Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Thematik 1 1.1 Motivation.................................... 2 1.2 Zielsetzung der Arbeit.............................. 4 1.3 Aufbau der Arbeit................................ 5 2 Tensorformalismus 9 2.1 Einführung.................................... 9 2.2 Grundbegriffe und -definitionen......................... 11 2.3 Notationen fürtensorenbisvierterstufe................... 12 2.3.1 Tensorprodukte und Kontraktionsregeln................ 12 2.3.2 Einheitstensoren vierter Stufe und Basisneuanordnungen....... 13 2.3.3 Gruppeneigenschaften.......................... 14 2.3.4 Transpositionsoperationen fürvierstufigetensoren.......... 15 2.3.5 Symmetrieeigenschaften vierstufiger Tensoren............. 17 2.3.6 (Schief-) Symmetrietransformationstensoren.............. 17 2.4 Tensordifferentiation in Absolutschreibweise.................. 18 2.4.1 Einführung der Gâteaux-Ableitung.................. 18 2.4.2 Tensordifferentiationsregeln....................... 19 2.4.3 Fundamentale Ableitungsregeln..................... 20 2.4.4 Ableitung nach (schief-)symmetrischen Tensoren........... 20 2.5 Anwendungen................................... 21 2.6 Beispiele...................................... 22 3 Tensoralgebra auf Mannigfaltigkeiten 25 3.1 Einführung.................................... 25 3.2 Euklidischer Punkt- und Vektorraum...................... 26 3.3 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten....................... 27 3.3.1 Definition................................. 27 3.3.2 Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten................ 28 3.4 Grundlegende Konzepte............................. 29 3.4.1 Konvektive Gauß schebasisvektoren................. 29 vii
viii 3.4.2 Das innere Vektorprodukt und das Skalarprodukt........... 30 3.4.3 Metrik................................... 30 3.4.4 Die Duale und die Transponierte.................... 32 3.4.5 Push-Forward- und Pull-Back-Operationen.............. 33 3.4.6 Symmetrische und schief-symmetrische Tensoren........... 36 3.4.7 Orthogonale Tensoren.......................... 37 3.4.8 Der Shifter................................ 37 3.4.9 Die Lie-Ableitung............................ 38 3.4.10 Das Prinzip der Kovarianz........................ 38 3.4.10.1 Kovarianz von Tensorfunktionen............... 39 3.4.10.2 Kovarianz der Zeitableitung einer Tensorfunktion..... 39 3.5 Differentiationsregeln............................... 40 3.5.1 (Schief-)Symmetrietransformationstensoren.............. 41 3.5.2 Basisneuanordnungsoperationen.................... 41 3.5.3 Gültigkeit des Invarianzprinzips..................... 41 3.5.4 Ableitung nach einem Metriktensor................... 43 3.6 Vergleich mit anderen Arbeiten......................... 44 4 Kontinuumsmechaniche Grundlagen 47 4.1 Kinematik..................................... 47 4.1.1 Beziehung zwischen Punkt- und Vektorraum............. 47 4.1.2 Zeit.................................... 47 4.1.3 Raum-Zeit-Kontinuum.......................... 48 4.1.4 Beobachter................................ 48 4.1.5 Einführung eines materiellen Körpers................. 48 4.1.6 Beschreibung von Bewegungen..................... 49 4.1.6.1 Platzierung und Konfiguration eines Körpers........ 49 4.1.6.2 Die intrinsische Beschreibung................. 49 4.1.6.3 Die Lagrange sche Beschreibung.............. 49 4.1.6.4 Die Euler sche Beschreibung................ 49 4.1.7 Deformation und Deformationsgradient................ 50 4.1.8 Differentielles Volumenelement..................... 51 4.1.9 Differentielles Flächenelement...................... 51 4.1.10 Polarzerlegung des Deformationsgradienten.............. 51 4.1.11 Metrik................................... 52 4.1.12 Geschwindigkeit und Beschleunigung.................. 53 4.1.13 Geschwindigkeitsgradient........................ 53 4.1.14 Verzerrungstensoren........................... 54
