Dr. Jörg Kalcsics 11.0.008 Diplomprüfung (Wiederholungsprüfung gem. NPO) Operations Research I WS 007/008 ( Punkte) Vorbemerkung: Zugelassene Hilfsmittel: nicht programmierbarer Taschenrechner. Beginnen Sie mit jeder Aufgabe auf einer neuen Seite. Verwenden Sie keine Rotstifte. Die Klausur umfasst Seiten. Achten Sie darauf, dass alle Seiten vorhanden sind. Wenn nicht, melden Sie dies bitte der Aufsicht. Aufgabe 1 (Lineare Programmierung): (8 Minuten) Ein Unternehmen aus der Bauindustrie stellt Granulate her, die aus der Zerkleinerung von Felsbrocken gewonnen werden. Die Granulate werden mit verschiedener Körnigkeit ausgeliefert, von denen die beiden umsatzstärksten grobkörnige Granulate mit ca. cm Durchmesser und Feinkörnige mit ca. 5mm sind. Im Folgenden soll das Produktionsprogramm für diese beiden Granulate für die kommende Woche geplant werden. Zur Zerkleinerung müssen die Steine eine Metallwalze durchlaufen, die in der betrachteten Woche maximal 8 Stunden zur Verfügung steht. Dabei benötigt die Walze zur Herstellung von einer Tonne Granulat der Stärke cm 1 Stunde und für das feinkörnige Granulat Stunden. Darüber hinaus wird die Herstellungsmenge durch die zur Verfügung stehenden Arbeitskräfte beschränkt, da die Walze ständig unter Beobachtung stehen muss. Im betrachteten Zeitraum stehen insgesamt Arbeitsstunden zur Verfügung und wegen eines bestehenden Arbeitsvertrages müssen diese auch vollständig ausgeschöpft werden. Zur Herstellung von einer Tonne grobkörnigen Granulats werden Arbeitsstunden und für Granulate der Stärke 5mm Arbeitsstunden benötigt. Abschließend müssen die zerkleinerten Steine noch auf einer Maschine gereinigt werden. Diese Maschine kann allerdings nur dann wirtschaftlich sinnvoll eingesetzt werden, wenn mindestens 10 Tonnen pro Woche bearbeitet werden. Somit muss die Herstellungsmenge pro Woche mindestens diesem Wert entsprechen. Beim Verkauf der Granulate erzielt man für das grobkörnige Granulat einen Gewinn von 00e pro Tonne und für Granulate der Stärke 5mm 500e pro Tonne. a) Stellen Sie ein lineares Optimierungsmodell auf, mit dessen Hilfe sich ein gewinnoptimales Produktionsprogramm bestimmen lässt. Wählen Sie dabei geeignete Entscheidungsvariablen und geben Sie deren Bedeutung an. b) Transformieren Sie das lineare Programm aus Aufgabenteil a) in Normalform, und zwar so, dass die rechte Seite aller Nebenbedingungen positiv ist. c) Lösen Sie das Modell aus Aufgabenteil b) mit Hilfe des Simplexverfahrens. Verwenden Sie dabei die M-Methode zur Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Geben Sie das erweiterte Problem an. Wie hoch ist der maximal zu erzielende Gewinn? d) Beschreiben Sie, wie man mit Hilfe der M-Methode erkennt, dass ein lineares Programm keine zulässige Lösung besitzt und erklären Sie kurz, warum dies gilt (max. Sätze). 1
Aufgabe (Lineare Programmierung): (0 Minuten) In einem Unternehmen werden zwei spezielle Arten von Farben hergestellt. Zur Planung des Produktionsprogramms dieser Farben wurden die folgenden Nebenbedingungen aufgestellt: x 1 + x + x = 80 (Beschränkung Rohstoff R1) 5x 1 + x + x = 10 (Beschränkung Maschine M1). Dabei gilt: x i := Menge (in 1000 l), die von der Farbe i hergestellt wird (i = 1, ). Weiterhin sind x und x Schlupfvariablen. Darüber hinaus müssen bei dieser Produktionsprogrammplanung die beiden folgenden Zielfunktionen maximiert werden: Ziel 1: 7x 1 + x (Gewinn) Ziel : x 1 + x (Umweltverträglichkeit) a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Ziele 1 und eine gewichtete Zielfunktion für dieses Problem. Verwenden Sie dabei die Zielgewichte λ 1 = 1 für Ziel 1 und λ = für Ziel. b) Betrachten Sie nun das lineare Programm, welches aus der gewichteten Zielfunktion aus Aufgabenteil a) und den Nebenbedingungen für R1 und M1 besteht. Zeigen Sie, dass die Basis B = {x, x } optimal für dieses lineare Programm ist. Verwenden Sie dazu die folgende inverse Basismatrix: A 1 B = ( 1 0 1 1 Bestimmen Sie weiterhin die