3 Bilinearform, Basen und Matrizen

Lineare Algebra II 2. Oktober 2013 Mitschrift der Vorlesung Lineare Algebra II im SS 2013 bei Prof. Peter Littelmann von Dario Antweiler an der Universität zu Köln. Kann Fehler enthalten. Veröentlicht unter (CC BY-NC-SA 3.0 DE) Teil I Vorbemerkungen Teil II Bilinearformen 1 Direkte Summen 2.1.1 Der Vektorraum U V bzw. U V wird die direkte Summe von U und V genannt. 2.1.2 Seien U, V W Unterräume. Man sagt W ist die direkte Summe von U, V, falls die kanonische Abbildung U V W, (u, v) u + v ein Isomorphismus ist. Lemma 2.1.1 Seien U, V W Unterräume, dann gilt W = U V ( U, V K = W ) (U V = 0). 2 Biliniearform Sei V ein Vektorraum über K. Eine Bilinearform ist eine Abbildung, : V V K, (v, v ) v, v mit der Eigenschaft, dass, biliniear ist, d.h. λ K und alle v, v 1, v 2, v, v 1, v 2 V gilt: v 1 + v 2, v = v 1 v + v 2 v v 1, v 1 + v 2 = v, v 1 + v, v 2 λv, v = v, λv = λ v, v Man nennt die Bilinearform 1

symmetrisch, falls v, v V : v, v = v, v schiefsymmetrisch, falls v V : v, v = 0. Ist, schiefsymmetrisch, so gilt wegen der Bilinearität v, v V : v, v = v, v. 3 Bilinearform, Basen und Matrizen Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über K versehen mit einer Bilinearform, : V V K. Ist B = {b 1,..., b n } eine Basis von V, dann kann man der Bilinearform eine quadratische Matrix zuordnen: A, = (a i,j ) mit a i,j = b i, b j genannt die Matrix der Bilinearform bezüglich der Basis B. Sei v = n i=1 x ib i und w = n i=1 y ib i, dann gilt: n n n v, w = x i b i, y i b i = x i y i b i, b j = Lemma 2.3.1 i=1 i=1 i,j=1 v, w = v t B A, w B. Die Zuordnung, A, ist bijektiv. n x i y i a i,j = vba t, w B i,j=1 Satz 2.3.1 Sei, eine Bilinearform, sei C, A die Matrix von, bezüglich A, CB, die Matrix bezüglich B. Dann gilt ( ) T B t A C A, TA B = C, B 4 Symmetrische Bilinearformen Im Folgenden sei K ein Körper der Charakteristik 0, z.b. C, R oder Q, und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und sei, eine symmetrische Bilinearform auf V V. Das Radikal von, ist deniert als V = {v V v, V = 0} = {v V v, w = 0 w V } Man nennt, nicht ausgeartet, falls V = 0. Satz 2.4.1 Sei B = {b 1,..., b n } eine Basis von V und A die zugehörige Matrix von,. Dann gilt: V ist der Unterraum der Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0, ist nicht ausgeartet det A 0 v V heiÿt isotrop bzgl.,, falls v, v = 0 und anisotrop bzgl.,, falls v, v 0. Sei W V ein Unterraum. Dann heiÿt das orthogonale Komplement von W bzgl.,. W = {v V v, w = 0 w W } 2

Satz 2.4.2 Für jede direkte Summenzerlegung V = V U ist die Einschränkung von, auf U nicht ausgeartet. Satz 2.4.3, nicht ausgeartet ein anisotroper Vektor Sei w V anisotrop, W = K w. Dann ist V = W W und wenn, nicht ausgeartet auf V, W =, W nicht ausgeartet. Satz 2.4.4 Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und, eine symmetrische Bilinearform auf V. Dann besitzt V eine Basis B, sodass die Matrix A von, bzgl. B folgende Gestalt hat: λ 1... A = λ r, mit n r = dim V. 0 B heiÿt dann Orthogonalbasis von,. Korollar 2.4.1 Sei A eine symmetrische Matrix, dann g GL n, sodass t gag in Diagonalgestalt ist. Bemerkung Eine Basis von V mit i j : b i, b j = 0 nennt man Orthogonalbasis. Theorem 2.5.1 (Trägheitssatz von Sylvester) Sei V ein reeller Vektorraum mit dim V = n und, eine symmetrische Bilinearform. Dann eine Basis B von V mit der Eigenschaft 1 C, B = 1, (p 1, q 1, s 0) 0 wobei die Zahlen p, q, s unabhängig von der Wahl von B sind. 2.6.1 Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum V ist eine symmetrische, positiv denite Bilinearform. Satz 2.6.1 Die folgenden Aussagen sind äquivalent: A ist eine symmetrische, positiv denite Matrix A repräsentiert das Standardskalarprodukt bzgl. einer geeigneten Basis, d.h. g GL n (R) mit t gag = I Die Signatur der symmetrischen Matrix A ist (n, 0) g GL n (R) mit A = t gg 3

