Studiengang: Matrikelnummer: 3 4 5 6 Z Bonus Punkte Note Prüfungsklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure.. 7, 3. - 6. Uhr Zugelassene Hilfsmittel: A4-Blätter eigene, handschriftliche Ausarbeitungen aber keine Vorlesungsoder Übungsmitschriften, Formelsammlungen aber keine Lehrbücher, die vorgegebene Tabelle von Grenzwerten, Reihen, Grundintegralen und Integrationsformeln, Taschenrechner auch grafikfähig aber ohne Computer-Algebra-System CAS. Bearbeiten Sie bitte jede Aufgabe auf einem separaten Blatt bzw. auf separaten Blättern. Das Aufgabenblatt ist mit abzugeben. Vergessen Sie bitte nicht, auf dem Aufgabenblatt und jedem Lösungsblatt Ihre Matrikelnummer gut leserlich anzugeben. Der Lösungsweg ist stets anzugeben, er sollte in allen Schritten durch eigene Rechnungen deutlich erkennbar, begründet und nachvollziehbar sein. Das gilt insbesondere für auftretende Integrale, die durch Anwendung geeigneter Integrationsmethoden zu lösen sind. Nur dann kann nach detaillierter Bewertung die volle Punktzahl erreicht werden. Viel Erfolg! Aufgabe : Gegeben seien die Funktionen f a x ax x mit konstantem a R \ {}. Punkte a Bestimmen Sie den Definitionsbereich D fa, untersuchen Sie die Funktionen auf Nullstellen und Polstellen. b Berechnen Sie Art und Lage der Extrempunkte von f a. c Untersuchen Sie das asymptotische Verhalten von f a für x ± sowie an eventuell vorhandenen Unstetigkeitsstellen. d Skizzieren Sie unter Verwendung Ihrer Ergebnisse aus a-c die Funktion f 4 x. e Bestimmen Sie eine Stammfunktion von gx f x a D fa {x R x }, Nullstelle: x, Polstelle: x vgl. c b f ax ax ax x x 4 4x x +. ax ax x 3 a x + x 3. Die notwendige Extremalbedingung f ax ist nur bei x erfüllt. Falls Sie bei der Berechnung von f ax den gemeinsamen Faktor x nicht gekürzt, daher f ax a x+x herausbekommen und x als scheinbare x 4 weitere Nullstelle des Zählers von f ax gefunden haben, müssen Sie beachten, dass dort f a x gar nicht definiert ist.
Variante : Wir untersuchen hinreichende Bedingungen für ein Extremum an der stationären Stelle mit Hilfe der. Ableitung: f a x a x 3 x + 3x x 3x + a x 6 x 4 a x 4 x a x + 4 x. 4 Im Falle a < ist also f a a <, so dass bei x ein lokales Maximum 8 vorliegt. Im Fall a > ist f a a >, und wir haben ein lokales Minimum 8 bei x. Zugehöriger extremer Funktionswert ist jeweils f a a. 4 Variante : Ohne Verwendung der zweiten Ableitung können wir Vorliegen und Art eines Extremums mittels des Vorzeichenwechsels von f ax begründen: Für x in der Nähe von ist der Nenner x 3 von f ax negativ, der Zähler x + wechselt bei wachsendem x beim Durchgang durch das Vorzeichen von nach +. Im Falle a < ist daher links von die Ableitung f ax positiv also f a x monoton wachsend und rechts davon negativ also f a x monoton fallend, so dass bei x ein lokales Maximum vorliegt. Im Falle a > ist das Monotonieverhalten umgekehrt, und es liegt ein lokales Minimum vor. c Die Grenzwerte von f a für x ± sind beide vom Typ, durch Kürzen mit der höchsten Potenz erhält man d lim f ax x ± lim x ± Alternativ mit L Hospital: lim x ± ax x lim x ± ax x x + a x. lim x ± a x x + x. Die einzige Unstetigkeitsstelle ist x. Dort wird der Nenner von f a x Null, bleibt aber in einer Umgebung positiv, der Zähler strebt gegen a, so dass lim f ax im Falle a > bzw. lim f a x im Falle a < gilt in jedem x x Falle liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.
