2.2 Shltfunktionen und ihre Drstellung 2.2. Booleshe Alger Booleshe Alger und physiklishe Relität Symole der Shltlger Die Booleshen Postulte Die Booleshen Theoreme De Morgn shes Theorem Entwurf einfher Shltungen Beispiele ( Lorüung) Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 45 2.2. Booleshe Alger George Boole, ritisher Mthemtiker, 85-864 "The mthemtil nlysis of logi (Alger zur systemtishen Behndlung von Logik) 847, 854 E.V. Huntington (874 is 952) führt 94 eine xiomtishe Aleitung dieser Alger ein (Hrvrd Univ.) 938 leitet Clude Elwood Shnnon (96-2, USA, Bell Ls) eine 2-wertige Booleshe Alger zur Beshreiung inärer Shltung (Shltlger, Swithing Theory) Sinn: Anlyse, Vereinfhung und Synthese von digitlen Shltungen nh definierten Gesetzen George Boole Clude Elwood Shnnon, 96-2, Prof. m MIT Begriffe: Axiom Postult Theorem Urstz, der niht ewiesen (geleitet) werden knn Forderung; uneweisre, er unentehrlihe Annhme Lehrstz Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 46
Booleshe Alger und physiklishe Relität Tehnologie Relis Glsfser Compt Disk CMOS Shltkreis TTL-Shltkreis Shlter offen Liht us Keine Vertiefung,5 Volt,8 Volt Shlter geshlossen Liht n Vertiefung 3,5 5 Volt 2 5 Volt Low: High: Signl im niedrigeren Spnnungsereih Signl im höheren Spnnungsereih Zuordnung von Low und High zu einem logishen / ooleshen / digitlen Wert: Positive Logik: Low = High = (intuitive, ntürlihe Festlegung) Negtive Logik : Low = High = (weniger geräuhlih) Symol eines digitlen Shltkreises (Gtters): Eingänge Ausgng Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 47 Symole der Shltlger, Drstellung nh DIN/ISO Zeihen Benennung = = Definitionen Shrei- und Sprehweise Symol Negtion = = y = y = y = ā = ; (, \, /) niht y Konjunktion, UND/AND y = y = ; und y Disjunktion, ODER/OR y = y = ; oder y NAND y = y = ; nnd y NOR y = y = ; nor y Äquivlenz, (E)NOR Antivlenz, (E)OR y = y = y = ; äquivlent ENOR y = ; ntivlent EOR = = y y Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 48
Symole der Shltlger, US - Drstellung Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 49 Definition: Grundlge der Booleshen Alger ist die Menge A mit den Elementen und, in der die zweielementigen Opertionen "+" und " " (zw. " " und " ") definiert sind, so dss gilt: Postulte (Annhmen): P: Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Die Booleshen Postulte = oder = mit A P2: = P3: + = P4: + = P5: = P6: = = P7: + = + = Unter Hernziehung der Booleshen Postulte (Annhmen, Vorussetzungen) können jetzt die Booleshen Theoreme (Lehrsätze) ufgestellt werden. Die Rihtigkeit dieser Lehrsätze knn jederzeit mit Hilfe der Postulte üerprüft werden (z.b. unter Verwendung von Whrheitstfeln). Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 5
Ein Theorem in der Booleshen Alger ist eine Regel, die eine fundmentle Beziehung zwishen den Booleshen Vrilen zum Ausdruk ringt. Die Anwendung der Theoreme wird es dnn erluen, logishe Shltungen in vielfältiger Form zu mnipulieren zw. zu vereinfhen. Im folgenden werden die Theoreme vorgestellt: In lgerisher Form und Die Booleshen Theoreme. Kommuttivgesetz (Vertushungsgesetz) 2. Assozitivgesetz (Zusmmenfssungsgesetz) 3. Distriutivgesetz (Verteilungsgesetz) 4. Idempotenzgesetz (Identitätsgesetz) 5. Asorptionsgesetz (Vershmelzungsgesetz, Redundnzgesetz) 6. Null- und Eins-Gesetz 7. Komplement-Gesetz 8. De Morgnshes Theorem ls prktishe Anwendung eim Shltungsentwurf mit Logik-Gttern. Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 5 Kommuttivgesetz (Vertushungsgesetz) Disjunktion und Konjunktion sind kommuttiv Algerishe Form: + = + = Interprettion: Es ist offenr gleih, in welher Reihenfolge die Vrilen und disjunktiv ("+") zw. konjunktiv (" ") verknüpft werden. Shltungstehnish: Es ist offenr gleih, in welher Reihenfolge die Eingngsvrilen n die Eingänge der ODER- zw. UND-Gtter gelegt werden. Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 52