ix 4.1.15 Gauss-Satz................................ 57 4.1.16 Transformationsregeln fürvolumenintegrale.............. 58 4.1.17 Transformationsregeln für Flächenintegrale.............. 58 4.1.18 Piola-Transformation.......................... 58 4.1.19 Reynolds-Transport-Theorem..................... 59 4.2 Bilanzgleichungen................................. 59 4.2.1 Starke Form der Bilanzgleichung.................... 59 4.2.2 Massenbilanz............................... 59 4.2.3 Impulsbilanz............................... 60 4.2.4 Cauchy-Spannung............................ 60 4.2.5 Drehimpulsbilanz............................. 60 4.2.6 Bilanz der kinetischen Energie..................... 61 4.2.7 Erster Satz der Thermodynamik.................... 62 4.2.8 Zweiter Satz der Thermodynamik................... 62 4.2.9 Beobachterwechsel............................ 66 4.2.9.1 Beobachterinvarianz der Bilanzgleichungen......... 67 4.2.9.2 Folgerungen für die Helmholtz sche Energiefunktion... 67 4.2.10 Thermodynamischer Prozess...................... 68 4.2.11 Wärmeleitungsgesetz........................... 68 5 Finite Elemente Methode 69 5.1 Einleitung..................................... 69 5.2 Darstellung des Variationsprinzips....................... 70 5.3 Locking und die Methode der inkompatiblen Moden............. 72 5.3.1 Einführung................................ 72 5.3.2 Darstellung des Hu-Washizu-Variationsprinzips........... 77 5.4 Lösung des nichtlinearen Randwertproblems.................. 78 5.5 Schalentheorie................................... 80 5.5.1 Mindlin-Reissner-Kinematik und Green-Lagrange-Verzerrungen 82 5.5.2 Beschreibung finiter Rotationen..................... 84 5.5.3 Diskretisierung.............................. 87 5.5.4 Stabilisierungsverfahren......................... 91 5.5.4.1 Schub-Locking......................... 91 5.5.4.2 Krümmungslocking...................... 93 5.5.4.3 Membran-Locking....................... 93 5.5.4.4 Dicken- oder Poisson-Locking................ 94 5.5.4.5 Volumenlocking........................ 94 5.5.5 Vermeidung der Singularität bezüglich des Drillfreiheitsgrades.... 95
x 5.5.6 Numerische Beispiele........................... 96 5.5.6.1 Cook s-membran........................ 96 5.5.6.2 Halbkugel mit Loch...................... 98 6 Modellierung finiter Elastizität 101 6.1 Folgerungen aus der Dissipationsungleichung................. 101 6.2 Historische Entwicklung bezüglich des Problems e = d............ 102 6.3 Kovarianz der Verzerrungsenergiefunktion W................. 107 6.4 Spannungstensoren................................ 108 6.5 Allgemeine Anforderungen an W........................ 111 6.6 Ableitungen von W................................ 112 6.6.1 Verwendete Materialmodelle....................... 113 6.6.1.1 St.Venant-Kirchhoff-Materialmodell.......... 114 6.6.1.2 Hyperelastisches Materialmodell 2.............. 115 6.6.1.3 Hyperelastisches Materialmodell 3.............. 115 6.6.1.4 Hyperelastisches Materialmodell 4.............. 116 6.6.1.5 Hyperelastisches Materialmodell 5.............. 116 6.7 Untersuchung der konjugierten Formulierung................. 116 6.7.1 Anisotrope Hyperelastizität....................... 120 6.7.2 Anwendung der Regeln......................... 123 6.7.3 Verwendung von konvektiven Koordinatensystemen.......... 125 6.7.4 Beziehungen fürisotropeverzerrungsenergiefunktionen........ 125 7 Modellierung finiter Plastizität 127 7.1 Stand der Forschung............................... 127 7.1.1 Allgemeines................................ 