M 6. Brüche Brüche beschreiben Bruchteile. 3 4 von 00 kg = ( 4 von 00 kg) 3 = (00 kg 4) 3 = kg 3 = 7 kg Die Schokoladentafel hat 4 Stückchen, d.h. ein Stückchen entspricht dem Anteil 4 Carina Kahoun (08)
M 6. Prozentschreibweise Anteile werden häufig in Prozent angegeben. Prozent heißt Hundertstel. Häufig vorkommende Prozentsätze 3 00 = 3% = 00% Nenner Nenner 4 Nenner Nenner 0 = 0% 4 = % 3 4 = 7% = 0% = 40% 3 = 60% 4 = 80% 0 = 0% 3 0 = 30% 7 0 = 70% 9 0 = 90% Carina Kahoun (08)
M 6.3 Erweitern und Kürzen Durch Erweitern und Kürzen ändert sich der Wert des Bruches nicht. Kürzen 3 = 3 3 3 = ; 6 4 = 6 4 = 3 = 3 3 3 = 4 Erweitern 4 = 4 = 0 ; = 3 3 = 6 Carina Kahoun (08)
M 6.4 Rationale Zahlen Zahlen, die man durch Brüche angeben kann, heißen Bruchzahlen. Eine Bruchzahl kann durch verschiedene wertgleiche Brüche angegeben werden. = = 4 = = ; = 4 = 3 = ; 3 = 9 = ; = = 4 = 4 8 6 0 8 6 4 Jede Bruchzahl hat einen Platz auf der Zahlengeraden. 9 0 0 4 4 8 3 4 Die positiven und die negativen Bruchzahlen bilden zusammen mit der 0 die Menge der rationalen Zahlen Q. Carina Kahoun (08)
M 6. Vergleichen rationaler Zahlen Brüche können verglichen werden, indem man sie durch Erweitern oder Kürzen auf denselben Nenner oder auf denselben Zähler bringt: Gleiche Nenner: Der Bruch mit dem größeren Zähler ist größer 7 > 3 7 Gleiche Zähler: Der Bruch mit dem kleineren Nenner ist größer 3 > Hauptnenner = der kleinste gemeinsame Nenner, also das kgv der Nenner bei vollständig gekürzten Brüchen = 36 ; 7 8 = 4 36 > 7 8 Von zwei rationalen Zahlen ist diejenige größer, die weiter rechts auf der Zahlengeraden liegt. Carina Kahoun (08)
M 6.6 Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche Bei Dezimalbrüchen bedeutet die erste Stelle nach dem Komma Zehntel, die zweite Hundertstel, die dritte Tausendstel, 0, 03 = 3 000 H Z T, z h t zt 0, 0 3 Methoden zum Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche Erweitern oder Kürzen zu einem Bruch mit Stufenzahl im Nenner 0 = 4 00 = 0,04 63 70 = 9 0 = 0,9 Schriftliches Dividieren 8 = 8 = 0, Endlicher Dezimalbruch = 6 = 0,6666 = 0,6 6 Unendlicher periodischer Dezimalbruch Enthält der Nenner eines vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren und, ergibt sich ein endlicher Dezimalbruch, andernfalls ein unendlicher. Carina Kahoun (08)
M 6.7 a b + c a + c = b b a b + c ad + cb = d bd Addition und Subtraktion von Brüchen Gleichnamige Brüche Zähler plus (minus) Zähler, Nenner beibehalten 7 + 4 7 = 6 7 7 3 7 = 7 Ungleichnamige Brüche. Brüche gleichnamig machen. Gleichnamige Brüche addieren (subtrahieren) 6 + 3 4 = + 9 = 6 3 4 = 3 4 9 4 = 6 4 = 3 Gemischte Zahlen. Gemischte Zahlen als Summen schreiben/denken. Ganze Zahlen zusammenrechnen, Brüche zusammenrechnen 3 + = 3 + + + = 3 + + + = + 4 0 + 0 = 9 0 3 3 = 3 3 3 = 4 3 3 = 3 Carina Kahoun (08)
M 6.8 Multiplikation von Brüchen a a c c = b b a b c a c = d b d Bruch mal natürliche Zahl Zähler mal Zahl, Nenner beibehalten 7 3 = 3 7 = 6 7 Bruch mal Bruch Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner 3 3 = 3 3 = Gemischte Zahlen. in unechte Brüche umwandeln. multiplizieren 3 3 = 8 = 8 = 9 Von bedeutet in der Bruchteil-Regel mal 3 4 von 36 = 3 3 36 36 = = 3 9 = 7 4 4 Carina Kahoun (08)
M 6.9 Division von Brüchen a b c = a b c a b : c a d = d b c Bruch durch natürliche Zahl Nenner mal Zahl, Zähler beibehalten Bruch durch Bruch mit dem Kehrbruch multiplizieren 7 : 3 = 7 3 = Doppelbrüche In Division umschreiben 3 : 3 = 3 3 = 3 3 = 0 9 = 9 3 7 = 3 7 = 7 3 = 4 Carina Kahoun (08)
