4. Dieretilrechug ür Fuktioe eier reelle Veräderliche 4. Begri des Dieretilquotiete :D, D wird i Umgebug vo D bzgl. ihrer "Veräderug" utersucht. De. 4. Dieretilquotiet Die i eier Umgebug vo deiierte Fuktio heißt der Stelle dierezierbr (di 'br, we der Grezwert ( + h ( y ( h h eistiert. Dieser Grezwert heißt Dieretilquotiet oder. Ableitug vo der Stelle. dy d ( Adere Bezeichuge: y,, d d Höhere Ableituge etstehe durch mehrmlige Dieretitio k ( k d (,,, ( bzw. k d Bemerkug ist der Stelle h+ ( + ( + h h rechtsseitig bzw. liksseitig di 'br, we bzw. h ( + h h eistiert. Folgeruge. sei u I deiiert ( I D. D heißt u I di 'br, we di 'br ür jede iere Pukt vo I ud eiseitig di 'br ür die Rdpukte ist. dy Schreibweise: (,, d, wobei I d d. heißt (kurz di 'br, we u di 'br ist. Stz 4. Flls di 'br ist, d ist stetig. (Umkehrbrkeit gilt icht D Stz 4. Mittelwertstz b], b, ( ( b b < < b. sei u [ stetig ud u ( di 'br. D eistiert midestes eie Stelle mit Bild
Bemerkug C[, b ] - Mege ller u [ b], stetige Fuktioe (bilde Vektorrum C [, b ] - Mege ller di 'bre Fuktioe u [ b, ] mit ( u [ b], stetig (bilde Vektorrum - (stetig di 'br ud C [, b] C[, b]. Stz 4. Stz vo Rolle (65-79 sei u [ b, ] stetig ud u ( b, di 'br. Gilt ( mit. [vgl. Stz vo Weierstrß ud Stz 4.] b, so eistiert ei ( b, 4. Dieretitio elemetrer Fuktioe (Dieretitiosregel Stz 4.4 Die Gruduktioe sid i ihre Deiitiosgebiete di 'br. µ µ µ, µ,,. isbesodere :, (, \ + {} ( [,,. > speziell: ( e e, l,, ; si cos, ; cos si, ;. Stz 4.5 ( sei u I di 'br. Besitzt y ( eie Umkehruktio ( y, d ist ( y I di 'br, ud es gilt ( ( y u d ( dy dy d mit (. Beispiele π π. y ( si,,, di 'br ; ( y rcsi y, y (, ( rcsi y cos si si y somit ( rcsi, (,.,,, di 'br ; y ( e ( y l y, y (,
( l y e y ( e somit ( l, (, Stz 4.6, g seie u I di 'br, d ± g, r ( r, g ud g mit g( sid u I di 'br. Dbei gilt: ± g ± g r r, r g g+ g Produktregel g g, g ( Quotieteregel g g Stz 4.7 sei u I ud g sei u J di 'br, d ist g g (Ketteregel. Dbei gilt dy dy dz, : d dz d Bemerkug: y g( z z ( y g ( Beispiele: cos, z cos ; z. d dz z cos ( l ( si l si dz d z l, u ; z u l u. dz du z ( ( du d u ( z g u I di 'br, lls ( I J. Stz 4.8 Die elemetre Fuktioe sid (i ihre Deiitiosgebiete bis u eizele Pukte di 'br. Ihre Ableituge sid wieder elemetre Fuktioe. Bemerkuge. Für ds Diereziere elemetrer Fuktioe sid die i Stz 4.4-4.7 ormulierte Di 'regel usreiched. v. Für ichtelemetre Fuktioe der Form ( u mit > die so gete logrithmische Dieretitio: v( u ( ( ( v ( l u( +. u( u ür D u gilt
Herleitug vo. ( l v ( l ( l v u v u v ( l u( + u Beispiele: ( u (. (, (, ; u( u (, v( v ( l ( ( l + ( l+ oder ( l l ; ( l ( l + l +. ( ( ( ( e ( ( + ; ( l l + l l + ( l + + ( e ( ( + ( +, + Erweiterter Mittelwertstz der Di 'rechug [vgl. Stz 4.] ud g seie u [ b], stetig ud u ( b, di 'br. Ist g ( (, b, d (, b eistiert ei mit ( b g g b g. Bemerkug: Für g( Mittelwertstz der Di 'rechug. [vgl. Stz 4.] 4. Utersuchug vo Fuktioe mit Hile ihrer Ableituge 4.. Höhere Ableituge Schreibweise: etspreched ( k ( k d,, (, bzw. k d ( k,,, bzw. ( k k d d Beispiel : Produktregel ( Leibiz'sche Regel [vgl. Biomilstz u.. i Abschitt ] k k k k ( ( g g 4
