7 Das Eulersche Polygonzugverfahren

35 7 Das Eulersche Polygonzugverfahren Lösungen von Differentialgleichungen sind nur in speziellen Fällen explizit angebbar; oft können nur Approximationen an Lösungen numerisch berechnet werden. In diesem Abschnitt wird zunächst das einfachste Verfahren zur Berechnung solcher Approximationen, das Eulersche Polygonzugverfahren, vorgestellt. Dieses liefert auch einen neuen Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf. Anschließend wird kurz auf schneller konvergente numerische Verfahren eingegangen. 7.1 Approximative Lösungen. a) Wie in der Situation des Satzes von Picard- Lindelöf seien τ R, ξ K n, d, b > 0, R = [τ, τ + d] K b (ξ) und f C(R, K n ) gegeben; es wird allerdings (zunächst) keine Lipschitz-Bedingung (1.1) vorausgesetzt. Mit M := f R definiert man δ := min {d, b } und I := [τ, τ + δ]. Für m N M und Schrittweiten h = h m = δ > 0 konstruiert man nun in den Punkten der m äquidistanten Zerlegungen I h := {t j = τ + jh j = 0...m} (1) von I Näherungen an eine Lösung des Anfangswertproblems ẋ = f(t, x), x(τ) = ξ : (2) b) Für eine Lösung ϕ C 1 (I, K n ) von (2) gilt natürlich ϕ(τ) = ξ und ϕ(t + h) ϕ(t) = t f(s, ϕ(s)) ds für t, t + h I h. (3) Man ersetzt nun das Integral einfach durch h f(t, ϕ(t)) und (3) durch das Anfangswertproblem für ein System von Differenzengleichungen y 0 = ξ, y j+1 y j = h f(t j, y j ) für j = 0...m 1. (4) Es ist (4) wohldefiniert und besitzt eindeutige Lösungen y0 h,...,yh m : Zunächst gilt y1 h ξ hm b, also (t 1, y1 h) R. Sind für 1 k m 1 bereits yh 1,...,yh k mit (4) und yj h ξ jhm b, insbesondere also (t j, yj h ) R, konstruiert, so liefert (4) genau ein yk+1 h Kn mit yk+1 h ξ yh k+1 yh k + yh k ξ hm + khm = (k + 1)hM b, insbesondere also auch (t k+1, y h k+1) R. c) Der Polygonzug durch die Punkte (τ, ξ), (t 1, y1 h),...,(τ +δ, yh m ) ist der Graph der Funktion y h : I K n, y h (t) := y h j + (t t j ) f(t j, y h j ) für t j t t j+1. (5) Es ist y h stückweise affin, und aus b) ergibt sich y h (t) y h (s) M (t s) für alle s t I. (6) d) Da f gleichmäßig stetig ist, gibt es zu ε > 0 ein α > 0 mit f(t 1, x 1 ) f(t 2, x 2 ) ε für (t 1, x 1 ), (t 2, x 2 ) R (7) mit t 1 t 2 α und x 1 x 2 α.

