Durch starte Mathematik übugsbuch bis Grudkompetez-Aufgabe Aufgrud der eue schriftliche Reifeprüfug i Mathematik ist es otwedig, sich mit de eue Grudkompetez-Aufgabe auseiaderzusetze. Die Olie-Ergäzug Grudkompetez-Aufgabe ethält diese Aufgabe zu alle Ihaltsbereiche. Es ergäzt ud aktualisiert damit das bestehede Übugsbuch DURCHSTARTEN MATHEMATIK MATURA/7. + 8. Klasse, welches mit seie viele veretzte Übugsaufgabe weiterhi verwedet werde ka. Somit köe sich Schülerie ud Schüler mit DURCHSTARTEN optimal auf die eue schriftliche Reifeprüfug i Mathematik vorbereite. ISBN 978--78-7-7
INHALTSVERZEICHNIS Vorwort.......................................................................... Algebra ud Geometrie... Fuktioale Abhägigkeite... FA Fuktiosbegriff, reelle Fuktioe, Darstellugsforme ud Eigeschafte... FA Lieare Fuktioe f() = k + d...6 FA Polyomfuktio f() = a i i mit N....7 i= FA Epoetialfuktio f() = a b bzw. f() = a e λ mit a, b R +, λ R... FA 6 Siusfuktio, Cosiusfuktio... Aalysis.... AN Äderugsmaße... AN Regel für das Differeziere...6 AN Ableitugsfuktio/Stammfuktio....7 Wahrscheilichkeit ud Statistik... WS Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitsrechug.... WS Wahrscheilichkeitsverteilug(e)... Lösuge... Lehrpla....7
VORWORT Die Olie Ergäzug zu "Durchstarte zur AHS-Matura Mathematik" richtet sich a alle Schülerie ud Schüler der 7. ud 8. Klasse (. ud. Schulstufe), die sich währed des Schuljahres auf Schularbeite ud Prüfuge bzw. a jee Schülerie ud Schüler, die sich auf die eue schriftliche Reifeprüfug (Zetralmatura) vorbereite möchte. Dabei stehe die Grudkompeteze mit de eue Aufgabeformate im Mittelpukt. Aufgrud der eue schriftliche Reifeprüfug ist es otwedig, sich spätestes ab der. Klasse (9. Schulstufe) mit de eue Aufgabeformate auseiaderzusetze. Es gibt offee ud halboffee Aufgabeformate, aber auch viele verschiedee Multiple-Choice Formate. Bei der Matura werde auf diese Art ud Weise ur die Grudkompeteze (ud icht der gesamte Lehrpla) abgeprüft. Deswege beihalte die Aufgabe im eue Format ebefalls ur die Grudkompeteze. Bei de Grudkompetez-Aufgabe köe eie oder mehrere Lösuge richtig sei. Jede vollstädig gelöste Aufgabe ergibt zb Pukte. Fehlt eie richtige Lösug oder ist eie falsche Atwort als richtig gekezeichet, gibt es keie Pukte! Es sid alle bis zur 7. Klasse relevate Grudkompeteze ageführt. Jee, welche scho i der. oder 6. Klasse behadelt wurde, sid i grau geschriebe. Ich hoffe, dass die vorliegede Teil -Aufgabe jeder Schüleri ud jedem Schüler eie effiziete Hilfe bei der Vorbereitug auf die Schularbeit, Prüfug bzw. Matura sei köe ud das zuweile auftretede mulmige Gefühl bei dem Gedake dara etwas verfliege lässt. Alle Beutzerie ud Beutzer ei erfolgreiches Abscheide i diesem Schuljahr! Moe Crillovich-Cocoglia
Grudbegriffe der Algebra ALGEBRA UND GEOMETRIE AG. Wisse über die Zahlemege N, Z, Q, R, C verstädig eisetze köe. AG. Wisse über algebraische Begriffe agemesse eisetze köe: Variable, Terme, Formel, (U-)Gleichuge, Gleichugssysteme, Äquivalez, Umformuge, Lösbarkeit Bei de Zahlemege soll ma die Megebezeichuge ud die Teilmegebeziehuge kee, Elemete agebe sowie zuorde köe ud die reelle Zahle als Grudlage kotiuierlicher Modelle kee. Zum Wisse über die reelle Zahle gehört auch, dass es Zahlebereiche gibt, die über R hiausgehe. Die algebraische Begriffe soll ma ahad vo eifache Beispiele beschreibe/erkläre ud verstädig verwede köe. AG. Orde de Zahle jeweils die kleiste Zahlemege zu, i der sie ethalte sid! N i A Z B Q C R + D R 6 C AG. Gegebe sid verschiedee Aussage über Gleichuge i eier Ubekate R der Form: Gleichug A Gleichug B. Eie solche Aussage ist geau da richtig, we Gleichug A äquivalet zu Gleichug B ist. Kreuze die beide korrekte Aussage a! A e ( ) = = _ B e = = l() C _ D + = + ( _ ) = 8 + 7 ( + 9 ) = 8 + 7 = ( + 9 ) E e + e + e = e ( + e + e ) VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