M 6.0 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten werden als Schreibweise für Brüche mit Zähler verwendet: 0 4 = = ; = ; 3 = 3 ; Beachte: a 0 = für jede rationale Zahl a 0 = ; 0 0 0 0 0000 3 = = ; 3 43 ( ) = ( ) = = = = ; 0 = Schreibweise mit Zehnerpotenzen 3 0 4 = 3 0000 = 0,0003 4 gibt an, dass man das Komma um 4 Stellen nach links verschieben muss 07 0 = 07 00 =,07; 3, 0 3 = 0,003 Carina Kahoun (08)
M 6. Rechnen mit Dezimalbrüchen Addieren und Subtrahieren Zahlen untereinander schreiben, so dass Komma unter Komma steht, und stellenweise rechnen. 3,07 +0,0 3,090 Multiplizieren. Zahlen ohne Rücksicht auf die Kommas multiplizieren. Im Ergebnis das Komma so setzen, dass es so viele Nachkommastellen hat wie beide Faktoren zusammen 0,3 0, = 0,07 Dividieren. In Dividend und Divisor das Komma so weit nach rechts verschieben, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Überschreitet man beim Dividieren im Dividenden das Komma, wird im Ergebnis ein Komma gesetzt 0,0 0,7 =, 7 = 0,0 Carina Kahoun (08)
Brüche Dezimalbrüche M 6. Einteilung von Brüchen und Dezimalbrüchen Echte Brüche Zähler ist kleiner als Nenner 3 Endliche Dezimalbrüche 3 40 = 0,3 Unechte Brüche Zähler ist größer als Nenner Umwandlung in gemischte Zahlen (= Summe aus ganzer Zahl und echtem Bruch) möglich 4 = 4 Unendliche periodische Dezimalbrüche 4 33 = 0, reinperiodisch = 0,46 gemischtperiodisch = 0, = 0% 3 = 0, 3 = 33, 3 % = 0, = 0% 3 = 0, = % 4 3 = 0, 6 = 66, 6 % 3 = 0, 4 = 40% Wichtige Umrechnungen = 0, 7 = 7% 4 6 = 0, 6 = 6, 6 % 4 = 0, 6 = 60% = 0, =, % 8 9 = 0, =, % = 0, 8 = 80% Carina Kahoun (08)
M 6.3 Flächenformeln Parallelogramm Dreieck Trapez Parallelogrammfläche = Grundlinie zugehöriger Höhe Dreiecksfläche Trapezfläche = Grundlinie zugehöriger Höhe = (Summe der parallelen Seiten) Höhe A P = g h A D = g h A T = (a + c) h A =, cm cm = cm A = 3 cm, cm = 3,7 cm A = (4 cm +, cm) cm = 6, cm Carina Kahoun (08)
M 6.4 Umrechnung von Länge, Fläche und Volumen Länge Umrechnungszahl 0 km = 000 m m = 0 dm dm = 0 cm cm = 0 mm Fläche Umrechnungszahl 00 km = 00 ha ha = 00 a a = 00 m m = 00 dm dm = 00 cm cm = 00 mm Volumen Umrechnungszahl 000 m 3 = 000 dm 3 dm 3 = 000 cm 3 cm 3 = 000 mm 3 Speziell: l = dm 3 ml = cm 3 hl = 00 l l = 000 ml Carina Kahoun (08)
M 6. Volumen des Quaders Quadervolumen = Länge Breite Höhe Würfelvolumen = Seite Seite Seite V = l b h V = s s s = s 3 l = cm, b = 3 cm, h =, cm: V = l b h = cm 3 cm, cm = 9 cm 3 s = 3 cm: V = s 3 = (3 cm) 3 = 7 cm 3 Carina Kahoun (08)
M 6.6 Relative Häufigkeit Absolute Häufigkeit = Anzahl, mit der ein bestimmter Wert auftritt Relative Häufigkeit = Anteil dieser Anzahl an der Gesamtanzahl Relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit Gesamtzahl Beispiel: -mal würfeln Ergebnisse: Absolute Häufigkeit für das Ergebnis : Relative Häufigkeit für das Ergebnis : = 40% Carina Kahoun (08)
M 6.7 Diagramme Säulendiagramm Balkendiagramm Kreisdiagramm Streifendiagramm 00% 360 % 3, 6 Carina Kahoun (08)
M 6.8 Prozentrechnung = 3 Aufgabentypen Prozentsatz gesucht Grundwert gesucht Prozentwert gesucht Wie viel Prozent sind 8 von 40? z.b.: x 40 = 8 x = 8 40 = 8 40 = = 0% % vom Grundwert sind 9 Berechne den Grundwert. z.b.: % 9 : 3 0 % 3 00% 60 : 3 0 Wie viel sind 0% von kg? z.b.: 0% von kg = = 0% kg = kg = = kg Carina Kahoun (08)
M 6.9 Arithmetisches Mittel Den Durchschnittswert oder Mittelwert bezeichnet man als arithmetisches Mittel. arithmetisches Mittel = Summe der einzelnen Werte Gesamtzahl an Werten Beispiel: Notenverteilung in der 4. Schulaufgabe Arithmetisches Mittel: 3 4 6 3 + + + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + + + 6 + 6 = ( + + 3 + 3 4 + + 6 ) = 4 = 3,6 = Carina Kahoun (08)