Assozitivgesetz (Zusmmenfssungsgesetz) Disjunktion und Konjunktion sind ssozitiv Algerishe Form: ( + ) + = + ( + ) ( ) = ( ) Interprettion: Es ist offenr gleih, in welher Reihenfolge die Vrilen, und disjunktiv ("+") zw. konjunktiv (" ") verknüpft werden. Shltungstehnish: Jeder Klmmerung, die in der lgerishen Form uftritt, entspriht ei der Gtterimplementierung einer Gttereene Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 53 Distriutivgesetz (Verteilungsgesetz) Die Funktionen "Disjunktion" und "Konjunktion" sind distriutiv (verteilend), d.h. "ODER verteilt sih üer "UND, "UND" verteilt sih üer "ODER". Algerishe Form: + ( ) = ( + ) ( + ) ( + ) = ( ) + ( ) = + Interprettion: Der Ausdruk " + ( )" ist genu dnn whr, wenn "" whr ist oder wenn "" und "" eide whr sind. "( + ) ( + )" ist genu dnn whr, wenn jeder der eiden Klmmerusdrüke whr ist. Shltungstehnish: Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 54
Idempotenzgesetz (Identitätsgesetz) Algerishe Form: + = = Interprettion: Die Vrile leit ei disjunktiver zw. konjunktiver Verknüpfung mit sih selst unverändert. Shltungstehnish: Die Gttershltung ist logish redundnt. Sie verzögert llerdings ds Signl "" und ht dmit tehnishe Bedeutung. Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 55 Asorptionsgesetz (Vershmelzungsgesetz, Redundnzgesetz) Algerishe Form: + ( ) = ( + ) = Interprettion: für " + ( )": Ist "" whr, dnn ist der Wert von "" irrelevnt. Ist jedoh "" flsh, knn ( ) niht mehr whr werden. Der Ausdruk ist lso vollständig durh "" estimmt, "" wird "soriert". für " ( + )": Ist "" whr, dnn ist uh "( + )" whr, d.h. der gesmte Ausdruk ist whr. Ist "" flsh, so ist der gesmte Ausdruk flsh. Der Ausdruk ist lso vollständig durh "" estimmt, "" wird "soriert". Shltungstehnish: Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 56
Null- und Eins-Gesetz Algerishe Form: + = + = = = Shltungstehnish: Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 57 Komplement-Gesetz Algerishe Form: + = = Interprettion: Zu jedem Element "" existiert ein komplementäres Element " ". " " wird Komplement von "" gennnt Shltungstehnish: Dmit knn eine oder eine erzwungen werden. Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 58
Dulität: Jedes Gesetz der Shltlger leit gültig, wenn und sowie und vertusht werden Algerishe Form: Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik Augustus De Morgn *86 in Indien 87 in Englnd Interprettion: Die Umwndlung von NOR- zu UND-Shltungen zw. von NAND- zu ODER-Shltungen ist unmittelr möglih. Shltungstehnish: De Morgn shes Theorem ( ( + NOR UND ) NAND ODER ) = = Ds De Morgnshe Theorem ht sehr große Bedeutung für die Shltungstehnik, insesondere ei der Trnsformtion von Shltungen. + NOR NAND SU-TGI2.ppt Folie 59 Auslik Shltungsentwurf Ein us "UND", "ODER" und "NOT" geildetes System wird uh ls "vollständiges Logik-System" ezeihnet. Zur Relisierung jeder elieigen Shltung werden nur diese Funktionen enötigt. Dher knn mn sih eim Entwurf von Shltungen uf einige wenige Buteile eshränken. Ds führt zur Einführung so gennnter "universeller Logik-Blöke", die wiederum die Grundlge für die "Progrmmierre Logik" ilden. Ein vollständiges System knn sogr durh nur eine einzige Funktion voll estimmt werden. Funktionen, die diese Eigenshft esitzen sind die negierten Formen der Funktionen "UND" zw. "ODER", die ls "NAND" (Not-AND) zw. "NOR" (Not-OR) ezeihnet werden. NAND = Sheffer-Funktion NOR = Peire-Funktion Hinweis: Weder NOR noh NAND sind ssozitiv! Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 6
