i ) = q 0 p ) 2 + p p )2 =q ) = p 2 q + pq 2 = pq p + q = pq = 9
Nun sei X die Anzahl Erfolge bei n Versuchen ) = np ) = npq ) = npq E X Var X σ X 9
Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ = n = 00 µ = σ = n = 0000 µ = σ = 97
Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ = n = 00 µ = σ = n = 0000 µ = σ = 98
Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ =.8 n = 00 µ = σ = n = 0000 µ = σ = 99
Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ =.8 n = 00 µ = 0 σ = n = 0000 µ = σ = 00
Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ =.8 n = 00 µ = 0 σ = n = 0000 µ = σ = 0
Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ =.8 n = 00 µ = 0 σ = n = 0000 µ = 000 σ = 02
Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ =.8 n = 00 µ = 0 σ = n = 0000 µ = 000 σ = 0 03
Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ =.8 n = 00 µ = 0 σ = n = 0000 µ = 000 σ = 0 Die Streuung wird relativ immer kleiner 04