4x e Der Integrand gx ist echt gebrochen-rational, so dass Partialbruchzerlegung ohne vorherige Polynomdivision anwendbar ist. Der Nenner hat die x x+ doppelte Nullstelle und die einfache Nullstelle, der Ansatz ist 4x x x + A x + + B x + Multiplikation mit dem Hauptnenner liefert C x, 4x Ax + Bx + x + Cx +. Einsetzen der Nullstellen: x : 4 C C x : 4 4A A. Der Koeffizient B kann durch Einsetzen einer weiteren Stelle bestimmt werden, z. B. x : B + B 3. Man kann auch in ausmultiplizieren und B durch Koeffizientenvergleich bestimmen. Unter Verwendung von Grundintegralen erhält man nun x + + 3 x + dx ln x+ +3 ln x +c, c R. x x Aufgabe : Es sei fx x e x. 5 Punkte a Nutzen Sie die bekannte Reihenentwicklung in x der Exponentialfunktion e t t n n! für alle t R, um zu zeigen, dass fx n xn+ gilt. n! n b Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Reihendarstellung von f aus a und geben Sie das Taylorpolynom vom Grad 6 von f im Entwicklungspunkt x an. c Nutzen Sie Ihr Ergebnis aus Teilaufgabe b, um näherungsweise den Wert des Integrals fx dx zu berechnen. a In der angegebenen Reihenentwicklung von e t setzen wir einfach t x R. Da die Reihe für alle reellen t konvergiert, gibt es auch an x keine Einschränkung. Um die zu entwickelnde Funktion fx zu erhalten, multiplizieren wir noch die gesamte Reihe mit x, wodurch sich an der Konvergenz für alle reellen x auch nichts ändert. Somit erhalten wir x e x x für alle x R. n x n x n x n n! n! n n n n xn+ n!
b Wie schon unter a ausgeführt, konvergiert die Reihe für alle reellen x, d. h. der Konvergenzbereich ist R. Die Reihe ist die Taylorreihe von f im Entwicklungspunkt x. Das entsprechende Taylorpolynom T 6 f, x vom Grad 6 ist die Partialsumme dieser Reihe bis zur 6. Potenz von x: T 6 f, x n n xn+ n! x x 4 + x6. c Eine Stammfunktion von fx kann nicht durch elementare Funktionen ausgedrückt werden, man kann das gesuchte bestimmte Integral aber z. B. näherungsweise berechnen, indem man statt der Funktion f ein Taylorpolynom von f genügend hohen Grades integriert: fx dx T 6 f, x dx x 3 3 x5 5 + x7 4 x x 4 + x6 dx 43.5. Aufgabe 3: 7 Punkte a Ermitteln Sie alle Lösungen z C der Gleichung z+i 3 64i in algebraischer Form. b Skizzieren Sie die Menge der komplexen Zahlen z x + iy in der Gaußschen Zahlenebene, welche der Bedingung Re z Im z 4 genügen. a Mit der Substitution w z + i erhalten wir die Gleichung w 3 64i 64e i +k mit den drei Lösungen w k 3 64 e i 6 + k 3 4e i 6 + k 3, k,,. In algebraischer Form erhalten wir für die w k und die dazugehörigen Lösungen z k w k i der Ausgangsgleichung w 4 cos 6 + i sin 3 4 6 + i z 3, w 4 cos 5 6 + i sin 5 3 4 + i z 3, 6 w 4 cos 3 + i sin 3 4i z 6i. b Mit x Re z und y Im z ergibt sich folgendes Bild:
4 y y 4 y x y x 4 4 x Aufgabe 4: 7 Punkte a Bestimmen Sie die Folgengrenzwerte lim b Bestimmen Sie, für welche Werte von a 36n4 + n 3 n + ] die Reihe [, konvergiert. Berechnen Sie die Summe der Reihe für a 6. n + n und lim. n n n sin a n n a Der erste Grenzwert ist vom Typ und wird am besten durch Kürzen mit der höchsten vorkommenden Potenz von n berechnet: 36n4 + n lim 3 n 4 36 + n lim n + n + lim n 36 + n n + n lim 36 + n + n 36 3. Dabei wurde die Stetigkeit der Wurzelfunktion ausgenutzt. n + n n n + lim lim lim + n n n n lim + n + n n lim + n + n n e e 4. n Dabei wurde der bekannte Grenzwert lim + x n n e x benutzt. b Wir haben sin a n n sin a n, n n d. h. es handelt sich um eine geometrische Reihe q n mit q sin a. Bekanntlich n konvergiert diese genau dann, wenn q < gilt man vergesse hier nicht die Betragsstriche!. Wir haben also Konvergenz genau dann, wenn sin a < sin a < a < 4 4 < a < 4.
Man kann auch, ohne zu beachten, dass es sich konkret um eine geometrische Reihe handelt, das Wurzel- oder Quotientenkriterium auf die Reihe n a n mit a n sin a anwenden und dafür q lim n an bzw. n q lim a n+ a untersuchen. In beiden Fällen erhält man q sin a und hat Konvergenz für q < und n Divergenz für q >. Im Unterschied zu der Betrachtung als geometrische Reihe muss bei diesem Herangehen der Fall q das entspricht a ± gesondert betrachtet werden. 4 Im Fall a 6 liegt nach obiger Betrachtung Konvergenz vor. Da sin 6 ist, haben wir in diesem Falle unter Benutzung der Formel für die Summe einer geometrischen Reihe n n + + + 3.4. {, x, Aufgabe 5: Die Funktion fx sinx, x fortgesetzt. a Skizzieren Sie die Funktion im Intervall [, ]. werde -periodisch b Bestimmen Sie zunächst die Fourierkoeffizienten a, a und b. Hinweis: sinx sinx cosx und sinx cosx sinx. c Bestimmen Sie nun die Fourierreihe der Funktion fx. Hinweis: sinx sinkx cos kx cos + kx und sinx coskx sin kx + sin + kx. 8 Punkte a Skizze: b Fourierkoeffizienten a, a, b : a fx dx sinx dx cosx cos + cos +. a fx cosx dx sinx cosx dx sinx dx 4 cosx cos cos. 4 4 b sin x dx cosx dx fx sinx dx x sinx sin + sin.
