Systemtheorie Vorlesung 5: Eigenschaften zeitkontinuierlicher Systeme Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Einführung Systemtheorie beschäftigt sich mit der Analyse und Synthese von Systemen Sie erlaubt das Systemverhalten zu prognostizieren, Stabilitätsaussagen zu treffen und die Kopplung verschiedener Teilsysteme zu beschreiben Ein System kann ein oder mehrere Ein- und Ausgangssignale aufweisen, die in dem Eingangsvektor u bzw. dem Ausgangsvektor y zusammengefasst sind ut System mit Anfangsbedingung y() y( t) Eingangssignale u(t) werden von dem System nicht beeinflusst, sie existieren auch ohne das System und das System hat keine Rückwirkung auf sie, Beispiel ideale Spannungsquelle Dynamische Systeme verfügen über Energiespeicher Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2
Einführung Anregung durch die Eingangssignale u(t) führt zu einer Änderung der in dem System gespeicherten Energie In der Systemtheorie wird davon gesprochen, dass sich damit der Zustand des Systems geändert wird, Beispiel ist die in einem Kondensator gespeicherte elektrische Energie oder der Zustand des Kondensators ut System mit Anfangsbedingung y() y( t) Ausgangssignale y(t) ergeben sich aus dem aktuellen Systemzustand und den aktuellen Eingangssignalen Ausgangssignal wird auch Reaktion des Systems oder Systemantwort genannt Viele Systeme lassen sich mit linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben, Diskussion einiger Beispiele Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3
Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen Beispiel RC-Glied Beschreibung eines einfaches Netzwerk bestehend aus einer Spannungsquelle u E, einem Widerstand R und einer Kapazität C R it Beschreibung linearer elektrischer Systeme erfolgt über Bauelemente-Gleichungen für die beteiligten Bauelemente R, L und C, ideale Quellen und Bilanzgleichungen ue ( t) C ua ( t) Maschengleichung N n= n u t = Knotengleichung M m m= i t = Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 4
Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen Beispiel RC-Glied Bauelement Bauelemente-Gleichungen Widerstand R = R i ( t) = u ( t) u t R i t R R R Kapazität u t i d C t C = C C = C du i t C dt Induktivität di L = L L ul t L dt i t = u d t L Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 5
Ausgangsspannung u A (t) / V Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen Beispiel RC-Glied Maschengleichung und Bauelemente-Gleichung u t u t u t = u t i t R u t = E R A E R A Substitution des Strome i R (t) du A = = ir t ic t C dt 5 Differentialgleichung zur Beschreibung des RC-Netzwerkes du ( t) A ue t = R C + ua t dt Lösung für Spannungssprung am Eingang t ua t UE e t t RC = -5 5 Zeit t / s Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 6
Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen Beispiel Aufheizvorgang Behälter mit Volumen V und Oberfläche A ist mit Wasser gefüllt Wärmeaustausch mit der Umgebung findet nur als Wärmeleitung über die Oberfläche A statt Bis zu dem Zeitpunkt t = entspricht die Wassertemperatur () der Umgebungstemperatur U Zum Zeitpunkt t = wird ein Tauchsieder in das Wasser getaucht, der eine konstante elektrische Leistung p EL umsetzt Temperatur des Wassers wird sich solange erhöhen, bis sich ein Gleichgewicht zwischen der zugeführten Leistung p EL und des über die Fläche A abgeführten Wärmestroms p A einstellt Betriebsspannung U Heizwiderstand R Betriebsstrom I Umgebungstemperatur U Wassertemperatur Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 7
Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen Beispiel Aufheizvorgang Temperaturdifferenz an einer Fläche A mit der Wärmeübergangszahl führt zu einem Wärmestrom p A = U = A ( t) ( t) p ( t) Beschreibung ist vergleichbar zum Ohmschen Gesetz, elektrische Spannung entspricht die Temperaturdifferenz, elektrischer Strom entspricht dem Wärmestrom p A A Betriebsspannung U Heizwiderstand R Betriebsstrom I Wassertemperatur Definition des thermischen Widerstandes R TH R TH A t = = p t A Umgebungstemperatur U Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 8
Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen Beispiel Aufheizvorgang Wärmekapazität C th ist definiert als der Quotient aus zugeführter Energie de C und der damit verbundenen Temperaturänderung d C TH = de ( t) ( t) C d Betriebsspannung U Betriebsstrom I Darstellung in Integralform führt zur Temperaturänderung des Wassers ( t) = p C d C TH t Heizwiderstand R Umgebungstemperatur U Wassertemperatur Wissen der elektrischen Schaltungstechnik kann auf thermische Anwendungen übertragen werden Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 9
Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen Beispiel Aufheizvorgang Bauelement Bauelemente-Gleichungen Wärmewiderstand = = A ( t) R p ( t) p ( t) TH A A A = p t A t Wärmekapazität = C t ( t) p C d C TH d p t = CTH dt Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen Beispiel Aufheizvorgang Für die Bilanzen gelten sinngemäß die gleichen Beziehungen wie bei den elektrischen Größen Maschenregel der Temperaturdifferenzen lautet N n = n= t Knotengleichung entspricht die Leistungsbilanz M m= m p t = Betriebsspannung U Heizwiderstand R Betriebsstrom I Wassertemperatur Verknüpfung der elektrischen und thermischen Größen über eine Leistungsbilanz erstellt = p t p t p t C EL A Umgebungstemperatur U Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Temperaturdifferenz / K Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen Beispiel Aufheizvorgang Einsetzen der Bauelement-Gleichungen ergibt die Differentialgleichung bzw. ( t) d CTH = pel t A t dt C TH d t pel t + ( t) = A dt A Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten wie bei RC-Netzwerk Lösung für Spannungssprung am Eingang t A p t T EL CTH (t) = e = e A 2-2 3 Zeit t / s Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2
Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen Feder-Masse-System Beispiel Feder-Masse-Dämpfer-System Äußere Kraft F E greift an einem Körper der Masse m an und bewegt den Körper, der Bewegung stehen die Trägheits-, Dämpfungs- und Rückstellkraft der Feder entgegen Berechnung der Auslenkung x bei einer sprungförmig aufgebrachten Kraft F E Wie bei dem elektrischen System lassen sich die mechanischen Bauelemente isoliert beschreiben Bilanzen werden zur Verknüpfung der unterschiedlichen Größen verwendet Äußere Kraft F E Dämpfer D Masse m Fixpunkt Auslenkung x Feder c F E F D F M F C Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3
Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen Feder-Masse-System Bauelement Bauelemente-Gleichung Feder mit Federkonstante c C t = = C v( t) = F t c v d c x t c df dt Masse m dv F t m a t m dt v t = F d M = = t m M Viskose Reibung / Dämpfer D dx F t D v t D dt D = = v ( t) = FD ( t) D Gleitreibung = F t F t sgn v t G N keine Invertierung möglich Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 4
Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen Feder-Masse-System Maschenregel entspricht die Kräftesumme N n= n F t = Masse, Feder und Dämpfer sind starr miteinander gekoppelt, ihre Auslenkung x für Masse, Feder und Dämpfer ist damit identisch Äußere Kraft F E Masse m Auslenkung x F E Kräftebilanz ergibt unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Kraftrichtungen Dämpfer D Feder c F D F M F C = F t F t F t F t E M D C = F t m a t D v t c x t E Fixpunkt Darstellung als Differentialgleichung 2 d x dx FE t m D c x t 2 dt dt = + + Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 5
Auslenkung x / mm Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen Feder-Masse-System Darstellung als Differentialgleichung 2 d x dx FE t m D c x t 2 dt dt = + + 3 2 Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, Ordnung der Differentialgleichung entspricht der höchsten Ableitung, N = 2 Lösung der Differentialgleichung für einen Kraftsprung, System ist zum Zeitpunkt t = in Ruhe und in der Position x = D t 2 F 2m e c D x t sin t t c 2 D m 2 m 2 m c = + -.5.5 Zeit t / s Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 6
