Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 2: Vektoren Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 19. Oktober 2011) Vektoren in R n Definition 2.1 Die Menge aller n-tupel von reellen Zahlen (Vektoren) bezeichnen wir mit R n.schreibweisen: x = (x 1, x 2,..., x n ) R n (Zeilenvektor) x 1 x = x 2. Rn (Spaltenvektor) x n Die i-te Komponente von x = (x 1, x 2,..., x n ) ist x i.für x = (x 1,..., x n ) und y = (y 1,..., y n ) R n gilt x = y genau dann, wenn (x 1 = y 1 und x 2 = y 2 und und x n = y n ) ist. 2

Vektoraddition und skalare Multiplikation 3 Definition 2.2 Für x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n und λ R definieren wir: x + y := (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) (Vektoraddition) λx := (λx 1, λx 2,..., λx n ) (skalare Multiplikation) ( Skalar heißt Zahl, im Gegensatz zu Vektor.) Nullvektor und Subtraktion Definition 2.3 Der Nullvektor in R n ist 4 O n := O := (0, 0,..., 0) R }{{} n n Definition 2.4 Für x R n definieren wir x := ( 1)x. Und für x, y R n setzen wir x y := x + ( y).

Rechenregeln... 5 Für alle x, y, z R n und λ, µ R gelten die folgenden Regeln: x + y = y + x (Kommutativität der Vektoraddition) x + (y + z) = (x + y) + z (Assoziativität der Vektoraddition) x + O = x (O ist neutrales Element der Vektoraddition) x + ( x) = O (inverses Element der Vektoraddition)... Rechenregeln 6 1 x = x (1 ist neutrales Element der skalaren Multipl.) λ(µx) = (λµ)x (Assoziativität der skalaren Multiplikation) λ(x + y) = λx + λy (Distributivität) (λ + µ)x = λx + µx (Distributivität)

Linearkombinationen 7 Definition 2.5 Für k Vektoren v (1),..., v (k) R n und k Skalare λ 1,..., λ k R heißt k λ i v (i) = λ 1 v (1) + λ 2 v (2) + + λ k v (k) R n i=1 eine Linearkombination von v (1),..., v (k). Die Koeffizienten der Linearkombination sind λ 1,..., λ k. Lineare (Un-)Abhängigkeit... 8 Definition 2.6 Die Vektoren v (1),..., v (k) R n heißen linear unabhängig, falls man keinen der Vektoren als Linearkombination der übrigen Vektoren schreiben kann, andernfalls heißen sie linear abhängig.

... Lineare (Un-)Abhängigkeit 9 Bemerkung 2.7 Die Vektoren v (1),..., v (k) R n sind genau dann linear abhängig, wenn es Skalare λ 1,..., λ k R gibt, die nicht alle Null sind, mit k λ i v (i) = O. Bemerkung 2.8 i=1 Die Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren in R n ist n. i-te Einheitsvektoren 10 Definition 2.9 Der i-te Einheitsvektor in R n ist e i := (0,..., 0, 1, 0,..., 0), }{{}}{{} i 1 n i also der Vektor, der in der i-ten Komponente eine Eins und in allen anderen Komponenten Nullen hat.

Basen von R n Definition 2.10 Eine Basis von R n wird von n linear unabhängigen Vektoren gebildet. Die Standardbasis von R n ist e 1,..., e n. 11 Bemerkung 2.11 Ist x = (x 1,..., x n ) R n, so ist x = n i=1 x i e i eine Linearkombination von e 1,..., e n. Dies ist die einzige Möglichkeit, x als Linearkombination von e 1,..., e n zu schreiben. Koordinaten bzgl. Basis Satz 2.12 Die Vektoren v (1),..., v (n) R n bilden genau dann eine Basis von R n, wenn jeder Vektor x R n als Linearkombination x = n λ i v (i) i=1 12 der v (1),..., v (n) darstellbar ist.für jedes x R n gibt es dann genau eine Möglichkeit, λ 1,..., λ n R n zu wählen. Diese λ 1,..., λ n heißen die Koordinaten von x bzgl. der Basis v (1),..., v (n).

