Pflichtteil (etwa min) Ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen abgegeben sein, ehe der GTR und die Formalsammlung verwendet werden dürfen.) Aufgabe 1: [P] Bestimmen Sie die erste Ableitung und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich: f ( x) 3x cos x Lösungsvorschlag 1: Die Produkt- und Kettenregel liefert: f '( x) 3cos x 3x sin x x 3cos x 6x x sin x 3 Aufgabe : [P] Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit f ( x) e x x. Lösungsvorschlag : Bevor wir die Stammfunktion bestimmen, wandeln wir um. Nach dem Bilden der Stammfunktion überprüfen wir, ob die Ableitung der Stammfunktion der Integrand ist und vor allem schreiben wir die Funktion in der üblichen Form: x x e 3 1 1 x 3 f ( x) dx e 3x dx x c e c 1 x Jedes c liefert eine Stammfunktion, also auch c=. 1 3 Aufgabe 3: [3P] Der Graph der Funktion f mit f ( x) x x x besitzt einen Wendepunkt. 6 Zeigen sie, dass y x eine Gleichung der Tangente im Wendepunkt ist. 3 Lösungsvorschlag 3: Müssen wir einen Wendepunkt bestimmen, ist es sinnvoll die drei ersten Ableitungen zu bestimmen. 3 1 f '( x) x x 1 x x 1 6 f ''( x) x f '''( x) 1 Sei x der Wendepunkt, dann gilt die notwendige Bedingung: f ''( x), also x oder x. Es gibt also höchstens einen Wendepunkt. Da die hinreichende Bedingung erfüllt ist, nämlich f '''() 1, ist x der gesuchte Wendepunkt. Die Tangente im Punkt a ist 1 t( x) f '()( x ) f () die Es gilt f '() 1 1 und 1 3 8 f () Damit ist die Tangente: 6 6 3 t( x) 1( x ) x x 3 3 3 3 1 Aufgabe : [5P] Gegeben ist die Gerade g : x t 1 3 a) Untersuchen Sie, ob es einen Punkt auf g gibt, dessen drei Koordinaten identisch sind. b) Die Gerade h verläuft durch Q( 8 5 1 ) und schneidet g orthogonal. Bestimmen
Sie eine Gleichung von h. (Tipp: Sei R der Schnittpunkt von g und h, dann gilt ) Lösungsvorschlag : zu a) Sei S(x x x) ein Punkt dessen Koordinaten alle identisch sind und der auf der Geraden liegt. Dann x 3 1 x3 t gibt es ein t mit x t Damit erfüllt t (und x) folgende drei Gleichungen: x t x 1 3 x13t Aus den ersten beiden folgt: 3t t oder t 1. Setzt man diesen Wert in die Gerade ein erhält man 3 1 den Punkt (Ortsvektor) 1 1 3. Damit gibt es einen Punkt, bei dem alle Koordinaten identisch sind. zu b) Wir benötigen einen weiteren Punkt, der auf der Geraden h liegt. Wir wählen dazu R(a,b,c), den Schnittpunkt der beiden Geraden. Da die Geraden senkrecht stehen, gilt für den Richtungsvektor von g, 1 a 8 nämlich für und den Vektor QR b 5 3 c 1 a 8 1 das Skalarprodukt b 5 a 8 b 3c 3 c 1 3 a 3 1 mit b t c 1 3 eine Gleichung mit der Unbekannten t: 3 t 8 ( t) 3(1 3 t) 3. Wir fassen zusammen:, der ein möglicher Richtungsvektor von h ist, dass. Da R weiter auf g liegt, gibt es ein t. Setzten wir diese drei Gleichungen in die erste Gleichung ein, erhalten wir Aufgabe 5: [3P] Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A, der nicht auf g liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man denjenigen Punkt B auf g bestimmt, der den kleinsten Abstand von A hat. Lösungsvorschlag 5: Der Richtungsvektor der Geraden g ist die Normale der Ebene E, der Punkt B der Stützvektor von E. Wir schneiden die Ebene E mit der Geraden g. Der Schnittpunkt ist der Punkt B, der Punkt auf der Geraden, der von A den geringsten Abstand hat. (Nebenbei: Damit ist der Abstand des Punktes A von der Gerade die Länge des Vektors AB, bzw. der Abstand der Punkte A und B. Dies war aber nicht gefragt.) Wahlteil (etwa min) Mit GTR und Formelsammlung nach Abgabe des Pflichtteils kann der GTR und die Formelsammlung verwendet werden. Aufgabe 6: Die Punkte A( -6 ), B(6 ), C( 6 ) und S( 5) sind die Eckpunkte der Pyramide ABCS. Der Punkt M1 ist der Mittelpunkt der Kante AS und M ist der Mittelpunkt der Kante CS. Die Ebene E verläuft durch M1, M und B.
a) [P] Stellen Sie die Pyramide und die Schnittfläche mittels der gegebenen Punkte in einem Koordinatensystem dar. Berechnen Sie dazu M1 und M Berechnen Sie den Umfang der Schnittfläche. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E. (Teilergebnis: E :5x11 x3 3) b) [3P] Der Punkt Q liegt auf der Kante BS und bildet mit M1 und M ein rechtwinkliges Dreieck (rechter Winkel bei Q). Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q. (Tipp: Wenn Q der gesuchte (laufende) Punkt auf der Geraden durch B und S die gesuchte Bedingung erfüllt, dann gilt ) Lösungsvorschlag 6: Zu a) M 1( -3,5) wegen 1 OM1 OA OS und M ( 3,5) Die Zeichnung ist: Die Länge der drei Seiten sind MM 1 6 6 und BM 1 6,5 3 6 3,5 51, 5 Ebenso berechnet man BM1 51, 5 - oder mathematisch schöner: Aus Symmetriegründen ergibt sich BM1 51, 5. Damit ist der Umfang der Schnittfläche U 6 51,5,3 Zur Koordinatenform von E: Wenn 6 u BM1 3,5 Gleichungen 6 p OB 6 v BM 3,5 und nu 6x 3y,5z nv 6x 3y,5z nu 6x 3y,5z nv 1x 5z Sei nun sind die Richtungsvektoren etwa x n y z eine Normale, so gelten die beiden Ersetzen wir die zweite Gl durch G1+Gl, erhalten wir Gl liefert x 5 und z 1.
