Volesungsmitschift Theoetische Physik III Elektodynamik Dozent Pof. D. Ulich Schwaz WS 24/5 Stand Januay 25, 25 Univesität Heidelbeg Institut fü Theoetische Physik
Inhaltsvezeichnis Elektostatik 3. Notation.................................... 3.2 Mathematische Einschub : Vektofelde.................. 5.3 Coulombgesetz und Feldgleichungen..................... 9.4 Randwetpobleme und Geensche Funktionen............... 28.5 Numeische Loesung des Randwetpoblems................ 34.6 Entwicklung in spezielle Funktionen..................... 36.7 Mathematische Einschub 2: Fouie-Entwicklung............. 37 2 Magnetostatik 48 2. Stationaee Stoeme und Magnetfelde................... 48 2.2 Die Feldgleichungen de Magnetostatik................... 5 2.3 Lokalisiete Stomveteilungen........................ 54 3 Elektodynamik 58 3. Maxwell-Gleichungen............................. 58 3.2 Potentiale................................... 59 3.3 Einschub: Wellengleichungen......................... 6 3.4 Elektomagnetische Wellen (im Vakuum).................. 65 3.5 Enegie und Impuls des elektomagnetischen Feldes............ 65 3.6 Dipolstahlung................................ 67 4 Elektodynamik in Mateie 72 4. Makoskopische Maxwellgleichungen..................... 72 4.2 Elektomagnetische Wellen in Mateie.................... 76 4.3 Optik: Bechung und Reflexion....................... 77 5 Kovaianz und Lagangefomalismus 79 2
Elektostatik. Notation Otsvekto: = 2 ode 3 x y z Skalapodukt: a b = a b cos (θ) = i a i b i = a i b i (Einstein Konvention) Linienintegal eine Funktion f entlang eine Raumkuve (t) : f ( (t)) dt R dφ z.b. Keislinie : L = 2π dφr = 2πR dφ Obeflaechenintegal eine Funktion uebe eine Flaeche. u,v bescheiben die intenen Koodinaten de Flaeche (u, v) : f ( (u, v)) dudv z.b. Keisflaeche (u = φ, v = ) : A = 2π dφ R d = πr 2 3
z.b. Kugelobeflaeche : A = (u = φ, v = θ) 2π dφ π R 2 sin (θ) dθ = 4πR 2 u v Nomalenvekto de duch t und t 2 aufgespannten Tangentialebene: n (u, v) = t (u, v) t 2 (u, v) t (u, v) t 2 (u, v), t = (u, v), t 2 = u (u, v) v V = Rand von V, wobei V eine Punktmenge ist, z.b. V = Kugel und V = Kugelobeflaeche. z.p. = zyklische Pemutation Patielle Ableitungen: i Nabla-Opeato: = 2 3 = i, i = i Laplace-Opeato: = 2 + 2 2 + 2 3 = i i, = i i 4
.2 Mathematische Einschub : Vektofelde Eine typische Anwendung von Vektofelden ist das Fliessen eine Fluessigkeit (Hydodynamik). Man ist eventuell daan inteessiet, wie viele Teilchen po Zeit duch eine Flaeche A gehen. Sei v() die Geschwindigkeit eine Fluessigkeit am Ot i. Im Folgenden Flaeche senkecht zu Geschwindigkeit: N = ρ V = ρa s = ρav t N ta = ρv =: j Stomdichte De Gesamtstom duch die Flaeche eechnet sich nun zu: I A = ja = ρva = N t Gekippte Flaeche: θ Chaakteisiee die Flaeche duch den Vekto A mit A = A, A n I A = j A, j := ρv n t u Beliebige Flaechen: t v N A i I A = j da = j nda ρv ( i ) n i V A i= (u,v) ("Riemannsche Disketisieung des Integals") i nummeiet die Plaquetten, in die wi die Flaeche aufteilen. Im Folgenden abeiten wi mit v als Beispiel fue ein beliebiges Vektofeld. I A = v da ist dann ein Mass fue die Duchdingung de Flaeche A duch das A Vektofeld v (). 5
Wi betachten I A jetzt fue geschlossene Flaechen A, die ein Volumen einschliessen. Beispiel. v const, V = Quade mit Seitenlaengen a,b,c Fluss von v duch die Flaeche A beechnet sich duch: I A = v nda 6 v ( i ) n i A i = v z ab v z ab + v y ca v y ca + v x bc v x bc = i= z v z c x a v z b y v = v x v ( y vz ( = const. "Was einkommt, geht auch wiede aus" De Gesamtfluss I A veschwindet fue v = const fue beliebige geschlossene Flaechen. De Beweis folgt spaete. Beispiel 2 (adialsymmetisches Feld). v := v () e Wi beechnen den Fluss uebe eine Kugelflaeche mit Radius R I A = vda = v () e e da = v(r)4πr 2 A A = I A (R) const v(r) R 2 6
Wi wollen nun ein lokales Mass fue die Duchdingung von geschlossenen Flaechen bzw. ein Mass fue die lokale Quelldichte eines Vektofeldes definieen. Definition (Divegenz des Vektofeldes). divv () := lim v da V V A= V divv = v ist quellenfei, divv > es existieen Quellen, divv < es existieen Senken. Bemekung. divv () ist ein skalaes Feld Im Folgenden beechnen wi die Divegenz mit Hilfe eines Quades. divv = V A vda = x y z [v x (x + x, y, z) y z v x (x, y, z) y z + v y (x, y + y, z) x z v y (x, y, z) x z + v z (x, y, z + z) x y v z (x, y, z) x y] = v x (x + x, y, z) v x (x, y, z) x + v z (x, y, z + z) v z (x, y, z) = i v i = v divv = v z + v y (x, y + y, z) v y (x, y, z) y V x v x + y v y + z v z Beispiel. v const divv = v = divv = = 3 v = = = e 3 2 2 (Solche Felde haben konstanten Fluss I A ) Hie gilt fue : x divv = = x + z.p. (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 = 3 x2x + z.p. (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 = 3 (x2 + y 2 + z 2 ) 3x 2 3y 2 3z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 = 7
Achtung: Fue = divv = "nicht definiet!" Wi moechten nun das Integal de Divegenz uebe ein Volumen V mit V = A beechnen. Es gilt: V N N divvdv = lim divv ( i ) V i = lim vda = N N i= i= A i A vda Bemekung. Wi fuellen unse Volumen V mit hineichend kleinen Quaden aus. Die A i entspechen den geschlossenen Obeflaechen diese Quade. Alle intenen Flaechenintegale heben sich weg. Die voheige Rechnung beguendet den folgenden Satz: Theoem (Integalatz von Gauss). Fue A = V gilt: v da = A V divvdv = V vdv Bemekung. Es existieen Mengen V fue die de Satz nicht gilt! V muss kompakte Teilmenge des R n mit stueckweise glattem Rand sein. Zusaetzlich muss das Vektofeld in eine offenen Menge stetig diffeenzieba sein. Wi weden in diese Volesung alledings nu solche Faelle betachten, die diese Voaussetzungen efuellen, da wi hie physikalische Felde behandeln, die in diese Hinsicht gut definiet sind. Este physikalische Anwendung: Wi wenden den Satz von Gauss auf die Stomdichte j = ρv an: I A = A= V j da = j dv = d ρdv = ( ρ) dv dt V =divj V V j = ρ ρ + j = = "Kontinuitaetsgleichung" 8
keine Wibel stake Wibel Neben de Quelldichte von Vektofelden ist eine weitee wichtige Eigenschaft ihe Wibelstaeke (d.h. die Existenz von Zikulationen). Wi moechten diese im Folgenden chaakteisieen. Hiezu vewenden wi die Zikulation entlang eines geschlossenen Weges C, welche eine planae Flaeche A mit Nomalenvekto n beandet und betachten den Genzuebegang A. Dies motiviet die folgende Definition (Rotation des Vektofelds). (otv) n := lim A A Bemekung. C= A v ds, fue A n n = Flaechennomale ds = tds = Linienelement t = Tangentialvekto Im Gegensatz zu Divegenz ist die Rotation kein skalaes, sonden ein vektoielles Vektofeld, da sie abhaengig von de Flaechennomale n ist. 9
