Algebraische Gleichungen

13 Algebraische Gleichungen H.Ra,J.M.Ra,Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, OI 10.1007/978-3-658-07788-4_, Sringer Fachmedien Wiesbaden 015.1 Lineare Gleichungen >Lehrbuch Kaitel 3.1.1 x 1 7 x 5 14 3x C 5 14 4 3x 1 Wir machen die Brüche gleichnamig und multilizieren die Gleichung mit dem Hautnenner. 3.x 1/ 3 7 3.x 5/ 3 14 3.3x C 5/ 3 14.4 3x/ 1 6.x 1/ 3.x 5/ 3.3x C 5/.4 3x/ 1x 6 6x C 15 9x C 15 8 C 6x 6x C 9 15x C 7 9x x 9 L 9.1. ax 4a 3x C 1a 9c c

14 Kaitel Algebraische Gleichungen Wir multilizieren die Gleichung mit c und erhalten ax 4a 3cx C 1ac 9c ax 3cx 4a 1ac C 9c x.a 3c/ 4a 1ac C 9c x.a 3c/ a 3c a 3c L fa 3cg.1.3 3x C 1 a a 1 x a C 1 x 3x x x 1 a C 1 a 1 a 3 1 x a 1 1 1 a a a x.a / a a.a / L fa C g a a a a a a a! a a.a /.a C / a a.a a C /.1.4 x 1 C 3 x C 1 9 x 1 Gleichungen, bei denen die Variable im Nenner vorkommt, werden Bruchgleichungen genannt. Bei diesen Gleichungen ist zu rüfen, für welche Werte ein Nenner Null werden kann. iese Zahlenwerte können nicht Lösung sein, denn sie gehören nicht zur efinitionsmenge. Zur Bestimmungder efinitionsmenge setzen wir der Reihe nach die einzelnen Nenner Null und erhalten x 1 und x 1. amit lautet die efinitionsmenge R nf1i 1g

.1 Lineare Gleichungen 15 ie Gleichung lösen wir, indem wir die Brüche durch Erweitern alle auf den gleichen Nenner den Hautnenner bringen und die ganze Gleichung mit diesem Nenner durchmultilizieren. Anmerkung Bei der Berechnung des Hautnenners genügt es, das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) zu nehmen. Faktoren, die mehrfach vorkommen, werden nur einmal berücksichtigt. So sind in unserem Beisiel die Faktoren (x 1) und (x C 1)in(x 1) enthalten, so dass wir als Hautnenner (x 1)(x C 1) oder x 1 wählen und nicht etwa (x 1)(x C 1)(x 1)..x C 1/ 3.x 1/ C.x 1/.x C 1/.x C 1/.x 1/ 9 x 1 ie Multilikation mit dem Hautnenner führt zu der Gleichung.x C 1/ C 3.x 1/ 9 x C C 3x 3 9 5x 10 oder x L fg.1.5 x C 1 C 1 1 x 1 x efinitionsmenge R nf 1I 0I 1g Wir machen die Gleichung bruchfrei, indem wir die Brüche wieder gleichnamig machen und die Gleichung mit dem Hautnenner.x C 1/.1 x/ x multilizieren..1 x/ x 1.x C 1/ x 1.x C 1/.1 x/ C.x C 1/.1 x/ x.1 x/.x C 1/ x x.x C 1/.1 x/.1 x/ x C 1.x C 1/ x 1.x C 1/.1 x/ x x C x C x 1 x 3x 1 oder x 1 3 1 L 3.1.6 3 x 1 x 3 C x C 1 x 4x C 3 0

16 Kaitel Algebraische Gleichungen efinitionsmenge R nf1i3g 3.x 3/.x 1/.x 3/.x 1/.x 3/.x 1/ C x C 1 x 4x C 3 0 a.x 1/.x 3/ x 4x C 3 ist, ist dies gleichzeitig der Hautnenner. Wir multilizieren mit dem Hautnenner und erhalten 3x 9 x C C x C 1 0 oder 3x 6 0I x L fg.1.7 1 x.x 1/ 3.x 1/.x /.x 4/.1 x/.x 4/ 1. Lösungsweg efinitionsmenge R nf1i I 4g 1.x 1/ x.x /.x 4/ C 3.x 1/.x 1/.x 4/ Wir kürzen den letzten Bruchterm mit.x 1/ und erweitern mit.x /: 1.x 1/ x.x /.x 4/ 3.x /.x /.x 4/ 1.x 1/ 3.x / x 3x C 6 x.x /.x 4/.x /.x 4/ 1 x x C 4.x 4/.x /.x 4/.x /.x 4/ 1 Nach dem Kürzen mit.x 4/ ergibt sich: x 1! Widersruch, d. h. L fg. x Von hier ab könnte die Gleichung aber auch noch weiter bearbeitet werden über einen. Lösungsweg Über Kreuz multilizieren 1 x 1 x x x C x ; d. h. L fg