Damit ergibt Gl1: 3y 65,51. Also ist eine Normale Die Koordinatenform ist damit 5 6 E :5x 1y 3 1 5 n 1 (Wer will kann auch die drei Punkte in die allgemeine Form einsetzen und mit dem GTR drei Gleichungen mit drei Unbekannten lösen. Allerdings muss man die drei Gleichungen aufschreiben und etwas Text dazu verfassen.) 6 6 zu b) (Schwerer) die Gerade g durch B und S ist von der Form g : x t 5 Sei nun Q der Punkt auf g (der laufende Punkt ), für den das Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt 6 6t 6 6t MQ 1 3 und MQ 3 stehen senkrecht aufeinander. Also gilt,5 5t,5 5t 6 6t 6 6t M1Q M Q 3 3 36 7t 36t 9 6, 5 5t 5t,5 5t,5 5t oder 61t 97t 33, 5 Der GTR liefert als Lösungen t 1 1,9 und t,5 Da der Punkt mit t 1 1,9 nicht zwischen B und S liegt (diese Punkte haben Werte zwischen und 1), ist der gesuchte Punkt die Mitte zwischen B und S, nämlich Q(3,5). Aufgabe 7: In einem Koordinatensystem beschreiben die Punkte A(15 ), B(15 ) und C( 6) Eckpunkte der rechteckigen Nutzfläche einer Tribüne (alle Koordinatenangaben in Meter, siehe Skizze). Die xx 1 Ebene stellt den Erdboden dar. Die Eckpunkte der Dachfläche liegen vertikal über den Eckpunkten der Nutzfläche. Die Dachfläche liegt in der durch E : x1 3x3 7 beschriebenen Ebene (siehe Abbildung) a) [P] Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Nutzfläche liegt. Berechnen Sie den Neigungswinkel der Nutzfläche gegen den Erdboden. Ermitteln sie den Inhalt der Nutzfläche. b) [P] Aus Sicherheitsgründen muss die senkrecht zum Erdboden verlaufende Rückwand zwischen der Nutzfläche und der Dachfläche mindestens,5 m hoch sein. Überprüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist. (Tipp: Wenn ein Punkt über C liegt, dann sind zwei Koordinaten bekannt. )
Zur Installation von Lautsprechern wird eine 5, m lange, senkrecht zum Erdboden verlaufende Stütze montiert. Ihre Enden werden an der Kante BC und am Dach der Tribüne fixiert. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes auf der Kante BC, in dem das untere Ende der Stütze fixiert wird. (Tipp: Geeignete Ebene mit der Geraden durch B und C schneiden.) Lösungsvorschlag 7: Zur Koordinatenform von E: Wenn u AB eine Normale, so gelten die beiden Gleichungen und 15 v AC 6 nu y nv 15x y 6z 15 p OA x n y z Sei nun Gleichung x 6 und z 15 wählen. Also ist eine Normale 15 E : x 5z 3 5 n 1 5 1 5. Also ist 1,8. 5 5 1 Die Koordinatenform ist damit Da die Normale der xy-ebene 1 cos( ) sind die Richtungsvektoren etwa Die erste Gl liefert y Damit können wir in der zweiten 6 n 15 ist, gilt für den Schnittwinkel α oder n 5 Die Seitenlängen des Rechtecks sind bzw. 15 6 (siehe etwa das Dreieck auf der rechten Seite oder berechne die Länge des Vektors von B nach C.). Die Fläche ist damit A 33m Für den Punkt D über C gilt, er hat die Koordinaten x = und y =. Setzt man diese Werte in die Koordinatengleichung E : x1 3x3 7 ein, erhält man für z = 9. Damit liegt die Dachfläche am hinteren Rand 3 m oberhalb der Nutzfläche. Der Sicherheitsabstand ist also erfüllt. (Die letzte Aufgabe ist die schwerste). Die Idee war allerdings (im Gegensatz zum Abi) angegeben. Wir schneiden eine Ebene, die 5, m unterhalb der Dachfläche liegt mit der Geraden g durch B und C..
. Die Ebene F, die 5, m unterhalb E liegt und zu ihr parallel ist, hat den- 15 5 Es gilt g : x t selben Normalenvektor. Es gilt also F : x13x 3 d. Außerdem liegt etwa der Punkt E( 3,8) auf ihr (er liegt 5, m unterhalb des Punktes D). Setzen wir diesen Punkt in F erhalten wir d = -11,. Damit ist die gesuchte Ebene F : x1 3x3 11,. Sei S(x y z) Schnittpunkt von F und g, so gilt (15 5 t) 3t 11, (ersetze in der Koordinatengleichung die x-werte durch die rechten Seiten der Geradengleichungen). Damit ergibt sich 11t 6, oder t =,. Setzen wir diesen Wert in die Gerade ein, erhalten wir für den Schnittpunkt S(3,8). In diesem Punkt muss die Stütze montiert werden.