Behauptung: Ein deidimensionale Vekto (otv) bescheibt vollstaendig alle moeglichen Linienintegale diese At. Man sagt die Dastellung ist koodinatenunabhaengig. Wi echnen dies exemplaisch nach: z D n x n n y c x c y c z n z Weg C B y A x W eg C = A B D A Wi zelegen C in dei Teilwege, woduch sich die Inneen Teile paaweise wegheben. v ds = v ds + v ds + v ds C C x C y Es sei A x := A e x = Acos (θ x ) mit θ x = (A, e x ) A y, A z seien analog definiet. C z lim A A C v ds = lim cos (θ x) v ds + cos (θ y) v ds + cos (θ z) A cos (θ x ) A x cos (θ y ) A y cos (θ z ) A z C x C y C z lim A x A x v ds t C cos (θ x ) x = cos (θ y ) lim A x A y v ds C cos (θ z ) y lim v ds = n otv A x A z die katesischen Komponenten genuegen. C z v ds
Lemma (Rotation als Diffeentialopeato). Fue die Rotation gilt: otv = v (otv) i = ε ijk j v k, fue positive Pemutationen, ε ijk : =, fue negative Pemutationen, sonst. Beweis. Man zeigt komponentenweise die Behauptung: z y 2 3 z z 4 y y x (otv) x = y z C x v ds = y z [v z (x, y + y, z) z v z (x, y, z) z + v y (x, y, z + z) y + v y (x, y, z) y] = v z (x, y + y, z) v z (x, y, z) y = y v z z v y v y (x, y, z + z) v y (x, y, z) z Analog gilt: (otv) y = z v x x v z (otv) z = x v y y v x
Beispiel. Schefluss a v = az otv = v = Intepetation: Richtung und Betag de Dehung eines Testteilchens. v const otv = y v = x otv = v = 2 z y x v = adialsymmetisch otv = 2
Fue ein Vektofeld egeben sich also zwei wichtige abgeleitete Goessen: Name Divegenz Rotation Bedeutung Quellendichte Wibelstaeke x y Beispiel v = y, divv = 3, otv = v = x, otv =, divv = z 2 Integaldastellung divv = lim v da (otv) V V i = lim v ds A A A= V C= A A e i Diffeentialdastellung divv = v = i v i otv = v = ε ijk e i j v k Theoem (Integalsatz von Stokes). A i A otv da N i= Def. otv ( i ) n i da i = N i= C i v ds ( ) = C= A v ds Weg C otv da = v da = v ds ( ) "intene Stecken heben sich auf" A A C= A Koolla. Fue ein wibelfeies Vektofeld (otv = ) sind Linienintegale wegunabhaengig, d.h. v ds = v d + v d = v d v d = v = C C 2 C 2 A C P C v d = C v d C2 C C C 2 P Wi definieen in so einem Fall: φ () := v ds = (skalaes) potential des Vektofeldes 3
Wegen de Wegunabhaengigkeit ist φ (bis auf eine Integationskonstante) eindeutig bestimmt. Man kann φ und v wie folgt ineinande uebefuehen: dφ = x φdx + y φdy + z φdz = φ ds Δ φ() φ () = dφ = φ ds = o o o v ds C v = φ φ ) v ) v d Fue den Wibelfluss duch eine geschlossene Flaeche A = V, C = A = (die Randkuve wid auf einen Punkt zusammengezogen!) gilt: v ds = = ( v) da C A D.h. De Wibelfluss v duch eine geschlossene Flaeche veschwindet fue jedes Vektofeld v. Das gleiche Egebnis liefet de Gauss sche Satz: ( v) da = ( v) dv = A V =ε ijk i j v k = Beispiel. adialsymmetisches Vektofeld: v () = 2 e = 3 e I A = 4π z y ( v) x = y (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 z ( 2) 3 2y = y ( ) 3 2 2z = (x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 wibelf ei Potential existiet: o ( 3 d = d = 2 ) 4
φ Konvention: = v() ( ) ( Pobe: v = φ i, v i = i = i Theoem (. Geensche Satz). a () = φ () ψ () (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 ) i = ( ) ( )( 2)2 i 3 diva = a = i a i = i (φ i ψ) = ( i φ) ( i psi) + φ( i i ψ) = [( φ) ( ψ) + φ ψ] dv = adv = φ ψ nda V V A= V i = 3 Mit de Nomalenableitung: ψ n = n ψ = i ψn i = n i i ψ = (n ) ψ =: n ψ [( φ) ( ψ) + φ ψ] dv = φ n ψda =. Geensche Identitaet V A= V Theoem (2. Geensche Satz). Aus dem. Geenschen Satz ehaelt man duch Vetauschen von φ ψ und Subtaktion: V z.b. φ = [φ ψ ψ φ] dv = V ψdv = A= V A= V n ψda [φ n ψ ψ n φ] da = 2. Geensche Identitaet Theoem (Zelegungs und Eindeutigkeitssatz). Jedes Vektofeld v () wid eindeutig duch sein Quellenfeld divv () und sein Wibelfeld otv () bestimmt, sofen dieses stetig diffeenzieba ist und im Unendlichen hineichend schnell abfaellt (mindestens wie 2 ). Beweis. Wi fuehen den Beweis konstuktiv duch, d.h. wi konstuieen zunaechst 5
die Zelegung und zeigen im Anschluss deen Eindeutigkeit. v () := v D () Divegenzanteil v D () := 4π R 3 + v R () Rotationsanteil v ( ) dv :=α() = "skalaes Potential" v R () := v ( ) dv 4π R } 3 {{} :=β() = "Vektopotential" Man sieht leicht ein, dass v D otationsfei und v R divegenzfei sind, denn es gilt: otv D = v D = α = ε ijk j k α = divv R = v R = i ε ijk j β k = ε kij i j β k = Die Zelegung beuht im Wesentlichen auf den speziellen Eigenschaften de Funktion! Wi definieen: f () :=, = = ( x 2 + y 2 + z 2) 2 Und betachten die speziellen Eigenschaften von f: Fue gilt f () =, denn: ( = ) = iv i 3 + 2x ( ) = 2 (x 2 + y 2 + z 2 2y = ) 2z 3 ( = 3 2) 2 i 2 i 3 2 = 5 3 {}}{ i i 5 5 = ( ) i = i 3 Falls V gilt: Uspung: K f () dv = = V V f () dv = 4π. Wi zeigen dies fue eine Kugel K im ( ) dv Gauss = A= K 3 da = R 2 4πR2 = 4π ( ) da 6
V f () = { 4π, falls V, sonst Dies ist ein Beispiel fue eine "Distibution" ( Funktionalanalysis). Die "Delta-Funktion" ist ebenfalls eine solche und definiet duch: δ(x) δ () =, fue, V δ () =, fue V Wi beechnen nun: 4π = 4πδ (), wobei 4π V v ( ) dv i die "Geensche Funktion" fue die Laplace-Gleichung ist. = 4π ε ijk j ε klm l = 4π v j ( ) i j dv V () V v m ( ) dv 4π i j v i ( ) dv V (2) x () = 4π i V Gauss = 4π v j () j dv = 4π i A= V V j ( v j ( ) v j () da j i α () = i α () ) ( jv j ( ) ) dv (2) = 4π V v i ( ) dv = v i () = 4πδ( ) ε ijk ε klm = ε kij ε klm = δ il δ jm δ im δ jl v i () = i α () + A Bleibt noch zu zeigen: A = β () 7
v ( 4πβ i () = ) dv = ε ijk j V i V ( vk ( ) ( ) = ε ijk j + jv k ( ) V ( Gauss v ( ) ) = + v k ( ) dv = ε ijk ) dv V v k ( ) j dv i Damit ist die Konstuktion abgeschlossen. Wi muessen lediglich noch die Eindeutigkeit beweisen. Hiezu nehmen wi an, es existieen zwei Vektofelde die unsee Fodeungen efuellen und folgen dass diese gleich sein muessen. Seien also v, v 2 zwei Vektofelde mit v = v 2, v = v 2 D = v v 2 D = v v 2 =, D = v v 2 = wibelfei D = ψ D = ψ = ψ ist das zu D gehoeende Potential. Insbesondee ist D quellen- und wibelfei. Mit de. Geenschen Identitaet fue φ = ψ folgt: ψ ψ + ( ψ) 2 dv = ψ ψ da = V = A= V Im faellt alles ab ( ψ) 2 dv = ψ = = D Koolla. Ein wibelfeies Vektofeld ist ein Gadientenfeld Ein quellenfeies Vektofeld ist ein Wibelfeld Im allgemeinen Fall haben wi eine Uebelageung de Fom: v = α + β Wichtige Eigenschaften des skalaen Potentials: α = ( v ( ) ) dv = ( 4πδ ( )) dv 4π 4π = v () = α Analog folgt fue das Vektopotential: β = v () 8
