Technische Universität Hamburg Sommersemester 8 Institut für Mathematik Prof Dr Marko Lindner Klausur zur Mathematik II (Veranstaltung: Lineare Algebra II 88 Sie haben 6 Minuten Zeit zum Bearbeiten der Klausur Tragen Sie bitte zunächst Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer in DRUCKSCHRIFT in die folgenden jeweils dafür vorgesehenen Felder ein Name: Vorname: Matr-Nr: Stg: AIW BU BVT ET EUT IIW LUM MB MEC SB VT Sonstige Grundsätzlich gilt für alle Studierenden, dass die Module Analysis II und Lineare Algebra II die Gesamtnote für das Fach Mathematik II ergeben Grundsätzlich gilt für alle Studierenden, dass die Lehrveranstaltungen Analysis II und Lineare Algebra II die Gesamtnote für das Modul Mathematik II ergeben Ich bin darüber belehrt worden, dass die von mir zu erbringende Prüfungsleistung nur bewertet wird, wenn das Zentrale Prüfungsamt der TUHH meine ozielle Zulassung vor Beginn der Prüfung bestätigt (Unterschrift Bearbeiten Sie alle wie folgt angegebenen Aufgaben Es werden insgesamt Punkte vergeben Aufgabe Punkte Korrektor 4 5 =
Aufgabe ( Punkte Bestimmen Sie eine Matrix A R mit den Eigenwerten λ = 9, λ = 9, λ = 8 und den zugehörigen Eigenvektoren x =, x =, x = Lösungshinweise Seien 9 D := 9, X := 8 ( P unkt Oenbar ist D diagonal mit den geforderten Eigenwerten auf der Diagonalen, und X ist orthogonal Damit gilt X = X = ( P unkt und A = XDX ist die gesuchte Matrix ( Punkt Wir rechnen noch schnell A aus und erhalten A = 9 9 8 6 6 6 = 6 6 = 8 8 5
Aufgabe Für A R n n sei (5 Punkte U A := { B R n n : BA = AB } (a Zeigen Sie, dass U A ein Unterraum von R n n ist ( (b Sei nun A := Bestimmen Sie eine Basis von U A und die Dimension von U A Lösungshinweise (a Es gilt A = = A, also U A Seien B, C U A Dann gilt (B + CA = BA + CA = AB + AC = A(B + C, also B + C U A Seien nun B U A, λ R Dann gilt (λba = λba = λab = A(λB, also λb U A Insgesamt ist also U A ein Unterraum von R n n ( Punkte ( b b (b Sei B = U b b A Dann gilt ( ( ( ( b b b b = BA = AB = b b b b Ausgerechnet ergibt sich ( b = b ( b b Wir lesen ab: b =, b = b ( Punkt Somit ist ( ( ( b b B = = b b + b ( ( ( Damit ist B =, eine Basis von U A ( Punkt und dim U A = ( Punkt
Aufgabe (4 Punkte Sei l: R P gegeben durch (a Zeigen Sie, dass l linear ist l(x := x m + x m + (x + x m + (x x m (b Ermitteln Sie die Darstellungsmatrix von l bezüglich der Basen B = in R und C = ( m, m, m, m in P Lösungshinweise Seien x, y R, α R Dann gelten ( ( (, l(x + y = (x + y m + (x + y m + ( (x + y + (x + y m + ( (x + y (x + y m = x m + x m + (x + x m + (x x m + y m + y m + (y + y m + (y y m = l(x + l(y, ( P unkt l(αx = (αx m + (αx m + ( (αx + (αx m + ( (αx (αx m = α ( x m + x m + (x + x m + (x x m Damit ist l linear Es gelten = αl(x ( P unkt ( ( l = m m + m + m, ( ( l = m + m + m + m, also Damit ist ( ( C l = ( (, l C = l C B = ( P unkt ( P unkt
Aufgabe 4 (5 Punkte Sei A := Bestimmen Sie eine Jordan-Normalform J von A Lösungshinweise 4 ( ( ( Die Matrix A is eine Block-Diagonalmatrix mit den Blöcken, und auf der Diagonalen Da diese -Matrizen jeweils Dreiecksmatrizen sind, lesen wir für die Eigenwerte von A ab: λ =, α = 4, λ =, α = ( P unkt Wir beginnen mit dem Eigenwert λ = Sei N := A λ I = Oenbar besitzt die 6 6-Matrix N genau drei Pivotelemente, damit ist dim Kern(N = 6 = Die geometrische Vielfachheit γ vom Eigenwert λ = ist also γ = ( Punkt Wir rechnen N =, und lesen ab, dass N zwei Pivotelemente besitzt, also dim Kern(N = 4 = α gilt ( Punkt Damit haben wir die Jordanketten zum Eigenwert λ = ermittelt: x, x, x, x,
Der Jordanblock zu λ = lautet entsprechend J = (5 P unkte Für den Eigenwert λ = rechnen wir analog Sei N := A λ I = Dann besitzt N vier Pivotelemente, also gilt dim Kern(N = = α ( Punkt Die geometrische Vielfachheit γ vom Eigenwert λ = ist also γ = und entspricht der algebraischen Vielfachheit α Die Jordanketten zum Eigenwert λ = sind also x, x, Der Jordanblock zu λ = lautet entsprechend ( J = (5 P unkte Insgesamt erhalten wir J = ( J J =
Aufgabe 5 ( Punkte Seien A := und b := (a Bestimmen Sie die Menge aller x R, so dass Ax b minimal ist (b Ermitteln Sie die Lösung von Ax b Lösungshinweise 5 (a Wir nutzen die Normalengleichung A Ax = A b zur Lösung der Aufgabe Die Lösungsmenge der Normalengleichung liefert genau die Menge aller x, so dass Ax b minimal ist Es gelten A A = (, A b = ( ( P unkt Das Gleichungssystem A Ax = A b besitzt die Lösungsmenge { ( } L = x : x R ( P unkt (b Die Lösung des Ausgleichsproblems Ax ( b ist dasjenige x L mit minimaler Norm Wegen o L ist damit x = die Lösung des Ausgleichsproblems ( Punkt