36 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester 2008 Für Schrittweiten h < γ := min {α, α M } und t (t j, t j+1 ) gilt nun ẏ h (t) = f(t j, y h j ) und y h (t) y h j M (t t j) < Mγ α, und aus (7) folgt ẏ h (t) f(t, y h (t)) = f(t j, y h j ) f(t, y h (t)) ε. Setzt man noch ẏ h (t j ) := f(t j, yj h ), so gilt also sup t I ẏ h (t) f(t, y h (t)) 0 für h 0 ; (8) die C 1 st -Funktionen yh sind also approximative Lösungen von (2). Mittels des Eulerschen Polygonzugverfahrens und des Lemmas von Gronwall ergibt sich ein neuer Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf: 7.2 Theorem (Picard-Lindelöf). Für τ R, ξ K n, d, b > 0 sei J = [τ, τ +d] und R = J K b (ξ). Für f C(R, K n ) gelte eine Lipschitz-Bedingung (1.1) f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) L x 1 x 2 für t J, x 1, x 2 K b (ξ). Mit M := f R, δ := min {d, b } und I = [τ, τ + δ] besitzt dann das Anfangswertproblem M (2) ẋ = f(t, x), x(τ) = ξ genau eine Lösung ϕ C 1 (I, K n ). Beweis. a) Für h k = δ k seien ϕ k = y h k C 1 st (I, K n ) die in 7.1 konstruierten approximativen Lösungen von (2); dann gilt also nach (8) Man hat ε k := sup t I ϕ k (t) f(t, ϕ k (t)) 0 für k. (9) ϕ k (t) = ϕ k (τ) + t τ ϕ k(s) ds = ξ + t τ f(s, ϕ k(s)) ds + t τ d k(s) ds (10) mit d k (s) := ϕ k (s) f(s, ϕ k (s)), also d k sup ε k. b) Für k, l N und ψ := ϕ k ϕ l ergibt sich aus (10) und (1.1) ψ(t) = t τ (f(s, ϕ k(s)) f(s, ϕ l (s))) ds + t τ (d k(s) d l (s)) ds, ψ(t) L t τ ϕ k(s) ϕ l (s) ds + δ (ε k + ε l ) für t I. Das Lemma von Gronwall liefert dann ψ(t) δ (ε k + ε l ) e L(t τ), also also ϕ k ϕ l I δ e Lδ (ε k + ε l ). (11) Folglich ist (ϕ k ) eine Cauchy-Folge in C(I), und somit existiert der gleichmäßige Limes ϕ = lim k ϕ k C(I). c) Nach (7) (oder auch (1.1)) gilt auch f(s, ϕ k (s)) f(s, ϕ(s)) gleichmäßig auf I ; wegen d k 0 folgt daher ϕ(t) = ξ + t τ f(s, ϕ(s)) ds für t I, und somit ist ϕ eine Lösung des Anfangswertproblems (2). d) Die Eindeutigkeit folgt sofort aus dem Argument in b): Sind ϕ k und ϕ l Lösungen von (2), so gilt (11) mit ε k = ε l = 0, und man hat ϕ k = ϕ l.

7 Das Eulersche Polygonzugverfahren 37 7.3 Konvergenzgeschwindigkeit. a) In der Situation des Satzes von Picard- Lindelöf sei ϕ C 1 (I, K n ) die Lösung des Anfangswertproblems (2). Für die lokalen Abschneidefehler T h (t) := 1 h t f(s, ϕ(s)) ds f(t, ϕ(t)) für t I h := I h\{τ + δ} (12) gilt aufgrund der gleichmäßigen Stetigkeit von f offenbar T h := t I h T h (t) 0 für h 0. (13) b) Für die in (5) definierten Funktionen y h gilt die Abschätzung y h (t) ϕ(t) (t τ) T h e L(t τ) für t I h. (14) Denn: Nach (3), (4) und (12) erfüllen die Fehler r j := r h j := y h (t j ) ϕ(t j ) (15) in den Punkten t j I h die Differenzengleichung r j+1 r j = y h (t j+1 ) ϕ(t j+1 ) (y h (t j ) ϕ(t j )) = h f(t j, y h (t j )) t j +h t j f(s, ϕ(s)) ds = h (f(t j, y h (t j )) f(t j, ϕ(t j )) h T h (t j ) ; aus der Lipschitz-Bedingung (1.1) folgt also r j+1 r j + h L r j + h T h. Für t = t 0 ist (14) klar. Gilt nun (14) für t = t j, so folgt wegen 1 + hl e hl und h h e L(t j+1 τ) auch r j+1 e hl (t j τ) T h e L(t j τ) + h T h also (14) für t = t j+1. (t j+1 τ) T h e L(t j+1 τ), c) Gilt nun f C 1 (R, K n ), so folgt ϕ C 2 (I, K n ), und für die lokalen Abschneidefehler liefert die Taylor-Formel mit Integral-Restglied und somit T h (t) = 1 h (ϕ(t + h) ϕ(t)) ϕ (t) = h 1 0 ϕ (t + sh) (1 s) ds T h = t I h T h (t) 1 2 ϕ h. (16) Aus Satz (14) ergibt sich dann sofort die O(h) -Abschätzung y h (t) ϕ(t) δ 2 elδ ϕ h (17) für die Konvergenzgeschwindigkeit des Eulerschen Polygonzugverfahrens.

