2. Methode der Randelemente

2. Methode der Randelemente Bei allgemeinen Schall abstrahlenden Flächen lässt sich der Schalldruck an einem beliebigen Punkt im Raum aus einem Integral über auf der Fläche definierte Funktionen berechnen. Die Funktionen auf der Fläche müssen eine Integralgleichung erfüllen, die numerisch gelöst wird. Je nach Wahl der Funktionen auf der Fläche wird zwischen direkten und indirekten Methoden unterschieden. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-1

2. Methode der Randelemente 2.2 Direkte Methode 2.3 Bewertung Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-2

Fundamentallösung: Die Funktion ist eine Lösung der Helmholtz-Gleichung, die die Abstrahlbedingung von Sommerfeld erfüllt. Sie beschreibt das Schallfeld einer Punktquelle, die sich im Ursprung des Koordinatensystems befindet. Befindet sich die Punktquelle im Punkt P mit den Koordinaten y, so gilt für das Schallfeld: G x, y = e i k r P r = e i k r 4 r 4 r mit r= x y Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-3

Die Funktion G x, y wird als Fundamentallösung der Helmholtz-Gleichung bezeichnet. Einfachschicht-Potenzial: Da die Helmholtz-Gleichung linear ist, ist auch jede Linearkombination P x = k G x, y k k eine Lösung der Helmholtz-Gleichung. Der Grenzübergang auf unendlich viele infinitesimale Punktquellen, die auf einer Fläche S angeordnet sind, führt auf P 1 x = y G x, y ds y S Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-4

Für alle Werte von x, die nicht auf der Fläche S liegen, ist P 1 (x) eine Lösung der Helmholtz-Gleichung, die als Einfachschicht-Potenzial bezeichnet wird. Eigenschaften des Einfachschicht-Potenzials: oben n C S unten Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-5

Entlang jeder Kurve C, die die Fläche S schneidet, ist P 1 (x) beim Durchgang durch die Fläche stetig. Die Ableitung in Richtung der Flächennormalen n macht beim Durchgang durch die Fläche einen Sprung. Ist P 1 o der Schalldruck oberhalb der Fläche und P 1 u der Schalldruck unterhalb, so gilt: P 1 o Für den Mittelwert der Ableitungen gilt: u n P 1 n = o u 1 P 1 2 n P 1 n = S y G x, y n x ds y Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-6

Doppelschicht-Potenzial: Da die Helmholtz-Gleichung linear ist, ist auch jede Richtungsableitung der Fundamentallösung eine Lösung. Damit ist aber auch P 2 x = S y G x, y n y ds y eine Lösung der Helmholtz-Gleichung, solange x nicht auf S liegt. Diese Lösung wird als Doppelschicht-Potenzial bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-7

Eigenschaften des Doppelschicht-Potenzials: Entlang jeder Kurve C, die die Fläche S schneidet, macht der Schalldruck beim Durchgang durch die Fläche einen Sprung, für den gilt: P o 2 P u 2 = Die Ableitung in Richtung der Flächennormalen ist stetig. Für den Mittelwert des Schalldrucks gilt: 1 2 P o 2 P = 2u y S G x, y n y ds y Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-8

Randbedingungen: Auf der Fläche S p ist der Schalldruck vorgeschrieben: P o =P u =P S =0 auf S p Auf der Fläche S v ist die Schallschnelle vorgeschrieben: P o n = Pu n = i 0V Sn =0 auf S v Für jeden Punkt, der nicht auf der Fläche liegt, gilt: P x = y G x, y ds G x, y y y ds y S p S v n y Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-9

Wenn die Funktionen σ und μ bekannt sind, kann der Schalldruck an jedem Punkt im Raum berechnet werden. Liegt x auf S p, so muss gelten: P S x = y G x, y ds G x, y y y S p S v n y Liegt x auf S v, so muss gelten: ds y i 0 V Sn x = S p y G x, y n x ds y S v y 2 G x, y ds y n x n y Aus diesen beiden gekoppelten Integralgleichungen können die Funktionen σ und μ berechnet weden. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-10

Freie Ränder und Verzweigungen: Freier Rand: P o =P u =0 Verzweigung: μ = 0 P 1 o = P 2 u μ 1 μ 2 1 2 2 =P 1 o P 1 u P 2 o P 2 u P 3 o P 3 u =P 1 o P 2 u P 2 o P 3 u P 3 o P 1 u =0 P 3o = P 1 u μ 3 P 2 o = P 3 u Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-11

Numerische Lösung des Integralgleichungssystems: Die gekoppelten Integralgleichungen können mit einem Bubnow-Galerkin-Verfahren numerisch gelöst werden. Schwache Formulierung der Integralgleichungen: S p x P S x ds x = S p S p i 0 S v S p S v x V Sn x ds x = S v S p x y G x, y ds y ds x G x, y x y ds y ds x n y G x, y x y ds y ds x n x x y 2 G x, y ds y ds x n x n y S v S v Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-12

