Schrödingergleichung

Fortbildung Quantenphysik OSA Stuttgart Philipp 1/00 Schrödingergleichung Inhaltsverzeichnis Schrödingergleichung... 1 1. Vorbemerkungen zur Behandlung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung... 1. Skizze meines Unterrichtsgangs....1 Plausibelmachen der Schrödingergleichung.... Schrödingergleichung für einen linearen Potentialtopf endlicher Höhe... 5..1 Innerhalb des Potentialtopfs... 5.. Außerhalb des Potentialtopfs... 6..3 Die Elektronen sollen innerhalb des Potentialtopfs bleiben... 7..4 Arbeitsblätter zum qualitativen Lösen der Schrödingergleichung... 7..5 Hilfestellungen zum qualitativen Lösen der Schrödingergleichung... 10..6 Einsatz eines Computers zum Lösen der Schrödingergleichung... 11 3. Computerprogramme zur Lösung einer Schrödingergleichung... 13 3.1 Alea (Klett-Verlag 1998)... 13 3. Rund um... Dorn-Bader Physik 1/13... 14 3.3 Schrödingers Schlange (Küblbeck)... 15 3.4 Pakma 000... 16 3.5 Schrödingers Wippe (Küblbeck)... 16 4. Klassenarbeitsaufgabe... 17 1. Vorbemerkungen zur Behandlung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung Methodische Vorbemerkung: Da wir die Schrödinger Gleichung nicht herleiten können wie Schrödinger übrigens auch nicht, müssen wir den Gleichungsansatz sinnvoll und plausibel erraten (oder einfach mitteilen). Diese Vorgehensweise, die in der Wissenschaft üblich ist, sollte auch in der Schulphysik immer wieder angewandt werden. Die Schüler, an die in Mathematik und Physik übliche deduktive Herleitung gewöhnt (die häufig genug die Lehrkraft auch nur aus Büchern kennt), haben bei dieser Vorgehensweise immer wieder Akzeptanzprobleme. Ich habe im LK Physik 001/00 nach dem schriftlichen Abitur einen Unterrichtsgang zur Schrödingergleichung in Anlehnung an Dorn-Bader Physik 1/13 ausprobiert. Ich habe dabei versucht, den Unterricht unter Beachtung des gültigen Lehrplans von 1994 in Richtung auf den Lehrplan 00 für die Kursstufe zu öffnen. Die angegebenen Seitenzahlen beziehen sich auf den Dorn-Bader. Zunächst wird der lineare Potentialtopf behandelt (S. 68f). Ein stationärer Elektronenzustand im Potentialtopf wird durch Superposition aller Möglichkeiten des Elektrons erreicht (analog wie beim Doppelspalt für ein Photon): nach links und rechts laufende Ψ-Welle werden überlagert. Diese Überlagerung von nach rechts und links laufender Ψ-Welle stieß bei den Schülern auf Widerspruch (wie auch schon bei früheren Leistungskursen).

