Fakultät Informatik, Institut für Angewandte Informatik, Professur Technische Informationssysteme Übung 6 zur Vorlesung SYSTEMORIENTIERTE INFORMATIK HW-,SW-CODESIGN Übungsleiter: Dr.-Ing. Heinz-Dieter Ribbecke Andreas Tennert Bearbeitungszeitraum: 19.11. 23.11.212 Allgemeine Bemerkungen Sollten Sie Verbesserungsvorschläge, Fragen oder Probleme haben, so wenden Sie sich am besten persönlich an Ihren Übungsleiter oder schreiben Ihm eine E-Mail ({heinz-dieter.ribbecke@tu-dresden.de, Andreas.Tennert@mailbox.tu-dresden.de}).).
Lernziele von Übung 6 vermeintlich losgelöst von den Inhalten der bisherigen Übungen soll nun die Faltung den Schwerpunkt bilden. Sie bildet die mathematische Grundlage für die Berechnung des Ausgangssignals aus der Gewichtsfunktion (zeitkontinuierliches System) beziehungsweise der Gewichtsfolge (zeitdiskretes System) und dem Eingangssignal. Bereits in den Übungen 4 und 5 wurde gefaltet jedoch eher unbewusst, beispielsweise durch direkte Verwendung von Lösungen des Faltungsintegrals (z.b. Verhalten des P-Systems) oder das Zeichnen von Signalverläufen durch grafische Näherungen für bestimmte Eingangssignale (z.b. Einheitssprungantwort des T 1 -Systems). Für komplexere Signale stößt dieser Lösungsweg jedoch an seine Grenzen, weshalb hier das Faltungsintegral für zeitkontinuierliche Systeme basierend auf den bisherigen Kenntnissen (grafisch) gelöst werden soll. Für zeitdiskrete Systeme soll zudem die Faltungssumme berechnet werden. Außerdem wird die Gewichtsfunktion beziehungsweise Gewichtsfolge als das das Systemverhalten eindeutig beschreibende Merkmal näher untersucht. Diese Übung beinhaltet zudem eine Klausuraufgabe (eines vergleichbaren Grundlagenfaches) aus dem Wintersemester 28/9. Aufgabe 6.1 Grundlagen der (kontinuierlichen) Faltung Von einem zeitkontinuierlichen LTI-System (lineares, zeitinvariantes und kausales System) ist die Gewichtsfunktion g(t) bekannt (siehe Abbildung 23). g(t) 1,5 1,,5, Abbildung 23: Zeitlicher Verlauf der Gewichtsfunktion g(t) des Systems. 2
a) Ermitteln Sie den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn am Eingang ein Einheitsimpuls anliegt. Stellen Sie diesen grafisch dar. Abbildung 24: Zeitlicher Verlauf des Einheitsimpuls und eines totzeitbehafteter Einheitsimpuls x(t-1). b) Wie verändert sich der zeitliche Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn statt des Einheitsimpulses (Impulshöhe + ) ein invertierter Einheitsimpuls (gleiche Fläche; Impulshöhe ; siehe Abbildung 24) am Eingang anliegt? Stellen Sie diesen grafisch dar. Abbildung 25: Zeitlicher Verlauf des Eingangssignals invertierter Einheitsimpuls. c) Wie verändert sich der zeitliche Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn statt des Einheitsimpulses (zum Zeitpunkt s) ein totzeitbehafteter Einheitsimpuls (gleiche Fläche; zum Zeitpunkt 1 s; siehe Abbildung 25) am Eingang anliegt? Stellen Sie diesen grafisch dar. 3
d) Ermitteln Sie schrittweise den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn am Eingang das aus totzeitbehafteten und invertierten Einheitsimpulsen entsprechend Teilaufgaben b) und c) bestehende und in Abb. 26 dargestellte Signal anliegt. Stellen Sie diesen grafisch dar.. Abbildung 26: Zeitlicher Verlauf des Eingangssignals totzeitbehaftete und invertierte Einheitsimpulse. e) Wie verändert sich der zeitliche Verlauf der Antwort y(t) des Systems auf das aus totzeitbehafteten und invertierten Einheitsimpulsen entsprechend Teilaufgaben c) und d) bestehende und in Abb. 27. dargestellte Signal am Eingang, wenn sich die Gewichtsfunktion g(t) -- beispielsweise durch Alterung -- verändert (zeitlicher Verlauf siehe Abb. 28.)? Stellen Sie diesen grafisch dar. g*(t) 1,5 1,,5, -,5-1, Abbildung 27: Zeitlicher Verlauf der veränderten Gewichtsfunktion g*(t) des Systems 4
Aufgabe 6.2: Bedeutung der Gewichtsfunktion Von einem zeitkontinuierlichen, linearen und zeitinvarianten System ist die Gewichtsfunktion g(t) bekannt (siehe Abbildung 28). g(t) 2 1-1 -2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 Abbildung 28: Zeitlicher Verlauf der Gewichtsfunktion g(t) des Systems. (a) Klassifizieren Sie den Signalverlauf aus Abbildung 28 im Zeit- und Wertebereich. (b) Handelt es sich bei dem durch Abbildung 28 beschriebenen System um ein statische? Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz. (c) Handelt es sich bei dem durch Abbildung 28 beschriebenen System um ein kausales? Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz. (d) Welche Auswirkung hätte ein nichtkausales Systemverhalten auf die bisherigen Betrachtungen? (e) Kann das durch die Gewichtsfunktion g(t) in Abbildung 28 beschriebene System (BIBO-)instabil werden? Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz. f) Stellen Sie abschließend den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems auf einen am Eingang anliegenden Einheitssprung grafisch dar. Beschreiben Sie dabei kurz den zugrunde liegenden Lösungsansatz. 5
