Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 5 Mehrdmensonale Zufallsvarablen Be velen Problemstellungen st ene solerte Betrachtung enzelnen Zufallsvarablen ncht angemessen, wel so de Zusammenhänge zwschen den Varablen verloren gehen Häufg: glechzetge Betrachtung mehrerer Zufallsvarablen Bsp: - Körpergröße und Gewcht ener zufällg aus der Populaton herausgegrffenen Person - Konsumausgaben, Haushaltsenkommen und Sparguthaben enes zufällg ausgewählten Haushaltes - mehrere Aktenndzes (z B Dax, Dow Jones) - Augensumme und Augenprodukt bem Werfen zweer Würfel usw De Varablen werden dabe ncht nur als n Zufallsvarablen angesehen, sondern auch als ene n-dmensonale Zufallsvarable 1
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 Defnton: X = (X 1, X,, X n ) heßt n-dmensonale Zufallsvarable oder n-dmensonaler Zufallsvektor - Bvarate Vertelung: gemensame Wahrschenlchketsvertelung von zwe Zufallsvarablen oder de Vertelung ener zwedmensonalen Zufallsvarablen - Multvarate Vertelung: gemensame Wahrschenlchketsvertelung von dre und mehr Zufallsvarablen oder de Vertelung ener dre- und mehrdmensonalen Zufallsvarablen
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 51 Mehrdmensonale dskrete Zufallsvarablen - Gemensame Wahrschenlchketsfunkton von X und Y: f ( x, y ) = P( X = x Y = Se gbt de Wahrschenlchketen an, mt der de Zufallsvarable X den Wert x und glechzetg Y den Wert y annmmt - Egenschaften der gemensamen Wahrschenlchketsfunkton: 0 f ( x, y ) 1 ( x, y ) = f 1 für alle und 3
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 Gemensame Vertelung n Matrxform: y 1 y y y l x 1 x x x k p 11 p 1 p 1 p 1l p 1 p p p l p 1 p p p l p k1 p k p k p kl p 1 p p p k p 1 p p p l p = f ( x,, Randverte lungen f ( x ) = p = : p und f ( y ) = p = p 4
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 Gemensame Vertelungsfunkton: F(x, = P(X x Y Se gbt an, mt welcher Wahrschenlchket de Zufallsvarable X Werte klener oder glech x und glechzetg de Zufallsvarable Y Werte klener oder glech y annmmt F berechnet man durch de Addton der gemensamen Wahrschenlchketsfunkton: F ( x, = f ( x, y ) x x y y F st ene Treppenfunkton, de von F(-, -) = 0 bs F(, ) = 1 stegt 5
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 5 Multdmensonale stetge Zufallsvarablen Gemensame Dchtefunkton von X und Y: b f ( x, dydx = P( a < X b c < Y d) für a < b, c a d c Egenschaften der Dchtefunkton f: (1) f ( x, 0 < d () f ( x, dydx = 1 6
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 Gemensame Vertelungsfunkton: Im stetgen Fall fndet man F durch de Integraton der gemensamen Dchtefunkton x F ( x, = f ( u, v) dvdu y F st stetg dfferenzerbar und stetg monoton von F (, ) = 0 bs (, ) = 1 Randvertelungen be stetgen Zufallsvarablen: De Randvertelung von X erhält man durch de Integraton über y f ( x) = f ( x, dy De Randvertelung von Y erhält man durch de Integraton über x f ( x) = f ( x, dx F 7
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 Wahrschenlchketsntervall ener stetgen zwedmensonalen Zufallsvarablen: Gegeben se ene stetge zwedmensonale Zufallsvarable (X; Y) mt der Dchtefunkton f(x, Für de Wahrschenlchket, dass (X; Y) n das Intervall (a<x b und c<y d) fällt, glt: P ( a < X b, c < Y d) f ( x, dxdy d = c b a 8
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 53 Bedngte Zufallsvertelungen und stochastsche Unabhänggket Bedngte Vertelungen geben de Auskunft über de Vertelung der enen Varablen unter der Bedngung, dass de ewels andere enen bestmmten Wert annmmt Der Stchprobenraum wrd durch de Angabe der Bedngung reduzert De Konstrukton der bedngten Vertelung st analog zur Konstrukton der bedngten Wahrschenlchketen für Eregnsse: Bedngte Wahrschenlchket: P( X P( X = x Y = y ) = x Y = y ) = P( Y = y ) für P ( Y = y ) > 0 9