Eigenschaften von Systemen Überblick Beispiele für unterschiedliche Systeme beschrieben Mathematische Modellierung führt bei diesen Beispielen zu linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Für die effiziente Beschreibung von Systemen ist es wichtig, grundlegende Eigenschaften von Systemen erkennen und diskutieren zu können Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben lineare, zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme), deshalb werden die zugehörigen Systemeigenschaften Linearität und Zeitinvarianz diskutiert Kausalität von System ist wesentliche Voraussetzung für die Realisierbarkeit von Systemen Insbesondere bei geregelten System spielt die Stabilität eine entscheidende Rolle, sie wird anhand physikalischer Modelle eingeführt Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 7
Eigenschaften von Systemen Linearität Für den Linearitätsnachweis eines Systems müssen die Systemantworten y (t) und y 2 (t) auf die linear unabhängigen Eingangssignale u (t) und u 2 (t) bekannt sein Ein System ist linear, wenn es auf eine Linearkombination von Eingangssignalen = + u t u t u t 2 2 mit derselben Linearkombination der entsprechenden Kombination von Ausgangssignalen reagiert = + y t y t y t 2 2 Nachweis der Linearität erfolgt über Einsetzen der Gleichungen in die Differentialgleichung Bei linearen Systemen kann das Superpositionsprinzip angewendet werden Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 8
Signal y (t) Signal y 2 (t) Signal y(t) Signal u (t) Signal u 2 (t) Signal u(t) Eigenschaften von Systemen Linearität Eingangssignal u Eingangssignal u 2 Eingangssignal u = u + u 2 5 5 5-5 5 5 2 Zeit t / µs -5 5 5 2 Zeit t / µs -5 5 5 2 Zeit t / µs Ausgangssignal y Ausgangssignal y 2 Ausgangssignal y = y + y 2 5 5 5-5 5 5 2 Zeit t / µs -5 5 5 2 Zeit t / µs -5 5 5 2 Zeit t / µs Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 9
Beispiel: Eigenschaften von Systemen Linearität RC-Glied wird über die Differentialgleichung du ( t) A ue t = R C + ua t dt R it beschrieben Prüfung des Systems auf Linearität ue ( t) C ua ( t) Worauf ist die Linearität des Systems zurückzuführen? Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2
Übungsaufgaben: Eigenschaften von Systemen Linearität Ein Spannungsteiler wird über die Gleichung R u t u t 2 = R2 R+ R2 beschrieben. Handelt es sich um ein lineares System? Der Zusammenhang zwischen Spannung und Strom an einer Induktivität wird über die Gleichung di L = ul t L dt beschrieben. Handelt es sich bei der Induktivität um ein lineares System? Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2
Eigenschaften von Systemen Linearisierung im Arbeitspunkt Strom durch eine Diode wird über die Schottkly- Gleichung beschrieben D( t) nu T i t = I e D s u System ein kein lineares System Nichtlineares Verhalten des Diodenstrom i D als Funktion der Diodenspannung u D wird in einem Arbeitspunkt mit der Spannung u und dem Strom i linearisiert werden Ausgangsstrom i D i Diodenkennlinie Linearisierung im Arbeitspunkt u Eingangsspannung u D Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 22
Eigenschaften von Systemen Linearisierung im Arbeitspunkt In dem Arbeitspunkt wird durch Ableitung der Shockley-Gleichung die Steigung der Tangente bestimmt di I D m = D = s nut e = s nut e Systemverhalten im Arbeitspunkt ergibt sich dann aus der Geradengleichung Lineare Näherung für das nichtlineare System Diode im Arbeitspunkt (u i ), Linearisierung nur für sehr kleine Werte u D ausreichend präzise u t u du n U n U D u T T D= u u = u D I i = i t i = e u t u s nu T ( D ) D u I D D D nu T = m u t u = m u t Ausgangsstrom i D i Diodenkennlinie Linearisierung im Arbeitspunkt u Eingangsspannung u D Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 23
