Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen
Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind: a 12 a 13 a 1n a 22 a 23 a 2n A = a m1 a m2 a m3 a mn Die Ausdrücke a ik der Matrix heißen Elemente der Matrix Erster Index: Zeilenindex; zweiter Index: Spaltenindex Ein Vektor aus R n kann rein formal auch als n x 1 Matrix aufgefasst werden Eine andere gebräuchliche Schreibweise für eine m x n Matrix ist (m,n) Matrix 2
Spezielle Matrizen 1) Nullmatrix: Einträge bestehen ausschließlich aus Nullen 2) Transponierte Matrix: Ausgehend von der m x n Matrix A A = a 12 a 1n a 22 a 2n definieren wir die n x m Matrix A T a m1 a m2 a mn A T = a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a nm dh, wenn für die Einträge a kit von A T gilt a ik = a ki T 3
Spezielle Matrizen 3) Quadratische Matrix Für quadratische Matrizen ist die Zeilen- und Spaltenanzahl identisch (m = n), und es gilt weiter: Unter der Hauptdiagonale der (n x n) Matrix versteht man die Matrixelemente, a 22, a 33, a 44, a nn Hauptdiagonalelemente: Elemente a ii von links oben nach rechts unten Nebendiagonalelemente: Elemente a i(n-i+1) (i = 1 n) von rechts oben nach links unten Auch bei nicht-quadratischen (m,n)-matrizen nennt man die Elemente a ii Hauptdiagonalelemente 4
Spezielle Matrizen 3) Quadratische Matrix Eine quadratische Matrix heißt regulär, wenn ihre Determinante von null verschieden ist, und singulär, wenn die Determinante gleich null ist linke untere Dreiecksmatrix Nullen rechte obere Dreiecksmatrix Nullen 5
Spezielle Matrizen 3) Quadratische Matrix Diagonalmatrix Nullen Nullen Eine Diagonalmatrix genügt den Kriterien sowohl einer linken unteren als auch einer rechten oberen Dreiecksmatrix Sie besitzt lediglich auf der Hauptdiagonalen Einträge Kurzschreibweise: D = diag(,a 22, a 33,, a nn ) Eine spezielle Diagonalmatrix ist die (n-dimensionale) Einheitsmatrix E n E n = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 6
Spezielle Matrizen 4) Symmetrische Matrix: Quadratische n x n Matrix, für deren Einträge gilt: a ik = a ki (i,k = 1,, n) 7
Elementare Matrizenalgebra 1) Gleichheit von Matrizen Zwei Matrizen A = (a ik ) vom Typ (p,q) und B = (b ik ) vom Typ (r,s) heißen gleich genau dann, wenn sie vom selben Typ sind und in allen an gleichen Stellen stehenden Elementen übereinstimmen, dh wenn p = r und q = s und a ik = b ik für alle i und k Man schreibt dann A = B 2) Summen typengleicher Matrizen Die Summe A + B zweier typengleicher Matrizen A = (a ik ) und B = (b ik ) ist die Matrix C = (c ik ) desselben Typs mit c ik = a ik + b ik für alle i und k Die Addition typengleicher Matrizen geschieht somit elementweise Die Addition typengleicher Matrizen ist assoziativ, kommutativ und distributiv 3) Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl Das Produkt einer Matrix A = (a ik ) mit einer reellen Zahl λ ist die Matrix λ A = (λ a ik ), dh die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl geschieht elementweise 8
Elementare Matrizenalgebra 4) Verkettete Matrizen - Matrizenmultiplikation Zwei Matrizen A = (a ik ) vom Typ (m x n) und B = (b ik ) vom Typ (n x p) heißen in dieser Reihenfolge verkettet, wenn die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Reihenzahl der zweiten Matrix ist Das Produkt A B zweier in dieser Reihenfolge verketteten Matrizen ist die Matrix vom Typ (m x p) mit n c ik = a ij b jk j=1 dh das in der i-ten Zeile und k-ten Spalte der Produktmatrix stehenden Element ergibt sich als Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors von A mit dem k-ten Spaltenvektor von B Um von den Matrizen A und B das Matrizenprodukt A B zu bilden, ist es strikt notwendig, dass die Matrix A so viele Spalten aufweist wie B Zeilen besitzt Beispielsweise lässt sich eine 3 x 2 Matrix A nicht mit einer 3 x 3 Matrix B in der oben beschriebenen Weise multiplizieren 9
Elementare Matrizenalgebra (5 x 6) (6 x 3) (5 x 3) = + + + 5) Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Die Multiplikation verketteter Matrizen ist assoziativ Sie ist nicht kommutativ Es gibt Nullteiler, dh Matrizen A 0, B 0, deren Produkt die Nullmatrix ist 10
Elementare Matrizenalgebra 6) Matrix Vektor Multiplikation (m x n) (n x 1) (m x 1) (m x 1) a 12 a 1n a 22 a 2n a m1 a m2 a mn x 1 x 2 x n = x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b 1 b 2 b n (1 x n) (n x 1) (1 x 1) a 1 a 2 a 3 a n x 1 x 2 x n = a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c 11