127 7.1.2 Modellierung finiter elasto-plastischer Deformationen......... 128 7.1.3 Modellierung kinematischer Verfestigung................ 135 7.1.4 Berücksichtigung eines plastischen Spin-Tensors............ 141 7.1.5 Ermittlung des konsistenten Tangentenoperators........... 144 7.1.6 Verzerrungsbasierte Beschreibung.................... 145 7.2 Einführung.................................... 145 7.3 Multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten............. 146 7.4 Definition der Verzerrungsenergiefunktion................... 148 7.5 Kinematische Beziehungen............................ 149 7.6 Plastizität mit anisotroper und isotroper Elastizität............. 149 7.7 Das Prinzip der maximalen Dissipation.................... 151 7.8 Bestimmung der Evolutionsgleichungen.................... 152 7.9 Formulierung in Bezug auf die Zwischenplatzierung.............. 154
xi 7.10 Ein einfaches Fliesskriterium für isotrope Plastizität............. 155 7.11 Vereinfachung des elasto-plastischen Modells.................. 157 7.11.1 Modell 1.................................. 159 7.11.2 Modell 2.................................. 160 7.12 Isotrope Plastizitätmitkinematischer Verfestigung.............. 163 7.12.1 Modell 1.................................. 164 7.12.2 Modell 2.................................. 166 7.12.3 Modell 3.................................. 167 7.12.4 Modell 4.................................. 169 7.13 Numerische Lösungdeselasto-plastischenProblems.............. 170 7.13.1 Der Return-Map............................. 170 7.13.2 Volumetrisch-isochorer Split....................... 173 7.13.3 St.Venant-Kirchhoff-Materialmodell............... 175 7.13.4 Hyperelastisches Materialmodell 2................... 176 7.13.5 Hyperelastisches Materialmodell 3................... 177 7.13.6 Hyperelastisches Materialmodell 4................... 177 7.13.7 Hyperelastisches Materialmodell 5................... 178 7.13.8 Allgemeine Bemerkungen........................ 179 7.13.9 Modell 1 - Referenzplatzierung..................... 181 7.13.10Modell 1 - Zwischenplatzierung..................... 183 7.13.11Modell 2 - Zwischenplatzierung..................... 184 7.13.12Modell 3 - Zwischenplatzierung..................... 186 7.13.13Modell 4 - Zwischenplatzierung..................... 188 7.13.14 Generalisierte Mittelpunktsregel.................... 189 7.13.14.1 Mittelpunktsregel - Modell 2 - Zwischenplatzierung.... 191 7.14 Bestimmung des Tangentenoperators...................... 193 7.14.1 Formulierung bezüglichderreferenzplatzierung............ 193 7.14.2 Formulierung bezüglichderzwischenplatzierung........... 194 7.14.3 Der elasto-plastische Kontinuums-Tangentenoperator......... 195 7.14.4 Algorithmischer Tangentenoperator................... 196 7.14.4.1 Modell 1 - Referenzplatzierung................ 197 7.14.4.2 Modell 1 - Zwischenplatzierung................ 198 7.14.4.3 Modell 2 - Zwischenplatzierung Version a.......... 199 7.14.4.4 Modell 2 - Zwischenplatzierung Version b.......... 199 7.14.4.5 Modell 3 - Zwischenplatzierung................ 202 7.14.4.6 Modell 4 - Zwischenplatzierung................ 203 7.14.4.7 Generalisierte Mittelpunktsregel............... 204 7.15 Benchmarks.................................... 205