.3 Coulombgesetz und Feldgleichungen Expeimentelle Gundlagen: Die Coulombkaft ist eine Zentalkaft, die quadatisch mit dem Abstand abfaellt. Expeimentell bestaetigt von 2 m bis 8 m = 2 Goessenodnungen. Die Coulombkaft ist popotional zu den elektischen Ladungen q und q 2. Gleichatige Ladungen stossen sich ab, gegengesetzte ziehen sich an (Im Gegensatz zu Gavitation!). F (, 2 ) = kq q 2 2 2 3 Die Wechselwikungsstaeke k haengt vom Masssystem (bzw. von de Einheit de Ladungen) ab. Zwei Standadsysteme SI-System (ode MKSA): A (Ampee) fue Stomstaeke ist die fundamentale Einheit. A = C s mit C fue Coulomb. Paktisch wid A definiet fue die Stomstaeke in zwei paallelen Leiten mit Abstand m, die sich mit de Kaft 2 7 N m anziehen. Elektonenladung: ρ =, 6 9 C k = 7 Nc2 A 2 4πε * Magnetostatik, c = Lichtgeschwindigkeit ** ε Dielektizitaetskonstante des Vakuums In vielen Buechen: F = q q 2 4πε ε (z.b. Nolting, typisch fue Expeimentalphysik) 2 Gauss-System (ode CGS): Die Ladungseinheit wid so gewaehlt, dass k =. Aussedem wid Laenge in cm und Kaft in dyn = 5 N gemessen. Die Ladungseinheit heisst esu fue electostatic unit mit esu = dyn /2 cm = g/2 cm 3/2 s Die Elektonenladung ist hie: e = 4, 8 esu, esu = 3, 3 C (z.b. Fliessbach, typisch fue theoetische Physik) Vegleich zu Gavitation: Die Abstandsabhaengigkeit ist die Gleiche, alledings ist diese bei de Gavitation deutlich schwaeche. Fue ein Poton und ein Elekton im Abstand im Bohadius,53Å gilt: F C = 8 8 N F G = 4 47 N Dies entspicht einem Unteschied von 39 Goessenodnungen! Abe: auf gossen Skalen heben sich negative und positive elektische Ladungen auf und die Gavitation dominiet! Elektische Ladungen koennen sich gegenseitig schwaechen ("Abschimung" ode "Sceening"). Ab jetzt gelte: k = Expeimentelle Beobachtung: Die Coulombkaft fue mehee Ladungen kann einfach aufsummiet weden (Supepositionspinzip): N i F () = qq i 3 =: qe (), q = "Testladung" i= i Hiebei entspicht E de elektischen Feldstaeke (auch elektisches Feld ode E-Feld). 9
Beispiel. Punktladung q Zwei Punktladungen q -q q q Typischeweise betachtet man N Kontinuumsbescheibung Ladungsdichte ρ ( ) = Q auf eine Skala von Å V E () = ρ ( ) 3 dv N N Andee Richtung: ρ () = q i δ ( i ) E () = q i i= i= 3 ρ ( ) E () = dv, φ () = (skal.) elekt. Potential, bis auf k R eindeutig φ() E () = φ () E ist ein Gadientenfeld, d.h. es gilt: ote =. Wi beechnen die Divegenz: ρ ( ) dive = E = φ = dv = ρ ( ) ( 4π)δ ( - ) dv = 4πρ () Somit ehalten wi die Feldgleichungen de Elektostatik, de Spezialfall de Maxwell- Gleichungen fue B = und t E = : ote = E = dive = E = 4πρ () Oft ist es viel einfache mit φ statt mit E zu abeiten (eine statt dei Komponenten). 2
Es gilt: E = φ = 4πρ Dies ist die Gundgleichung de Elektostatik ("Poisson-Gleichung"). eine in φ lineae, inhomogene, patielle Diffeentialgleichung 2. Odnung. Im Pinzip ist die Loesung das Poisson-Integal: φ () = ρ ( ) dv Abe: meistens hat man Randwetpobleme. Feldgleichungen in integale Fom: E = 4πρ I A = E da Gauss = A= V V EdV = 4π V ρdv = 4πQ Sie ist Gauss Gesetz: De Gesamtfluss eines Vektofeldes E duch eine geschlossene Flaeche A ist gleich 4π mal de eingeschlossenen Ladung Q. E = ( E) da Stokes = E ds = A C= A Linienintegale sind wegunabhaengig, es gibt keine geschlossenen Feldlinien. Wi beechnen die Enegie des elektostatischen Feldes. Hiezu bewegen wi eine Testladung q von nach 2. Dafue muss Abeit geleistet weden. Wi nehmen hie an, dass die Bewegung von q das elektostatische Feld nicht veaendet: 2 W 2 = 2 F d = q E d = q 2 φ d W 2 = q [φ ( 2 ) φ ( )] Die elektostatische Abeit entspicht genau de Potentialdiffeenz (ode "Spannung" V). Fue positives W 2 wid Enegie gespeichet, fue negatives W 2 wid Enegie fei. Die Einheit von W ist J fue Joule. qφ () ist die elektostatische Enegie de Ladung in einem gegebenen E-Feld. Eine bewegliche Ladung wid in Richtung de Feldlinien beschleunigt und aendet dabei ihe potentielle Enegie. Falls sie sich seh langsam bewegt (uebedaempft, keine Masse), dann entspechen ihe Tajektoien genau den Feldlinien. Eine Veschiebung entlang de Aequipotentiallinien aendet die Enegie nicht und benoetigt keine Abeit. Wi betachten eine Ladungsveteilung ρ () im extenen Feld φ ext () : W ext = ρ ( ) φ ext ( ) dv 2
In Wiklichkeit haben wi abe meistens die Situation, dass das elektische Feld duch die Ladungen selbst veusacht wid. Was ist die Enegie de Ladungsveteilung in ihem eigenen Feld? Wi bingen N Ladungen q i sukzessiv vom Unendlichen an die Positionen i : W int = N i i=2 j= q i q j i j i j = 2 N N i= j= q i q j i j * Supeposition de Coulombkaft und i = kostet noch keine Enegie. Wuede man im letzten Schitt i = j zulassen, waee de Tem im Nenne! In andeen Woten: die Selbstenegie eine Ladung in ihem eigenen Feld wuede divegieen. Kontinuumslimes 2 dv ρ () ρ ( ) dv = W int Dieses Integal ist wohldefiniet, da ρ stetig ist. W int = 2 pat.int. = ρ ( ) φ ( ) dv P oisson = ( φ) φdv 8π φ φdv = E () 2 dv = "elektostatische Enegie" 8π 8π ω () = E () 2 = 8π Homogen geladene Kugel { ρ, falls R ρ () = ρ () =, sonst Feldgleichungen koennen auf dei Wegen geloest weden:. Gauss-Gesetz E da = 4π 2 E () = 4π 4π 2 ρ ( ) d = Wobei Q = ρ () dv 4πR = ρ 3 die Gesamtladung ist. 3 E () = { Q, R Q 3, 2 falls R sonst { 6π 2 Das Potential ehaelt man duch Integation (φ = E): φ () = { Q R ( 2 + 3 2R 2 2 Q, R ), falls R sonst "elektostatische Enegiedichte" ρ 3 3 = 4πQ 3, falls R R 3 6π 2 ρ 3 R 3 = 4πQ, sonst 22
2. Poisson-Gleichung In Kugelkoodinaten ehalten wi eine gewoehnliche Diffeentialgleichung: 4πρ () = φ () = ( d 2 dφ ) 2 d d > R : ρ = homogene GDGL ( 2 φ ) = φ = c + c 2 R : ρ = ρ inhomogene GDGL ( ρ 2 φ ) = φ = 2π 3 ρ 2 c 3 + c 4 Wi muessen nun alledings noch die Integationskonstanten bestimmen! Aus φ( ) = folgt c 2 =. Da wi keine Punktladung im Uspung haben ist φ () endlich und somit c 3 =. Fene hat sowohl ρ () als auch φ ( 2 φ ) einen Spung bei = R, φ und φ muessen abe in = R stetig sein. Somit ehalten wi c = Q und c 4 = 3Q und 2R ehalten die gleiche Loesung wie in ()! 3. Integaldastellung fue φ Wi legen in z-richtung und nutzen die Rotationssymmetie des Poblems um die z-achse aus. Sei also: ( ) =, = Damit ehalten wi: ( sinθ cosθ ) 2 = 2 + 2 2 cosθ φ () = ρ () dv = 2π dφ R 2 d ρ ( 2 + 2 2 cosθ ) 2 d (cosθ) = 2πρ R d ( + ) Hiebei haben wi 2 a (b + ax) 2 als Stammfunktion von vewendet. Wi untescheiden zwei Faelle: (b+ax) 2 > R φ () = 4πρ R 3 = Q 3 < R φ () = 4πρ R 2 d + d = Q ( 3 R 2 2 ) 2 R 2 Was wiede das gleiche Egebnis wie () und (2) liefet. 23
