Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 30. 04. 2009 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik
Seite 2 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Nach-Nachklausur Einsicht im Sekretariat Experimentelle Physik 1. Nachklausur: Schriftliche Prüfung Ende Sommersemester Vorlesung Frau Prof. Kaiser 2. Nachklausur: Wahlmöglichkeit Schriftliche Prüfung Ende Sommersemester Vorlesung Frau Prof. Kaiser Mündliche Prüfung bei mir (30-45 min). Anmeldung mit Formular bei mir und dann im Studiensekretariat. Zeitraum: Im Sommersemester
Seite 3 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Elektrisches Feld um eine endliche Platte
Seite 4 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Feld einer Ebene Integrationsfläche zur Berechnung des elektrischen Feldes einer Ebene Wenn σ die Ladungsdichte auf der Platte ist, dann ist σa = Φ = E n da = 2AE n ɛ 0 da sowohl die Unterseite wie auch die Oberseite einen Beitrag liefern. Also ist homogen im Raum. E r = σ 2ɛ 0
Seite 5 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Ladungen im Inneren von Leitern Leiter haben in ihrem Inneren keine statischen elektrischen Felder. Da Ladungen im Inneren eines Leiters beweglich sind, folgt, dass das elektrische Feld an einer beliebigen Oberfläche, die sich ganz im Inneren eines Leiters befindet, null ist. Damit ist die umschlossene Ladung ebenso null. Daraus folgt, dass Ladungen sich nur an der Oberfläche eines Leiters befinden können.
Seite 6 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Ladungen und Leiter Die makroskopisch beobachtbare elektrische Ladung eines Leiters befindet sich auf seiner Oberfläche. Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters steht senkrecht zu dieser Oberfläche und hat die Grösse E r = σ/ɛ 0
Seite 7 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Spiegelladungen Links: Feldlinien in der Nähe eines Leiters. Rechts: Diese Feldlinien können mit einer Bildladung erklärt werden.
Seite 8 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Potentielle Energie und Potential Die Arbeit ist durch W (r 1 r 2 ) = r 2 r 1 F (r) dr definiert. Die potentielle Energie eines Kraftfeldes F (x) ist die Arbeit gegen diese Feldkraft. Nach dem 3. Newtonschen Axiom ist F ext = F. Also E pot (x 2 ) = E pot (x 1 ) + x 2 x 1 x 2 = E pot (x 1 ) F ext (x) dx x 1 F (x) dx = E pot (x 1 ) W (x 1 x 2 ) Eine potentielle Energie existiert, wenn Die Arbeit W (r 1 r 2 ) unabhängig vom Weg ist. Die Arbeit für jede geschlossene Bahn null ist (Die Bahn darf keine Singularitäten des Feldes umschliessen). rot F (r) = 0 für alle r
Seite 9 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Potentielle Energie und Potential Die potentielle Energie einer Probeladung q im Feld der Ladung Q ist r 2 E pot (r 2 ) = E pot (r 1 ) r 1 1 qq 4πɛ 0 r 2 r r dr Approximation eines beliebigen Integrationsweges durch Kreissegmente. Auf den Kreissegmenten (grün) ist E ds = 0, entlang der radialen Teile ist E ds = E(r)ds.
Seite 10 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Potentielle Energie und Potential Da wir jede Bahnkurve durch Stücke in radialer Richtung und durch Bahnen mit r = const approximieren können, und da die Bahnen auf den Kugelflächen keinen Beitrag geben (sie sind senkrecht zur Kraft) können wir das Integral vereinfachen. E pot (r 2 ) = E pot (r 1 ) qq r 2 4πɛ 0 r 1 = E pot (r 1 ) qq 4πɛ 0 dr r 2 ( 1 r ) r2 Üblicherweise setzt man E pot (r = ) = 0. Damit wird E pot (r) = = E pot (r 1 ) + qq ( 1 1 ) r 1 4πɛ 0 r 2 r 1 qq 1 4πɛ 0 r Aus der potentiellen Energie kann die Kraft mit dem Gradienten berechnet werden. F (r) = grad E pot (r)
Seite 11 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Potentielle Energie und Potential Für die potentielle Energie der Coulomb-Kraft bekommen wir F (r) = ( ) qq 1 grad = qq grad 1 4πɛ 0 r 4πɛ 0 r = qq ( 1 ) 4πɛ 0 r 2 grad r = qq r 4πɛ 0 r 3
Seite 12 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Potentielle Energie und Potential In Komponenten ist r = ( x 2 + y 2 + z 2 und grad = = x, y, z Also grad ( ) 1 r = x y z 1 x 2 + y 2 + z 2 = 1 1 2 ( x 2 + y 2 + z 2) 2 3 = 1 1 2 ( x 2 + y 2 + z 2) 2 3 = 1 r 3 r x y z 2x 2y 2z ) (x 2 + y 2 + z 2)
Seite 13 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Potentielle Energie und Potential Ergänzend zu Coulomb-Kraft hatten wir das elektrische Feld als auf eine Einheitsladung normierte Grösse eingeführt. E (r) = Q r 4πɛ 0 r 3 Die potentielle Energie der Ladung q im Feld der Ladung Q, normiert auf q = 1 ist das elektrische Potential ϕ, auch Spannung U genannt. Ich verwende in diesem Skript die Begriffe elektrisches Potential und Spannung austauschbar. ϕ(r) = U (r) = Q 1 4πɛ 0 r = E pot (r) q Wichtig ist die Beziehung E pot (r) = qu (r) = qϕ (r) Wie die Kraft aus der potentiellen Energie über die Gradientenbildung hervorgeht, wird das elektrische Feld mit berechnet. E = grad U = grad ϕ
Seite 14 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Zusammenhänge F (r) lim /q q 0 lim q q 0 F dr Edr grad E pot E pot (r) lim /q q 0 lim q q 0 E (r) grad U U (r) = ϕ (r)
Potential senkrecht zu einer homogen geladenen Ebene mit U 0 = 2 und σ = 2ɛ. Seite 15 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Homogen geladene Ebene 2 Homogen geladene Ebene: Potential U(x) 1 0 U -1-2 -3-4 -2 0 2 4 x
Seite 16 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 30. 04. 2009 Potential eines Kreisringes Das elektrostatische Potential eines Kreisringes mit der Ladung Q und dem Radius R im Abstand x auf der Symmetrieachse soll berechnet werden. U(x) = 1 2π dq 4πɛ 0 r 0 du(x) = 1 4πɛ 0 1 r dq 2π dq = Q 0 = 1 2π 4πɛ 0 0 dq = 1 x 2 + R 2 4πɛ 0 Q x 2 + R 2 0.6 Kreisring: Potential entlang der Symmetrieachse U(x) 0.5 0.4 U 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 x Potential eines Kreisringes entlang der Symmetrieachse für eine positive Ladung Q = 4πɛ 0 und dem Radius