Das (Euklidische) Skalarprodukt 13 Definition 2.13 Für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n heißt der Skalar x y := x, y := n x i y i R i=1 das (Euklidische) Skalarprodukt oder auch inneres Produkt von x und y. Rechenregeln 14 Für alle x, y, z R n und λ R gelten: x, y = y, x x + y, z = x, z + y, z λ x, y = λx, y = x, λy x, x 0 x, x = 0 x = O

(Euklidische) Norm Definition 2.14 Für x R n heißt x := x := x 2 := x, x = n i=1 x 2 i 15 der Betrag oder die (Euklidische) Norm von x. Bemerkung 2.15 Für x R 1 = R ist x = x 2 = x der übliche (Absolut-)Betrag der Zahl x. Rechenregeln 16 Für alle x R n, λ R gelten: x = x x 0 x = 0 x = O λx = λ x

(Euklidischer) Abstand in R n 17 Definition 2.16 Der (Euklidische) Abstand von x R n und y R n ist x y. Pfeile und Raumvektoren Der Pfeil PQ repräsentiert den Raumvektor a, der nur bestimmt ist durch seine Richtung und seine Länge (Betrag) a (also den Abstand zwischen P und Q), aber nicht durch den speziellen Anfangspunkt P. PQ und RS repräsentieren genau dann den gleichen Raumvektor, wenn RS eine Parallelverschiebung von PQ ist. Zu jedem Raumvektor a und Punkt P gibt es genau einen Pfeil PQ, der a repräsentiert. PP repräsentiert den Nullvektor 0. 18

Beipiele 19 Skalare Multiplikation Definition 2.17 Für einen Raumvektor a, repräsentiert durch einen Pfeil PQ, ist a der durch QP repräsentierte Raumvektor. 20 Definition 2.18 Für einen Raumvektor a und eine Zahl α R definieren wir den Raumvektor α a wie folgt: Falls α 0 : α a ist der Vektor, der die gleiche Richtung wie a und Länge α a hat. (0 a = 0) Falls α < 0 : α a := α a

Beispiel 21 Addition von Raumvektoren 22 Definition 2.19 Ist a der von PQ repräsentierte Raumvektor und b der von QR repräsentierte Raumvektor, so ist a + b der von PR repräsentierte Raumvektor. Außerdem definieren wir: a b := a + ( b)

Beispiele 23 Rechenregeln 24 a + 0 = a a a = 0 a + b = b + a ( a + b) + c = a + ( b + c) a 1 + a 2 +... + a k ist der Vektor, der vom Pfeil P 0 P k repräsentiert wird, wenn für alle i {1,..., k} der Vektor a i von P i 1 P i repräsentiert wird.

Beispiel 25 Kartesische Koordinatensysteme... Definition 2.20 Ein kartesisches Koordinatensystem des Raums besteht aus 3 Zahlengeraden (gleicher Längeneinheit) der x-achse, y-achse und z-achse, welche sich alle rechtwinklig in einem Punkt O folgendermaßen schneiden: Es seien E xy, E xz und E yz die Ebenen, die x-/ybzw. x-/z- bzw. y-/z-achse enthalten. Außerdem seien P x, P y und P z die Punkte, in denen die 1 der x-, y- bzw. z-achse liegt. Dann soll OP y aus OP x durch Drehung in E xy um π 2 von P z aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn hervorgehen. 26

... Kartesische Koordinatensysteme Die von OP x, OP y und OP z repräsentierten Raumvektoren e x, e y bzw. e z sind eine kartesische Basis des Raumes. Sie bilden ein Rechtssystem (rechte-hand-regel). Definition 2.21 Bezüglich eines durch O, e x, e y, e z festgelegten kartesischen Koordinatensystems hat ein Punkt Q die Koordinaten (q x, q y, q z ) R 3, wobei q x /q y /q z die Zahl ist, welche die in Q verschobene Ebene E yz /E xz /E xy in Q auf der x- / y- / z-achse anzeigt. 27 Beispiel 28 Wir können (bzgl. dieses Koordinatensystems) jeden Punkt P mit seinen Koordinaten (p x, p y, p z ) identifizieren. Wir schreiben P = (p x, p y, p z ).