Lineare Gleichungssysteme Jedes lineare Gleichungssystem, bestehend aus m Gleichungen mit n Unbekannten x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x = n b 1 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m läßt sich auch gleichwertig in der Schreibweise Ax = b mit der m x n Koeffizientenmatrix A = b 1 b 2 Seite b = darstellen a 12 a 1n a 22 a 2n a m1 a m2 a mn und der rechten b m 12
Quadratisches lineares Gleichungssystem a 12 a 1n a 22 a 2n a n1 a n2 a nn x 1 x 2 x n = b 1 b 2 b n a 12 a 22 x 1 + x 2 + + x n a n1 a n2 a 1n a 2n a nn = b 1 b 2 b n s 1 s 2 s n Diese Gleichung besitzt genau dann für jede rechte Seite b eine Lösung (x 1,, x n ), wenn jeder Vektor b als Linearkombination der Spalten s 1, s n dargestellt werden kann Dies ist äquivalent zu der Bedingung, dass die Determinante der Matrix A null ist: det A 0 13
Determinante einer Matrix Jeder n-reihigen quadratischen Matrix A = (a ik ) mit reellen bzw komplexen Elementen läßt sich auf eindeutige Weise eine reelle bzw komplexe Zahl zuordnen, die man als Determinante von A bezeichnet a 12 a 13 a 1n D = det A = det a 22 a 23 a 2n = a n1 a n2 a n3 a nn a 12 a 13 a 1n a 22 a 23 a 2n a n1 a n2 a n3 a nn 14 D = π (-1) j(π) a 1,i1 a 2,i2 a 3,i3 a n,in wobei die Summe über alle Permutationen π der Zahlen 1,2, n zu erstrecken ist Man bildet also zunächst aus den Elementen von A alle möglichen Produkte a 1,i1 a 2,i2 a 3,i3 a n,in zu je n Faktoren in der Weise, daß jedes der Produkte aus jeder Zeile und aus jeder Spalte genau ein Element als Faktor enthält Der Wert des Ausdrucks (-1) j(π) ergibt sich aus der Anzahl j(π) der Inversionen der Permuation π Alle diese n! Summanden werden aufaddiert; die Summe ist det A
Einschub: Permutationen Jede Aneinanderreihung von n voneinander verschiedenen Dingen unter Beachtung der Reihenfolge heißt eine Permutation ohne Wiederholung dieser Dinge (Bronstein) Für die Anzahl A(P n ) aller Permutationen von n Elementen gilt: A(P n ) = n! Beispiel: Es gibt 10! = 3 628 800 verschiedene Möglichkeiten, 10 Bücher auf einem Regal anzuordnen Schreibweise (n = 3): π = Mögliche Permutationen: n! = 6 1 2 3 i 1 i 2 i 3 15
Einschub: Permutationen Inversion j(π) einer Permutation: Treten in der Matrix einer Permutation der Elemente von (1,,n) zwei Spalten s i s j t i t j auf, für die entweder s i < s j und t i > t j oder aber s i > s j und t i < t j gelten, so heißt ein solches Spaltenpaar eine Inversion von P n 16
Determinante einer Matrix Regel von Sarrus Determinante einer 1 x 1 Matrix: Interpretieren wir eine Zahl c als eine 1 x 1 Matrix, so erklären wir die Determinante dieser Matrix als die Zahl selbst: det(c) = c Determinante einer 2 x 2 Matrix: a det A = 12 = a a 22 a 12 22 17
Determinante einer Matrix Regel von Sarrus Determinante einer 3 x 3 Matrix: a 12 a 13 det A = a 22 a 23 = a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 32 a 31 a 32 a 33 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 33 a 12 18
Determinante einer Matrix Regel von Sarrus + + - - - 19
Determinante einer Matrix Regel von Sarrus Determinante einer n x n Matrix: Es sei A eine n x n Matrix Ferner sei M ij die (n-1) x (n-1) Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte hervorgeht Wir bezeichnen mit A ij = (-1) i+j det M ij die Adjunkte von A zum Doppelindex (ij) Dann sei die Determinante von A definiert durch det A = a i1 A i1 + + a in A in für jeden Zeilenindex i mit 1 i n oder Entwicklung nach der i-ten Zeile det A = a 1j A 1j + + a nj A nj für jeden Spaltenindex j mit 1 j n Entwicklung nach der j-ten Spalte 20
Die Inverse Matrix Ist A eine n-reihige Matrix, so ist ihre Regularität notwendig und hinreichend für die Existenz einer Matrix A -1 mit der Eigenschaft A A -1 = E n Unter diesen Bedingungen ist die Inverse A -1 von A eindeutig bestimmt, und es gilt auch A -1 A= E n Berechnung der Inversen von A A -1 = (1 / det A) A 11 A 12 A 13 A 1n A 21 A 22 A 23 A 2n A n1 A n2 A n3 A nn T wobei A ik die zum Element a ik von A gehörende Adjunkte ist 21
Eine quadratische Matrix A heißt symmetrische Matrix, wenn gilt A T = A schiefsymmetrische Matrix, wenn gilt A T = A orthogonale Matrix, wenn A regulär und A T = Ā 1 Eine quadratische Matrix A mit komplexen Elementen heißt hermitesche Matrix, wenn gilt A T = A schiefhermitesche Matrix, wenn gilt A T = A unitäre Matrix, wenn A regulär und A T = Ā 1 Weitere Matrizeneigenschaften Transponierte Matrix A T : Die Zeilenvektoren der zu A transponierten Matrix A T sind die Spaltenvektoren von A A ist die zu A konjugiert komplexe Matrix A entsteht aus A, indem jedes Element durch die zu ihm konjugiert komplexe Zahl ersetzt wird Komplexe Zahl: a = x + iy; konjugiert komplexe Zahl: a = x - iy 22 Für orthogonale Matrizen ist det A = ± 1