.1 Lineare Gleichungen 17 3. Lösungsweg 1.x 4/.x /.x 4/.x 1/ 3.x 1/.x /.x 4/.1 x/.x 4/ x 4 x C.x /.x 4/ 3.x 1/.x 1/.x 4/ x 3.x /.x /.x 4/.x /.x 4/ x 3x C 6 oder x 8 x 4 ; d. h. L fg.1.8 9 x 11 4 x 13 C 4 x 4 9 x 7 efinitionsmenge R nf4i 7I 11I 13g Bei 4 verschiedenen Nennern fassen wir jeweils Bruchterme auf jeder Seite der Gleichung zusammen, um die Berechnung etwas zu vereinfachen: 9.x 4/ 4.x 11/ C.x 11/.x 4/.x 4/.x 11/ 4.x 7/ 9.x 13/ C.x 13/.x 7/.x 7/.x 13/ 9x 36 C 4x 44 x 15x C 44 4x 8 C 9x 117 x 0x C 91.13x 80/.x 0x C 91/ ƒ.13x 145/.x 15x C 44/ ƒ 13x 3 60x C1391x 80x C1600x 780 13x 3 1315x C13x44 145x C15145x 44145 340x C 783x 780 340x C 747x 6380 L f5g 36x 900I x 5.1.9 3x 5x 1 6x 6 3x C 3 7.5 10x C x / 6 6x

18 Kaitel Algebraische Gleichungen efinitionsmenge R n f1i 1g 3x 5x 1 6.x 1/ 3.x C 1/ 7.5 10x C x / 6.1 x /. 1/.3x /.x C 1/.5x 1/.x 1/ 6.x 1/.x C 1/ 3.x C 1/.x 1/ 7.5 10x C x / 6.x 1/.3x /.x C 1/.5x 1/.x 1/ 7.5 10x C x / 3x x C 3x.10x x 10x C / 175 C 70x 7x 70x 13x 175 4 L f3g 57x 171I x 3.1.10 5x x x 1 x 4 3x 11x C 6 x 3 3x efinitionsmenge R n 3I 3 5x x.x 1/.3x /.x 4/.x 3/ 3x 11x C 6.x 3/.3x /.3x /.x 3/ 5x x.x 1/.3x /.x 4/.x 3/ 5x x 6x 3x 4x C.x 4x 3x C 1/ 5x x 5x 7x C C 7x 1 x 10I L f10g.1.11 6 5.x C 3/ 3x 1 C 5 x C 1 x 3 x x 3

.1 Lineare Gleichungen 19 efinitionsmenge R n 1I 3 6.x 3/ 5.x C 3/.x C 1/ C.x C 1/.x 3/.x 3/.x C 1/ 5 x x 3 3x 1 x x 3 x x 3 6.x 3/ C 5.x C 3/.x C 1/ 5.x x 3/ 3x 1 1x 18 C 10x C 5x C 15 10x C 5x C 15 3x 1 L 1 3 39x 13I x 1 3.1.1 3x C 4 3x 4 C 4 3x 8 efinitionsmenge R n 4 3 I 4 3 9x 16 3x 3x 4 C 4x 3x C 4.3x C 4/.3x C 4/.3x 4/.3x C 4/ C 4.3x 8/ 3x.3x C 4/ 4x.3x 4/ C 9x 16.3x 4/.3x C 4/.3x C 4/.3x 4/.3x C 4/.3x C 4/ C 4.3x 8/ 3x.3x C 4/ C 4x.3x 4/ 9x C 4x C 16 C 1x 3 9x C 1x C 1x 16x L 4 7 8x 16I x 4 7.1.13 35 8 x 15 C 16 x