FUNKTIONALE ABHÄNGIGKEITEN FA Fuktiosbegriff, reelle Fuktioe, Darstellugsforme ud Eigeschafte FA. Für gegebee Zusammehäge etscheide köe, ob ma sie als Fuktio betrachte ka. FA. Formel als Darstellug vo Fuktioe iterpretiere ud dem Fuktiostyp zuorde köe. FA. Zwische tabellarische ud grafische Darstelluge fuktioaler Zusammehäge wechsel köe. FA. Aus Tabelle, Graphe ud Gleichuge vo Fuktioe Werte(paare) ermittel ud im Kotet deute köe. Der Graph eier Fuktio ist als Mege der Wertepaare defiiert. Eier verbreitete Sprechweise folged ee wir die grafische Darstellug des Graphe im kartesische Koordiatesystem jedoch ebefalls kurz Graph. FA. Eigeschafte vo Fuktioe erkee, beee, im Kotet deute ud zum Erstelle vo Fuktiosgraphe eisetze köe: Mootoie, Mootoiewechsel (lokale Etrema), Wedepukte, Periodizität, Achsesymmetrie, asymptotisches Verhalte, Schittpukte mit de Achse. FA.6 Schittpukte zweier Fuktiosgraphe graphisch ud recherisch ermittel ud im Kotet iterpretiere köe. FA.7 Fuktioe als mathematische Modelle verstehe ud damit verstädig arbeite köe. FA.8 Durch Gleichuge (Formel) gegebee Fuktioe mit mehrere Veräderliche im Kotet deute köe, Fuktioswerte ermittel köe. FA.9 Eie Überblick über die wichtigste (ute ageführte) Type mathematischer Fuktioe gebe, ihre Eigeschafte vergleiche köe. Auf eie sichere Uterscheidug zwische fuktioale ud ichtfuktioale Zusammehäge wird Wert gelegt, auf theoretisch bedeutsame Eigeschafte (zb Ijektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit) wird aber icht fokussiert. Im Vordergrud steht die Rolle vo Fuktioe als Modelle ud die verstädige Nutzug grudlegeder Fuktiostype ud dere Eigeschafte sowie der verschiedee Darstellugsforme vo Fuktioe (auch f: A B, f()). Die Bearbeitug vo Fuktioe mit mehrere Veräderliche beschräkt sich auf die Iterpretatio der Fuktiosgleichug im jeweilige Kotet sowie auf die Ermittlug vo Fuktioswerte. Das recherische Ermittel vo Schittpukte vo Fuktioe beschräkt sich auf jee Fälle, die durch die im Ihaltsbereich Algebra ud Geometrie ageführte Grudkompeteze abgedeckt sid (lieare, quadratische Gleichuge). Der Verlauf vo Fuktioe soll icht ur mathematisch beschriebe, soder auch im jeweilige Kotet gedeutet werde köe. FA. Die Abbildug zeigt de Graphe eier Polyomfuktio f. Gib das Mootoieverhalte vo f im Itervall [ ; 7] a! f() f ist mooto steiged i: f ist mooto falled i: 6 6 7 VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
FA Lieare Fuktioe f() = k + d Fuktioale Abhägigkeite FA. Verbal, tabellarisch, graphisch oder durch eie Gleichug (Formel) gegebee lieare Zusammehäge als lieare Fuktioe erkee bzw. betrachte köe; zwische diese Darstellugsforme wechsel köe. FA. Aus Tabelle, Graphe ud Gleichuge liearer Fuktioe Werte(paare) sowie die Parameter k ud d ermittel ud im Kotet deute köe. FA. Die Wirkug der Parameter k ud d kee ud die Parameter i uterschiedliche Kotete deute köe. FA. Charakteristische Eigeschafte kee ud im Kotet deute köe: f( + ) = f() + k; f( ) f( ) = k = [f' ()] FA. Die Agemesseheit eier Beschreibug mittels liearer Fuktio bewerte köe. FA.6 Direkte Proportioalität als lieare Fuktio vom Typ f() = k beschreibe köe. Amerkug: Die Parameter k ud d solle sowohl für kokrete Werte als auch allgemei im jeweilige Kotet iterpretiert werde köe. Etsprechedes gilt für die Wirkug der Parameter ud dere Äderug. FA. Wie groß ist der Astieg der Gerade, die durch die Pukte A( 6) ud B( 7 ) gelegt wird? FA. Wieso ist f( ) f( ) äquivalet zu f( ) f( )? 