. Aufabe: (ca. 3 % der Gesamtpunte) Viertelreis Gerade m A m B Zwei leich schwere Massepunte (m) leiten aus der uhe heraus reibunsfrei zwei Bahnen unterschiedlicher Geometrie hinab. Berechnen Sie a) die Geschwindieiten v A und v B der beiden Massepunte am Ende der Bahnen sowie b) die Zeiten t A und t B, welche die beiden Massepunte für diese Beweun benötien. c) Welcher Massepunt ommt zuerst unten an? Geeben: m, = 0m, = 0 m s Hinweis: π/ dϕ sinϕ.6 0
. Aufabe a) V 0 = m, T = 0 V = 0, T = mv v A = v B = = 4,4 m s b) Gerade: mẍ = mcos(45 ) x ẍ = ẋ = t+ =0 {}}{ ẋ 0 = t m x = =0 {}}{ t + x 0 = t t B = = 4 =,0s Kreis: m ϕ m ϕ = mcosϕ ϕ = }{{} cosϕ d ϕ dϕ dϕ dt t A = t 0 dt = ϕ ϕ ϕd ϕ = 0 0 cosϕdϕ ϕ = sinϕ ϕ = sinϕ π 0 sinϕ dϕ = c) A (Kreisbahn) ommt zuerst an, da t A < t B. π 0 sinϕ dϕ } {{ } =,606 =,894s
. Aufabe: (ca. 30 % der Gesamtpunte) θ,m r 0 r ϕ x x r θ,m ϕ Das sizzierte System besteht aus einer Stufenrolle (Masse m, Massenträheitsmoment θ, Schwerpuntsoordinate x ) und einer olle (Masse m, Massenträheitsmoment θ, Schwerpuntsoordinate x ), die über ein masseloses Seil verbunden sind. a) Stellen Sie die inematischen Zwansbedinunen zwischen ẋ, ẋ, ϕ und ϕ auf und eben Sie die Anzahl der Freiheitsrade des Systems an. b) Stellen Sie die Beweunsleichun in der Koordinate x auf. c) Für welches Verhältnis der beiden Massen m m bewet sich die olle nach unten? Geeben: r 0 = r, r = r, r = 3r, m, θ, m, θ
. Aufabe a) inematische Zwansbedinunen, Anzahl der Freiheitsrade: ẋ = ϕ r 0 ẋ = ϕ r ẋ = ϕ r ẋ = 3 ϕ r ẋ P ϕ x ẋ P = ẋ + ϕ r = ẋ ẋ P = ẋ + ϕ r = ẋ ẋ P = ẋ P ẋ = ẋ x 3 Zwansbedinunen bei zunächst 4 Koordinaten (x, x, ϕ, ϕ ) FHG ẋ P ϕ b) Beweunsleichun in Koordinate x : I) Stufenrolle : II) olle : S S S 3 ϕ x x m S m ϕ Gleichewicht: m ẍ = F ix m ẍ = S +m S () θ ϕ = M S zi θ ϕ = S r S r 0 () Gleichewicht: m ẍ = F ix m ẍ = (S +S 3 )+m (3) θ ϕ = M S zi θ ϕ = (S 3 S )r (4) Elimination von S, S, S 3, x, ϕ, ϕ : ẍ = (m m ) m +4m + θ 9r + 4θ r c) ẍ > 0 m m > 0 m m >
3. Aufabe: (ca. % der Gesamtpunte) h A M µ=0 B x l C δ D m µ 0 b Zum anieren von Eisenbahnwaen wird ein Ablaufber einesetzt. Ein Waen der Masse M hat im Punt A die Anfanseschwindieit v A. Er fährt den Ber der Höhe h hinunter und wird dann auf einer Strece der Läne l (emessen ab Punt B) mit einer Kraft F(x) = ẋ 3 M ẋ 64 h x e x, 0 x l abebremst. Im Punt C fährt der Waen auf die abebildete Bremsvorrichtun. Diese besteht aus einer Feder und einem Bremslotz, der mit µ 0 am Unterrund haftet. a) Berechnen Sie mit Hilfe des Arbeitssatzes die Anfanseschwindieit v A, sodass der Waen im Punt C die Geschwindieit v C = h hat. b) Gehen Sie davon aus, dass der Waen im Punt C die Geschwindieit v C = h hat. Welche Läne δ muss der Federwe mindestens haben, damit der Bremslotz der Masse m b nicht leitet? Wie roß ist für diesen Fall die Federsteifieit? Stellen Sie zuerst das Gleichewicht für den Bremslotz auf und setzen Sie darin die Bedinun ein, dass die inetische Enerie vollständi in die Verformun der Feder übereht. Geeben: h, l = h, M, m b = M,, µ 0 Hinweis: Der als Massenpunt anzusehende Waen bewet sich außerhalb der Strece 0 x l ohne eibun. Der Term ẋ ennzeichnet ledilich, dass die Kraft F immer enteen der ẋ Beweunsrichtun wirt.
