5. Elastizitätsgesetz Das Materialgesetz ist eine Beziehung zwischen den Spannungen, den Verzerrungen und den Temperaturänderungen. Das Materialgesetz für einen elastischen Körper wird als Elastizitätsgesetz bezeichnet. Im Folgenden wird ein homogener isotroper Körper betrachtet: Homogen: Die Materialeigenschaften an jeder Stelle des Körpers sind gleich. Isotrop: Die Materialeigenschaften sind in allen Richtungen gleich. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-1
5. Elastizitätsgesetz 5.2 Wärmedehnungen Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-2
Lastfall 1: Normalspannung in x-richtung z σ x y x Ein Scheibenelement wird durch eine positive Normalspannung σ x belastet. Dabei tritt eine Verlängerung in x-richtung und eine Querkontraktion in y- und in z-richtung auf. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-3
Bei einem linear-elastischen Material gilt für die Verzerrungen: ϵ x = σ x E, ϵ y= ν ϵ x, ϵ z = ν ϵ x Der Materialkennwert ν heißt Querkontraktionszahl oder Poissonzahl. Lastfall 2: Normalspannung in y-richtung Für die Verzerrungen gilt entsprechend: ϵ y = σ y E, ϵ x= νϵ y, ϵ z = ν ϵ y Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-4
Typische Werte der Poissonzahl: Material Eisen Stahl Aluminium Magnesium Poissonzahl 0,21 0,26 0,27 0,30 0,33 0,35 Lastfall 3: Schubspannung Bei einem linear-elastischen Material gilt für die Scherung: τ xy γ xy = τ xy G y π/2 - γ xy τ xy Der Materialkennwert G heißt Schubmodul. x Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-5
Hookesches Gesetz für den ebenen Spannungszustand: Der allgemeine ebene Spannungszustand ist eine Überlagerung der drei betrachteten Lastfälle: ϵ x = 1 E ( σ x νσ y ), ϵ y = 1 E ( σ y ν σ x ), γ xy = τ xy G Für die Querkontraktion in z-richtung gilt: ϵ z = ν E ( σ x +σ y ) Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-6
Auflösen der Gleichungen für die Verzerrungen nach den Spannungen ergibt: σ x = E (ϵ 1 ν 2 x +ν ϵ y ), σ y = E (ϵ 1 ν 2 y + νϵ x ), τ xy =G γ xy Bei einem isotropen Material sind die Gleichungen für die Dehnungen und die Scherung entkoppelt. Normalspannungen verursachen keine Scherung, und eine Schubspannung verursacht keine Dehnungen. Daraus folgt unmittelbar, dass die Hauptdehnungsrichtungen mit den Hauptspannungsrichtungen übereinstimmen. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-7
Volumenänderung: Betrachtet wird ein kleiner achsenparalleler Quader mit den Kantenlängen Δx, Δy und der Dicke h. Für sein Volumen im unverformten Zustand gilt: V =Δ x Δ y h Im verformten Zustand ändern die Kanten ihre Längen um ϵ x Δ x, ϵ y Δ y und ϵ z h. Das Volumen des verformten Quaders ist: V '=(1+ϵ x ) Δ x (1+ϵ y ) Δ y (1+ϵ z ) h=(1+ϵ x ) (1+ϵ y ) (1+ϵ z )V Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-8
Für kleine Dehnungen folgt: V ' (1+ϵ x +ϵ y +ϵ z )V Damit berechnet sich die relative Volumenänderung zu: Δ V V =V ' V V =ϵ x+ϵ y +ϵ z Mit ϵ x +ϵ y +ϵ z = 1 E ( σ x ν σ y +σ y ν σ x ν σ x ν σ y )= 1 2 ν E (σ x +σ y ) folgt: Δ V V =1 2 ν E (σ x +σ y ) Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-9
Damit das Volumen für σ x + σ y > 0 zunimmt, muss gelten. ν<0,5 Für ν = 0,5 ändert sich das Volumen nicht. Materialien, deren Volumen sich unter Belastung nicht ändert, werden als inkompressibel bezeichnet. Ein Beispiel für ein nahezu inkompressibles Material ist Gummi. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-10
Zusammenhang der Materialkennwerte: Bei einem isotropen Material stimmen die Hauptspannungsrichtungen mit den Hauptdehnungsrichtungen überein: 2 τ xy σ x σ = γ xy y ϵ x ϵ y Mit dem Elastizitätsgesetz folgt: 2 τ xy σ x σ y = 2 (1 ν2 )G γ xy E ( ϵ x +ν ϵ y ϵ y ν ϵ = 2 (1 ν2 ) G γ xy x ) E (1 ν ) ( ϵ x ϵ y ) = 2 (1+ν) G E γ xy ϵ x ϵ y Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-11
Es muss also gelten: 2 (1+ν)G E =1 G= E 2 (1+ν ) Ein isotropes Material wird durch nur zwei unabhängige Materialkennwerte beschrieben. Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-12
5.2 Wärmedehnungen Wärmedehnungen für ein isotropes Material: Für die Dehnungen infolge einer Temperaturänderung gilt: Es tritt keine Scherung auf. ϵ x =ϵ y =ϵ z =α T Δ T Der Materialkennwert α T heißt Wärmeausdehungskoeffizient. Typische Werte des Wärmeausdehungskoeffizienten: Material Stahl Aluminium Magnesium α T 10 14 23,8 25 10-6 K -1 Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-13
5.2 Wärmedehnungen Materialgesetz für ein isotropes Material: Verzerrungs-Spannungs-Beziehungen: ϵ x = 1 E ( σ x νσ y )+α T ΔT, ϵ y = 1 E ( σ y ν σ x )+α T Δ T, γ xy = τ xy G ϵ z = ν E ( σ x +σ y )+α T Δ T Spannungs-Verzerrungs-Beziehungen: σ x = σ y = E 1 ν 2 (ϵ x +ν ϵ y (1+ν) α T Δ T ) E 1 ν 2 (ϵ y +ν ϵ x (1+ν ) α T Δ T ) τ xy =G γ xy Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-14
5.2 Wärmedehnungen Beispiel: Eine Stahlplatte sitzt passgenau in einem starren Hohlraum. Sie kann an den Seiten reibungsfrei gleiten. Die Stahlplatte wird gleichmäßig um ΔT erwärmt. y b x h Gegeben: h = 200 mm, ΔT = 100 K E = 2,1 10 5 MPa, ν = 0,3, α T = 1,2 10-5 K -1 Gesucht: Änderung der Höhe Spannungen Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-15
5.2 Wärmedehnungen Aus dem Gleichgewicht in y-richtung folgt: σ y = 0 In x-richtung kann sich die Platte nicht ausdehnen: ε x = 0 Damit lautet die 2. Gleichung der Spannungs-Verzerrungs- Beziehungen: 0=ϵ y (1+ν)α T Δ T ϵ y =(1+ν)α T Δ T Die Höhenänderung berechnet sich zu h Δ h= 0 ϵ y dy=h ϵ y =h(1+ν)α T Δ T Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-16
5.2 Wärmedehnungen Aus der 1. Gleichung der Verzerrungs-Spannungs-Beziehungen folgt: 0= σ x E +α T ΔT σ x = E α T Δ T Zahlenwerte: Δ h=200 mm 1,3 1,2 10 5 K 1 100 K=0,312 mm σ x = 2,1 10 5 MPa 1,2 10 5 K 1 100 K= 252 MPa (Druck) Prof. Dr. Wandinger 2. Ebene Elastizitätstheorie TM 2 2.5-17