6 FA. Gegebe ist eie lieare Fuktio f mit f() = k + d mit d, k R. Kreuze die zutreffede Aussage a! A Der Differezequotiet bei = ist gleich d. B Wird um erhöht, so ädert sich der Fuktioswert um k. C Der Differezequotiet ist überall gleich k. D Der Differetialquotiet ist überall gleich k. E Der Differetialquotiet ist a verschiedee Stelle uterschiedlich groß. 6 VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
FA Polyomfuktio f() = i= Fuktioale Abhägigkeite a i i mit N FA. Typische Verläufe vo Graphe i Abhägigkeit vom Grad der Polyomfuktio (er)kee. FA. Zwische tabellarische ud grafische Darstelluge vo Zusammehäge dieser Art wechsel köe. FA. Aus Tabelle, Graphe ud Gleichuge vo Polyomfuktioe Fuktioswerte, aus Tabelle ud Graphe sowie aus eier quadratische Fuktiosgleichug Argumete ermittel köe. FA. De Zusammehag zwische dem Grad der Polyomfuktio ud der Azahl der Null-, Etrem- ud Wedestelle wisse. Amerkug: Der Zusammehag zwische dem Grad der Polyomfuktio ud der Azahl der Null-, Etrem- ud Wedestelle sollte für beliebige bekat sei, kokrete Aufgabestelluge beschräke sich auf Polyomfuktioe mit. Argumetwerte solle aus Tabelle ud Graphe, für Polyomfuktioe bis = ud solche, die sich durch eifaches Heraushebe oder eifache Substitutio auf quadratische Fuktioe zurückführe lasse, auch aus der jeweilige Fuktiosgleichug ermittelt werde köe. 7 FA. Gib zu de Fuktiosgraphe de jeweilige Grad der Polyomfuktio a! A f() B f() Grad: Grad: C f() D f() Grad: Grad: VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte 7
Fuktioale Abhägigkeite 8 FA. Eie Polyomfuktio f mit f() = a + b + c + d (a, b, c, d R) ist durch ihre Graphe gegebe. Gib für das Itervall [-; ] eie Wertetabelle a! f() f() 9 FA. Skizziere de Graphe der Fuktio f() = ( ) ( + ). Kezeiche die Nullstelle der Kurve ud gib die Azahl der Etremstelle a. f() Azahl der Etremstelle: 8 VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
Fuktioale Abhägigkeite FA. Gegebe ist die Polyomfuktio. Grades f() = a + b + c + d. Wie viele reelle Nullstelle ka diese Fuktio besitze? Belege jede mögliche Lösugsfall durch eie passede Skizze! FA. Gegebe ist der Graph eier Polyomfuktio f. Grades. 7 f() 6 6 Kreuze a, welche Eigeschafte für die agegebee Fuktio zutreffe. A B C D E f ist im Itervall [; ] streg mooto steiged = ist eie lokale Maimumstelle f ist im Itervall [-; ] mooto steiged f hat füf Nullstelle f hat lokale Etremstelle VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte 9
Fuktioale Abhägigkeite FA Epoetialfuktio f() = a b bzw. f() = a e λ mit a, b R +, λ R FA. Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eie Gleichug (Formel) gegebee epoetielle Zusammehäge als Epoetialfuktio erkee bzw. betrachte köe; zwische diese Darstellugsforme wechsel köe. FA. Aus Tabelle, Graphe ud Gleichuge vo Epoetialfuktioe Werte(paare) ermittel ud im Kotet deute köe. FA. Die Wirkug der Parameter a ud b (bzw. e λ ) kee ud die Parameter i uterschiedliche Kotete deute köe. FA. Charakteristische Eigeschafte (f( + ) = b f(); [ e ]' = e ) kee ud im Kotet deute köe. FA. Die Begriffe Halbwertszeit ud Verdoppelugszeit kee, die etsprechede Werte bereche ud im Kotet deute köe. FA.6 Die Agemesseheit eier Beschreibug mittels Epoetialfuktio bewerte köe. Amerkug: Die Parameter a ud b (bzw. e λ ) solle sowohl für kokrete Werte als auch allgemei im jeweilige Kotet iterpretiert werde köe. Etsprechedes gilt für die Wirkug der Parameter ud dere Äderug. FA. Das Wachstum eier Bakteriekoloie i Abhägigkeit vo der Zeit t (i Stude) ka äherugsweise durch die Fuktiosgleichug N(t) =, t beschriebe werde, wobei N(t) die zum Zeitpukt t besiedelte Fläche (i mm²) agibt. Iterpretiere die i der Fuktiosgleichug vorkommede Werte ud, im Hiblick auf de Wachstumsprozess! FA. Gegebe ist die Fuktiosgleichug f() = e,. Ermittle die Gleichug der Ableitugsfuktio vo f! f '() = VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
FA 6 Siusfuktio, Cosiusfuktio Fuktioale Abhägigkeite FA. Grafisch oder durch eie Gleichug (Formel) gegebee Zusammehäge der Art f() = a si(b ) als allgemeie Siusfuktio erkee bzw. betrachte köe; zwische diese Darstellugsforme wechsel köe. FA 6. Aus Graphe ud Gleichuge vo allgemeie Siusfuktioe Werte(paare) ermittel ud im Kotet deute köe. FA 6. Die Wirkug der Parameter a ud b kee ud die Parameter im Kotet deute köe. FA 6. Periodizität als charakteristische Eigeschaft kee ud im Kotet deute köe. FA 6. Wisse, dass cos() = si ( + π ). FA 6.6 Wisse, dass gilt: [si()]' = cos(), [cos()]' = si() Amerkug: Währed zur Auflösug vo rechtwikelige Dreiecke Sius, Cosius ud Tages verwedet werde, beschräkt sich die fuktioale Betrachtug (weitgehed) auf die allgemeie Siusfuktio. Wesetlich dabei sid die Iterpretatio der Parameter (im Graphe wie auch i etsprechede Kotete) sowie der Verlauf des Fuktiosgraphe ud die Periodizität. FA 6.6 Gegebe ist die Fuktiosgleichug f() = _ si(). Ermittle die Gleichug der Ableitugsfuktio vo f! f '() = FA 6.6 I der Abbildug ist der Graph der Siusfuktio f mit f() = si() im Itervall [ π; π] dargestellt. Zeiche die. Ableitugsfuktio vo f im Itervall [ π; π] i das Koordiatesystem ei! y, π π π π, VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
Fuktioale Abhägigkeite 6 FA 6.6 Gegebe ist die Fuktio f mit f() = si(). Kreuze vo de gegebee Graphe vo Ableitugsfuktioe f ' dejeige a, der zur Fuktio f gehört. f () A π π f () B π π f () C π π f () D π π f () E π π f () F π π VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
ANALYSIS AN Äderugsmaße AN. Absolute ud relative (prozetuelle) Äderugsmaße uterscheide ud agemesse verwede köe. Amerkug: Die Berechug eifacher Differezequotiete ist/wird damit auch umsetzbar/möglich. AN. De Zusammehag Differezequotiet (mittlere Äderugsrate) Differetialquotiet ( mometae Äderugsrate) auf der Grudlage eies ituitive Grezwertbegriffes kee ud damit (verbal sowie i formaler Schreibweise) auch kotetbezoge awede köe. AN. De Differeze- ud Differetialquotiete i verschiedee Kotete deute ud etsprechede Sachverhalte durch de Differeze- bzw. Differetialquotiete beschreibe köe. AN. Das systemdyamische Verhalte vo Größe durch Differezegleichuge beschreibe bzw. diese im Kotet deute köe. Amerkug: Der Fokus liegt auf dem Darstelle vo Äderuge durch Differeze vo Fuktioswerte, durch prozetuelle Veräderuge, durch Differezquotiete ud durch Differetialquotiete, gaz besoders aber auch auf der Iterpretatio dieser Veräderugsmaße im jeweilige Kotet. Die Ermittlug des Differetialquotiete aus Fuktiosgleichuge beschräkt sich auf Polyomfuktioe, Potezfuktioe sowie auf die Fälle [si(k )]' = k cos(k ), [cos(k )]' = k si(k ) ud [ e k ]' = k e k. 7 AN. Gib drei verschiedee Fuktioe a, dere Differezequotiet im Itervall [; ] geau beträgt! f () = f () = f () = 8 AN. Gegebe ist die Fuktio f: R R: f() =. Ermittle die folgede Äderugsmaße der Fuktio f: Der Differezequotiet der Fuktio f im Itervall [; ] beträgt: Der Differetialquotiet der Fuktio f a der Stelle beträgt: VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