Zusatzaufgabe 6.3: Faltung und deren Umkehrung Von einem zeitkontinuierlichen LTI-System (lineares, zeitinvariantes und kausales System) ist die Gewichtsfunktion g(t) bekannt (siehe Abbildung 29). g(t) 2 1-1 -2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 Abbildung 29: Zeitlicher Verlauf der Gewichtsfunktion g(t) des Systems. (a) Welches Eingangssignal erzeugt die Gewichtsfunktion g(t)? (b) Benennen Sie den zugrunde liegenden mathematischen Zusammenhang für die Ermittlung des Ausgangssignals y(t) aus dem Eingangssignal und der Gewichtsfunktion g(t). (c) Geben Sie die Formel für den mathematischen Zusammenhang aus Teilaufgabe (b) an. (in mv) 1 2 3 4 5 Abbildung 3: Zeitlicher Verlauf des Eingangssignals. (d) Ermitteln Sie schrittweise den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn am Eingang das aus Einheitsimpulsen bestehende und in Abbildung 3 dargestellte Signal anliegt. 6
y*(t) (in mv) 3 2 1-1 -2-3 2 4 6 8 1 12 Abbildung 31: Zeitlicher Verlauf des Ausgangssignals y*(t). (e) Wie muss der zeitliche Verlauf des Eingangssignals x*(t) aussehen, wenn am Ausgang y*(t) des Systems das in Abbildung 31 dargestellte Signal anliegt? (f) Beschreiben Sie kurz Ihren Lösungsweg und stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Eingangssignals x*(t) grafisch dar. Anmerkung: Diese Teilaufgabe war in der Klausur eine Zusatzaufgabe. Aufgabe 6.4: Optimalfilter An einem unbekannten System eines zeitkontinuierlichen LTI-System (lineares, zeitinvariantes und kausales System) ist näherungsweise die Gewichtsfunktion g(t) gemessen worden (siehe Abbildung 32). g(t) 2 1-1 -2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 t (in µs) Abbildung 32: Zeitlicher Verlauf der Gewichtsfunktion g(t) des Systems. 7
a) Ermitteln Sie schrittweise den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn am Eingang das aus Einheitsimpulsen bestehende und in Abbildung 33 dargestellte Signal anliegt (entspricht der an der Ordinate gespiegelten Stoßantwort) b) Wozu könnte man diese Systeme mit einem derartigen Ausgangssignalverhalten in der Praxis einsetzen? (in mv) -5-4 -3-2 -1 1 t (in µs) Abbildung 33: Zeitlicher Verlauf des Eingangssignals. c) Wie könnte man ein derartiges System mit der Eigenschaft eines solchen Optimalfilters technisch realisieren? 8
Aufgabe 6.5: Bedeutung der Gewichtsfolge Von einem zeitdiskreten, linearen und zeitinvarianten System ist die Gewichtsfolge g(kt) bekannt: k < g ( kt ) = 3 k k 3. k > 3 Die Abtastperiode T beträgt 1 s und es gilt: k : = {, 2, 1,,1, 2, }. a) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf der Gewichtsfolge g(kt) grafisch dar. b) Klassifizieren Sie den Signalverlauf aus Teilaufgabe a) im Zeit- und Wertebereich. c) Handelt es sich bei dem hier beschriebenen System um ein statisches? Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz. d) Handelt es sich bei dem hier beschriebenen System um ein kausales? Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz. e) Kann das durch die Gewichtsfolge g(kt) beschriebene System (BIBO-)instabil werden? Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz. Aufgabe 6.6: Zeitdiskrete Faltung Von einem zeitdiskreten LTI-System (lineares, zeitinvariantes und kausales System) ist die Gewichtsfolge g(kt) bekannt (vergleiche auch Aufgabe 6.5: Bedeutung der Gewichtsfolge): k < g ( kt ) = 3 k k 3. k > 3 Die Abtastperiode T beträgt 1 s und es gilt: k : = {, 2, 1,,1, 2, }. a) Ermitteln Sie die Antwort y(kt) des Systems auf einen zeitdiskreten Einheitsimpuls k am Eingang x ( kt ) = δ ( kt ) =. 1 k = Verwenden Sie dazu die Definition der zeitdiskreten Faltung (Faltungssumme): 9
( ) = ( ) ( ) y kt g kt x kt k < =. k g (( k j ) T ) x ( jt ) k j = b) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Ausgangssignals y(kt) grafisch dar. c) Ermitteln Sie die Antwortfolge y(kt) des Systems auf einen zeitdiskreten Einheitssprung am Eingang x ( kt ) = σ ( kt ) =. k < 1 k Ermitteln Sie das Ergebnis nach folgender Gleichung für k 5. ( ) h kt = k < k. g ( jt ) k j = Verwenden Sie dazu auch hier die Definition der zeitdiskreten Faltung. d) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Ausgangssignals y(kt) grafisch dar. e) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Signals h(kt) grafisch dar. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse aus den Teilaufgaben. f) Welcher Filterklasse (FIR bzw. IIR) gehört das durch die Gewichtsfolge g(kt) beschriebene System an? Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz 1