c Fourierkoeffizienten a k, b k für k > : a k fx coskx dx sinx coskx dx sin kx + sin + kx dx cos kx cos + kx k + k cos k cos + k cos k + + k + k k k k +k + k + k + + k k + +k k + k cos + k + k Deshalb ist a l+ für l,,..., und a l l + + l + l + l l + l, l,,..., 4l b k fx sinkx dx sinx sinkx dx cos kx + cos + kx dx sin kx sin + kx + k + k sin k sin + k + k + k Damit ergibt sich die Fourierreihe F f x a + a k coskx + b k sinkx k + sinx k k k + sinx + coslx 4l. l sin k k sin + k. + k + +k coskx + k Aufgabe 6: Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem A x b: x a x b 4 x 3 7 Punkte a Für welche a und b besitzt das Gleichungssystem keine, unendlich viele oder genau eine Lösung? b Lösen Sie das Gleichungssystem für die Werte a 3 und b 3.
c Berechnen Sie die Determinante der Matrix A in Abhängigkeit vom Parameter a. a Mittels Gauß-Algorithmus wird zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix in eine Form gebracht, in welcher Aussagen über die Lösbarkeit möglich sind. a b 4 6 a + 4 b + 4 3 a + 3 b + 7 Aus der letzten Gleichung a + 3x b + 7 sind nun folgende Aussagen über die Lösbarkeit möglich: i keine Lösungen: a 3, b 7 dann ist rang A < ranga b 3 ii genau eine a 3 rang A ranga b 3 Anzahl Unbek. iii unendlich viele Lösungen: a 3, b 7 rang A ranga b. b In diesem Falle ist die Matrix regulär rang A 3 und die Lösung daher eindeutig. Auflösen der Leitgleichungen 3 von unten nach oben ergibt x, x, x 3, also den Lösungsvektor x,, T. c Zweckmäßigerweise schreiben wir die Determinante von A nach obiger Anwendung des Gauß-Algorithmus eine Zeilenvertauschung, daher Vorzeichenwechsel auf: det A 3 a + 3 Entw. nach 3. Spalte 3 a + 3 a + 6. Zusatz - Aufgabe: Im Raum R 3 sind folgende fünf Punkte gegeben: P 3, P, P 3, P 4, P 5 3 Punkte. Durch P und P gehe die Gerade g. Durch P 3 und P 4 gehe die Gerade h. Zeigen Sie, dass sich g und h schneiden und bestimmen Sie deren Schnittwinkel. Welchen Abstand hat P 5 zu der von g und h aufgespannten Ebene?
Die Gerade g wird durch den Vektor v P P 3 aufgespannt. Mit P als Aufpunkt ergibt das gt 3 + t. Die Gerade h wird durch den Vektor w P 4 P 3 aufgespannt. Mit P 3 als Aufpunkt ergibt das hs + s. Der Schnittpunkt S zwischen g und h ergibt sich durch Gleichsetzen: gt 3 + t + s hs. Die erste Zeile liefert t. Die letzte Zeile liefert s, also s.5. Beachte: Das allein zeigt noch nicht, dass g und h sich wirklich schneiden. Um das nachzuweisen benutzt man entweder Zeile zwei und zeigt, dass das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist: 3 + t 3 + s.5 w.a. Oder man setzt t in g sowie s.5 in h ein und zeigt, dass die Punkte identisch sind: g h.5 w.a. Für den Schnittwinkel α zwischen g und h gilt cos α v w v w + + + + 6 α 3 6. Alternativ kann α auch über das Kreuzprodukt e x e y e z v w e x e y + e z
bestimmt werden. Es gilt dann sin α v w v w + + + + 6 3 α 3 6. Beachte: Der Schnittwinkel α zweier Geraden kann per Definition nie größer als 9 sein. Erhält man z.b. durch Weglassen des Betrages in Variante einen Winkel β >, gilt α β. Die von g und h aufgespannte Ebene E wird in parameterfreier Form dargestellt. Da v w,, n ein Normalenvektor von E ist, gilt E : x + y z C. Die Konstante C ergibt sich durch Einsetzen eines Punktes von E, hier P, 3, : C + 3 8, also E : x + y z 8. Das entspricht dem alternativen Ansatz C n OP. Für den Abstand d von P 5,, zu E gilt schließlich d n P 5 8 n + + 8 + + 6 3.