Aalysis 9 AN. Gegebe ist der Graph eier Polyomfuktio f: R R. 7 f() 6 6 Kreuze die für diese Fuktio f zutreffede Aussage a! A Der Differezequotiet im Itervall [; ] ist. B Der Differezequotiet im Itervall [-; ] ist positiv. C D E Der Differetialquotiet a der Stelle ist positiv. Der Differetialquotiet a der Stelle ist kleier als der Differetialquotiet a der Stelle. Der Differetialquotiet a der Stelle ist (ugefähr) gleich groß wie der Differetialquotiet a der Stelle. AN. Gegebe ist folgede Tabelle, welche die Temperatur zu eier bestimmte Uhrzeit agibt: Uhrzeit Temperatur i C 8 9 7 6 8 Gib die Temperaturäderug im Itervall [8; ] ud im Itervall [; ] a! I welchem der beide Zeititervalle wächst die Temperatur stärker? Begrüde! VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
Aalysis AN. Eie Kugel wird vo der Dachkate eies m hohe Gebäudes mit der Abschussgeschwidigkeit 6 m/s sekrecht ach obe geschosse. Nach t Sekude hat sie die Höhe s(t) = + 6t t erreicht (s im Meter, t i Sekude). Wie groß ist die mittlere Geschwidigkeit der Kugel i de erste Sekude? Wie groß ist die Geschwidigkeit der Kugel ach Sekude? AN. Die Abbildug zeigt de Graphe eier Fuktio f. Ermittle grafisch die mometae Äderugsrate vo f a der Stelle = 6 ud gib de Wert möglichst geau a! f() 6 7 8 AN. Die Abbildug zeigt de Graphe eier Fuktio f. Bereche de Differezequotiete vo f im Itervall [; ] ud gib eie geometrische Iterpretatio des Ergebisses a! f() VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
Aalysis AN Regel für das Differeziere AN. Eifache Regel des Differezieres kee ud awede köe: Potezregel, Summeregel, Regel für [k f()]' ud [f(k )]' (vgl. Ihaltsbereich Fuktioale Abhägigkeite). Amerkug: Im Teil Veretzug vo Grudkompeteze köe mit Hilfe techologischer Werkzeuge auch kompleere Differetiatiosmethode agewadt ud umgesetzt werde. AN. Gegebe sid vier Fuktioe ud sechs Ableitugsfuktioe. Orde de Fuktioe f die richtige Ableitugsfuktioe f ' zu. f '() = f() = A f '() = f() = B f '() = _ f() = C f '() = f() = D f '() = AN. Bereche die. Ableitug der Fuktio f() = + _. 6 f '() = _ f '() = 6 AN. Eie Fuktio ist durch ihre Gleichug gegebe: f() = e si. Gib die. Ableitug a! f '() = 7 AN. Eie Fuktio ist durch ihre Gleichug gegebe: f() = ( + ). Bereche die. Ableitug! f '() = 6 VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
AN Ableitugsfuktio/Stammfuktio Aalysis AN. De Begriff Ableitugsfuktio/Stammfuktio kee ud zur Beschreibug vo Fuktioe eisetze köe. AN. De Zusammehag zwische Fuktio ud Ableitugsfuktio (bzw. Fuktio ud Stammfuktio) i dere grafischer Darstellug (er)kee ud beschreibe köe. AN. Eigeschafte vo Fuktioe mit Hilfe der Ableitug(sfuktio) beschreibe köe: Mootoie, lokale Etrema, Liks- ud Rechtskrümmug, Wedestelle. Amerkug: Der Begriff der Ableitug(sfuktio) soll verstädig ud zweckmäßig zur Beschreibug vo Fuktioe eigesetzt werde. 8 AN. Gegebe ist der Graph der Polyomfuktio f: f() Eier der drei ute gezeichete Graphe stellt die Ableitugsfuktio vo f dar. Streiche die beide adere Graphe durch ud begrüde, warum diese beide Graphe auszuschließe sid. A f() B f() C f() Begrüdug: Begrüdug: Begrüdug: VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte 7