Sei, eine symmetrische Biliniearform auf einem reellen, endlich dimensionalen Vektorraum. Eine Orthonormalbasis zu, ist eine Basis B = {b 1,..., b n }, sodass gilt Sei A eine symmetrische, reelle Matrix. b i, b j = 0 i j b i, b i = 1 i = 1,..., n Eine Orthonormalbasis zu A ist eine Basis B = {b 1,..., b n }, sodass gilt t b i Ab j = b i, b j = 0 t b i Ab i = b i, b i = 1 i j i = 1,..., n Korollar 2.6.1, hat eine Orthonormalbasis, positiv denit A hat eine Orthonormalbasis A positiv denit Theorem 2.6.1 Sei ( A eine ) symmetrische Matrix. Dann gilt: A ist positiv denit det A i > 0 i = 1,..., n, wobei Ai, d.h. alle Hauptminoren sind positiv. 2.7.1 Eine hemitesche Form auf V ist eine Funktion, : V V C mit den Eigenschaften: v, w + w = v, w + v, w und v, λw = λ v, w (linear im 2. Argument) v + v, w = v, w + v, w und λv, w = λ v, w (sesquilinear im 1. Argument) v, w V : v, w = w, v Man nennt eine komplexe Matrix A M n,n (C) hermitesch, falls t A = A. Lemma 2.7.1 V komplexer Vektorraum, dim V = n, B = {b 1,..., b n } fest gewählte Basis. Dann ist die Abbildung bijektiv. (hermitesche Formen auf V ) (hermitesche n n Matrizen),, H B, Lemma 2.7.2 Ist A eine zweite Basis von V, dann gilt H A, = t T A B HB, T A B v V heiÿt isotrop, falls v, v = 0, sonst heiÿt v anisotrop. 4

Lemma 2.7.3 V komplexer Vektorraum, dim V = n,, hermitesche Form. Dann gibt es eine Orthogonalbasis B, sodass 1 H, B = 1, (p 1, q 1, s 0) 0 wobei die Zahlen p, q, s unabhängig von der Wahl von B sind. Theorem 2.7.1 Sei V ein komplexer Vektorraum, dim V = n und, eine hermitesche Form. Sei B eine Basis von V und sei A die zugehörige Basismatrix. Dann sind äquivalent: A (bzw., ) ist positiv denit A repräsentiert die standard hermitesche Form auf dem C n bzgl. einer geeigneten Basis g GL n (C) : A = t gg Alle Hauptminoren sind positiv A hat eine Orthonormalbasis 5

Teil III Die orthogonale und die unitäre Gruppe Orthogonale und unitäre Endomorphismen Lemma 3.1.1 g M n (C) ist unitär v, w C n : v, w = gv, gw Lemma 3.1.2 g M n (C) ist unitär Spalten von g bilden eine Orthonormalbasis zur standard hermiteschen Form. Lemma 3.1.3 g M n (R). Dann gilt: g orthogonal gv, gw = v, w g M n (R) ist orthogonal Spalten von g bilden eine Orthonormalbasis. 3.1.2 Sei V ein endlichdimensional Vektorraum. g End (V ) heiÿt unitär, falls v, w V : φ (v), φ (w) = v, w. Lemma 3.1.4 komplexer Fall: V endlichdimensionaler Vektorraum über C,, positiv denite Form, B = {v 1,..., v n } Orthonormalbasis. Sei φ End (V ). Dann gilt φ unitär M B (φ) unitär reeller Fall: V endlichdimensionaler Vektorraum über R,, Skalarprodukt, B = {v 1,..., v n } Orthonormalbasis. Sei φ End (V ). Dann gilt φ unitär M B (φ) orthogonal Die Gruppen O n (R) und U n (C) O n (R) = { g GL n (R) t gg = I } heiÿt die orthogonale Gruppe. U n (R) = { g GL n (C) t gg = I } heiÿt die unitäre Gruppe. Lemma 3.2.1 O n ist eine Untergruppe der GL n (R) U n ist eine Untergruppe der GL n (C) 6