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 Bedngte Vertelung von X unter der Bedngung Y = y : f ( x, y ) f ( x, f ( x y ) = f ( y ) (dskreter Fall) f ( x = f ( (stetger Fall) Bedngte Vertelung von Y unter der Bedngung X = x : f ( x, y ) f ( y x ) = f ( x ) (dskreter Fall) f ( x, y ) f ( y x) = f ( x) (stetger Fall) Im dskreten Fall exstert für ede Ausprägung y ene bedngte Vertelung für X, entsprechend erhält man n bedngte Vertelungen für Y (n: Anzahl der Ausprägungen der Varablen X) Im stetgen Fall können de Zufallsvarablen X und Y unendlch vele Werte n enem Intervall annehmen, dementsprechend gbt es unendlch vele Möglchketen, enen x- bzw y-wert vorzugeben 10
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 Stochastsche Unabhänggket De Unabhänggket von Zufallsvarablen lässt sch auf das Konzept der stochastschen Unabhänggket von Eregnssen zurückführen Wederholung: Zwe Eregnsse A und B snd stochastsch unabhängg, wenn das Entreten von A kenerle Enfluss auf das Entreten von B hat und umgekehrt formal: P(B A) = P(B) bzw P(A B) = P(A) oder: P(A B)=P(A) P(B) (Multplkatonssatz für unabhängge Eregnsse) Unabhänggket von Zufallsvarablen: De Zufallsvarablen X und Y heßen stochastsch unabhängg, wenn de gemensame Wahrschenlchkets- bzw Dchtefunkton gerade glech dem Produkt der beden Randvertelungen st: f x, y ) = f( x) f( y ) (dskreter Fall) f ( x, f ( x) f ( ( = (stetger Fall) 11
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 54 Parameter von mehrdmensonalen Zufallsvarablen 1 Erwartungswerte Der Erwartungswert ener zwedmensonalen Vertelung wrd angegeben durch das Paar der Erwartungswerte der beden Randvertelungen E(X) und E(Y): k E ( X ) = μ x f ( x, y ) x E( Y) = μ = y = x p = = 1 l y p = = 1 E( X ) = μx = xf ( x) dx E( Y) = μy = yf ( dy y f ( x, y ) m dskreten Fall m stetgen Fall 1
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 Varanzen De Streuung entlang der x-achse wrd durch de Varanz der Randvertelung von X gemessen: k σ x = ( x x ) p m dskreten Fall = 1 V ( X ) = μ V ( X ) x = ( x μ x ) f ( x) = σ dx m stetgen Fall Entsprechend wrd de Streuung entlang der y-achse durch de Streuung der Randvertelung Y gemessen: l σ y = ( y y ) p m dskreten Fall = 1 V ( X ) = μ V ( X ) y = ( y μ y ) f ( = σ dy m stetgen Fall 13
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 3 Kovaranz Obge Erwartungswerte und Varanzen charakterseren nur de enzelnen Komponenten ener Vertelung für sch genommen, denn se rekurreren nur auf de Randvertelungen Se geben kene Informaton über den Zusammenhang zwschen X und Y Man benötgt en Maß, das de Tendenz angbt, mt der de Werte der ZV Y sch verändern, wenn de Werte der ZV X sch ändern und umgekehrt Ene Maßzahl für den stochastschen Zusammenhang st de Kovaranz: Cov ( X, Y ) = ( x μ )( y μ ) f ( x, y ) Cov( X, Y ) = ( x μ )( y μ ) f ( x, y dxdy x x y ) y m dskreten Fall m stetgen Fall Aus der Unabhänggket von Zufallsvarablen folgt das Verschwnden der Kovaranz (Cov(X,Y) = 0), Umkehrschluss st ncht möglch 14
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 4 Korrelatonskoeffzent Korrelatonskoeffzent zwschen X und Y gbt Rchtung und Stärke des lnearen stochastschen Zusammenhangs zwschen X und Y an Korrelatonskoeffzent st defnert als der Quotent aus der Kovaranz und den beden Standardabwechungen von X und Y: ρ ( X, Y ) = Cov ( X, Y ) V ( X ) V ( Y ) = σ σ x xy σ y Korrelatonskoeffzent st en normertes Maß und legt stets zwschen -1 und +1 15