0 Kaitel Algebraische Gleichungen efinitionsmenge R nf0g urch Erweitern mit x beseitigen wir die oelbrüche: 35 8 x x 15 C 16 x x 35x 8 15x C 16.15x C 16/ 35x 8 30x C 3 35x 8 5x 40I x 8 L f8g.1.14 3.3x 1/ 11 6xC1 5 3 5 efinitionsmenge R n 1 6 5 3.3x 1/ 11 3.6x C 1/ 5 Nach Kürzen durch 3 und Über-Kreuz-Multilizieren : 5.3x 1/ 11.6x C 1/ 75x 5 66x C 11I 9x 36I x 4I L f4g.1.15 Berechnen Sie z 1 aus i 1 1 C z1 z 3 I z 3 0 i 1 z 3.1 C z1 z 3 / z 3 z 3 z 1 C z 3 i.z 1 C z 3 / z 3 I z 1 C z 3 z 3 i I z 1 z 3 z 3 i 1 1 i z 1 z 3 i 1 z 3 i

.1 Lineare Gleichungen 1.1.16 Berechnen Sie x aus a x C a 1 b a I x 0 x a x C a 1 a b x I a a ax C a ax ax b ax I a C a x b x b a a b a 1.1.17 Berechnen Sie x aus ux u C v u C v vx u v ux u C v C vx u v u C v ux.u v/ vx.u C v/ C.u C v/.u v/.u v/.u C v/ u C v x.u uv C vu C v /.u C v /.u v / x u v x.u C v /.u C v /.u v /.1.18 Berechnen Sie R 1 und R aus U 1 UR 1 I R 1 R R 1 C R R 1 C R U 1 UR 1 I R 1 R R 1 C R U 1.R 1 C R / UR 1 I R 1 R U 1 R 1 UR 1 C I R 1 R U 1 R U 1 R C I R 1 R UR 1 U 1 R 1 R 1.U 1 U C I R / U 1 R R.U 1 C I R 1 / UR 1 U 1 R 1 R 1 U 1 R U 1 R R R 1.U U 1 1/ U 1 U C I R U U 1 I R U 1 C R 1

Kaitel Algebraische Gleichungen.1.19 Berechnen Sie t 1 aus t t 1 C t t t 1 t t t 1 t 1 t t t I t 1.t t / t t t 1 t t t t t t t t.1.0 Berechnen Sie sin aus P a C d 1 C 1 sin.p a/ d P a d 1 C 1 sin I 1 d d sin d.p a/ d 1 sin I.P a/ d d.p a/ d 1 sin 1 C 1 sin.1.1 Berechnen Sie aus F.1 / 4h x xy.1 / x C y.x C y / 4h F.1 / x xy.1 / x C y.x C y / 4h 4h 1 h i 1 h i F x xy F x.x Cy / xy x Cy.x Cy /.x Cy / 1 4h.x C y / F.x.x C y / xy/

. Quadratische Gleichungen 3.1. Berechnen Sie a m aus b a 1 C a C k a m a 1 C a C k a m a 1 C a C k a m b b k b a 1 a a m k a m b a 1 a. Quadratische Gleichungen >Lehrbuch Kaitel 8 Wir unterscheiden zwischen drei Arten von quadratischen Gleichungen. 1) x C x 0 (defektquadratische Gleichung): Lösung durch Ausklammern von x und Nullsetzen der Faktoren x.x C / 0! x 0 _ x ) x q 0 (reinquadratische Gleichung): Lösung durch Faktorisieren oder Radizieren: x qi x qi x 1= q jxj q 3) x C x C q 0 (allgemeine quadrat. Gleichung): Lösung mit Hilfe der Lösungsformel x 1= r q

4 Kaitel Algebraische Gleichungen..1 9x 108x 0 x.9x 108/ 0 as Nullsetzen der Faktoren führt zu den Ergebnissen: x 1 0 _ x 1; L f0i 1g.. 9x 7 9x 7I x 7 9 8I x 1= 8 4 L f I g..3 11 66 x C as Kürzen durch den Faktor und das Überkreuz-Multilizieren, das der Multilikation mit dem Hautnenner entsricht, führt zu dem Ergebnis x C 11 33I x 363 361I x 1= 361 19 L f 19I 19g..4.x C / 169