Orthogonales Komplement und direkte Summen Lemma 3.4.1 Sei U = {v V U, v = 0}, dann gilt V = U U Sei φ O (V ) eine orthogonale lineare Abbildung bzgl., : φ (U) = U φ ( U ) = U Sei φ O (V ) mit φ (U) = U. B 1 Orthonormalbasis von U, B 2 Orthonormalbasis von U, B := B 1 B 2. Dann ist ( ) MB1 (φ M B (φ) = U ) 0 0 M B2 (φ U ) Lemma 3.4.2 W = {v V W, v = 0} ist ein Untervektorraum von V = W W φ unitär: φ (W ) = W φ ( W ) = W B 1 Orthonormalbasis von W, B 2 Orthonormalbasis von W, B := B 1 B 2. Dann ist ( ) MB1 (φ) 0 M B (φ) = 0 M B2 (φ) Determinante, Eigenwerte und Eigenvektoren Lemma 3.5.1 g O n oder g U n det g = 1 3.5.1 SO n = {g O n det g = 1}, SU n = {g U n det g = 1} 3.5.2 Sei V ein reeller Vektorraum, dim V = n und, das Standardskalarprodukt. SO (V ) := {φ O (V ) det φ = 1} Sei V ein komplexer Vektorraum, dim V = n und, eine postiv denite hermitesche Form. SU (V ) := {φ U (V ) det φ = 1} Lemma 3.5.2 Sei g U n oder g O n, sei λ ein Eigenwert von g. Dann gilt λ = 1. Lemma 3.5.3 Seien λ 1 λ 2 Eigenwerte von g O n bzw. g U n und v 1, v 2 die Eigenvektoren von g zu λ 1, λ 2. Dann gilt v 1, v 2 = 0. Satz 3.5.1 Jede unitäre Matrix ist diagonalisierbar. (g U n h U n mit h 1 gh = t hgh in Diagonalgestalt) Sei φ U (V ), dann Orthonormalbasis B mit M B (φ) in Diagonalgestalt 7

Drehungen & Spiegelungen Satz 3.7.1 Zu jeder orthogonalen Abbildung φ O (V ) gibt es eine Orthonormalbasis B mit 1 ( ) M B (φ) = 1 cos α sin α, wobei X := sin α cos α X g O n h O n mit h 1 gh ist von der obigen Form Korollar 3.7.1 Jede orthogonale Abbildung ist ein Produkt von Drehungen und Spiegelungen. Euklidische und unitäre Vektorräume Ein reeller Vektorraum V mit dim V = n und einem Skalarprodukt wird ein euklidischer Vektorraum genannt. Ein komplexer Vektorraum V mit dim V = n und einer positiv deniten Form wird ein unitärer Vektorraum genannt. Lemma 3.8.1 Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum mit dim V ( x, x = x, y = y, y ) x = y = n. Seien x, y V. Dann gilt Satz 3.8.1 Seien V, W euklidische oder unitäre Vektorräume mit dim V = n und dim W = m und sei φ : V W eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass φ die Formen respektiert: v, v V : v, v V = φ (v), φ (v ) W. Dann ist φ linear und wenn V = W, dann gilt φ O (V ) bzw. φ U (V ). Orthonormalbasen Deniere v := v, v als die Länge von v. Lemma 3.9.1 (Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren) Sei A = {v 1,..., v n } eine Basis von einem euklidischen oder unitären Vektorraum V. Dann istb = {b 1,..., b n } mit v b 1 = 1 eine Orthonormalbasis von V. b 2 = b n = v 1 v 2 b 1,v 2 b 1 v 2 b 1,v 2 b 1 v n 1 n j=1 bj,vn bj v n 1 n bj,vn bj j=1 Korollar 3.9.1 (Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen) Sei B 1 = {v 1,..., v r } eine linear unabhängige Teilmenge eines euklidischen oder unitären Vektorraums V mit dim V = n. Dann gibt es eine Orthonormalbasis B mit B = {v 1,..., v r, v r+1,...v n }. 8