Koordinaten von Raumvektoren... Definition 2.22 Für einen Punkt A ist der von OA repräsentierte Raumvektor der zu A gehörende Ortsvektor. 29 Bemerkung 2.23 Für einen Raumvektor a, der durch OA mit A = (a x, a y, a z ) repräsentiert wird, gilt a = a x e x + a y e y + a z e z. (a x, a y, a z ) R 3 ist der Koordinatenvektor des Raumvektors a. Schreibweise: a = (a x, a y, a z ).... Koordinaten von Raumvektoren 30 Bemerkung 2.24 Repräsentiert PQ den Vektor a und sind P = (p x, p y, p z ) und Q = (q x, q y, q z ), so ist a = q x p x q y p y. q z p z

Rechnen mit Raumvektoren 31 Bemerkung 2.25 Für Raumvektoren a, b mit a = (a x, a y, a z ) und b = (bx, b y, b z ) und α R gelten: a + b = (a x, a y, a z ) + (b x, b y, b z ) α a = α(a x, a y, a z ) a = ax 2 + ay 2 + az 2 = (a x, a y, a z ) Addition, skalare Multiplikation und Beträge von Raumvektoren kann man also mit Hilfe ihrer Koordinatenvektoren in R 3 berechnen. Der Betrag 32

Abstände zwischen Punkten Bemerkung 2.26 Der Abstand zweier Punkte P und Q mit Koordinaten P = (p x, p y, p z ) und Q = (q x, q y, q z ) und von PQ repräsentiertem Vektor a ist a = q x p x q y p y q z p z = (q x p x ) 2 + (q y p y ) 2 + (q z p z ) 2. 33 Parallelität von Raumvektoren 34 Für Raumvektoren a, b, repräsentiert durch OA, OB mit A = a x a y, B = b x b y a z b z gilt: (a x, a y, a z ) und (b x, b y, b z ) sind genau dann linear abhängig, wenn die Pfeile OA und OB in einer Geraden liegen ( a und b sind parallel). Dies ist insbesondere der Fall, wenn a = 0 oder b = 0 ist.

Koplanarität von Raumvektoren Für Raumvektoren a, b, c, repräsentiert durch OA, OB, OC mit A = a x a y, B = b x b y, C = c x c y a z b z c z 35 gilt: (a x, a y, a z ), (b x, b y, b z ), (c x, c y, c z ) sind genau dann linear abhängig, wenn OA, OB und OC in einer Ebene liegen ( a, b und c sind koplanar). Dies ist insbesondere der Fall, wenn a = 0, b = 0 oder c = 0 ist oder wenn zwei der drei Vektoren parallel sind. Skalarprodukt von Raumvektoren Definition 2.27 Das Skalarprodukt (innere Produkt) zweier Raumvektoren a und b ist a, b := 0 R, falls a = 0 oder b = 0 ist, ansonsten ist es 36 a, b := a b cos ( a, b) R, wobei ( a, b) [0, π] der von den a bzw. b repräsentierenden Pfeilen mit Anfangspunkt O eingeschlossene Winkel ist (also cos ( a, b) [ 1, 1]).

Orthogonalität Definition 2.28 Stehen die beiden Raumvektoren a und b senkrecht (orthogonal) aufeinander (d.h. ( a, b) = π 2 ), so schreiben wir a b. 37 Bemerkung 2.29 Sind a 0 und b 0, so gilt: a, b = 0 a b a = a, a Orthogonale Projektion 38

In einem Koordinatensystem Satz 2.30 Sind a und b zwei Raumvektoren, so ist ihr Skalarprodukt das Skalarprodukt ihrer beiden Koordinatenvektoren (a x, a y, a z ) und (b x, b y, b z ): 39 a, b = (a x, a y, a z ), (b x, b y, b z ) = a x b x + a y b y + a z b z R Insbesondere: a x = a, e x,a y = a, e y,a z = a, e z Bemerkung 2.31 Die Rechenregeln für Skalarprodukte in R 3 übertragen sich auf Raumvektoren. Beispiel... 40