Eigenschaften von Systemen Zeitinvarianz System reagiert auf ein Eingangssignal x(t) mit einer Systemantwort y(t) Ist das System zeitinvariant, so reagiert das System auf das verzögerte Eingangssignal u(t - t ) mit dem Ausgangsignal y(t - t ) Zeitinvariante Systeme reagieren also unabhängig vom Startzeitpunkt der Beobachtung auf gleiche Eingangssignale mit gleichen Ausgangssignalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben zeitinvariante Systeme, ändern sich die Koeffizienten der Differentialgleichung als Funktion der Zeit t, verändert sich das System mit der Zeit, es ist zeitvariant Zeitinvarianz ist oft nur näherungsweise erfüllt ist, wenn Änderungsprozesse viel langsamer sind als die Signaländerungen der Schaltung, wird das System als zeitinvariant betrachtet, Beispiel RLC-Schaltung Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 24
Auslenkung x (t) / mm Auslenkung x 2 (t) / mm Kraft F E (t) / N Kraft F E2 (t) / N Eigenschaften von Systemen Zeitinvarianz Eingangssignal Verschobenes Eingangssignal.2.2 -.5.5 Zeit t / s -.5.5 Zeit t / s 3 Ausgangssignal 3 Verschobenes Ausgangssignal 2 2 -.5.5 Zeit t / s -.5.5 Zeit t / s Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 25
Eigenschaften von Systemen Lineare, zeitinvariante Systeme Systeme, die sowohl linear, als auch zeitinvariant sind, werden als LTI-Systeme bezeichnet Für LTI-Systeme sind vergleichsweise anschauliche und einfach zu interpretierende Lösungs- und Interpretationsmethoden im Zeit-, Bild- und Frequenzbereich vorhanden u (t) + u (t) 2 2 u( t t ) LTI System y (t) + y (t) 2 2 y ( t t ) Darstellungen in diesem Skript beschränken sich bis auf wenige Ausnahmen auf LTI-Systeme Systeme, die mit einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden können, erfüllen die Bedingungen nach Linearität und Zeitinvarianz Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 26
Auslenkung x(t) Auslenkung x(t) Auslenkung x(t) Eigenschaften von Systemen Fallbeispiel zur Stabilität Fall a: Asymptotisch stabiles System Fall b: Grenzstabiles System Fall c: Instabiles System Auslenkung x x Auslenkung x x Auslenkung x x x x x Zeit t Zeit t Zeit t Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 27
Eigenschaften von Systemen Stabilität Aus dem Beispiel ergibt sich eine physikalische Stabilitätsdefinition: Ein System ist asymptotisch stabil, wenn es nach einer Anregung mit endlicher Energie wieder seine Ruheposition erreicht grenzstabil, wenn es nach Anregung mit endlicher Energie zu einem konstanten Ausgangswert konvergiert instabil, wenn es auf eine Anregung endlicher Energie mit divergierendem Ausgangssignal reagiert Stabilitätsdefinition ist anschaulich, jedoch praktisch schlecht auszuwerten Stabilitätsbegriff und der entsprechende mathematische Nachweis wird erneut aufgegriffen bei der Diskussion der charakteristischen Gleichung Impulsantwort Faltungsintegrals Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 28
Temperaturdifferenz / K Eigenschaften von Systemen Kausalität Hängt das Ausgangssignals y(t) eines Systems zu einem Zeitpunkt t = t nur von Eingangswerten u(t) mit t t ab, wird das System als kausales System bezeichnet Physikalisch sinnvolle und realisierbare Systeme sind wegen des Ursache-Wirkungsprinzips kausal Beispiel Aufheizvorgang, Temperatur steigt erst, wenn elektrische Leistung in das System eingebracht wird 2-2 3 Zeit t / s Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 29
Eigenschaften von Systemen Zusammenfassung Eigenschaft Bedeutung Eingangssignal Linearität = + u t u t u t 2 2 Ausgangssignalen = + y t y t y t 2 2 Zeitinvarianz Stabilität Kausalität System reagiert auf Eingangssignal u(t - t ) mit Ausgangsignal y(t - t ) System erreicht nach einer Anregung mit endlicher Energie wieder seine Ruheposition System reagiert auf ein Eingangssignal erst nach Beginn der Anregung Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3