4.. Berechug vo Grezwerte Grezwerte vo Fuktioe [vgl. De..6,.7]: ( ( Bemerkuge - Wichtige Grezwerte sid us eischlägige Telwerke ersichtlich. - Bestimmug vo Grezwerte k ch geeigeter Umormug der Fuktio, z.b. bei Polyome durch Polyomdivisio erolge. Beispiel ( + + + +, - Regel vo de l' Hospitl [vgl. cholgede Stz 4.9] (mehrch wede ud mit dere Methode kombiiere Regel vo de l' Hospitl Etsteht bei der Berechug des Grezwertes ei sogeter ubestimmter Ausdruck der Form:,, " ",,,, so lässt sich die Regel vo de l' Hospitl wede. Stz 4.9 Regel vo Beroulli (667-748 - de l' Hospitl (66-74 ud g seie midestes i eier puktierte Umgebug vo di 'br. Flls ( ud g(, d gilt ( g g, we der Grezwert eistiert. Bemerkug: Stz 4.9 gilt sigemäß uch ür +,,,. Aweduge. : li si cos m. : e e e ". : geg.: " ( ud g ( ; ges.: (. ( g( b. ( g( g g ( g Umormug 5
z.b. l li m l " 4. " : geg.: ud g( ( - ( ( g( g oder - g ( ; ges.: ( g ( g( ( ( g (, wobei. b. ( g ( möglich; > ( ( g( ( ür < g( ; ( ( g( weiter ch ( " " oder - g(, ( sid gebroche rtiole Fuktioe Hupteer bilde si si cos si Beispiel: li m + g - Erweiter mit ( ( g( + g g + g + g k zu " " ühre; prüe 5. " ",, : geg.:, g Umormug: ( ( g( l ( + e + g g ; ges.: ( ( Beispiele.. ( l + e e + [ vgl.:. ] l + + l + + + e e e e e 6
4.. Kurvediskussio Gegebe: : D Gesucht: Lokles ud globles Verhlte der Fuktio [bisher vgl..4.]. Dzu ist zu bestimme:. Deiitiosbereich, Wertebereich [vgl..]. Nullstelle [vgl..4.]. Pole [vgl..4.] 4. Lücke [vgl..4.] ±, vgl..4.,.5., ±, Pol 5. symptotisches Verhlte ( [ ] ( 6. reltive Etrem 7. Wedepukte 8. Mootoieeigeschte 9. Krümmugseigeschte (kove, kokv zu 6. Bestimmug reltiver Etrem Es sei stetig. : D ud zudem so ot dierezierbr, wie beötigt. Die Ableituge seie Notwedige Bedigug ür reltive Etremwert ( ist der Stelle dierezierbr ud ( Hireichede Bedigug ür reltive Etremwert ( k ( k ud (, d ht bei eie reltive Etremwert ud zwr ei reltives ( k Mimum ( <, lls. ( k,, k Miimum ( > zu 7. Bestimmug vo Wedepukte Notwedige Bedigug ür Wedepukt ( ist der Stelle zweiml dierezierbr ud ( Hireichede Bedigug ür Wedepukt ( k ( k+ ( ud (, d ht bei eie Wedepukt ( k,,. zu 8. Mootoieeigeschte ( ist streg mooto wchsed > im betreede Itervll. lled < wchsed ( ist s mooto ( im betreede Itervll. lled Eie Äderug der Mootoie erolgt i Etrem. 7
zu 9. Krümmugseigeschte ( ist streg (vo ute kove > im betreedem Itervll. kokv < ( ist (vo ute kove im betreedem Itervll. kokv Eie Äderug der Krümmug erolgt i Wedepukte ud Pole ugerder Ordug. P( Beispiel: ( Q(. Deiitiosbereich: \{,} D ; Wertebereich: W. Nullstelle: (-ch, weil. Pole: ud, weil Q P,P 4. Lücke: keie; Bemerkug: Flls ( bei eie Lücke besitzt, d weiterreche mit Erstzuktio. 5. Asymptotisches Verhlte: + ; Asymptote: y A y, y A Asymptotisches Verhlte de Pole: :, + + :, + Bemerkug: Berechug k wie olgt durchgeührt werde: z.b. ( ε ε ε ε ε : ε + ε ε ε 6. Reltive Etrem: 4 ( ; ( ( zweich ud, 6 4 5 ( ( + ( ; zweich : Wedepukt? 4 4 ( ( ( A 6 5 : ( 5 > Miimum mit 6 6 : ( 6 < Mimum mit ( 8
7. Wedepukte: 4 6( + 6 + ( 4 ; ( 4 ( (zweich ist Wedepukt mit. 4 8. Mootoie < < streg mooto steiged < < < < streg mooto lled < < < < mooto lled * * Flls Itervll bei geteilt wird, ist Fuktio streg mooto lled. 9. Krümmugseigeschte (kove, kokv < < streg kokv, d < < < streg kove, d > < < streg kokv, d < < < streg kove, d > - - - - - - 9