Diskretisierung: x = N k x s k =[ N x ] [ s ], x =[ N x ] [ s ] x = M k x d k =[ M x ] [d ], x =[ M x ] [ d ] Finite Elemente: Die Flächen werden in finite Elemente unterteilt. Die Koeffizienten s k bzw. d k entsprechen den Werten von σ bzw. μ an den Knotenpunkten der finiten Elemente. Die Interpolationsfunktionen N k (x) bzw. M k (x) werden aus den Interpolationsfunktionen der finiten Elemente aufgebaut. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-13

Matrizen: [ S ]= [ N x ] T [ N y ]G x, y ds y ds x S p S p [C ]= [ N x ] T [ M y ] S p S v = [ N x ] T [ M y ] S p S v [ B ]= S v S v G x, y ds y ds x n x G x, y ds y ds x n y [ M x ] T [ M y ] 2 G x, y n x n y [ F s ]= S p [ N x ] T P S x ds x [ F d ]=i 0 S v [ M x ] T V Sn x ds x ds y ds x Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-14

Alle Matrizen sind komplex, voll besetzt und hängen von der Erregerfrequenz ab. Die Matrizen und sind symmetrisch. Gleichungssystem: Dieses symmetrische Gleichungssystem muss für jede Erregerfrequenz gelöst werden. [ s ] [d ] [ S ] [ B ] [ [ S ] [C ] [C ] T [ B ]][ [ s ] [d ]] = [ [ F s ] [ F d ]] Mit und sind σ und μ bekannt, so dass der Schalldruck in jedem Punkt des Raumes berechnet werden kann. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-15

Geschlossene Flächen: Im mathematischen Modell befindet sich immer auf beiden Seiten der Fläche das gleiche akustische Medium In von geschlossenen Flächen begrenzten Raumgebieten existieren Eigenschwingungen. Wenn die Erregerfrequenz mit einer der zugehörigen Resonanzfrequenzen übereinstimmt, haben die Integralgleichungen keine eindeutige Lösung. Dieses Problem tritt auch dann auf, wenn sich in dem inneren Raumgebiet gar keine Luft befindet. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-16

Beispiel: Schallabstrahlung eines Motorblocks Im mathematischen Modell befindet sich auch im Innern des Motorblocks Luft. Für jede Resonanzfrequenz des Innenraums kann das Gleichungssystem nicht eindeutig gelöst werden. Die Anzahl der Resonanzfrequenzen des Innenraums nimmt mit steigender Erregerfrequenz stark zu. Abhilfe: Im Innenraum wird eine zusätzliche absorbierende Fläche modelliert. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-17

Bewertung: Die indirekte Methode kann für beliebige abstrahlende Flächen eingesetzt werden. Im mathematischen Modell befindet sich auf beiden Seiten der Fläche immer das gleiche akustische Medium. Probleme, bei denen sich auf den beiden Seiten einer Fläche unterschiedliche akustische Medien befinden, können mit der indirekten Methode nicht berechnet werden. Bei geschlossenen Flächen wird immer das Außenraumproblem zusammen mit dem Innenraumproblem gelöst. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-18

2.2 Direkte Methode Aufgabenstellung: Für eine geschlossene Fläche S soll entweder das Schallfeld im Innern V i V a n oder das Schallfeld im Äußeren V a berechnet werden. Der Normalenvektor wird so gewählt, dass er in das akustische Medium zeigt. Der Schalldruck im Raum soll in Abhängigkeit von Schalldruck und Schallschnelle auf der Fläche dargestellt werden. S V i Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-19

2.2 Direkte Methode Lösung für das Außenraumproblem: Für einen beliebigen Punkt in V a gilt: P x = G x, y y y G x, S n y y ds y Auf der Fläche S p ist der Schalldruck vorgegeben: P o =P S Auf der Fläche S v ist die Schallschnelle vorgegeben: P o n = i 0V Sn Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-20

2.2 Direkte Methode Aus den Eigenschaften des Einfachschicht-Potenzials und des Doppelschicht-Potenzials folgt für Punkte auf S: 1 2 P o P u = G x, y y y G x, S n y y ds y Mit =P o P u und = Po folgt daraus: n Pu n 1 2 Po P u = S p P S y P u y G x, y n y ds y S v y G x, y n y Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-21 ds y y G x, y ds y i 0 V Sn y V nu G x, y ds y S p S v