. Quadratische Gleichungen 5 Wir ziehen auf jeder Seite der Gleichung die Wurzel und erhalten.x C / 169 jx C j 13.x C / 13 oder x C 13I x 1 13 15I x C13 11 L f 15I 11g..5 5x C 10x 40 5x C 10x 40 jw5 x C x 8 0 x 1= 1 1 C 8 1 3 L fi 4g..6 3x C 9x 1 0 3x C 9x 1 0 x C 3x 4 0 L f1i 4g jw3 x 1= 3 r r 9 9 4 C 4 3 4 C 4 4 4 3 5 I..7.x 7/ 4x 7 x 14x C 49 4x 7 x 18x C 56 0 x 1= 9 81 56 9 5 L f4i14g

6 Kaitel Algebraische Gleichungen..8 x 4;6x C 0;5369 0 x 1= ;13 ;13 0;5369 ;13 L f0;13i 4;13g..9 3;5x 8;91x 5;41x 10;8 5;41x 5;41x 10;8 0 jw5;41 x x 0 x 1= 1 r 1 4 C 1 r 1 4 C 4 4 1 3 L f 1I g..10 x 6;93x 16;17 x 3 ;31x x C C 6;93 x 6;93x 16;17 3 ;31x x C C 6;93 6;93x 16;17 6;93x C 4;6x C 6;93 ;31x 6;93x 3;1 0 jw;31 x 3x 10 0 x 1= 3 r 9 4 C 10 3 r 9 4 C 10 4 3 4 7 L f I 5g

. Quadratische Gleichungen 7..11 7x 13x 80 35 x 13 80 R n 13 I 13 7x 13x 80 35 x 13 7x 91x 455x 9800 7x 546x C 9800 0 jw7 x 78x C 1400 0 x 1= 39 39 1400 39 11 39 11 L f8i 50g..1 x.x 50/ 7.x C a/ a.48 a/ C 7x C 7a 7 a C x x.x 50/ 7.x C a/ a.48 a/ C 7x C 7a 7 a C x x 50x C 48a a 49 j7.x C a/ x 50x C 48a a C 49 0 x 1= 5 5 C a 48a 49 5 576 48a C a x 1= 5.4 a/ 5.4 a/ L f.1 C a/i.49 a/g..13 Lösen Sie die folgende Gleichung nach d auf x d C a 4. d/

8 Kaitel Algebraische Gleichungen x d C a 4. d/ 4x 4xd d C a d 4xd C 4x a 0 d 1= x 4x C C a 4x j4. d/..14 Lösen Sie die folgende Gleichung nach d wg auf L w e C 1;57.d wg C d wv / C.d wg C d wv / 4e L w e C 1;57.d wg C d wv / C.d wg C d wv / 4e j4e 4eL w 8e 6;8e d wg C 6;8e d wv C d wg C d wvd wg C d wv dwg C.6;8e C d wv/d wg C 8e 4eL w C dwv 0 q.d wg / 1=.3;14e C d wv /.3;14e C d wv / C 4eL w 8e dvw..15 Lösen Sie die folgende Gleichung nach tan auf y M T 4 1 tan C u tan C 1 tan 8 tan y M T 1 tan C u tan C 1 4 tan 8 tan 8y M tan T T tan C u tan C u.t u/ tan C 8y M tan T u 0 tan C 8y M T C u tan T u T u 0 s.tan / 1= 4y M u T 4yM C T C u u T T u j8 tan..16 x 4 8x C 7 0

. Quadratische Gleichungen 9 ies ist eine biquadratische Gleichung. Sie lässt sich aber durch die Substitution u x in eine quadratische Gleichung umformen, die wir mit der Lösungsformel lösen können..x / 1= 4 16 7 4 3 Wir erhalten als Zwischenergebnis zwei quadratische Gleichungen. Aus x 4 3 1 erhalten wir x 1 1 _ x 1. Aus x 4 C 3 7 erhalten wir x 3 7 _ x 4 7. amit ist die Lösungsmenge L 1I 1I 7I 7..17 5x 4 30x C 5 0 5x 4 30x C 5 0 j W 5 x 4 6x C 5 0.x / 1= 3 9 5 3 x 1= 1 oder x 3=4 5 L 1I 1I 5I 5..18 x C 15 16 0I x 0 x x C 15 16 0 x jx x 4 C 15 16x 0 x 4 16x C 15 0.x / 1= 8 64 15 8 7 x 1= 1 oder x 3=4 15 n L 1I 1I 15I o 15..19 x C 36 x 13I x 0