... Beispiel 41 Das Vektorprodukt... 42 Definition 2.32 Das Vektorprodukt (äußere Produkt, Kreuzprodukt) zweier Raumvektoren a und b, repräsentiert durch Pfeile OA bzw. OB, ist der Raumvektor a b, der durch folgenden Pfeil OC repräsentiert wird:

... Das Vektorprodukt Falls OA und OB in einer Gerade liegen (insbesondere: wenn a = 0 oder b = 0): C = O (also a b = 0) Sonst: OC steht senkrecht auf der Ebene E, die OA und OB enthält. Die Länge von OC ist der Flächeninhalt des von OA und OB erzeugten Parallelogramms. Von C aus gesehen kann man OA in der Ebene E durch eine Drehung um den Punkt O um einen Winkel aus ] 0, π [ gegen den Uhrzeigersinn auf OB drehen. (Rechte-Hand-Regel) 43 Beispiel 44

Betrag des Kreuzprodukts 45 Bemerkung 2.33 Für Raumvektoren a und b gilt a b = a b sin ( a, b) Insbesondere also: a b = 0 a und b sind parallel. Rechenregeln 46 Für Raumvektoren a, b, c und α R gelten: a a = 0 a b = ( b a) α( a b) = (α a) b = a (α b) a ( b + c) = a b + a c ( a + b) c = a c + b c

Koordinatendarstellung des Kreuzprodukts 47 Satz 2.34 Haben die Raumvektoren a und b die Koordinaten a = (a x, a y, a z ) und b = (b x, b y, b z ), so gilt a b = a yb z a z b y a z b x a x b z a x b y a y b x Geraden Ist P = (p x, p y, p z ) ein Punkt und 0 a = (a x, a y, a z ) ein Raumvektor, so ist 48 {P + t a t R} die Menge aller Punkte auf der zu a parallelen Geraden g durch P.

Parameterdarstellung von Geraden 49 Auf g liegen also genau die Punkte, deren Koordinaten (x, y, z) R 3 die Vektorgleichung x y = p x p y + t a x a y z p z a z für irgendein t R erfüllen. (Parameterdarstellung der Geraden g) Abstand Punkt Gerade 50 a b = a d, und somit d = a b a.

Ebenen 51 Ist P = (p x, p y, p z ) ein Punkt und sind a 0 und b 0 zwei nicht parallele Raumvektoren, repräsentiert von Pfeilen PR bzw. PS, so ist {P + r a + s b r, s R} die Menge aller Punkte in der Ebene E, die PR und PS enthält. Parameterdarstellung von Ebenen 52 In E liegen also genau die Punkte, deren Koordinaten (x, y, z) R 3 die Vektorgleichung x y = p x p y + r a x a y + s b x b y z p z a z b z (mit a = (a x, a y, a z ) und b = (b x, b y, b z )) für irgendwelche r, s R erfüllen. (Parameterdarstellung der Ebene E)

Normalenvektoren Ein Raumvektor, der senkrecht auf a und b steht (also senkrecht auf E), heißt Normalenvektor von E. a b ist ein Normalenvektor von E. Ist n = (n x, n y, n z ) ein Normalenvektor von E, so liegt ein Punkt Q genau dann in E, wenn PQ senkrecht zu n ist.in E liegen also genau die Punkte, deren Koordinaten (x, y, z) die Gleichung n, c = 0 für den zu PQ gehörenden Raumvektor c, also n x (x p x ) + n y (y p y ) + n z (z p z ) = 0 erfüllen (Hesse-Normalform der Ebene). 53 Beispiel 54

Abstand Punkt Ebene 55 n = a b ist Normalenvektor zu E. Dann ist der Abstand von Q zu E gleich c, n n n 2 = c, n, n wobei c der zu PQ gehörende Raumvektor ist. Vektorräume 56 Definition 2.35 Eine Menge V mit einem ausgezeichneten Element O V (Nullvektor), einer Additionsoperation v + w (für v, w V ) und einer skalaren Multiplikationsoperation λ v = λv (für v V, λ K) ist ein K-Vektorraum, wenn folgende Axiome für alle v, w, u V und λ, µ K erfüllt sind:

Vektorraumaxiome 57 1. v + w V, λv V (Abgeschlossenheit) 2. (u + v) + w = u + (v + w) (Assoziativität) 3. v + O = v (Neutrales Element) 4. Es gibt v V mit v + v = O. (Inverses Element) 5. v + w = w + v (Kommutativität) 6. λ(v + w) = λv + λw (Distributivität) 7. (λ + µ)v = λv + µv (Distributivität) 8. (λµ)v = λ(µv) (Assoziativität) 9. 1v = v (Neutrales Element) Unterräume 58 Definition 2.36 Ein Unterraum (linearer Unterraum, Untervektorraum) eines K-Vektorraums V ist eine Teilmenge U V mit 1. O U 2. v + w U für alle v, w U 3. λv U für alle v U, λ K Bemerkung 2.37 Untervektorräume sind selber Vektorräume.

Linearkombinationen 59 Definition 2.38 Ist X V eine beliebige Teilmenge eines K-Vektorraumes V, so heißt die Menge span(x ) = X := { r λ i v (i) : v (1),..., v (r) X, i=1 λ 1,..., λ r K, r N} aller K-Linearkombinationen von endlich vielen Elementen aus X der von X erzeugte/aufgespannte Unterraum von V. Affine Unterräume 60 Definition 2.39 Ein affiner Unterraum eines K-Vektorraums V ist eine Teilmenge der Form v + U = {v + u u U} mit einem Vektor v und einem Unterraum U von V.

Linear unabhängige Vektoren 61 Definition 2.40 Die Vektoren v (1),..., v (k) in einem K-Vektorraum V heißen linear unabhängig, falls man keinen der Vektoren als Linearkombination der übrigen Vektoren schreiben kann, andernfalls heißen sie linear abhängig. Kriterium für lineare Unabhängigkeit 62 Bemerkung 2.41 Die Vektoren v (1),..., v (r) V sind genau dann linear unabhängig, wenn r λ i v (i) = O i=1 (mit λ 1,..., λ r K) nur für λ 1 = = λ r = 0 gilt.

Lineare Unabhängigkeit von Teilmengen 63 Definition 2.42 Eine (möglicherweise unendliche) Teilmenge X V eines K-Vektorraums V ist linear unabhängig, falls jede Auswahl von endlich vielen paarweise verschiedenen Vektoren in X linear unabhängig ist. Erzeugendensysteme / Basen 64 Definition 2.43 Ein Erzeugendensystem eines K-Vektorraums V ist eine Teilmenge X V mit V = span(x ). Eine Basis von V ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V.

Existenz von Basen 65 Satz 2.44 Jeder K-Vektorraum V hat (wenigstens) eine Basis. Bemerkung 2.45 Es gilt sogar für jeden K-Vektorraum V : Jedes Erzeugendensystem von V enthält eine Basis. Jede linear unabhängige Teilmenge kann zu einer Basis von V ergänzt werden. Dimension 66 Satz 2.46 Hat ein K-Vektorraum V ein endliches Erzeugendensystem, so haben alle Basen von V die gleiche Kardinalität dim(v ) (Dimension von V ). Bemerkung 2.47 In einem n-dimensionalen Vektorraum bilden n linear unabhängige Vektoren immer eine Basis.

Koordinaten 67 Definition 2.48 Ist B V eine Basis des K-Vektorraums und v V, so heißen die eindeutig bestimmten λ b K (b B) (genauer: die durch b λ b definierte Abildung) mit v = b B λ bb die Koordinaten von v bzgl. B. Koordinatenvektoren 68 Definition 2.49 Ist B = (b (1),..., b (n) ) eine geordnete Basis von V (d.h. die Menge {b (1),..., b (n) } ist eine Basis von V ), so heißt für jeden Vektor v V das eindeutig bestimmte n-tupel Bv = (λ 1,..., λ n ) K n mit v = i=1 λ ib (i) der Koordinatenvektor von v (bzgl. der geordneten Basis (b (1),..., b (n) )).