Selbstenegie de homogen geladenen Kugel ω () = 8π E () 2 = Q2 8π W int = = Q2 2 4π 2 dω () = Q2 2 2 R R 6 > R 4 R [ 5R + ] = 3 Q 2 R 5 R = W int 2 d 2 R + 6 R 2 d 4 Nebenbemekung : Im Feld um die Kugel steckt viel meh Enegie als in de Kugel selbst! Fue R divegiet die Selbstenegie eine Punktladung, wie wi vohin schon bemekt haben. Fue R const ist sie konstant Modell z.b. fue das Elekton. Wi setzen W int gleich de Ruheenegie: e 2 e 2 3 = m e c 2 R e = 3 5 R e 5 m e c =.7fm =.7 2 6 m Offensichtlich gibt es abe in diesem Modell keine Kaefte die die Ladungsveteilung zusammenhalten! Weitee Beispiele Geladene Linie: Linienladungsdichte λ = Q 2e, z.b. DNA: λ = L Gauss-Gesetz folgt: 3.4Å. Aus dem 2πLE () = 4πλL E () = 2λ ( ) ( ( ) ) 2 φ () = 2λln = λln R R divegiet fue klein! z L R 24
Geladene Ebene: Flaechenladungsdichte σ. Nach Gauss liefet nu de Deckel und Boden Beitaege: A 2AE z = 4πσA E z = 2πσ φ (z) = 2πσz Kaft unabhaengig vom Abstand. Potential steigt linea an. σ Plattenkondensato: Zwei geladene Ebenen. Feldlinien paallel zwischen den Platten. Im Aussenaum heben sich die beiden Kaefte auf, im Innenaum hingegen addieen sich die beiden Kaefte zu 4πσ. Fue die Gesamtladung gilt: Q ges = Q Q =. C bezeichne die Kapazitaet des Kondensatos. Die Potentialdiffeenz entspicht de Spannung U: φ = U = 4πσd = 4π Q A d = 4π d A Q = C Q E, E d -σ d z σ Kugelkondensato: Zwei Kugelschalen mit Radien R und R 2, Ladungen Q und Q. Kugelsymmetie und Gauss liefen: falls < R Q E() = falls R 2 < < R 2 falls > R 2 Q ( ) R R 2 falls < R φ() = Q ( ) R 2 falls R < < R 2 falls > R 2 V = φ (R ) φ (R 2 ), C = Q V = R R 2 R 2 R 25
Φ R R 2 Q -Q Dipol: Zwei gleichgosse, abe entgegengesetzte Ladungen sind duch einen Abstandsvekto a getennt. Eigentlich ist das Potential bekannt ( ) φ () = q + +q a, wi inteessieen uns abe fue den Genzfall a. Wi vewenden hiezu die multivaiate Tayloentwicklung: R R 2 f ( + a) = f (a) 3 i= f i (a = ) a i + 2 3 i,j= = f () + (a ) f () + 2 (a )2 f () +... Dipol: f () = = (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 2 f j i (a = ) a i a j +... a q - + -q a = ( (x a ) 2 + (y a 2 ) 2 + (z a 3 ) 2) 2 = 3 ( ) + i ( a i= 3 i ) + ( 3 δij + 3 ) i j ( a 2 i,j= 3 5 i ) ( a j ) +... φ () = q ( + q + a + ( 3 ( a) 2 )) a2 3 2 3 3 = q a ( ) a 2 a + O (qa) 3 3 3 qa=:p φ () = p 3 26
Vegleiche mit φ. Hie: φ 2. Obeste Odnung hat sich weggehoben. In Kugelkoodinaten gilt: φ () = p 3 Fue E () = φ () gilt: Kugelkoodinaten: = p = pcosθ 2 E = φ = 2pcosθ 3 E θ = θφ = psinθ 3 E φ = sinθ ϕφ = ( ) ( Katesisch: E i = i φ = j p j i = δij p j E ext () = ( p + 3( p) 3 5 Feld E ext ()? 3 3 3 ) jp j i 5 ) Welche Kaft wikt auf den Dipol in einem aeusseen F = qe ext () + qe ext (a) T aylo qe ext () + q (E ext () + (a ) E ext ()) = Wenn E ext const F = Dehmoment um : M = q ( E ext ())+q (a E ext (a)) = +q (a E ext (a)) bei E ext const deht sich de Dipol. M veschwindet fue a E ext. Was ist die zugehoeige Enegie? Welche Konfiguation ist sinnvolle ( ode )? F = (p ) E ext = (p E ext ) p ( E ext ) = V V = p E ext Die potentielle Enegie eines Dipols im aeusseen Feld ist somit guenstige. Katesische Multipofwicklungen Wi betachten eine beliebige Ladungsveteilung, die um den Uspung lokalisiet ist. Es bezeichne Q die Gesamtladung, p das Dipolmoment und Q ij den Quadupoltenso (bzw. das Quadupolmoment). Fue das Potential am Ot egibt sich mit dem Poisson- Integal: z φ () = ρ ( ) dv y x R 27
Entwicklung um R liefet: φ () = ρ ( ) + i ( i 3 = ρ ( ) dv + ρ ( ) dv 3 =Q =:p ) ( i) + ( 3i j δ ) ij ( 2 i,j 5 i) ( ) 3 j +...dv =:R ij = Q + p 3 +? +... 3 Bemekung: R ij ist ein spulose Tenso, d.h. R ii = = 32 i= 3 5 3 Wi uebetagen jetzt die Eigenschaft "Spulosigkeit" auf i j (auch ein Tenso) und ehalten auf Gund de Spulosigkeit von R ij das gleiche Egebnis: 2 ρ ( ) i,j ( R ij i j 2 δ ij 3 ) dv Deshalb koennen wi den isotopen Teil von R ij weglassen. Es folgt: φ () = 2 ρ ( ) i,j φ () = Q + p 3 ( 3i j 5 ) ( ) i j 2 δ ij dv = i j ρ ( ) ( ) 3 3 2 i 5 j 2 δ ij dv =:Q ij + 2 Q i j ij +... 5 Weit daussen sieht man eine Punktladung! Die Ausnahmen sind: Q = Dipol dominiet p = Quadupol dominiet + p + + -2 - + Monopol Dipol Quadopol p p.4 Randwetpobleme und Geensche Funktionen Fue eine gegebene Ladungsveteilung ρ () folgt das elektostatische Potential p (h) i im unbegenzten Raum aus dem Poisson-Integal: φ () = ρ( ) Fue viele paktische Anwendungen muss man abe das Potential in einem Raumbeeich beechnen, de duch Obeflaechen beandet ist, die ganz bestimmte elektostatische Eigenschaften haben. 28
De Standadfall sind metallische Leite, also z.b. eine Punktladung vo eine Metalplatte: In einem Metall gibt es fei bewegliche Elektonen im Gleichgewicht muss im Metall gelten: E =, φ const. Wie sind die Gegebenheiten diekt an de Obeflaeche? Hie sammeln sich Ladungen mit eine Flaechenladungsdichte σ () an. - Wi legen einen flachen Quade um die Obeflaeche und ehalten mit dem Gauss-Gesetz: - - - - - - + V E da = n E2 n E }{{ da = 4πσ () A } Deckel Boden n (E 2 () E ()) = 4πσ () A n Die Nomalkomponente von E () macht an eine Obeflaeche mit Flaechenladungsdichte σ () einen Spung von 4πσ (). Nun legen wi eine flache Schleife senkecht duch die Obeflaeche und vewenden den Satz von Stokes: = = A C ( E) da E d = l (E E 2 ) = Die Tangentialkomponente von E () ist stetig uebe eine Obeflaeche mit de Flaechenladungsdichte σ (). Da fue einen metallischen Leite E = im Inneen gilt, haben wi insgesamt: das elektische Feld E steht senkecht auf de Leiteobeflaeche und spingt von innen nach aussen von Null auf 4πσ. Das Randwetpoblem mit de Bedingung φ const auf V geloest weden ("Diichlet- Randbedingungen", im allgemeinen Fall wid φ () auf dem Rand vogegeben). Die Flaechenladungsdichte folgt dann als: σ () = (n φ) = 4π 4π nφ (). Ist die Flaechenladungsdichte gegeben, dann loest man das Poblem mit vogegebenem n φ () auf dem Rand ("Neumann-Randbedingungen"). Die Vogabe beide Randbedingungen waee eine Uebebestimmung. Wi gehen jetzt allgemeine Loesungsfomeln fue diese Randwetpobleme an. Gegeben sei ρ () in V. Gesucht wid eine Loesung mit φ () = 4πρ () in V und φ () = f () auf V (Diichlet) ode n φ () = f () auf V (Neumann). Da die Poisson-Gleichung eine lineae PDE ist und somit das Supepositionspinzip gilt, 29