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 55 Regressonsanalyse Regressonsrechnung der deskrptven Statstk st von der Regressonsanalyse der schleßenden Statstk sorgfältg zu unterscheden In der deskrptven Statstk sollte de Regressonsgerade y = a + bx ren statstsch beschrebend nterpretert werden und sch nur auf den aktuell vorlegenden Datensatz bezehen Ene Aussage über enen fachwssenschaftlch begründeten Zusammenhang zwschen zwe Varablen X und Y, der auch ene allgemene Gültgket bestzen würde, sollte damt ncht verbunden werden Des blebt der Regressonsanalyse als Instrument der schleßenden Statstk vorbehalten Se betrachtet de Beobachtungswerte (x ; y ) als ene Stchprobe aus ener Grundgesamthet De Aufgabe der Regressonsanalyse st es, anhand von deser Stchprobe enen eventuellen Zusammenhang aufzuspüren, zu quantfzeren (dh zu schätzen) oder zu verwerfen (dh zu testen) 16
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 Das enfache lneare Regressonsmodell 1 Schrtt: Spezfkaton der Varablen, de mtenander n ursächlcher Bezehung stehen Y = f(x) (dh ene Varable X beenflusst ene andere Varable Y) Schrtt: Festlegung der Funktonsform De enfachste Form st de lneare, ausgedrückt durch folgende Geradenglechung: Y(X) = α + βx (ökonomsche Glechung) Bespele: (1) Konsumfunkton von Keynes: C = α + βy verf (Der Gesamtwrtschaftlche Konsum C se ene Funkton des verfügbaren Enkommens Y verf ) () Kostenfunkton: K(X) = α + βx (De Produktonskosten K enes bestmmten Gutes seen ene lneare Funkton der Ausbrngungsmenge X) 17
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 Um auch den anderen Enflüssen auf de Varable Y Rechnung zu tragen, modfzert der ökonometrsche Modellansatz den ökonomschen und fügt ene Störvarable U hnzu: Y(X) = α + βx + U (ökonometrsche Glechung) Für de Stchprobe schrebt man: y = α + βx + u für = 1,,, n y : endogene Varable (Regressand) x : exogene Varable (Regressor) u : latente Varable (Störvarable), u st ene Zufallsvarable, dadurch erhält das Modell sene stochastsche Komponente: de strenge Abhänggket Y von X wrd durch ene stochastsche Störung überlagert α und β snd Modellparameter oder Koeffzenten Das snd de wahren Werte, de unbekannt snd und unbekannt bleben Ihre Zahlenwerte können nur geschätzt werden, was de Hauptaufgabe der Regressonsanalyse darstellt ˆ α und ˆ β nennt man Schätzer oder Schätzparameter 18
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 Schätzmethode der klensten Quadrate Das Zel der Schätzung besteht darn, ene Schätzgerade zu fnden, de der wahren (unbekannten) Regressonsgeraden möglchst nahe kommt Dre verschedene y-werte snd dabe zu unterscheden: Beobachtungswerte: y = α + βx + u Theoretsche Werte: ~ y = α + βx (legen auf der unbekannten Modellgeraden) Schätzwerte: yˆ = αˆ + ˆ βx (legen auf der geschätzten Geraden) Abwechungen der Schätzwerte von den Beobachtungswerten heßen Resduen: e = y yˆ 19
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 Mt der Methode der klensten Quadrate wrd de Schätzgerade so bestmmt, dass de Summe der quadrerten Resduen mnmal wrd: SQR= T e = y yˆ ) = t= 1 ( ( y ˆ α ˆ βx ) Man bldet de partellen Abletungen von SQR und setzt se glech Null: SQR( ˆ, α ˆ) β = ˆ α SQR( ˆ, α ˆ) β = ˆ β ( y ( y ˆ α ˆ βx )( 1) = 0 ˆ α ˆ βx )( x ) = 0 Mt desem Glechungssystem (Normalglechungen) können de beden Schätzparameter bestmmt werden 0
Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 Für de unbekannten Schätzparameter erhält man de Schätzformeln: ˆ β = Cov ( X, Y Var ( X ) ) αˆ = y ˆ β x Konfdenzntervalle Oft wrd man sch edoch n der Regressonsanalyse ncht mt Punktschätzungen der Parameter zufreden geben Man berechnet de Konfdenzntervalle für β : KONF ( ˆ β t ˆ σ β ˆ β + t ˆ σ ) = 1 α σˆ = Vˆ ( ˆ β ), t st aus der Tafel der t-vertelung mt n-k-1 Frehetsgraden zu entnehmen, mt α = Irrtumswahrschenlchket 1