Lemma 3.9.2 Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum mit dim V = n, sei B = {b 1,..., b n } Orthonormalbasis von V und sei v V. Dann gilt: n v = b 1, v b i Lemma 4.9.2 Sei B eine Orthonormalbasis. Dann respektiert die Formen, d.h. i=1 p B : V C n, v = Lemma 4.9.3 (Basiswechselmatrix) n a i v i i=1 a 1. a n v, v V : v, v V = p B (v), p B (v ) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum, B = {v 1,..., v n } eine Orthonormalbasis von V und sei A = {w 1,..., w n } eine weitere Basis. Sei TB A die Basiswechselmatrix. Dann gilt: A ist Orthonormalbasis T A B Dualraum und Bilinearformen V ist der duale Vektorraum Hom (V, K). ist orthogonal bzw. unitär Sei B = {b 1,.., b n } Basis von V. Die Menge B = {b 1,..., b n} mit { b i : V K, b 1 für i = j i (b j ) = 0 für i j nennt man die duale Basis von V zu B. Lemma 3.10.1 B ist eine Basis von V. Lemma 3.10.2 Seien V, W Vektorräume mit dim V = n und dim W = m, sei B = {v 1,.., v n } eine Basis von V, B = {w 1,..., w m } eine Basis von W und seien B und B die dualen Basen. Sei φ Hom (V, K). Dann gilt t MB B B (φ) = MB (φ) Lemma 3.10.3 Die Abbildungen und sind bijektiv und invers zueinander. Hom (V, V ) Bilinearformen auf V φ, φ Bilinearformen auf V Hom (V, V ), φ, 9

Lemma 3.10.4 Sei, eine Bilinearform auf V und B eine Basis von V. Dann gilt M B B ( φ, ) = MB (, φ ) Korollar 3.10.1 Sei, eine symmetrische Bilinearform. Dann gilt:, nicht ausgeartet φ, Isomorphismus Korollar 3.10.2 Sei V ein euklidischer Vektorraum und, ein Skalarprodukt. Dann deniert einen Isomorphismus. : V V v v : V R v v, v Satz 3.10.1 Sei V ein unitärer Vektorraum und, eine positiv denite hermitesche Form. Dann deniert : V V v v : V C v v, v einen semilinearen Isomorphismus, d.h. v 1 + v 2 = v 1 + v 2 und λv = λ v. Adjungierter Endomorphismus Sei φ End (V ) und V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Wir denieren als den adjungierten Endomorphismus von φ. φ a : V V φ V 1 V Satz 3.11.2 φ a ist die eindeutig bestimme lineare Abbildung mit φ (v), v = v, φ a (v ) Satz 3.11.3 Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum,, eine Form, B eine Orthonormalbasis von V und φ End (V ). Dann gilt: M B (φ) T = M B (φ a ) Selbstadjungierte und normale Endomorphismen 3.12.1 φ End (V ) heiÿt selbstadjungiert, falls φ a = φ. 10

3.12.2 φ End (V ) heiÿt normal, falls φ φ a = φ a φ. Korollar 3.12.1 φ selbstadjungiert φ normal. Lemma 3.12.1 φ End (V ) normal v V : φ (v), φ (v ) = φ a (v), φ a (v ). Satz 3.12.1 Sei φ End (V ) und A = M B (φ). Dann gilt: A a = A selbstadjungiert A hermitesch bzw. symmetrisch φ normal A T A = AA T Man nennt A M n (R oder C) normal, falls A T A = AA T. Bemerkung A hermitesch/symmetrisch A normal. Hermitesche und normale Matrizen Satz 3.13.1 Sei V ein unitärer Vektorraum. Dann gilt: φ selbstadjungiert Orthonormalbasis B mit M B (φ) ist Diagonalmatrix φ normal Orthonormalbasis B mit M B (φ) ist Diagonalmatrix Korollar 3.13.1 Sei A M n (C). Dann gilt: A normal g U n (C) mit gag 1 ist Diagonalmatrix Korollar 3.13.2 Sei A eine hermitesche Matrix mit Signatur (p, q). Dann ist A diagonalisierbar mit einer unitären Matrix, alle Eigenwerte sind reell und die Matrix hat p positive und q negative Eigenwerte. Lemma 3.13.1 Sei φ normal und sei V λ φ = {v V φ (v) = λv} für λ C. Dann gilt: V λ φ = V λ φ a V λ φ V µ φ, λ µ 11