optimale Lösung und die entsprechenden Zielfunktionswerte der beiden Einzelziele. ). c) Zeigen Sie, dass die optimale Basis aus Aufgabenteil b) auch dann optimal ist, wenn die rechte Seite der Nebenbedingung für R1 um 0 erhöht wird. Bestimmen Sie weiterhin, um wie viel die rechte Seite der Nebenbedingung für M1 gesenkt werden kann, ohne dass die Basis ihre Optimalität verliert. Verwenden Sie zur Beantwortung dieser Fragen erneut die inverse Basismatrix und die Ergebnisse aus Aufgabenteil b). d) Für multikriterielle Optimierungsprobleme gilt, dass eine mittels Zielgewichtung bestimmte optimale Lösung immer eine Pareto-Lösung ist. D.h., die in Teil b) bestimmte Lösung ist bereits Pareto-optimal. Ist dies die einzige Pareto-optimale Lösung für dieses Problem? Begründen Sie Ihre Antwort! Tipp: Betrachten Sie die reduzierten Kosten der beiden Einzelziele im Optimaltableau.
Aufgabe (Transportproblem): (18 Minuten) Ein Ölfirma besitzt drei Bohrtürme, die sich in den Standorten A, B und C befinden. Jede dieser Bohrtürme fördert eine bestimmte Menge Öl pro Woche (in 1000 Barrel). Diese Fördermengen sind in der folgenden Tabelle gegeben: Bohrturm A B C Fördermenge (in 1000 Barrel) 5 7 Darüberhinaus unterhält die Firma drei Raffinerien an den Standorten X, Y und Z. Dabei kann die erste Raffinerie 000 Barrel, die zweite 000 Barrel und die dritte 8000 Barrel Öl pro Woche verarbeiten. Die Transportkosten (in 100 e pro 1000 Barrel) von den Bohrtürmen zu den Raffinerien sind in folgender Tabelle gegeben: Raffinerie X Y Z A 9 5 Bohrturm B 7 C 10 a) Bestimmen Sie für das beschriebene klassische Transportproblem eine erste zulässige Basislösung mit Hilfe der Nordwesteckenregel. Geben Sie die Kosten der Lösung an. b) Bestimmen Sie eine weitere zulässige Basislösung mit Hilfe der Vogel schen Approximations Methode. Geben Sie die Kosten der Lösung an. c) Bestimmen Sie, ausgehend von der Startlösung aus Aufgabenteil b), eine optimale Lösung des Problems mit Hilfe der MODI Methode. Geben Sie die Kosten der Lösung an. d) Würde sich an der im Aufgabenteil c) bestimmten optimalen Lösung etwas ändern, wenn die Transportkosten von Bohrturm A zu Raffinerie X von auf steigen würden? von Bohrturm C zu Raffinerie Y von 10 auf 9 sinken würden? Begründen Sie Ihre Antworten. Sie brauchen keine neuen Lösungen anzugeben.
Aufgabe (Graphentheorie): (15 Minuten) a) Welche der folgenden Aussagen zum Thema Graphentheorie sind richtig und welche sind falsch? Geben Sie bei falschen Aussagen jeweils ein kurze Begründung (1 Satz) oder ein Gegenbeispiel an. i) Ein allgemeiner Graph G = (V, E) enthält immer einen spannenden Teilgraphen, der ein Baum ist. ii) In jedem Graphen, der die Eigenschaften eines Baumes erfüllt, gibt es für zwei beliebige unterschiedliche Knoten a und b mindestens zwei Ketten, die diese Knoten verbinden und keine gemeinsame Kante haben. iii) Ein zusammenhängender Graph mit der Gradfolge k N, ist immer ein Eulerscher Graph. (,...,, k, k), } {{ } k mal b) Die Strassenreinigung muss jede Nacht alle Strassen eines Bezirks abfahren. Dabei beginnt und endet jede Tour jeweils im Depot. Das Strassennetz des Bezirks ist dabei durch den folgenden Graphen gegeben. 5 8 1 5 8 9 1 5 7 Dabei entspricht die Kantenbewertung den Entfernungen zwischen den einzelnen Kreuzungspunkten und der doppelt umrandete Knoten stellt den Standort des Depots dar. i) Bestimmen Sie eine optimale Chinese Postman Tour in diesem Graphen, die in Knoten beginnt und endet. Verwenden Sie dazu das in der Vorlesung angegebene Verfahren und geben Sie die Tour als Folge von Knoten an. ii) Wie lang ist die Strecke, die die Strassenreinigung jede Nacht insgesamt zurücklegen muss? Und welche Strassen müssen dabei zweimal gefahren werden? iii) Ändert sich etwas an der optimalen Tour wenn 1. die Länge der Kante [, 7] von 1 auf 7 steigt?. die Länge der Kante [1, ] von 5 auf sinkt? Begründen Sie Ihre Antworten. (Sie brauchen keine neue(n) Tour(en) zu berechnen.)