30 Kaitel Algebraische Gleichungen x C 36 x 13 x 4 13x C 36 0.x / 1= 6;5 4;5 36 6;5 6;5 6;5 ;5 L fi I3I 3g..0 5;3x C 63;6 x 4;4I x 0 5;3x C 63;6 x 4;4 x ˇ 5;3 x 4 8x C 1 0I.x / 1= 4 16 1 4 n o L I I 6I 6.3 Wurzelgleichungen >Lehrbuch Kaitel 9 1. Quadratwurzeln werden durch Quadrieren eliminiert. eshalb ist es zweckmäßig, vor dem Quadrieren eine Wurzel zu isolieren, weil sonst bei der Anwendung der binomischen Formel. a C b/ a C b a C b wieder ein Wurzelterm entsteht. ieses Isolieren einer Wurzel auf einer Seite kann beibehalten werden bis zu Wurzelgleichungen mit maximal 3 Wurzeltermen.. Bei 4 Wurzeltermen ist es zunächst zweckmäßiger Wurzelterme auf jeder Seite zu quadrieren und anschließend so zu verfahren wie nach 1), da bei jedem Quadrieren die Potenzen höher werden. 3. Kommen unter der Wurzel schon quadratische oder höhere Potenzterme vor, ist es zweckmäßig, die Wurzeln auf andere Weise zu eliminieren. 4. a das Quadrieren eine nichtäquivalente Umformung ist, genügt es für die Bestimmung der Lösungsmenge nicht, nur die efinitionsmenge heranzuziehen. ie Lösungen müssen in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden und eine wahre Aussage ergeben. iese Probe ist deshalb immer erforderlich..3.1 Bestimmen Sie die efinitions- und Lösungsmenge der Gleichung 3x x

.3 Wurzelgleichungen 31 Quadratwurzeln sind im Reellen (G R) für negativeradikandennichtdefiniert, deshalb muss der Radikand 3x 0 oder x sein (vgl. Kaitel über Ungleichungen!). 3 amit ist die efinitionsmenge x j x 3. ie Quadratwurzel lässt sich beseitigen, indem man sie auf einer Seite isoliert und die ganze Gleichung quadriert.. 3x /.x / 3x x 4x C 4 x 7x C 6 0 x 1= 7 r 49 4 6 4 4 7 5 x 1 1 _ x 6 Beide Werte gehören zur efinitionsmenge. a aber das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, können durch das Quadrieren Lösungen hinzugekommen sein, die nicht Lösung der Wurzelgleichung sind. Wir müssen deshalb zur Kontrolle die erhaltenen Werte in die Ausgangsgleichung einsetzen. ie Probe ergibt folgendes Ergebnis: x 1 1W x 6W 3 1 1 oder 1 1.f/; d. h. dies ist keine Lösung 3 6 6 oder 4 4.w/; d. h. dies ist eine Lösung Lösungsmenge: L f6g.3. Bestimmen Sie die efinitions- und Lösungsmenge der Gleichung q 9 C 8 x 5 efinitionsmenge fxjx 1g q 9 C 8 x 5 9 C 8 x 5 L f3g 8 x 16 oder x x 4 oder x 3.3.3 Bestimmen Sie die efinitions- und Lösungsmenge der Gleichung C x 3 3x C 7