vewenden wi die Methode de "Geenschen Funktion". Diese ist fue die Poisson- Gleichung definiet duch G (, ) = 4πδ ( ). Da G (, ) symmetisch in und ist gilt auch G (, ) = 4πδ ( ). Ist G bekannt, dann folgt die allgemeine Loesung als (ohne Randbedingungen!): φ () = ρ ( ) G (, ) dv φ () = ρ ( ) G (, ) dv = ρ ( ) ( 4πδ (- )) dv = 4πρ () Geen sche Funktionen existieen fue alle lineaen PDEs und ODEs (Wellengleichungen, Waemeleitungsgleichung, Schoedingegleichung etc.)! Ausnahme: Geen sche Funktionen gibt es nicht fue nicht-lineae PDEs wie bspw. die Poisson-Boltzmann-Gleichung (ode die Navie-Stokes-Gleichung) φ = e φ. Zuueck zu Poisson-Gleichung: allgemeine Loesung = spezielle Loesung + homogene Loesung: G (, ) = + F (, ) Im unendlichen Raum (d.h. keine Randbedingungen) folgt F (, ). Fue die allgemeine Fomel fue G folgt mit de 2. Geen schen Identitaet: φ ( ) ψ ( ) ψ ( ) φ ( ) dv = φ ( ) nψ ( ) ψ ( ) nφ ( ) da V Waehle ψ ( ) = G (, ) und φ ( ) als Loesung de Poisson-Gleichung, also φ ( ) = 4πρ ( ) φ ( ) ( 4πδ (- )) G (, ) ( 4πρ ( )) dv = V V φ ( ) ng (, ) G (, ) nφ ( ) da = 4πφ () + 4πdV G (, ) ρ ( ) V V φ () = G (, ) ρ ( ) dv (φ 4π ng G nφ) da V V :=I :=II Diichlet sches Randwetpoblem: G D (, ) = fue V (duch Wahl von F) Tem II veschwindet in Tem I einsetzen und φ () ausechnen: φ ( ) = f ( ) Neumann sches Randwetpoblem: Im Pinzip wollen wi: ng N =, also dass Tem I veschwindet. Abe: G (, ) dv = 4πδ (, ) dv = 4π = G (, ) } {{ da } V V V =da n ng (, ) 3
Loesung des Poblems: ng N const = 4π A φ () = G N (, ) ρ ( ) dv + G N (, ) 4π nφ ( ) da V V Zusammenfassung: Wi finden eine vollstaendige Loesung, wenn G D (bzw. G N ) bekannt ist. Beide haengen nicht von ρ () ode f () bzw. g () ab und sind ein geometische Natu. De ditte Tem wid wegen de Eichfeiheit venachlaessigt. n φ ( ) auf dem Rand ist als f (v) vogegeben. Geen sche Funktion: Lineae Diffeentialgleichung Lφ () = f () LG (, ) = δ (- ) Loesung = φ () = f ( ) G (, ) dv Gilt nu wenn keine Randbedingungen efuellt sein muessen, also wenn uebe den gesamten Raum integiet wid. Die Geen sche Funktion "tanspotiet Infomation von nach ". "Popagato" Beispiel (Waemeleitungsgleichung). ( t λ ) G (,,t,t ) = δ (- ) δ (t-t ) G (,,,) = δ (- ) Loesung Θ (t-t ) = G (,,t,t ) = exp ( ( ) 2 ) (4πλ (t t )) 3 2 4λ (t t ) Poisson-Gleichung: G (, ) = 4πδ (- ) φ () = G (, ) ρ ( ) dv 4π V V φ ( ) n G (, ) G (, ) n φ ( ) da Wie kann man G D und G N ichtig waehlen? G (, ) = +F (, ), F = patikulaeeloesung Metalle: Diichlet-Poblem, φ const auf Obeflaeche, geedete Metallplatte: φ = keine Obeflaechenteme (Tem I faellt auch weg, da φ = auf dem Rand). 3
Zwei wichtige Eigenschaften von G D Symmetie unte. Mit de 2. Geen schen Identitaet folgt naemlich fue φ ( ) = G D (, ) und ψ ( ) = G D (, ) G D (, ) G D (, ) G D (, ) G D (, ) dv = 4π (G D (, ) G D (,)) V =4πδ( - ) = 4πδ(- ) = G D (, ) ng D (, ) G D (, ) ng D (, ) da = V = = G D (, ) = G D (,) Eindeutigkeit von G D : Seien φ, φ 2 zwei Loesungen. Setze ψ := φ φ 2. Es gilt ψ = sowie V : ψ ( ) =. Wi zeigen nun mit Hilfe de. Geen schen Identitaet (mit φ = ψ), dass ψ und somit φ = φ 2 gilt: Beispiele V ψ ψ + ( ψ) 2 dv = V ψ n ψda = = ( ψ) 2 dv = ψ = ψ ist konstant, abe: ψ = auf V : ψ = Dies ist auch de Beweis fue die Nichtexistenz eines E-Felds im Faaday schen Kaefigs. Geedete Metalplatte Wi benoetigen Diichlet sche Geenfunktion G D = + F D (, ) Von F ist bekannt: V : F D (, ) = sowie V : G D (, ) = Einfache Tick: Eine Loesung von φ = δ (- ) hat automatisch φ = wenn / V Geneiee daduch F (, ) "Methode de Bildladung" ("method of images") Nutze Symmetie des Systems: Platziee Bildladung mit umgekehtem Ladungsvozeichen am Spiegelpunkt: G D (, ) = + B = ( (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2) 2 ( (x + x ) 2 + (y + y ) 2 + (z + z ) 2) 2 32
x Fue z = G D y, = φ = auf V keine Obeflaechenteme Wi legen die Punktladung auf die z-achse =, B = z z ( φ () = qg (, ) = q ) + (x, y, (z z E () = φ () = q )) ( x2 + y 2 + (z z ) 2) 3 2 (x, y, (z + z )) ( x2 + y 2 + (z + z ) 2) 3 2 q (,, 2z ) E (z = ) = q ( x2 + y 2 + z ) 2 3 2 e z 3 z Das E-Feld steht senkecht auf de Metalplatte und zefaellt lateal wie ein Dipol ( 3 ). Induziete Obeflaechenladung (nu an z = ) σ (x, y) = q E ((x, y, z = )) = 4π 2π z ( 2 + z ), 2 = x 2 + y 2 Radialkoodinaten 2 3 2 Beechnen de gesamtinduzieten Ladung z Q B = σ (x, y) da = 2π ( z= 2 + z ) 2 3 2 = +qz d d ( 2 + z ) 2 d = q 2 ( q ) d 2π Also: Es wid genau die Uspungsladung induziet! Uspungsladung und induziete Ladung ziehen sich an! "Bildkaft": Kaft auf Uspungsladung = -Kaft auf Metallplatte (Newton III) 33
Kaft auf Metallplatte: "summieen kleine Bildkaefte auf die induzieten Ladungen auf, um Kaft auf Leite zu ehalten" F B = df B = daσ E (z = ) 2 = z= 2 σ 4πσ E z e z da = q 2 e z (2z ) 2 Coulombgesetz fue zwei Ladungen q und q im Abstand 2z De Fakto ist noetig, um eine Doppelzaehlung de Ladungen in de Veteilung 2 zu vemeiden (induziete Ladungen bauen sich sukzessive auf). Genauee Beguendung uebe "Maxwell-Tenso" fue Impulsuebetag..5 Numeische Loesung des Randwetpoblems Wi betachten dei veschiedene Ansaetze. Finite Diffeenzen Die Poisson-Gleichung φ () = 4πρ () wid auf einem Gitte disketisiet. Wi betachten de Einfachheit halbe den Fall d = : φ (x) = 4πφ (x) Die zweite Ableitung kann folgendemassen beechnet weden: φ (x + x) = φ (x) + φ (x) x + 2 φ (x) x 2 + O ( x 3) φ (x x) = φ (x) φ (x) x + 2 φ (x) x 2 + O ( x 3) φ φ (x + x) + φ (x x) 2φ (x) (x) = + O ( x 3) x 2 Gitte φ i+ + φ i 2φ i = 4φ (x h 2 i ), = "Dei-Punkte-Fomel", h = Gittekonstante Wi wollen Diichlet sche Randbedingungen: φ = φ N+ = φ 2......... ρ 2........ 2...... h 2................ = 4π....................... 2 φ N ρ N ρ, ϕ.8.6.4.2 ρ.2.4.6.8. x φ Dieses lineae Gleichungssystem Aφ = ρ (mit Tidiagonalmatix A) kann fue deta algebaisch geloest weden. 34