Dieser Widerspruch kann entkräftet werden, wenn man betont, dass das Vorgehen beim Potentialtopf analog zum Vorgehen beim Doppelspaltversuch ist. Beim Doppelspalt müssen alle Rechenpfade (Möglichkeiten) des Photons superponiert werden. D.h. Superposition von Rechenpfad Spalt 1 und Spalt. Genauso müssen beim Potentialtopf die beiden möglichen Rechenpfade für ein Elektron superponiert werden, d.h. nach links und nach rechts laufende Materiewelle für ein Elektron. Nach Aufstellen der zeitunabhängigen, eindimensionalen Schrödingergleichung (S. 74) wird als erstes Beispiel einer Potentialfunktion der lineare Potentialtopf nochmals aufgegriffen (S. 75). Das ist aus Sicht von kritischen Schülern ein nicht ganz einsichtiger Umweg. Es gibt auch andere Vorschläge zur Stoffreihenfolge: Als erstes die Schrödingergleichung behandeln und dann als eine Anwendung lineare Potentialtöpfe (z.b. Hirlinger: auf CD-ROM LEU Ph 33).. Skizze meines Unterrichtsgangs In diesem zweiten Abschnitt wird eine Skizze (Heft-/Tafelaufschrieb) meines Unterrichtsgangs zur Schrödingergleichung dargestellt. Inhaltliche Voraussetzung für Behandlung der Schrödingergleichung im Unterricht 001/00: Differentialgleichung harmonischer Oszillator Linearer Potentialtopf.1 Plausibelmachen der Schrödingergleichung Lehrermitteilung: Schrödinger stellt eine Gleichung auf, die sich bei der Beschreibung von stationären, zeitunabhängigen Elektronenzuständen in Potentialtöpfen, Atomen,... bewährt hat. Da diese Zustände unendlich lang bestehen ( t ), haben sie nach der UBR eine scharf bestimmte Gesamtenergie W ( W h/ t 0). Schließlich sind Atome ja stabil. Wir haben im bisherigen Unterricht erlebt, dass Differentialgleichungen in der Physik eine brauchbare mathematische Methode sind, um Sachverhalte beschreiben zu können. Beim harmonischen Oszillator verwendeten wir eine lineare Differentialgleichung. Ordnung. Auch im jetzt betrachteten Fall suchen wir eine solche DGl. Von den Überlegungen beim linearen Potentialtopf angeregt, betrachtet man Sinus- und Kosinusfunktionen, die mit der debroglie-wellenlänge λ B = h/p periodisch sind. Ψ 1 () = Ψ 0 sin(π/λ B ) Ψ () = Ψ 0 cos(π/λ B ), wobei Ort. Für jede dieser Funktionen gilt : π π Ψ ( ) = ( ) Ψ sin( ) λ '' 1 0 λb B

3 π Ψ ( ) = ( ) Ψ ( ) '' 1 1 λb '' Ψ ( ) ( ) 1 = CΨ 1 (0) Für die Konstante C gilt: C π 4π p ( ) λ h = = B p mit W kin = folgt m e 8π m C = W kin (1) h Für die gesamte Energie W eines Elektrons gilt: W = W kin + W pot () Dabei ist die Potentialfunktion W pot () durch das Kraftfeld bestimmt, in dem sich die Elektronen befinden (Z.B. Potentialtopf). Damit folgt für die kinetische Energie eines Elektrons: W kin = W W pot () () Zum Beispiel Dorn-Bader S.74 B1

4 () in (1): 8π m C ( ) = ( W W ( )) pot (3) h (3) in (0): eindimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung (SGl) 8π m ( ) ( W W ( )) ( ) h '' Ψ = pot Ψ Ψ '' ( ) = CW (, ) Ψ ( ). 8π m Dabei hängt der Faktor CW (, ) = ( W W ( )) pot ab h vom Ort von der Gesamtenergie W, die wir noch nicht kennen. Vgl. Differentialgleichung der harmonischen Schwingung: () t = k() t. Unterschiede zwischen DGl harmonischer Oszillator und Schrödingergleichung: Harmonischer Oszillator Variable : Zeit t Schrödingergleichung Variable : Ort

5 Faktor k = konst. Faktor k > 0 Die Funktion (t) beschreibt eine physikalisch messbare Größe. Faktor C(,W) ist nicht konstant sondern hängt von und W ab. Faktor C(,W) kann Vorzeichen wechseln Die Funktion Ψ() beschreibt keine Observable. Diese Unterschiede werden bei der SG zu mathematisch anderen Lösungen der DGL führen als beim harmonischen Oszillator. (Für Lehrer: Diese Hinweise sind im Sinne des kumulativen Lernens wichtig!). Schrödingergleichung für einen linearen Potentialtopf endlicher Höhe Gegeben ein linearer Potentialtopf der Höhe 4 ev und der Breite L = 1,5 nm (L liegt in der Größenordnung von Atomdurchmessern). Hierfür lautet die Potentialfunktion W pot () W pot () = 4 ev für L/ und -L/ (am Rand und außerhalb des Potentialtopfs) 0 für L/ < < L/ (im Inneren des Potentialtopfs) (Für Lehrer: Lernpsychologische Anmerkung: Die nachfolgende qualitative Diskussion der möglichen Lösungen der zugehörigen Schrödingergleichung ist für Schüler mathematisch interessant, weil Kenntnis zur Kurvendiskussion aus der Analysis in einem neuen Kontet benötigt und verwendet werden. Im Sinne des kumulativen Lernens und der Vernetzung von Wissen ein äußerst wichtiger Vorgang. Dies sollte an dieser Stelle den Schülern auch eplizit verbal verdeutlicht werden! )..1 Innerhalb des Potentialtopfs Für L/ < < L/ gilt: W W pot () = W > 0 Damit Ψ '' ( ) = C Ψ( ) mit C > 0. Die Vorkenntnisse aus der Analysis liefern: Falls Ψ() > 0, ist Falls Ψ() < 0, ist Ψ '' ( ) < 0, damit Kurve Ψ() rechts gekrümmt (Rechtskurve). Ψ '' ( ) > 0, damit Kurve Ψ() links gekrümmt (Linkskurve). Verhalten der Kurve Ψ(), Dorn-Bader S. 74 B