3 Kaitel Algebraische Gleichungen Hier treten zwei Wurzelterme auf. ie erste Wurzel ist definiert für 1 fxjx 3 g, die zweite Wurzel für fx j x 7 g. amit ist die efinitionsmenge der gesamten 3 Wurzelgleichung fxjx 3 g. ies ist die Schnittmenge von 1 und.. C x 3/. 3x C 7/ 4 C 4 x 3 C x 3 3x C 7 4 x 3 x C 6 16.x 3/ x C 1x C 36 x 0x C 84 0 x 1= 10 100 84 10 4 x 1 6 _ x 14 Probe: x 1 6W C 6 3 3 6 C 7 oder 5 5.w/ x 14W C 14 3 3 14 C 7 oder 7 7.w/ L f6i 14g.3.4 Bestimmen Sie die efinitions- und Lösungsmenge der Gleichung x C 8 x 4 C x 7 ie efinitionsmengen der drei Wurzelterme sind 1 fxjx 8g, fxjx 4g, 3 fxjx 7 g. amit ist die efinitionsmenge der Wurzelgleichung fxjx 4g.. x C 8/. x 4 C x 7/ 4.x C 8/ x 4 C 4 x 4 x 7 C 4.x 7/ 4x C 3 x 4 C 4.x 4/.x 7/ C 8x 8 64 5x 4 x 15x C 8 4096 640x C 5x 16.x 15x C 8/ 7x C 400x 3648 0 x C 400 3648 x 0 7 7 x 1 8 _ x 456 7 Probe: 8 C 8 8 4 C 8 7 oder 8 8.w/ L f8g

.3 Wurzelgleichungen 33.3.5 Bestimmen Sie die efinitions- und Lösungsmenge der Gleichung x C 4 x 6 x 1 x 1 ie efinitionsmengen der 4 Wurzelterme sind 1 fxjx 4g; fxjx 3g; 3 x ˇ x 1 ; 4 fxjx 1g: amit ist die efinitionsmenge der Wurzelgleichung fx j x 3g. x C 4 C x 6.x C 4/.x 6/ x 1 C x 1.x 1/.x 1/ Nach ivision durch. /:.x C 4/.x 6/.x 1/.x 1/ x C x 4 x 3x C 1 5x 5 oder x 5 Probe: 5 C 4 5 6 5 1 5 1 oder 1 1.w/ L f5g.3.6 Bestimmen Sie die efinitions- und Lösungsmenge der Gleichung 3x C 7 C 5x C 1 3x 5 C 5x C 1 ie efinitionsmengen der 4 Wurzelterme sind 1 3 x j x 7 ; x 3 x ˇ x 5 ; 4 x 3 ˇ x 1 ; 5 ˇ x 1 : 5

34 Kaitel Algebraische Gleichungen amit ist die efinitionsmenge der Wurzelgleichung x j x 5 3. 3x C 7 C 5x C 1 C.3x C 7/.5x C 1/ 3x 5 C 5x C 1 C.3x 5/.5x C 1/ 15x C 38x C 7 8 C 15x C 38x 105 15x C 38x C 7 4 C 15x C 38x 105 x 1= 19 15 15x C 38x C 7 16 C 15x C 38x 105 C 8 15x C 38x 105 1 15x C 38x 105 144 15x C 38x 105 0 x C 38 83 x 15 5 s 19 83 45 C 15 5 45 19 15 64 15 x 1 3 _ x 83 15 Probe: 3 3 C 7 C 5 3 C 1 3 3 5 C 5 3 C 1 oder 8 8.w/ L f3g.3.7 Bestimmen Sie die efinitions- und Lösungsmenge der Gleichung x C x n x j x _ x o x 3 x x x x 8 x oder x 4 x 8 0 I x 0 x 3.x / 1= 1 1 C 8 1 3 x 4I x 1 _ x x (keine reellen Lösungen) Probe: x 1 W 4 C I 3 x W 4 C 3 I L fg C 3.w/ 3.f/

.3 Wurzelgleichungen 35.3.8 Bestimmen Sie die efinitions- und Lösungsmenge des Gleichungssystems 5 x C x 6.1/ x 5 x 9./ fx jjxj 5g ie Wurzeln lassen sich bei diesem Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens (vgl. Kaitel über Gleichungssysteme!) beseitigen. azu muss die Gleichung (1) zuvor mit ( x) multiliziert werden. 5 x C x 6.1/ j. x/ x 5 x 9./ x 5 x x 6x.1 0 / x 5 x 9./.1 0 / C./W x 6x C 9 oder x 6x C 9 0 ies ergibt die Lösungen x 1= 3 9 9 3. ie Probe ist für beide Gleichungen erfüllt, damit erhalten wir die Lösungsmenge L f3g.3.9 Bestimmen Sie die efinitions- und Lösungsmenge der Gleichung 1 x C 1 8 34 x 15 fx jjxj < 34g Wir fassen die Brüche auf der linken Seite zusammen und erhalten: 34 x C x x 8 34 x 15 as Quadrieren solcher Wurzelgleichungen führt zu Gleichungen 4. oder höheren Grades, die in der Regel schwer zu lösen sind. Wir wollen deshalb einen anderen Lösungsweg vorschlagen.