xii 7.15.1 Monotoner einachsialer Zugversuch................... 205 7.15.2 Schubversuch............................... 209 7.15.2.1 Lösung für den elastischen Bereich.............. 210 7.15.2.2 Diskussion der Ergebnisse................... 211 7.15.3 Zyklische Tests.............................. 216 7.15.3.1 Ein-Element-Zugversuch................... 216 7.15.3.2 Ein-Element-Schubversuch.................. 217 7.16 Plastische Anwendungsbeispiele......................... 218 7.16.1 Pinch-Kugel............................... 219 7.16.2 Lochscheibe................................ 220 8 Modellierung der Porenschädigung 223 8.1 Stand der Forschung............................... 223 8.1.1 Schädigungsphänomene bei duktilen Metallen............. 223 8.1.2 Allgemeines zur Modellierung des duktilen Bruchs.......... 224 8.1.3 Modellierung des duktilen Bruches................... 226 8.1.4 Der Prozess der Porenentstehung.................... 230 8.1.5 Der Prozess der Koaleszenz....................... 230 8.1.6 Das Gurson-Modell........................... 232 8.1.6.1 Empirische Verbesserungen bei monotonen Beanspruchungen232 8.1.6.2 Erweiterungen zur Simulation zyklischer Beanspruchungen 234 8.1.6.3 Die Anwendung des Modells bei Bruchberechnungen.... 234 8.2 Einführung.................................... 236 8.3 Das Gurson-Modell............................... 237 8.3.1 Modellierung des Porenwachstums................... 237 8.3.2 Schwächen des Gurson-Modells.................... 238 8.3.3 Transformation Cauchy auf Kirchhoff-Spannungen........ 240 8.4 Prozess der Porenschädigung.......................... 241 8.4.1 Das Porenwachstum........................... 241 8.4.2 Die Porenentstehung........................... 241 8.4.3 Der Porenzusammenschluss....................... 242 8.5 Erweiterung auf kinematische Verfestigung................... 243 8.6 Das Rousselier-Modell............................. 244 8.7 Berechnung der äquivalenten plastischen Verzerrung............. 246 8.7.1 Analytische Integration der Taylor-Reihenentwicklung....... 247 8.7.2 Numerische Integration......................... 248 8.7.3 Numerische Berechnung der plastischen Verzerrungsinkremente... 248 8.8 Algorithmische Umsetzung........................... 250 8.8.1 Lokales Newton-Verfahren....................... 250 8.8.2 Algorithmischer Tangentenoperator................... 256
xiii 9 Zusammenfassung und Ausblick 259 9.1 Prolog....................................... 259 9.2 Zusammenfassung................................ 260 9.3 Eigene Bewertung der Arbeit.......................... 262 9.4 Ausblick...................................... 264 Literaturverzeichnis 267 Anhang A Grundlagen der Tensorrechnung A-289 A.1 Push-Forward und Pull-Back-Beziehungen................... A-289 A.2 Lie-Ableitung................................... A-290 A.3 Kovarianz von Tensorfunktionen........................ A-290 A.3.1 Kovarianz einer skalarwertigen Funktion mit 2 Variablen....... A-290 A.3.2 Kovarianz einer skalarwertigen Funktion mit 3 Variablen....... A-291 A.3.3 Kovarianz einer Funktion mit einer gemischtvarianten Variablen.. A-292 A.4 Testen einer Tensorgleichung auf ihre Konsistenz............... A-292 B Reihendarstellungen von Tensoren B-295 C Legendre-Transformation C-301 DKonvexität und Polykonvexität D-303 D.1 Konvexität einer Funktion............................ D-303 D.2 Konvexität einer Funktion W (F)........................ D-303 D.3 Polykonvexität von W (F)............................ D-304 EKugelförmige RVE mit Pore und deren Lösung E-307 E.1 Kinematik..................................... E-307 E.2 Das Gleichgewicht und die Fliessbedingung.................. E-309 E.3 Kinematische Verfestigung............................ E-309 E.4 Lösung für <ɛ p eq > r unter vereinfachenden Annahmen............ E-310 E.5 Analytische Integration unter Verwendung einer Taylor-ReihenentwicklungE-311 E.6 Numerische Integration............................. E-312 E.6.1 Algorithmus zur Berechnung des Integrals............... E-317 E.7 Linearisierung des linearen Verfestigungsmodells............... E-319 E.8 Vergleich der Verfahren............................. E-321 F Superposition mehrerer Rückspannungstensoren F-323 G Hilfsmittel zur Latex-Textprogrammierung G-327
xiv