Aufgabe 5 (Netzplantechnik): (5 Minuten) a) Im Folgenden ist die Vorgangsliste eines Projekts gegeben, welche während der Planung eines Oldtimer Grand Prix durchgeführt werden muss. Die Zeiten sind dabei jeweils in Wochen angegeben. Vorgang i Dauer t i h V (i) Mindestabstand d hi Maximalabstand d hi A B A 1 C 1 A 1 D B 0 C 0 E B 0 C A 7 F 5 D 1 E 1 C 8 G F i) Geben Sie einen Vorgangsknotennetzplan für dieses Projekt an. Wandeln Sie dabei alle Mindest und Maximalabstände in Mindestabstände bei Normalfolge um. ii) Bestimmen Sie, mit Berücksichtigung der Maximalabstände, die frühesten Anfangs und Endzeitpunkte aller Vorgänge. Geben Sie alle Schlangen an. Wie lange dauert die Planung? b) Gegeben sei der folgende vorgangspfeilorientierte Netzplan: (,5) (1,7) 1 (,) (,5) 5 (1,) (,) Dabei symbolisieren die Pfeilbewertungen (λ ij, µ ij ) eine minimale Vorgangsdauer λ ij und eine maximale Vorgangsdauer µ ij für den Vorgang (i, j). Weiterhin sind in Abhängigkeit der realisierten Vorgangsdauern t ij die folgenden vorgangsdauerabhängigen Kosten gegeben: Für (,), (,) und (,): Für (1,) und (1,): Für (,5): 0 t ij 7 t ij 18 t ij 5
Zusätzlich zu den vorgangsdauerabhängigen Kosten F 1 (FZ, t) müssen noch projektdauerabhängige Kosten gezahlt werden. Diese werden durch die Funktion F (T) = 1.5 T beschrieben, wobei T die realisierte Projektdauer darstellt. i) Wie hoch ist die maximale Projektdauer T max und die minimale Projektdauer T min? ii) Wie teuer ist das Projekt, wenn nur die vorgangsdauerabhängigen Kosten betrachtet werden und die Projektdauer T = T min ist? iii) Für welche Werte von T wird die Gesamtkostenfunktion F(FZ, t, T) = F 1 (FZ, t) + F (T) minimiert? Geben Sie dabei alle optimalen Lösungen an und begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe (Spieltheorie): (1 Minuten) Gegeben sei die folgende Auszahlungsmatrix für ein -Personenspiel, in der die jeweiligen Einträge die Auszahlungen für Spieler 1 darstellen. Spieler Strategie 1 1 Spieler 1 1 5-1 0 a) Bestimmen Sie, ohne Streichen von dominierten Strategien, alle Maximin Strategien von Spieler 1 und alle Minimax Strategien von Spieler. b) Bestimmen Sie nun durch sukzessives Streichen dominierter Strategien ein Nash Gleichgewicht in reinen Strategien. Geben Sie dabei für jede dominierte Strategie an, welche Strategie sie dominiert. c) Stellen Sie Ihre Lösung aus Aufgabenteil b) als gemischte Strategienkombination dar. d) Stellen Sie ein lineares Optimierungsmodell auf, mit dessen Hilfe sich alle gemischten Maximin Strategien für Spieler 1 bestimmen lassen. Geben Sie weiterhin das duale lineare Programm zu diesem LP an. Welche Bedeutung hat dieses duale LP? e) Begründen Sie mit Hilfe der beiden LP s aus Aufgabenteil d), dass Ihre Lösung aus Aufgabenteil c) ein Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien darstellt. * * * Ende * * * Viel Erfolg!