6 Ψ '' ( ) < 0 Ψ '' ( ) > 0 Die Kurve wellt, daher auch der Name Wellenmechanik. Man kann weiterhin erkennen, dass ein Zusammenhang zwischen der Größe von W und der Zahl der Nullstellen der Ψ-Funktion besteht. Je kleiner die Energie W im Potentialtopf ist, desto kleiner wird C(,W) > 0. Desto kleiner wird auch der Betrag der Krümmung Ψ (). Unter der Annahme gleicher Amplitude von Ψ(), erhält man den kleinsten Betrag der Krümmung Ψ (), wenn Ψ() keine Nullstelle für L/ < < L/ hat. Nimmt die Energie W zu und damit der Betrag der Krümmung, so wird Ψ() eine Nullstelle erhalten, usw.... Außerhalb des Potentialtopfs Für L/ und -L/ gilt: W W pot () < 0 Damit Ψ '' ( ) = C Ψ( ) mit C < 0. Die Vorkenntnisse aus der Analysis liefern: Falls Ψ() > 0, ist Falls Ψ() < 0, ist Ψ '' ( ) > 0, damit Kurve Ψ() links gekrümmt (Linkskurve). Ψ '' ( ) < 0, damit Kurve Ψ() rechts gekrümmt (Rechtskurve).

7..3 Die Elektronen sollen innerhalb des Potentialtopfs bleiben Das heißt mathematisch, dass außerhalb des Potentialtopfs die Antreffwahrscheinlichkeit für große gegen null gehen soll. Da die Funktion Ψ() stetig und differenzierbar sein soll, müssen folgende Randbedingungen gelten: Ψ() 0 für ± Ψ ' ( ) 0 für ± (horizontale Asymptote). 8π m Da der Faktor C (, W) = ( W W ( )) pot in der SGl von der Gesamtenergie W abhängt, h werden auch Lösungen der SGl von der Energie W abhängen...4 Arbeitsblätter zum qualitativen Lösen der Schrödingergleichung Anschließend wurden von den Schülern zwei Arbeitsblätter zu qualitativen Lösungen der Schrödingergleichung für Potentialtöpfe mit gutem Erfolg bearbeitet (Originale von J. Küblbeck Ludwigsburg und R. Müller München). Dieses Thema war auch Gegenstand der in der Klassenarbeit (siehe S.1/13).

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9 Aufgabe 8: Gegeben sind zwei Potentialfunktionen W pot (). Die Potentialwände sind unendlich hoch. Für beide Potentiale sind jeweils zwei Energien W 1 bzw. W in den Schaubildern gegeben. Auftrag: a) Suchen Sie für jedes Potential und jede der Energien eine Wellenfunktion Ψ(), welche die Schrödingergleichung Ψ () = -k(w - W pot ()) Ψ() qualitativ richtig löst. b) Zeichnen Sie den qualitativen Verlauf der Schaubilder Ψ 1 () bzw. Ψ () zu den Energien W 1 bzw. W in untenstehende Diagramme ein. c) Skizzieren Sie anschließend qualitativ den Verlauf der jeweiligen Antreffwahrscheinlichkeitsdichte P i () = Ψ i (). W pot () W pot () W 1 W 1 W W Ψ 1 () Ψ 1 () P 1 () P 1 () Ψ () Ψ () P () P ()