36 Kaitel Algebraische Gleichungen Wir betrachten Zähler und Nenner als getrennte Gleichungen, die durcheinander dividiert werden. azu müssen wir einen Proortionalitätsfaktor u einführen, denn der Bruch könnte auch gekürzt sein. ie Verknüfung der beiden Gleichungen erfolgt über ein Gleichungssystem. Auf diese Weise lassen sich mit Hilfe des Additionsverfahrens die Wurzelterme eliminieren. 34 x C x 8u.1/ j. x/ x 34 x 15u./ Wir eliminieren die Wurzeln mit Hilfe des Additionsverfahrens..1 0 / C./W x 8ux C 15u oder x 8ux C 15u 0.3/ iese Gleichung enthält noch den eingeführten Proortionalitätsfaktor u, den wir auf folgende Weise bestimmen. Wir ziehen von dem Quadrat der Gleichung (1) die mit dem Faktor multilizierte Gleichung () ab und erhalten: 34 x C x C x 34 x 64u.1 00 / x 34 x 30u. 0 / 34 64u 30u oder u 30 34 u 0 mit den Lösungen 64 64 u 1= 15 r 5 64 34 64 C 64 64 64 64 15 r 401 64 64 64 15 64 59 64 I u 1 1 _ u 17 3 Setzt man diese Ergebnisse in Gleichung (3) ein, so erhält man mit u 1 1W x 8x C 15 0 mit den Lösungen x 1 5 _ x 3 mit u 17 3 W x C 17 55 x 4 3 0 mit den Lösungen x 1 1;408 _ x 5;6583 ie Probe ergibt, dass nur x 1 5 _ x 3 Lösungen der Wurzelgleichung sind. L f3i 5g.3.10 Bestimmen Sie die efinitions- und Lösungsmenge der Gleichung 1 x 1 17 4x 3 4 ( r ) 17 x ˇ jxj < ;0616 und x 0 4

.3 Wurzelgleichungen 37 Wir fassen die Bruchterme auf der linken Gleichungsseite zusammen und bilden aus Zähler ein Gleichungssystem, aus dem wir die Wurzeln durch das Additionsverfahren eliminieren. 17 4x x x 17 4x 3 4 17 4x x 3u.1/ jx x 17 4x 4u./.1 0 /./W 4x 6xu C 4u oder x C 3 xu C u 0.3/ 17 4x x 3u.1/ j Quadrieren der Gleichung x 17 4x 4u./ j 17 4x C 4x 4x 17 4x 9u.1 0 / 4x 17 4x 8u. 0 /.1 00 / C. 00 /W 17 9u 8u oder u 8 17 u 0 mit den Lösungen 9 9 u 1= 4 r 16 9 81 C 17 9 9 9 4 9 13 9 I u 1 17 9 I u 1 Setzt man diese Ergebnisse in Gleichung (3) ein, so erhält man mit mit u 1 17 9 W x C 17 6 x C 17 0 mit den Lösungen 9 x 1 17 17 17 17 1 C 1 1;07307 _ 1 x 17 17 1 1 17 C 17 1;7606 1 u 1W x 3 x 1 0 mit den Lösungen x 3=4 3 4 5 4 I x 3 _ x 4 1 ie Probe ergibt, dass x 1 1;07 _ x 1;76 _ x 3 Lösungen der Wurzelgleichung sind. L f 1;07I 1;76I g.3.11 Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems 4 x 3 y 5 x C 9 y 11

38 Kaitel Algebraische Gleichungen 4 x 3 y 5.1/ j3 x C 9 y 11./.1 0 / C./W 13 x 6 x I x 4.3/ in.1/w 8 3 y 5 3 3 yi y 1 L f.4i 1/g.3.1 Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems 8 6 x C 1 y C 4 4 9 C 5 x C 1 y C 4 8 6.1/ x C 1 y C 4 4 9 C 5./ j x C 1 y C 4.1/. 0 /W 4 y C 4 8 3 y C 4 9 y C 4 y 5.3/.3/ in.1/w x C 1 4 x C 1I x 3 L f.3i 5/g 8 x C 1

htt://www.sringer.com/978-3-658-07787-7