38 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester 2008 7.4 Einschrittverfahren. a) Man erhält schneller konvergente Verfahren, wenn man das Integral in (3) durch eine bessere Approximation als h f(t, ϕ(t)) ersetzt; statt (4) löst man dann Systeme y 0 = ξ, y j+1 y j = h Φ h (t j, y j ) für j = 0...m 1 (18) von Differenzengleichungen mit geeigneten Funktionen Φ h (t, x). Durch (18) wird ein Einschrittverfahren zur Lösung von (2) definiert; auf Mehrschrittverfahren, bei denen yj+1 h aus mehreren vorhergehenden Werten yh j,..., yh j s berechnet wird, kann hier nicht eingegangen werden. b) Das Verfahren (18) heißt konsistent, wenn für die lokalen Abschneidefehler T h (t) := 1 h t f(s, ϕ(s)) ds Φ h (t, ϕ(t)) für t I h := I h\{a + δ} (19) bei Einsetzen der Lösung ϕ C 1 (I, K n ) von (2) wieder T h 0 für h 0 gilt (vgl. (13)); es besitzt die Konsistenzordnung p N, wenn T h = O(h p ) für h 0 (20) ist. Gilt nun eine in 0 < h h 0 gleichmäßige Lipschitz-Bedingung Φ h (t, x 1 ) Φ h (t, x 2 ) L x 1 x 2 (21) in einer Umgebung {(t, x) τ t τ +δ, x ϕ(t) β} der Lösung ϕ, so folgt wie in 7.3 y h (t) ϕ(t) 0 (22) für konsistente Verfahren und y h (t) ϕ(t) = O(h p ) für h 0 (23) für Verfahren der Konsistenzordnung p N. Die Lipschitz-Bedingung (21) impliziert auch die Stabilität des Verfahrens (gegen kleine Störungen der Daten, insbesondere gegen Rundungsfehler). 7.5 Beispiele. a) Approximation des Integrals in (3) durch die Sehnentrapezregel liefert t f(s, ϕ(s)) ds h (f(t, ϕ(t)) + f(t + h, ϕ(t + h))) 2 und mit ϕ(t + h) ϕ(t) + h f(t, ϕ(t)) dann das modifizierte Polygonzugverfahren (18) mit Φ h (t, x) := 1 (f(t, x) + f(t + h, x + h f(t, x))). (24) 2 b) Approximation des Integrals in (3) durch die Keplersche Faßregel liefert t f(s, ϕ(s)) ds h (f(t, ϕ(t)) + 4f(t + h, ϕ(t + h )) + f(t + h, ϕ(t + h))) ; 6 2 2

7 Das Eulersche Polygonzugverfahren 39 mit den Hilfsfunktionen k 0 (h, t, x) : = f(t, x), k 1 (h, t, x) : = f(t + h 2, x + h 2 k 0(t, x)), k 2 (h, t, x) : = f(t + h 2, x + h 2 k 1(t, x)), k 3 (h, t, x) : = f(t + h, x + h k 2 (t, x)) konstruiert man dann das Runge-Kutta-Verfahren (18) mit Φ h (t, x) := 1 6 (k 0 + 2k 1 + 2k 2 + k 3 )(h, t, x). (25) c) Das modifizierte Polygonzugverfahren und das Runge-Kutta-Verfahren sind konsistent mit den Konsistenzordnungen 2 und 4 (für f C 2 (R, K n ) bzw. f C 4 (R, K n ) ); aus der Lipschitz-Bedingung (1.1) für f folgt die Lipschitz-Bedingung (21) für Φ h (für Beweise dieser Aussagen sei auf Lehrbücher über numerische Mathematik verwiesen). Nach 7.4 b) sind die beiden Verfahren also konvergent und besitzen die Konvergenzordnungen 2 und 4 für f C 2 (R, K n ) bzw. f C 4 (R, K n ).