10..5 Hilfestellungen zum qualitativen Lösen der Schrödingergleichung Hilfestellungen 1. Ist der Potentialtopf unendlich hoch, so ist an den Wänden Ψ ( ) = 0.. Ermittle die Bereiche von, in denen (W - W pot ()) > 0. 3. Ermittle die Bereiche von, in denen (W - W pot ()) < 0. 4. An Orten, an denen (W - W pot ()) = 0, ist Ψ '' ( ) = 0, d.h. Wendestelle. 5. An Orten, an denen Ψ ( ) = 0, ist 6. Wird W W ( ) größer, so wird pot Ψ '' ( ) = 0, d.h. Wendestelle. Ψ '' ( ) größer und damit die Krümmung stärker. Man erhält mit wachsendem W W ( ) immer mehr Nullstellen von Ψ ( ). 7. Wird W W ( ) größer, so wird λ kleiner (Krümmung stärker). pot pot Diese Hilfestellungen könnten auf Hilfekärtchen mit steigendem Hilfegrad geschrieben werden.

11..6 Einsatz eines Computers zum Lösen der Schrödingergleichung Vorbemerkung: Nach den qualitativen Überlegungen zur Struktur von Lösungen der Schrödingergleichung, ist es sinnvoll, mit einem für die Schüler durchschaubaren Modellbildungssystem die Schrödingergleichung für einfache Potentiale zu lösen. Erst dann macht der Einsatz fertiger Simulationsprogramme einen richtigen Sinn. Würde man stattdessen sofort Simulationsprogramme verwenden, so läge für manche Schüler die Frage nahe, wozu dann anschließend überhaupt noch ein Modellbildungssystem einsetzen. Hinweis: Im neuen Lehrplan Physik Kursstufe 1/13 wird ausdrücklich der Einsatz von Modellbildungssystemen verlangt. Hierfür sind verschiedene Modellbildungsprogramme (Ecel, Möbius,...) geeignet. Beispielhaft sei Möbius angeführt (Version 3.0, Hoche 00, http://www.mintet.de ). Programmschritte zum Lösen der Schrödingergleichung mit Möbius siehe CD-ROM Quantenphysik, LEU Physik 33: Modelle und cas\ Hirlinger. Ein Computerprogramm zur Modellbildung kann nun solche Eigenwertfunktionen Ψ() zur jeweiligen Gesamtenergie W suchen, die obige Randbedingungen erfüllen und damit die Schrödingergleichung lösen. Dorn-Bader S. 74 B3 Dabei wird im Computerprogramm die Energie W n in kleinen Schritten von,8 ev bis 3,4 ev erhöht. Man sieht, dass die meisten Funktionen Ψ() die Randbedingungen nicht erfüllen, weil für ± Ψ() ± geht. Definition: Erfüllt eine Lösung der Schrödingergleichung obige Randbedingungen, so wird sie Eigenfunktion Ψ() genannt. Der zugehörige Energiewert W wird Energie-Eigenwert genannt. Ergebnis: Für W = 3,11 ev erhält man eine Eigenfunktion der SGl. Die Art der Berechnung der Eigenfunktionen Ψ() samt den Energieeigenwerten findet man im Dorn-Bader 1/13 S. 75.

1 Um die Eigenfunktionen der SGl für verschiedene Energien unterscheiden zu können, führt man einen Inde n ein und bezeichnet die zur Gesamtenergie W n gehörende Eigenfunktion mit Ψ n (). Dorn-Bader S. 75 B4 Potentialtopf der Höhe 4 ev. Fünf Eigenfunktionen Ψ n ( ) (n = 5) zu den Energie-Eigenwerten W n 0,13 ev 0,5 ev 1,16 ev,0 ev 3,11 ev.