2.2 Direkte Methode Für den Innenraum wird gefordert: P u n =0 auf S p, P u =0 auf S v Wenn die Erregerfrequenz nicht mit einer Resonanzfrequenz des Innenraums zusammen fällt, ist P u =0 die einzige Lösung. Dann gilt auf dem gesamten Rand S: P u =0 =P o =P, P u n =0 = Po n = i 0V n Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-22

2.2 Direkte Methode Damit gilt auf der gesamten Fläche S: 1 2 P x = S Aus dieser Integralgleichung kann der Druck P auf der Fläche S v und die Schallschnelle V n auf der Fläche S p bestimmt werden. Anschließend kann der Schalldruck an jedem Punkt im Außenraum V a berechnet werden: P x = S G x, y P y i 0 V n y G x, n y y ds y G x, y P y i 0 V n y G x, n y y ds y Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-23

2.2 Direkte Methode Wenn die Erregerfrequenz nicht mit einer Resonanzfrequenz des Innenraums V i zusammenfällt, gilt im Innenraum: G x, y P y i 0 V n y G x, S n y y ds y=0 Irreguläre Frequenzen: Wenn die Erregerfrequenz mit einer Innenraumresonanz zusammenfällt, gibt es keine eindeutige Lösung. Eine Möglichkeit, die Lösung eindeutig zu machen, besteht darin, zusätzlich zur Integralgleichung zu fordern, dass an einigen Punkten im Innenraum der Schalldruck null wird. Diese Punkte dürfen nicht an Stellen liegen, an denen der Schalldruck einer Eigenschwingung null ist. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-24

2.2 Direkte Methode Dieses Verfahren wird als CHIEF (Combined Helmholtz Integral Equation Formulation) bezeichnet (Schenk, 1968). Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Integralgleichung mit ihrer Ableitung in Richtung der Flächennormalen zu kombinieren (Burton und Miller, 1971). Das Verfahren von Burton und Miller ist rechnerisch aufwändiger, aber numerisch stabiler. Lösung für das Innenraumproblem: Für das Innenraumproblem ergeben sich die gleichen Gleichungen wie für das Außenraumproblem, wenn die Richtung des Normalenvektors auf dem Rand umgedreht wird. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-25

2.2 Direkte Methode Numerische Lösung der Integralgleichung: Die Integralgleichung wird meist mit einem Kollokationsverfahren gelöst. Dazu wird zunächst die Fläche in finite Elemente unterteilt. Für Schalldruck und Schallschnelle auf der Fläche wird ein Interpolationsansatz gemacht: P x = N k x P k =[ N x ] [ P ], V n x = N k V kn =[ N x ] [V ] [ P ] [V ] Schalldruck und Schallschnelle werden bestimmt, indem der Ansatz in die Integralgleichung eingesetzt wird und gefordert wird, dass die entstehende Gleichung an geeigneten Punkten der finiten Elemente erfüllt ist. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-26

2.2 Direkte Methode Dieses Kollokationsverfahren führt auf das Gleichungssystem k 1 2 N k x l S =i 0 k S N k y G x l, y n y ds y P k N k y G x l, y ds y V k, l=1,,n Daraus können die unbekannten Größen auf der Fläche bestimmt werden. Die Matrizen dieses Gleichungssystem sind komplex, voll besetzt, unsymmetrisch und hängen von der Erregerfrequenz ab. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-27

2.2 Direkte Methode Bewertung: Die direkte Methode kann nur angewendet werden, wenn die abstrahlende Fläche geschlossen ist und keine Verzweigungen hat. Es kann entweder das Innenraumproblem oder das Außenraumproblem gelöst werden. Beim Außenraumproblem sind zusätzliche Maßnahmen erforderlich, damit das Gleichungssystem auch gelöst werden kann, wenn die Erregerfrequenz mit einer Innenraumresonanz übereinstimmt. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-28

2.3 Bewertung Im Vergleich zur Methode der Finiten Elemente ist der Modellierungsaufwand geringer, da nur Flächen vernetzt werden müssen. Da die entstehenden Matrizen komplex, voll besetzt und frequenzabhängig sind, ist der Rechenaufwand größer. Eigenschwingungen lassen sich nur mit sehr großem Aufwand berechnen, da dazu ein nichtlineares Eigenwertproblem gelöst werden muss. Bei hohen Erregerfrequenzen ergeben sich die gleichen Schwierigkeiten wie bei der Methode der Finiten Elemente. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-29

Fast Multipole Method: 2.3 Bewertung Moderne Randelement-Methoden basieren auf der Fast Multipole Method (FMM). Sie werden auch als FastBEM bezeichnet. Die Gleichungen werden iterativ gelöst, ohne dass die Matrizen explizit aufgestellt werden. Der Einfluss eines Flächenstückes auf Punkte, die weit davon entfernt liegen, wird über Multipole approximiert. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-30