Aalysis 9 AN. Gegebe sid die graphische Darstellug eier Polyomfuktio dritte Grades sowie drei Aussage, die sich auf die erste Ableitugsfuktio dieser Polyomfuktio beziehe. f() Aussage : Die erste Ableitugsfuktio hat Nullstelle bei ud. Aussage : Die erste Ableitugsfuktio ist eie quadratische Fuktio. Aussage : Die erste Ableitugsfuktio hat eie Wedestelle. Eie dieser drei Aussage ist falsch. Streiche diese falsche Aussage durch ud berichtige die falsche Aussage! Aussage : Die erste Ableitugsfuktio AN. Gegebe ist der Graph eier Fuktio f. C f() B D A 6 7 8 F E Die agegebee Eigeschafte lege jeweils eie der markierte Pukte fest. Orde zu! Pukt A f( ) <, f '( ) =, f ''() < A Pukt B f( ) >, f '( ) >, f ''() = B Pukt C f( ) =, f '( ) =, f ''() > C Pukt D f( ) >, f '( ) =, f ''() < D Pukt E 6 Pukt F 8 VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
Aalysis AN. Zeiche de Graphe der Fuktio f, dere Graph der erste Ableitug f '() gegebe ist. Kezeiche die kritische Pukte (Nullstelle, Etremwerte, Wedepukte) der Fuktio f! f'() f'() f() AN. Die Abbildug zeigt de Graphe der Fuktio f. Was ka aus der Abbildug über die erste bzw. zweite Ableitug vo f a de Stelle ud ausgesagt werde? Ergäze mit <, = oder >. f() f ) '( f ) ''( f ) '( f ) ''( VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte 9
Aalysis AN. I der folgede Abbildug sid drei Fuktioe f(), g() ud h() sowie dere erste ud zweite Ableitug zu sehe. Beschrifte die etsprechede Graphe mit f(), f '(), f ''() etc. A B C D E F G H I VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
WAHRSCHEINLICHKEIT UND STATISTIK WS Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitsrechug WS. Grudraum ud Ereigisse i agemessee Situatioe verbal bzw. formal agebe köe. WS. Relative Häufigkeit als Schätzwert vo Wahrscheilichkeit verwede ud awede köe. WS. Wahrscheilichkeit uter der Verwedug der Laplace-Aahme (Laplace-Wahrscheilichkeit) bereche ud iterpretiere köe, Additiosregel ud Multiplikatiosregel awede ud iterpretiere köe. Amerkug: Die Multiplikatiosregel ka uter Verwedug der kombiatorische Grudlage ud der Awedug der Laplace-Regel (auch) umgage werde. WS. Biomialkoeffiziet bereche ud iterpretiere köe. WS. Kreuze alle Biomialkoeffiziete a, die ergebe: A ( ) D ( k ) B ( ) E ( ) C ( k ) F ( ) WS. Fülle die Lücke richtig aus! Der Biomialkoeffiziet ist defiiert als ( k ) = ud gibt a, auf wie viele Arte Elemete aus Elemete ausgewählt werde köe. Dabei ist die Reihefolge. Es gilt ( ( ) = ) ud ( ( ) = ). Mit dem Tascherecher erhält ma zb ( ) =. VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
Wahrscheilichkeit ud Statistik WS Wahrscheilichkeitsverteilug(e) WS. Die Begriffe Zufallsvariable, (Wahrscheilichkeits-)Verteilug, Erwartugswert ud Stadardabweichug verstädig deute ud eisetze köe. WS. Biomialverteilug als Modell eier diskrete Verteilug kee Erwartugswert sowie Variaz/ Stadardabweichug biomialverteilter Zufallsgröße ermittel köe, Wahrscheilichkeitsverteilug biomialverteilter Zufallsgröße agebe köe, Arbeite mit der Biomialverteilug i awedugsorietierte Bereiche. WS. Situatioe erkee ud beschreibe köe, i dee mit Biomialverteilug modelliert werde ka. WS. Normalapproimatio der Biomialverteilug iterpretiere ud awede köe. Amerkug: Kee ud Awede der Faustregel, dass die Normalapproimatio der Biomialverteilug mit de Parameter ud p da azuwede ist ud gute Näherugswerte liefert, we die Bedigug p( p) 9 erfüllt ist. Die Awedug der Stetigkeitskorrektur ist icht otwedig ud daher für Berechuge im Zuge vo Prüfugsbeispiele verachlässigbar. Kee des Verlaufs der Dichtefuktio φ der Stadardormalverteilug mit Erwartugswert μ ud Stadardabweichug σ. Arbeite mit der Verteilugsfuktio Φ der Stadardormalverteilug ud korrektes Ablese der etsprechede Werte. 