Lemma 3.13.2 V = Vφ λ. λ C Satz φ symmetrisch Orthonormalbasis B mit M B (φ) ist Diagonalmatrix A symmetrische Matrix, (p, q) = Signatur von A. Dann g O n (R) mit gag 1 ist Diagonalmatrix und die Matrix hat p positive und q negative Eigenwerte Satz 3.14.1 φ End (V ) ist normal Orthonormalbasis B von V mit M B (φ) ist in verallgemeinerter Diagonalform. Korollar 3.14.1 A M n (R): A ist normal g O n mit g 1 Ag ist in verallgemeinerter Diagonalform. Lemma 3.14.1 Sei V ein euklidischer Vektorraum und, ein Skalarprodukt. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte positiv denite hermitesche Form, C auf V C mit v, w V : v, w C = v, w. 12

Teil IV Moduln & Euklidische Ringe Ringe & Moduln 4.1.1 Sei R ein kommutativer Ring mit 1 0. Ein Modul M ist eine abelsche Gruppe (M, +), sodass n, m M und r, s R zusammen mit einer Abbildung R M M, (r, m) r m gilt: 1. 1 m = m 2. (r s) m = r (s m) 3. (r + s) m = rm + sm 4. r (m + n) = rm + rn 4.1.2 Sei M ein R-Modul. Eine Teilmenge {m j } j J M heiÿt Erzeugendensystem, falls sich jedes Element in M als eine Linearkombination über R mit Elementen aus {m j } j J schreiben lässt. M heiÿt endlich erzeugt, falls es ein endliches Erzeugendensystem gibt. Eine Teilmenge {m j } j J heiÿt linear unabhängig, falls r i1 m i1 +... + r it m it r i1 =... = r it = 0. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Ein Modul heiÿt frei, falls er eine Basis besitzt. Satz 4.1.1 Seien M.M R-Moduln und sei φ : M M eine lineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutige lineare Abbildung φ : M /Kerφ Imφ bestimmt durch die Eigenschaft φ (m) = φ (m) mit φ Isomorphismus. 4.1.3 Ein R-Modul heiÿt zyklisch, falls m M : {rm r R} = M. Lemma 4.1.1 Jeder zyklischer R-Modul ist isomorph zu R /I für ein Ideal I R. Lemma 4.1.2 Die Abbildung ist ein Isomorphismus von R-Moduln. Satz 4.1.2 φ : M R p m = r 1 m 1 +... + r p m p Sei M ein endlich erzeugter, freier Modul. Dann hat jede Basis die gleiche Anzahl von Elementen, genannt der Rang von M. r 1. r p 13

Direkte Summen von Moduln 4.1.4 Seien M 1,..., M t R-Moduln. Unter der direkten Summe M 1... M t versteht man die Menge aller Tupel {(m 1,..., m t ) m 1 M 1,..., m t M t } mit der Addition (m 1,..., m t ) + (n 1,..., n t ) = (m 1 + n 1,..., m t + n t ) und der Abbildung R (M 1... M t ) M 1... M t (r, (m 1,..., m t )) (r m 1,..., r m t ) 4.1.5 Seien M 1,..., M t M Untermoduln. Man sagt M ist die direkte Summe der M i und schreibt M = M 1... M t, falls M 1... M t M (m 1,..., m t ) m 1 +... + m t ein Isomorphismus ist. 4.1.6 R heiÿt Integritätsbereich, falls R keine Nullteiler hat, d.h. r 1 r 2 = 0 r 1 = 0 r 2 = 0. Lemma 4.1.3 Sei R Integritätsbereich, betrachte R als Modul über sich selbst. Dann ist R unzerlegbar. 4.2.1 Sei R Integritätsbereich. Eine Gröÿenfunktion oder Betragsfunktion auf R \ {0} ist eine Abbildung S : R \ {0} N Ein Integritätsbereich mit Gröÿenfunktion heiÿt euklidischer Ring, falls es einen Divisionsalgorithmus gibt mit a, b R, a 0 : q, r R mit a = qb + r wobei entweder r = 0 oder r 0 mit S (r) < S (b). Satz 4.2.1 Ein euklidischer Ring ist ein Hauptidealring, d.h. I Ideal in R gibt es ein f I mit I = {rf r R}. 14