2 Vaiationsvefahen Wi staten von de Beobachtung, dass die Loesung de Poisson-Gleichung, φ = 4πρ, auch das Minimum eines Enegiefunktionals ist: E [φ] = 8π ( φ ()) 2 dv ρ () φ () dv Beweis. Beispiel fue eine Vaiationsechnung Eule-Lagange-Gleichung fue E [φ]. Vaiation: φ φ + δφ, δφ V = δe = 8π = 4π pi = 4π ( φ + δφ) 2 ( φ) 2 dv ρ [(φ + δφ) φ] dv φ δφdv ρδφdv + O ( δφ 2) ( φ 4πρ) δφdv + δφ n φda + O ( δφ 2) V = φ = 4πρ Es egibt sich folgende numeische Loesungsstategie: Vewende eine Testfunktion. n Beispielsweise ein Polynom φ τ ({a i } i n+ ) = a j+ X j. Wete nun E [φ] fue unsee Testfunktion φ τ aus und minimiee E bezueglich de Paamete a i. j= Beispiel: ρ = 4π ( x) φ = 3 x 2 x2 + 6 x3 φ τ = ax ( X) 2 8πE [φ τ ] = 7a 2 2a a min = 7 E min = 8π Die exakte Loesung φ = 3 X 2 X2 + 6 X3 egibt hingegen: ϕ 84.6 φ exact E [φ] = 8π 45 4π 45 = 2 8π 9.5.4.3.2 φ T..2.4.6.8. x 3 Finite-Elemente-Methode (FEM) Kombiniet Elemente von und 2. Wi tansfomieen die PDE in ihe "schwache Fom" duch Multiplikation mit eine Testfunktion w (x) und Integation uebe das 35
Intevall [a, b]. Es gilt fue jede Testfunktion w: b I = w (x) [φ + 4πρ] = a = Residuum R I = wφ b b b w φ dx + w4πρdx = a a a Die schwache Fom haengt nu noch von esten Ableitungen ab und kann deshalb unte schwaecheen Bedingungen geloest weden. Nach Disketisieung kann diese Gleichung algebaisch und unabhaengig von w geloest weden. Galekin-Methode: n φ (x) = φ i N i (x) =: φ N (x) i= n ω (x) = ω i N i (x) =: ω N (x) i= Sowohl φ als auch ω weden nach "Fomfunktionen" (Polynome de Odnung n-) ("shape functions") entwickelt. φ a ( dn I = ω ω φ dx dn ) b dx dx φ + ω N (x) 4φρ (x) dx = b a =:K =:f ext f := f int + f ext ω K φ = ω f K φ = f kann algebaisch geloest weden! Im Diichlet-Fall sind Teile von φ gegeben. Im Neumann-Fall hingegen ist f ext bekannt. Dementspechend muss andes aufgeloest weden. Softwae fue FEM: Comsol Multiphysics (usefeundlich) Abaqus, Ansys, Adina (Spezialpogamm) dune, deal.ii (open softwae aus Heidelbeg) Bemekung: Die Theoie de Testfunktionen, sowie die Existenz und Eindeutigkeit von Loesungen de hie behandelten PDEs wid in de Funktionalanalysis untesucht..6 Entwicklung in spezielle Funktionen Laplace- und Poisson-Gleichungen muessen oft mit bestimmten Symmetien geloest weden. Dies gelingt in de Regel mit einem Sepaationsansatz mit Tansfomation in 36
geeignete Koodinaten (z.b. Legende-Polynome p l (X), Kugelflaechenfunktionen Y lm (θ, φ)). Motivation: Elektostatisches Poblem: φ = in V, φ (x, y) = an den Raenden links, echts, unten. φ (x, y) = φ (x) am obeen Rand. Sepaationsansatz: φ (x, y) = f (x) g (y) φ = ( xf ) 2 g + f ( yg ) 2 = ( 2 f x f ) ( + 2 g y g ) haengt nu von x ab haengt nu von y ab = ( 2 g y g ) = α 2 = ( 2 f x f ) g (y) = g e αy + g 2 e αy = g 3 cosh (αy) + g 4 sinh (αy) g 3 = g + g 2, g 4 = g g 2 f (x) = f cos (αx) + f 2 sin (αx) Aus den Randbedingung beechnet man: φ (, y) = f = φ (x, ) = g 3 = φ (x, y) = α = α n = nπ x, n N allg. Loesung φ (x, y) = n= c n sinh n= ( ) ( ) nπ nπ y sin x x x Die Koeffizienten c n weden duch die estlichen Randbedingungen festgelegt. Es gilt: ( ) ( ) nπ nπ φ (x, y ) = φ (x) = c n sinh y sin x x x c n = 2 x sinh ( ) nπ x y x ( ) nπ φ (x) sin x dx x Dies entspicht de Fouie-Entwicklung von φ (x). Falls die Reihe konvegiet, so sind die Koeffizienten eindeutig bestimmt und somit ist insbesondee die Fouieentwicklung eine Funktion im Falle de Existenz eindeutig..7 Mathematische Einschub 2: Fouie-Entwicklung Einneung: Die Taylo-Reihe ist eine Entwicklung in Polynome: f (x) = a n X n n= Nun entwickeln wi in 2π-peiodische Funktionen: f (x + 2π) = f (x) Entwicklung in sin und cos 37
Ansatz: f (x) = a + 2π cos (nx) dx =, a n n= 2π cos (nx) geade F ktn. sin (nx) dx = + b n sin (nx) ungeade F ktn. cos (nx) cos (mx) dx = cos ((n + m) x) + cos ((n m) x) dx = πδ nm 2 sin (nx) sin (mx) dx = cos ((n m) x) cos ((n + m) x) dx = πδ nm 2 sin (nx) cos (mx) dx = sin ((n + m) x) + sin ((n m) x) dx = 2 sin (nx) und cos (mx) sind othogonal zueinande. a = 2π 2π f (x) dx, a n = π 2π f (x) cos (nx) dx, b n = π 2π f (x) dx = 2πa 2π f (x) sin (nx) dx Satz von Diichlet: Die Fouieeihe konvegiet, wenn f (x) und f (x) stueckweise stetig sind. Man kann die Fouieeihe auch mit Hilfe de Eule Fomel e iφ = cosφ + isinφ in komplexe Fom scheiben. Es gilt: f (x) = c n e inx = c + c n (cos (nx) + isin (nx)) + c n (cos ( nx) + isin ( nx)) n= n= n= = c + c n (cos (nx) + isin (nx)) + c n (cos (nx) isin (nx)) n= n= = c + (c n + c n ) cos (nx) + i (c n c n ) sin (nx) =a n= =a n =b n c n = 2 (a n ib n ), (n ) c n = 2 (a n + ib n ) = c n, (n < ) Also ist f (x) genau dann eell, wenn c n = c n gilt. Weite gilt: c n = 2 (a n ib n ) = 2π 2π [cos (nx) isin (nx)] f (x) dx = 2π 2π e inx f (x) dx Wi machen nun den Uebegang von peiodischen zu beliebigen Funktionen. Hiezu fuehen wi fue eine Funktion f eine Peiodenlaenge T ein und betachten danach den 38
Fall T. f (t + T ) = f (t) f (t) = ( T ) 2 n Z ω n = 2πn ( ) T, c 2 n = T (2π) 2 T (2π) 2 R ( ) f (t) = T T 2π R c n e iωnt T 2 T 2 e iωnt f (t) dt } {{ } = f(ω n) e iωt f (t) dt = f (ω) 2 ( 2π T ) 2 n Z e iωt f (ω) dω = f (t) = "Fouie-Integal" f (ω n ) e iωnt = ( ) 2π f (ω (2π) n ) e iωnt 2 n Z T = ω = "Fouie-Tansfomiete" Die Fouietansfomation weist folgende inteessante und nuetzliche Eigenschaften auf: f (t) f (t) a f (t) + a 2 f 2 (t) a f (ω) + a 2 f2 (ω) Linea f (t) iω f (ω) Ableitung Multiplikation h (t) = f (t s) g (s) ds f 2π (ω) g (ω) Pasival Theoem: Faltung Podukt Wo vewendet man Fouietansfomationen in de Physik? Otsaum: f (t) f (ω) Fouieaum/ezipoke Raum, ω Fequenz Otsaum: f (x) f (k) Fouieaum/ezipoke Raum, k Wellenvekto Bemekung: Die Fouietansfomiete f (t) existiet fue jede L Funktion f. Falls f L 2 gilt, so ist auch f L 2. p Hiebei ist f L p : f (x) p dx <. R In Woten bedeutet dies etwa so viel wie: Eine Funktion liegt in L p genau dann, wenn sie p-fach integieba ist. Fue p = "integieba", fue p = 2 "quadadintegabel" etc. 39
Einsetzen von f (ω) in das Fouie-Integal liefet: f (t) = 2π R δ (t) = 2π dωe iωt R δ (t) = 2π R e iωt dt dt e iωt f (t ) = 2π e iωt dω } {{ } δ(ω)= 2π R dt f (t ) 2π R e iω(t t ) = R f (t ) δ (t t ) dt Bemekung: Das Resultat fue die Delta-Funktion haengt alledings vom Vofakto ab. Die Wahl die wi fue die Tansfomation getoffen haben hat unte Andeem den Voteil, dass man die Invese de Fouietansfomation elativ einfach bestimmen kann. In de Funktionalanalysis hingegen ist (haeufig) die Fouie-Tansfomiete de Delta-Funktion die. In de Tat stellt diese ein neutales Element des Faltungsaums (eweitet auf Distibutionen) da. Funktionen, welche in beiden Raeumen die gleiche Fom haben sind die Gauss-Funktionen. Veallgemeinet man die Tansfomation auf vektowetige Funktionen, so gilt: Beispiele f (k) = (2π) d 2 R n Fouie-Integal e ik x f (x) dv f (t) Gauss sche Funktion e a t2 2 f (ω) Exponentialfunktion e a t 2 π a e ω2 2a a ω 2 +a 2 Fouie-Reihe Stufenfunktion f (t) π t π < t π c n π 2 Saegezahn t fue π < t π 2πi ( )n n n [( )n ] 4