6 WS. Bereche bei folgeder Verteilug de Mittelwert, die Variaz ud die Stadardabweichug. Azahl der Züge im Mai, die a eiem Tag Verspätug hatte 6 7 absolute Häufigkeit 78 6 9 6 7 WS. B ist eie -,-biomialverteilte Zufallsgröße. Bereche de Erwartugswert ud die Stadardabweichug vo B! 8 WS. Tamara hat für eie Geographietest geau % der Frage eies vorgegebee Fragekatalogs gelert. Beim Test werde 8 Frage gestellt. Bei vier oder mehr richtige Atworte erhält ma eie positive Note. Wie groß sid die Wahrscheilichkeite, dass Tamara eie egative Test schreibt bzw. eie positive Test schreibt? VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
Wahrscheilichkeit ud Statistik 9 WS. Für morge werde i eier Klik füf Geburte erwartet. Bube- ud Mädchegeburte sid gleich wahrscheilich. Der diesthabede Arzt möchte wisse, wie wahrscheilich ull, eie, zwei, drei, vier oder füf Mädchegeburte sid. Bereche die Wahrscheilichkeite ud mache diese Wahrscheilichkeite i eiem Stabdiagramm sichtbar. WS. Ei Versuch wird -mal uter gleiche Bediguge durchgeführt. Er erfüllt alle Voraussetzuge, um Wahrscheilichkeite mithilfe der Biomialverteilug zu bereche. Kreuze die korrekte() Aussage() a! A B C D E Der Versuch wird -mal wiederholt. Die Erfolgswahrscheilichkeit p ka sich i jedem Versuch äder. Das Ergebis eies Durchgags ist vo de adere Durchgäge abhägig. Die Zufallsvariable X gibt a, wie oft uter de Versuchswiederholuge das Ereigis eitritt. I jedem Versuchsdurchgag gibt es ur zwei mögliche Ausgäge (Erfolg/Misserfolg). WS. Die Körpergröße eier bestimmte Spieart werde ormalverteilt ageomme mit eiem Mittelwert μ =,7 cm ud eier Stadardabweichug vo σ =, cm. Ergäze die fehlede Zahlewerte: Rud 9 % dieser Spie sid zwische cm ud cm groß. Rud % dieser Spie sid kleier als,7 cm. Rud % sid größer als cm. VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
LÖSUNGEN A6, B, C, D A, C akreuze f ist mooto steiged i: [ ; ] ud [; 7]; f ist mooto falled i: [; ] k = f( ) f( ) = 6 7 = 6 = _ f( ) f( ) = ( ) ( f( ) + f( )) ( ) ( + ) = f( ) f( ) 6 B, C, D akreuze 7 A Grad, B Grad, C Grad, D Grad 8 f(),,8 9 Azahl der Etremstelle: ; Nullstelle bei ; ; f() Die Polyomfuktio dritte Grades ka etweder eie ( f ), zwei ( f ) oder drei ( f ) verschiedee reelle Nullstelle besitze. Zum Beispiel: f() f() f() f f f A, B, E akreuze Zum Zeitpukt t = beträgt die besiedelte Fläche mm². Die Bakteriekoloie wächst pro Stude um %. f '() =, e, f '() = cos() VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK, 7. KLASSE. Alle Rechte vorbehalte