13 3. Computerprogramme zur Lösung einer Schrödingergleichung In diesem Abschnitt werden einige fertige Simulationsprogramme zur Schrödingergleichung durch entsprechende Screenshots vorgestellt. 3.1 Alea (Klett-Verlag 1998) Dieses Programm befindet sich auch auf der CD-ROM von Impulse Physik Quantenmechanik (Klett Verlag 00, 77 861 ) Problem: Die Länge des Potentialtopfs ist nicht einstellbar. Damit ist kein Vergleich mit den eperimentellen Resultaten bei Farbstoffmolekülen möglich. Der Potentialtopf ist nicht symmetrisch zu = 0 wählbar.

14 3. Rund um... Dorn-Bader Physik 1/13 CD-ROM (Schroedel -Verlag 00, 1075) Interaktive Simulationen Quantenmechanik 7 Schrödingergleichung an linearen Potentialtöpfen e) Potentialtopf symmetrisch nieder Hierbei kann die Topfhöhe zwischen 1 und 8,6 ev und die Topfbreite zwischen 0,5 und, nm eingestellt werden. Bei dem Ablauf der Simulationen sieht man, wie das Computerprogramm durch Verändern der Energie die Wellenfunktion solange anpasst, bis diese den geforderten Randbedingungen genügt (d.h. eine Energie-Eigenfunktion ist).

15 3.3 Schrödingers Schlange (Küblbeck) Schrödingers Schlange Version 1.0, Küblbeck 000 Mit diesem Simulationsprogramm kann man für ein Elektron in einem wählbaren Potential die Wellenfunktion in Abhängigkeit von den Energiewerten des Elektrons berechnen. Dabei sind drei verschiedene Potentialtypen wählbar (Coulombpotential, harmonisches Potential, Topf endlicher Tiefe). Die Tiefe des Potentialtopfs kann in ganzen Schritten zwischen 1 und 99 ev gewählt werden. Interessant bei diesem Programm ist, dass die Schüler durch sukzessives Ändern der Energiewerte (mit den Schiebereglern) diejenigen Energie-Eigenwerte selbst finden können, die zu Energie- Eigenfunktionen gehören (Wellenfunktion geht für große gegen null, Normierbarkeit der Wellenfunktion). Hierbei ist Teamarbeit denkbar und sinnvoll: jedes Team sucht nach Eigenfunktionen in einem anderen zuvor abgesprochenen- Energiebereich.

16 3.4 Pakma 000 Schroedel Verlag Physik 1/13 Physik des 0. Jahrhunderts Der lineare Potentialtopf Bei diesem Simulationsprogramm ist die Breite und die Tiefe des Potentialtopfs einstellbar (auf Zehntelwerte und genauer) unter Eingaben dann Startwerte. 3.5 Schrödingers Wippe (Küblbeck) Schrödingers Wippe Version 1.0, Küblbeck 000 In diesem Simulationsprogramm kann der Boden des Potentialtopfs schräg gestellt werden (vgl. Aufgabe 8 auf dem zweiten Arbeitsblatt). Es können die Lösungen der zugehörigen Schrödingergleichung der drei Energieniveaus gezeichnet werden.

17 4. Klassenarbeitsaufgabe a) Gib die (zeitunabhängige) Schrödingergleichung an. Erläutere die Bedeutung der darin vorkommenden Größen. b) Welche Bedeutung hat die Schrödingergleichung für die Atomphysik? c) Skizziere für den unten skizzierten Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden qualitativ den Verlauf der Wellenfunktion ψ 1 () bzw. ψ ( ) für die Energien W 1 bzw. W, die die zugehörige Schrödingergleichung lösen. Ausführliche mathematische Begründung für den Kurvenverlauf anhand der Schrödingergleichung! Bemerkung: Diese Aufgabe war Bestandteil der zweiten Klassenarbeit in 13/ nach der schriftlichen Abiturprüfung. Sie ergab 10 von 36 erreichbaren Verrechnungspunkten. Die anderen Aufgaben bezogen sich auf den Franck-Hertz-Versuch, den linearen Potentialtopf und die Unbestimmtheitsrelation.

18 W pot () W 1 W. ψ 1 () ψ () d) Skizziere zusätzlich das Schaubild für ψ ( ). 1 Gib die physikalischen Aussagen an (mit Begründung), die diesem Schaubild entnommen werden können. ψ ( ) 1