3 3 2 2-3 -2-2 3 - -2-3 -2-2 3-3 Vollstaendige othonomale Funktionensysteme (VONS) Ein VONS ist eine Menge von Funktionen {u n (x)} auf einem Intevall [a, b] mit folgenden Eigenschaften: b u n (x) u m (x) dx = δ nm a Vollstaendig: n u n (x) u n (x) = δ (x y) Dies entspicht de Definition eine Othonomal-Basis eines Vektoaums. Unsee Vektoen sind hie alledings Funktionen! Fene definiet das Integal aus de esten Eigenschaft ein Skalapodukt zwischen zwei L p -Funktionen und man ehaelt somit den Hilbetaum de L p -Funktionen auf [a, b]. Allgemein ist ein Hilbetaum ein Vektoaum mit Skalapodukt, welche bezueglich de vom Skalapodukt induzieten Nom vollstaendig ist, d.h. jede Cauchy-Folge konvegiet. Die Vollstaendigkeit hat nichts mit de Basis zu tun! Fue jedes f L 2 gilt: f (x) = n f (x) = n = f (x) 2 dx = b a c n u n (x), c n = b u n (x) dx a b b u n f (x ) dx u n (x) = f (x ) a a n f (x ) δ (x x ) dx = f (x) f (x) f (x) dx = c n c m u n (x) u m (x) dx n,m =δ nm u n (x ) u n (x) dx = n c n c n = n c n 2 < Die Fouietansfomation wa nun ein Beispiel fue eine Zelegung nach Wellen. Man 4
kann Funktionen abe auch auf andee Weisen zelegen, z.b. auf de Kugelobeflaeche: In Kugel-KO: f () = f (, θ, φ) = Othonomalitaet: Vollstaendigkeit: 2π dφ l l= m= l l l= m= l R lm (t) Y lm (θ, φ) Kugelflaechenfunktion d (cosθ) Y l m (θ, φ) Y lm (θ, φ) = δ l lδ m m Y lm (θ, φ ) Y lm (θ, φ) = δ (cosθ cosθ ) Entwicklung in Kugelflaechenfunktionen Wi scheiben die Laplace-Gleichung in Kugelkoodinaten: 2 (φ) + 2 sinθ θ (sinθ θ φ) + 2 sin 2 θ ϕφ = Ein geschickte Sepaationsansatz lautet: φ (, θ, ϕ) = u () P (cosθ) Q (ϕ) P Q d 2 u d + uq ( d sinθ dp ) + up d 2 Q 2 3 sinθ dθ dθ 3 sin 2 θ dϕ = 2 d 2 Q = 2 sin 2 θ d 2 u Q dϕ 2 u d sinθ ( d sinθ dp ) 2 P dθ dθ : m 2 haengt nicht von ϕ ab Q + m 2 Q = ( ) Q m (ϕ) = e imϕ (m Z) () ( ) Achtung: hie geht ein, dass Q (ϕ) 2π-peiodisch sein muss! Wi betachten nun die echte Seite von (): 2 d 2 u = ( sinθ dp ) + m2 (2) } u {{ d 2 } P sinθ dθ dθ sin 2 θ :λ haengt nicht von ab d2 u d λ 2 = (3) 2 Die vebleibende Diffeentialgleichung scheiben wi um mit cosθ = x: d dx = d sinθ dθ d ( ( ) ) ( ) x 2 dp + λ m2 P = (4) dx dx x 2 Wi betachten zunaechst nu den Fall m = (Zylindesymmetie): ( x 2) P 2xP + λp = (5) 42
Wi suchen Loesungen fue den Beeich x. Ein Taylo-Ansatz zeigt, dass es konvegieende Loesungen nu fue λ = l (l + ) mit λ N geben kann. P l (x) = d l ( x 2 l ) 2 2 l l! dx l ("Legende Polynome", Konvention: P l () = ) Das Legende Polynom P l ist vom Gad l und je nach Wahl von l entwede geade ode ungeade. P =, P = x, P 2 = 2 ( 3x 2 ), P 3 = 2 ( 5x 3 3x ),... Die Funktionen { ( ) 2l+ 2 P 2 l (x)} bilden ein VONS auf [, ]: P l (x) P l (x) dx = 2 2l + δ ll 2l + P l (x) P l (x ) = δ (x x ) 2 l= Die Radialgleichung (3) lautet somit: 2 d 2 u u d = l (l + ) u 2 l () = a l l+ + b l l Die allgemeine Loesung de Laplace-Gleichung bei Zylindesymmetie lautet aufgund des Supepositionspinzips: ( φ (, θ) = a l l + b ) l P l= l+ l (cosθ) Die Koeffizienten {a l } l und {b l } l weden duch die Randbedingungen festgelegt. Wenn V gilt und sich keine Punktladung in V befindet, dann ist b l =. Wenn V und φ ( ) =, dann ist a l =. 43
Beispiele Punktladung q bei in z-richtung Zylindesymmetie: φ = gilt fue V := { < } und V 2 := { > } wi bestimmen die Koeffizienten fue beide Entwicklungen In V gilt auf de z-achse ( < ) : = φ (, ) = q = P l (θ = ) = a l = q l+, b l = q ( ) T aylo = q l= ( Die Betachtung de z-achse eicht zu Bestimmung de Koeffizienten! In V 2 gilt auf de z-achse ( > ) : ( ) = φ (, ) = q = q ( ) T aylo = q ( ) l l= l P l (θ = ) = a l =, b l = q Mit den Definitionen > := max(, ), < := min(, ) lassen sich beide Entwicklungen in eine Fomel zusammenfassen: φ (, θ) = q = q l < P l+ l (cosθ) > l= Insbesondee sieht man, dass diese Fomel auch fue eindeutig ist. Leitende Kugel im homogenen Feld Das homogene Feld E in z-richtung koennte z.b. duch einen Plattenkondensato ezeugt weden. Die Randbedingungen lauten dann: φ (R, θ) const = φ φ (, θ) = E z + const = E cosθ + φ Zylindesymmetie und die este Randbedingung liefen: ( φ (R, θ) = a l R l + b ) l P R l+ l (cosθ) = φ = φ P (cosθ) l= Multiplikation mit P n (cosθ), Integation uebe θ und Vewendung de Othogonalitaet egibt: n = : a + b R = φ b = R (φ a ) n > : a n R n + b n R = b n+ n = a n R 2n+ ) l 44
Mit de zweiten Randbedingung folgt: a = φ, a = E, a 2 = a 3 =... = b = R (φ φ ), b = E R 3, b 2 = b 3 =... = φ (, θ) = φ + (φ φ ) R R 3 E cosθ + E }{{ } unwichtige Konstante homogenes Feld } {{ 2 cosθ } Gesamtladung auf de Kugel Feld de induzieten Ladungen, Dipol Wi beechnen die induziete Gesamtladung vom letzten Tem: = 4π φ = φ = 3 n R 4π R 4π E cosθ Positive Ladungen oben, negative Ladungen unten, die Summe veschwindet und die Kugel ist effektiv ein Dipol mit Dipolmoment p = E R 3 e z. Polaisiebakeit α = p E = R 3 fue eine leitende Kugel. Zuueck zu Laplace-Gleichung in Kugelkoodinaten ohne Zylindesymmetie. Fue m lautet die Diffeentialgleichung fue P (cosθ) : ( d ( ) ) ( x 2 dp + λ dx dx m2 x 2 ) P (x) = Sie wid geloest duch die "zugeodneten Legende-Polynome". Sei Pl m (x) mit λ = l(l+) wie zuvo und m =, ±, ±2,..., ±l : Pl m (x) = ( )m ( ) x 2 m 2 d l+m ( x 2 ) l 2 l l! dx l+m Man kann zeigen, dass Pl m und Pl m zueinande popotional sind: Pl m (x) = ( ) m (l m)! Fue m = egeben sich wiede die Legende-Polynome: Pl (x) = P l (x) P m (l+m)! l (x) Beispiele: P =, P = x, P = x 2, P = x2, 2 P2 = ( 3x 2 ), P2 = 3x x 2 2,... die zugeodneten Legende-Polynome sind ga keine Polynome! Die Abhaengigkeit von θ und ϕ wid in neuen Funktionen Funktionen zusammengefasst: Y lm (θ, ϕ) = ( 2l + 4π Y lm (θ, ϕ) = ( ) m Y l m (θ, ϕ) ) 2 (l m)! P m (l + m)! l (cosθ) e imϕ ("Kugelflaechenfunktionen") 45
