1 Spannungsquelle Belastete und unbelastete Spannungsquelle: Unbelastete Spannungsquelle Bei einer unbelasteten Spannungsquelle liegt kein geschlossener Stromkreis vor. Außer dem Innenwiderstand R i der Spannungsquelle ist kein weiterer Widerstand U a angeschlossen. Die Spannungsquelle ist unbelastet. U 0 = U i + U a U 0 = R i I + U a Da I = 0 ist U 0 = U a. Belastete Spannungsquelle Bei einer belasteten Spannungsquelle liegt ein geschlossener Stromkreis vor. Zusätzlich dem Innenwiderstand R i der Spannungsquelle ist ein weiterer Widerstand U a angeschlossen. Die Spannungsquelle ist belastet und es gilt: U 0 = R i I + U a 2 Kirchhoff-Regeln Knotenregel Bei einer Parallelschaltung von Einzelwiderständen müssen nach dem Gesetz der Ladungserhaltung alle zu einem Stromknoten fließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme sein. n I i = 0 i=1 Maschenregel In einem geschlossenen Stromkreis (Masche) ist die Summe aller Quellenspannungen gleich der Summe aller Spannungsabfälle an den Elementen des Netzwerks. Kurz: Die Summe aller Spannungen eines Stromkreises ist Null. n U i = 0 i=1 Physikalisches Grundpraktikum 3 Seite 1 von 5
3 Kondensator Ein Kondensator ist ein elektrisches Bauelement, das elektrische Ladung bzw. elektrische Energie speichern kann. Die Speicherfähigkeit wird als Kapazität bezeichnet. Kondensatoren wirken Spannungsänderungen entgegen (Strom eilt vor). Auf- und Entladevorgang im Kondensator: Aufladung Ein Kondensator kann mit Hilfe eines in Reihe geschalteten ohmschen Widerstand geladen werden. Dabei addieren sich die Teilspannungen an den Bauelementen (Widerstand U r und Kondensator U c ) zur Gesamtspannung. Es gilt (Ansatz für die DGL): U 0 + U r (t) + U c (t) = 0 Dies lässt sich mit U r = R I (Ohmsches Gesetz) und U c = C Q (Kapazität) umformen zu: U 0 + R I(t) + Q(t) C = 0 U 0 + R dq(t) dq(t) + Q(t) C = 0 + 1 R C Q(t) + U 0 R = 0 Die Lösung der DGL ergibt sich durch: ( ( U C (t) = U 0 1 exp 1 )) I C (t) = U ( 0 R exp 1 ) Das Produkt R C im Nenner des Exponenten bildet eine Zeitkonstante τ. Entladung Die Entladung erfolgt entgegengesetzt, aber analog zur Aufladung: ( U C (t) = U 0 exp 1 ) Physikalisches Grundpraktikum 3 Seite 2 von 5
I C (t) = U ( 0 R exp 1 ) 4 Spule Eine Spule ist ein elektrisches Bauelement, das magnetische Felder erzeugen kann. Die Fähigkeit zur magnetischen Indkution wird als Induktivität bezeichnet. Spulen wirken Stromänderungen bei entgegen (Spannung eilt vor). Einschalt- und Ausschaltvorgang in der Spule: Einschaltvorgang Auch bei er Spule liegt ein zeitabhängiges Verhalten vor. Beim Einschalten erzeugt die Induktivität der Spule eine Selbstinduktionsspannung U L, welche den Stromanstieg verzögert. Im Einschaltmoment gilt U ges = U L. U 0 = U L (t) + U R (t) Mit U R = R I (Ohmsches Gesetz) und U L = L di U 0 = L di + R I(t) Ein weiteres mal nach der Zeit abgeleitet ergibt sich: 0 = L Ï + R I (Induktivität) gilt: 0 = Ï + R L I Die Lösung der DGL ergibt sich durch: U L (t) = U 0 (1 exp ( RL )) I L (t) = U 0 R ( 1 exp ( RL )) Der Quotient L R im Exponenten bildet eine Zeitkonstante τ. Physikalisches Grundpraktikum 3 Seite 3 von 5