3. Aufabe Wahl des Nullniveaus: A µ=0 x z B NN C D a) Gesucht: Anfanseschwindieit v A, sodass v c = h: Eneriebilanz zwischen A und C: Freischnitt der Bremsvorrichtun: δ N m b H µ 0 Enerie im Punt A: T A +V A +W C A = T C +V C Arbeit der Nichtpotentialraft: T A = Mv A V A = Mh Enerie in Punt C: W C A = W B A +W C B l = 0+ 3 M ẋ 0 64 h x ẋ e xd x d x = e x dx, e x e x = [ = 3 Mx 3 ] 4h 64 h 3 0 = Mh T C = Mv C = Mh V C = 0 Anfanseschwindieit v A : ( ) v A = T C +V C V A W l 0 = M ( ) M +0 + Mh = h b) Horizontales Gleichewicht am Bremslotz für Haften: δ H = µ 0 N = µ 0 m b = µ 0 M
Eneriebilanz unter Annahme, dass in. Enerie omplett in Federenerie über eht: T C! = V Feder Mh = δ Einsetzen liefert Federsteifieit: und Federwe: δ = Mh = 4 Mµ 0 h δ v c µ 0 = h µ 0
4. Aufabe: (ca. 5 % der Gesamtpunte) M,θ ϕ x m d Eine reibunsfrei elaerte olle (Masse M, Massenträheitsmoment θ) sei wie sizziert an einer Feder (Federsteifieit ) befestit, sodass in vertialer ichtun Schwinunen mölich sind. Ferner sei dieolleüber einmasseloses Seil mit einer zweiten Masse m undeinem visosen Dämpfer d verbunden. a) Bestimmen Sie die Beweunsleichun des Systems in der Koordinate x mit der Methode nach Larane. b) Ermitteln Sie die statische uhelae x stat des Systems. c) Für die allemeine Beweun des Systems in Form einer edämpften Schwinun bestimme man die Eienreisfrequenz ω und das Lehr sche Dämpfunsmaß D. Geeben: M,, m = M, θ = M, d,, Hinweis: Andere Lösunswee als die Methode nach Larane werden nicht bewertet.
4. Aufabe a) Beweunsleichun nach Larane: FHG: x Geschwindieiten der Schwerpunte: Wichti: Bewet sich die Masse m um x, wird die Seilläne x aberollt und der Schwerpunt der olle bewet sich um x! Kinemati: M θ ϕ x = x ϕ = x = x x x m d Kinetische Enerie: T = T Trans +T ot = mẋ + (ẋ ) M + ( ) ẋ θ Potentielle Enerie: V = V Lae +V Feder = m( x)+m ( h 0 x ) + ( x )
Generalisierte Kräfte (Nicht-Potentialräfte): Q = dẋ Larane sche Gleichun: ( ) d T T dt ẋ x + V x = Q d dt T ẋ = mẋ+mẋ + θ ẋ ( ) T = mẍ+mẍ ẋ 4 +θ ẍ 4 = mẋ+mẋ 4 +θ ẋ 4 T x = 0 V x = m M + ( x ) ( = m+ M Beweunsleichun: ( m+ M 4 + θ 4 ) ẍ ( m+ M ) + x 4 = dẋ ) + x 4 m = M, θ = M Mẍ+dẋ+ d x = M ẍ+ 4 Mẋ+ 4M x = b) c) x stat : ẋ stat = ẍ stat = 0 4M x stat = x stat = 4 M D = d = d M Mω 0 M = d M ω = ω 0 D = d 4M M