LÖSUNGEN POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN zu de Buchseite 6 8 y, π f π π π, f' 6 E akreuze 7 Zum Beispiel: f () =, f () = +, f () = 8 Der Differezequotiet der Fuktio f im Itervall [; ] beträgt:. Der Differetialquotiet der Fuktio f a der Stelle beträgt: 6 9 A, C akreuze T() T(8) = 9 = C; T() T() = 7 = C Im Itervall [; ] wächst die Temperatur stärker, de T() T(8) = _ 8 = C/h ud T() T() = _ = C/h. v(t) = s (t) = 6 t Mittlere Geschwidigkeit i de erste Sekude: v() + v() = 6 + = m/s Geschwidigkeit der Kugel ach Sekude: v() = 6 = m/s k,7 k = 6_ = _ ; zb k ist die Steigug der Sekate durch die Pukte A( ) ud B( ) A, B, C, D f '() = 6 f '() = e cos 7 f '() = + 8 B ud C sid auszuschließe. Begrüdug B: zb Der Graph der Fuktio f hat im Wedepukt W(,,) egative Steigug, doch laut dieser Ableitugsfuktio wäre sie positiv. Begrüdug C: zb f ist eie Polyomfuktio dritte Grades, f ' muss daher vom Grad sei. C ist eie Gerade, d.h. Grad. 9 Aussage : zb Die erste Ableitugsfuktio hat keie Wedestelle. A6, B, C, D f() H N N W N T f f '( ) =, f ''( ) >, f '( ) <, f ''( ) < A f '(), B g ''(), C h(), D h '(), E g '(), F f(), G g(), H f ''(), I h ''() A, E akreuze VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte
k! ) = ud gibt a, auf wie viele Arte k Elemete aus k!( k)! Elemete ausgewählt werde köe. Dabei ist die Reihefolge uwichtig. Es gilt ( ) = ( ) ud ( ) = ( ). Mit dem Tascherecher erhält ma zb ( ) =. Der Biomialkoeffiziet ist defiiert als ( 6 _ =,6; s =,8; s =,8 7 = ; p =,; μ = p =,; σ = p ( p),77 8 X... Azahl der richtige Atworte, = 8; p =, P(eg. Note) = P(X ) = = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) = 8 =,7 8 + ( 8 ),,7 7 + ( ),,7 6 + ( P(pos. Note) = P(X > ) = P(X ),9 ), = =, P(X = ) = ( ), = =,6 P(X = ) = =, 6 P(X = ) = =, 6 P(X = ) = =,6 P(X = ) = =, 9 P(X = ) = ( LÖSUNGEN POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN zu de Buchseite 8 9 { 8 { 8 8 ),,7,89 { 6 P(X = k) k A, D, E akreuze Rud 9 % dieser Spie sid zwische,7 cm ud,68 cm groß. Rud % dieser Spie sid kleier als,7 cm. Rud % sid größer als, cm. 6 VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK, 7. KLASSE. Alle Rechte vorbehalte
LEHRPLAN 7. KLASSE Algebraische Gleichuge ud komplee Zahle Abspalte reeller Liearfaktore vo Polyome Reflektiere über die Zweckmäßigkeit des Erweiters der reelle Zahle Reche mit komplee Zahle Keelere des Fudametalsatzes der Algebra Differetialrechug Defiiere des Differetialquotiete (Äderugsrate), ausgehed vom Differezequotiete (mittlere Äderugsrate), Deute dieser Begriffe als Sekatesteigug bzw. Tagetesteigug, weiteres Deute i außermathematische Bereiche Kee des Begriffes Ableitugsfuktio, Bereche vo Ableituge elemetarer Fuktioe Deute der zweite Ableitug i ier- ud außermathematische Bereiche Herleite vo Differetiatiosregel zur Ableitug vo Polyomfuktioe, Kee weiterer Differetiatiosregel (sofer sie für Fuktiosutersuchuge verwedet werde) Utersuche eifacher ud im Hiblick auf Aweduge sivoller Fuktioe bezüglich Mootoie ud Krümmugsverhalte, Ermittel vo Etrem- ud Wedestelle Löse vo Etremwertaufgabe Präzisiere eiiger Grudbegriffe ud Methode der Differetialrechug (isbesodere des Begriffes Grezwert) uter Eibeziehug des Begriffes Stetigkeit Keelere weiterer Aweduge der Differetialrechug Nichtlieare aalytische Geometrie Beschreibe vo Kreise, Kugel ud Kegelschittsliie durch Gleichuge Scheide vo Kreise bzw. Kegelschittsliie mit Gerade, Ermittel vo Tagete Beschreibe vo ebee Kurve durch Parameterdarstelluge Beschreibe vo Raumkurve ud Fläche durch Parameterdarstelluge Stochastik Kee der Begriffe diskrete Zufallsvariable ud diskrete Verteilug Kee der Zusammehäge vo relative Häufigkeitsverteiluge ud Wahrscheilichkeitsverteiluge; vo Mittelwert ud Erwartugswert sowie vo empirischer Variaz ud Variaz Arbeite mit diskrete Verteiluge (isbesodere mit der Biomialverteilug) i awedugsorietierte Bereiche VERITAS-Verlag, Liz. DURCHSTARTEN ZUR AHS-MATURA MATHEMATIK. Alle Rechte vorbehalte 7