Beispiele: Y = 4π, Y = Y 2 = 5 6π 3 3 4π cosθ, Y,± = 8π sinθe±iϕ, ( 3cos 2 θ ), Y 2,± = 5 8π cosθsinθe±iϕ,... In katesischen Koodinaten: 3 3 5 Y = 4π z, Y,± = 8π ( x iy), ( 2 Y 2 = 2z 2 x 2 y 2), 6π 5 2 Y 2,± = ( x iy) z,... 8π Insbesondee sieht man in de katesischen Dastellung, dass die Teme l Y lm unte = i j veschwinden. Wie oben angegeben, bilden die Kugelflaechenfunktionen ein VONS fue Funktionen f (θ, ϕ). Die allgemeine Loesung von φ = in Kugelkoodinaten lautet somit also: ( l φ (, θ, ϕ) = a lm l + b ) lm Y l+ lm (θ, ϕ) l= m= l Bemekung: In de Quantenmechanik ist l = Modulus des Dehimpuls. m = z-komponente des Dehimpuls. Wi entwickeln jetzt nach Kugelflaechenfunktionen. Die Abhaengigkeit von (θ, ϕ) entwickeln wi nach {Y lm } und die von (θ, ϕ ) nach {Ylm}, welches auch ein VONS bildet. = A ll mm (, ) Yl m (θ, ϕ ) Y lm (θ, ϕ) l,l,m,m = l,l,m,m ( d 2 l(l + ) d2 2 ) A ll mm (, ) Y l m (θ, ϕ ) Y lm (θ, ϕ) = 4πδ ( ) = 4π δ ( 2 ) δ (cosθ cosθ ) δ (ϕ ϕ ) = 4π δ ( 2 ) Ylm (θ, ϕ ) Y lm (θ, ϕ) l,m Koeffizientenvegleich ( = A ll mm (, ) = A lm (, ) δ ll δ mm ) A lm (, ) = 4π δ ( 2 ) d 2 l(l + ) d2 2 Eine genaue Untesuchung egibt A lm (, ) = 4π = l l= m= l 4π 2l + < l > l+ < l 2l+ > l+ Y lm (θ, ϕ ) Y lm (θ, ϕ) 46
Ein Vegleich mit de Entwicklung in Legende-Polynomen egibt das Additionstheoem fue Kugelflaechenfunktionen (Θ Winkel zwischen (θ, ϕ) und (θ, ϕ )): p l (cosθ) = 4π 2l + l l= m= l Y lm (θ, ϕ ) Y lm (θ, ϕ) Wi betachten eine in < R lokalisiete Ladungsveteilung und machen eine Multipolentwicklung fue das Fenfeld in Kugelkoodinaten mit < =, > = : φ () = = ρ ( ) dv >R = l l= m= l q lm = ρ ( ) 4π l l,m 2l + Y l+ lm (θ, ϕ ) Y lm (θ, ϕ) dv 4π q lm 2l + Y l+ lm (θ, ϕ) = q + q cosθ q,± 2 2 2 sinθe±iϕ +... 4π 2l + ρ ( ) l Y lm (θ, ϕ ) dv Ein Vegleich mit de katesischen Multipolentwicklung egibt: q = q, q = p 3, q,± = p + ip 2 2, q 2 = Q 33 2, etc. (sphaeische Multipolmomente) Fue die hoeheen Odnungen gibt es wenige sphaeische als katesische Komponenten, was die Rechnung elegante macht und veeinfacht. 47
2 Magnetostatik 2. Stationaee Stoeme und Magnetfelde Mikoskopische Eklaeung fue Magneten: Keisstoeme. Modene Eklaeung (Quantenmechanik): Spin de Elektonen Anwendungen: magnetische Speichemedien (Festplatten), MRT (z.b. 7T-Tomogaph am DKFZ), Kompass, Magnetsinn von Oganismen (Voegel, Fische, Bakteien), Plasmaphysik, Astophysik, etc. Weltekod: 9, 4T am HZ Desden-Rossendof mit 2kg schwee Kupfespule Kuehlschankmagnet:.5T, Ede: 5 5 T Elektostatik: Eine uhende Ladungsveteilung ρ () ezeugt ein elektisches Feld E (); eine Testladung q efaeht dann eine elektische Kaft F e = qe. Magnetostatik: Ein elektische Stom (d.h. bewegte Ladungen) ezeugt ein magnetisches Feld B (); eine bewegte Ladung q efaeht dann eine magnetische Kaft F m. Achtung: De magnetische Kompass ichtet seine Nadel in Richtung des geogaphischen Nodens; da dies seine "Nodseite" ist und sich gegenseitige Pole anziehen, ist de geogaphische Noden ein magnetische Sueden! Elektostatik Magnetostatik Quelle dq = ρdv jdv = Idl Usache Feld de () = dq 3 db () =? Wikung Kaft df e = dqe df m =? Wikung I = j A Stom duch eine Flaeche, z.b. duch einen Daht in de Magnetostatik ist die Quelle vektoiell, nicht skala! Ladungsehaltung Kontinuitaetsgleichung ρ+ j =. In de Magnetostatik betachten wi nu stationaee Stoeme: j = j () (keine Zeitabhaengigkeit), j =. Die Fomeln fue B und F m folgen aus expeimentellen Befunden: ein stomduchflossene Leite an ezeugt ein Feld B an, welches dann die Kaft F m bewikt. Fue die Kaft findet man expeimentell df m I, df m dl, df m dl j' = I' dl' -' j = I dl df m = I dl B () c ' Diese Gleichung kann als Definition von B betachtet weden (df m, I und dl sind M essgoessen). Eine Geschwindigkeit ist aus Dimensionsguenden noetig. Expei- 48
mentell findet man die Lichtgeschwindigkeit c. Fue B findet man (expeimentell) db I dl, db dl, db ( ), db (wie de!) 2 db () = I c dl 3 Fue eine gegebene stationaee Stomveteilung kann das Magnetfeld also folgendemassen beechnet weden: B () = j ( ) c 3 dv ("Gesetz von Biot-Savat") Vegleich mit dem Egebnis aus de Elektostatik: E () = ρ ( ) 3 dv ("Poisson-Integal") Loentz-Kaft auf ein bewegtes Elekton: j = qv F = F e + F m = qe + q c v B Abe: B kann so nicht beechnet weden, da ein einzelnes Elekton ein zeitabhaengiges magnetisches Feld ezeugt. Das Analogon zum Coulomb-Feld ist nicht die Wechselwikung zwischen zwei bewegten Ladungen, sonden zwischen zwei unendlich langen, stomduchflossenen Leiten. Wi beechnen zunaechst das magnetische Feld um einen Leite: j ( ) = Iδ (x ) δ (y ) e z B () = I c = I c δ (x ) δ (y ) e z [(x x )e x + (y y )e y + (z z )e z ] dv [(x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 ] 3 2 xe y ye x dv ( 2 + (z z ) 2 ) 3 2 R = 2I c e ϕ = B () mit e ϕ := xe y ye x y B wie beim elektischen Feld um eine geladene Linie. Die Feldlinien sind Keise um den Leite in eine Ebene senkecht dazu. Wi beechnen nun die Kaft auf den zweiten Leite: df = c Idze z ( 2I c e ϕ ) = 2II c 2 dz ( xe x ye y ) = 2II c 2 dz( e ) df dz = 2II c 2 e = 2II c 2 dze z e ϕ = 2II c 2 dz e x (xe y ye x ) z y x 49
Zwei gleichgeichtete Daehte ziehen sich mit diese Kaft po Laenge an. Die Kaefte wiken paallel zu kuezesten Vebindung. Analog zum Coulomb-Gesetz: F C = q q 2 abe andes als Abstandsgesetz wegen Integation! 2 Einheitentest: [F m ] = A2 s 2 = C2 = [F m 2 m 2 e ] SI-System: F = 2 7 N fue I m = I 2 = A, R = m B = µ j ( ) 4π 3 dv F = Idl B [B] = kg As = T esla = 2 4 Gauss, c = (ε µ ) 2 2.2 Die Feldgleichungen de Magnetostatik Analog zum skalaen Potential φ () de Elektostatik fuehen wi jetzt ein Vektopotential A fue die Magnetostatik ein (vgl. Zelegungs- und Eindeutigkeitssatz fue Vektofelde). j ( ) ( = ) j ( ) = ( ) 3 j ( ) = j ( ) 3 B () = A (), A () = j ( ) c dv Dies ist analog zu E = φ, φ = ρ ( ) dv. B = (analog zu E = ) Das magnetische Feld hat keine Quellen und seine Feldlinien sind geschlossen. Es gibt keine magnetischen Monopole (expeimentelle Beobachtung)! De magnetische Fluss duch eine geschlossene Flaeche veschwindet: = BdV = B da V V q I 5
Wi beechnen die Rotation: B = ( A) = A + ( A) A = ( ) j ( ) dv c = = ( j ( )) c dv = ("Coulomb-Eichung") = A = ( ) j ( ) = 4π c c j () = 4πδ(- ) B = 4π c j () ("Ampeesches Gesetz") Das gleiche Egebnis folgt auch aus dem Zelegungssatz und de Definition von A. Mit B = und B = 4π j () ist B () eindeutig bestimmt! Das Randwetpoblem de c Magnetostatik lautet A = 4πj (). c Integale Fom des Ampeeschen Gesetz: wi integieen uebe eine beliebige Flaeche A mit Rand A = C: A ( B) da Stokes = I A = c 4π A B d A B d = 4π c A j da = 4π c I A Dies ist analog zum Gauss schen Gesetz in Integalfom: Q V = Hiebei wa de elektische Fluss V ("Ampesches Duchflutungsgesetz") 4π V E da. E da fuehe auch als I A definiet. Jetzt bezeichnen wi damit den magnetischen Fluss. De Gesamtstom duch die Flaeche I A egibt sich aus dem Wegintegal. E veschwindet fue geschlossene Flaechen A. 5