Ausschaltvorgang Nach der Lenz schen Regel fließt unter dem Abbau des Magnetfeldes ein Kurzschlussstrom in gleiche Richtung des unterbrochenen Versorgungsstroms weiter. Die Ursache für den Kurzschlussstrom ist das Magnetfeld und die daraus entstandene Selbstinduktionsspannung. Für den Ausschaltvorgang gilt: U L (t) = U 0 exp ( RL ) I L (t) = U 0 ( R exp RL ) 5 Schwingkreise Harmonischer Oszillator Ein harmonischer Oszillator ist ein schwingungsfähiges System mit linearer Rückstellgröße (proportional zur Auslenkung entgegenwirkende Kraft). Der harmonische Oszillator kann durch folgende Differentialgleichung beschrieben werden: ẍ + ω 2 0x = 0 Dabei bezeichnet x(t) die Auslenkung zu einem bestimmten Zeitpunkt und ω 0 die Eigenfrequenz des Systems. Freie gedämpfte elektrische Schwingung Eine freie gedämpfte Schwingung ergibt sich aus einem schwingungsfähigem elektrischen System, welches einmal in Schwingung gebracht wurde, jedoch ohne äußere Einflüsse gedämpft ausschwingt. Dieses System kann allgemein durch folgende Differentialgleichung beschrieben werden: ẍ + ω 0 ẋ + ω 2 0x = 0 Im Falle eines RLC-Schwingkreises ergibt sich: L Q + R Q + 1 C Q = 0 Eigenfrequenz von RLC-Systemen Im ungestörten Fall schwingen schwingungsfähige elektrische L-Systeme in der Eigenfrequenz. ω 0 = 1 LC 6 Abklingvorgang im RLC-Schwingkreis Ein Abklingvorgang ergibt sich aus der Dämpfung eines Schwingkreises. Die Dämpfung ergibt sich über den Widerstand R. Dabei sind drei Fälle möglich. (1) Freie schwach gedämpfte Schwingung, (2) Kriechfall und (3) aperiodischer Grenzfall. Physikalisches Grundpraktikum 3 Seite 4 von 5
Für einen Abklingvorgang kann die Abklingkonstante angegeben werden: δ = ω 0 D Dabei entspricht ω 0 der Eigenfrequenz und D dem Dämpfungsgrad. Dieser ergibt sich für L-Schwingkreise über: D = R 2 L C = R 2Lω 0 Aperiodischer Grenzfall Der Aperiodische Grenzfall liegt vor, wenn δ = ω 0. Der Dämpfungsgrad ist damit genau D = 1. Auf ein RLC-Schwingsystem übertragen bedeutet dies: R = 2 Es ergibt sich: L C U c (t) = U k e δt (1 + δt) Im aperiodischen Grenzfall kommt es zu keinem Nulldurchgang bzw. endet der Schwingvorgang genau bei Null. Der Nullpunkt wird jedoch relativ schnell erreicht. Damit liegt der aperiodische Grenzfall an der Grenze zwischen Kriechfall (aperiodischer Fall) und freier gedämpfter Schwingung. Kriechfall Der Kriechfall (aperiodische Fall) liegt vor, wenn δ > ω 0. Der Dämpfungsgrad ist damit D > 1. Für einen RLC-Schwingkreis ergibt sich: ( ) tanh δ2 ω 2 ) U c (t) = U k e δt 0 1 cosh ( δ 2 ω 20 1 δ2 /ω 0 2 Im Kriechfall kommt es ebenfalls zu keinem Nulldurchgang. Im Gegensatz zum aperiodischen Grenzfall dauert es sehr lange bis der Gleichgewichtszustand erreicht ist. Der Kondensator entlä sich nur sehr langsam und verliert seine Spannung nur asymptotisch. Dadurch gibt es keine Schwingung. Physikalisches Grundpraktikum 3 Seite 5 von 5