Beweis: Vollständiges System m Bsp. der Sheffer-Funktion (NAND) Negtion UND ODER f () = = ( ) f(,) = = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) f(,) = ( ) ( ) f(,) = + = + = f(,) = ( ) ( ) Drüer hinus können uh die notwendigen Konstnten "" und "" mit Hilfe der Sheffer- (oder Peire-) Funktion relisiert werden: D uh die eiden Konstnten erzeugt werden, spriht mn von einem "strk vollständigem System" In der Elektronik lssen sih m einfhsten die NAND- und NOR-Funktionen relisieren z.b. NAND in TTL-Logik, NOR in ECL-Logik, NAND und NOR in CMOS-Logik TTL = Trnsistor-Trnsistor-Logik ECL = Emitter Coupled Logi, Emittergekoppelte Logik CMOS = Komplementäre MOS-Logik, MOS = Metl Oxide Semiondutor Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 = ( ) = = ( ) Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 6 Aus druktehnishen Gründen leere Folie! Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 62
2.2.2 Spezifishe Shltnetze und ihre Veresserung 2.2.2. Entwiklung komintorisher Shltungen Grundlgen komintorisher Shltungen Vorgehen ei der Entwiklung komintorisher Shltungen Beispiel: Qudrierer 2.2.2.2 Wihtige komintorishe Grundshltungen Addierer Hlddierer Vollddierer Addierwerk Sutrhierwerk Dekoder Multiplexer Komprtor (Vergleiher) 2.2.2.3 Krnugh-Veith (KV) Digrmm Grundlgen des Verfhrens Minimierung ei mehreren Ausgängen Shltungsentwurf mit dem KV-Digrmm us Dekoder zur Anzeige von BCD-Zhlen Üungseispiel Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 63 Komintorishe Shltung (Shltnetz, Gttershltung): Ausgngswert = f (Eingngswerte) Enthält keine Speiherelemente Funktionseshreiung durh Funktionstelle (Whrheitstelle, Wertetelle) Beispiel: 2.2.2. Entwiklung komintorisher Shltungen Sequentielle Shltung (Shltwerk): Ausgngswert = f (Eingngswerte, Zeit) Enthält Speiherelemente ( Gedähtnis ) Funktionseshreiung durh Zustndstelle, Zustndsgrf Beispiel: (=) (>) (<) ( ) ( ) = ( + ) = = (>) ( ) = ( + ) = = (<) ( + ) = (=) Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 64
Stz: Verfhren: Vereinfhung von logishen Shltungen Mit den zwei Verknüpfungen und + sowie der Negtion knn mn lle Shltfunktionen erzeugen Disjunktive oder konjunktive Normlform erzeugen (liefert oft komplizierte Ausdrüke) Anwendung von Methoden zur systemtishen Vereinfhung Beispiel für die Drstellung einer logishen Shltung: Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 65 Entwiklung komintorisher Shltungen Vorgehen:. Prolemerfssung mittels Funktionstelle (Whrheitstelle, Wertetelle, Shltelegungstelle - SBT) 2. Funktionsgleihungen ufstellen 3. Shltungsvereinfhung (Minimierung) mit geeigneten Verfhren (lgerish, KV-Digrmm, Quine-MCluskey - Verfhren, rehnerunterstützt) 4. Shltungsrelisierung, Buteileuswhl Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 66
Drstellung logisher Funktionen Minterm (Vollkonjunktion): Konjunktion, in der lle Vrilen (ejht oder negiert) einer Funktion vorkommen z.b. ( ) oder ( ) Mxterm (Volldisjunktion): Disjunktion, in der lle Vrilen (ejht oder negiert) einer Funktion vorkommen z.b. ( ) oder ( ) Normlform (NF): Jeder Teilusdruk (zw. jede Klmmer) der Shltfunktion enthält lle Eingngsvrilen (ist lso Min- oder Mxterm) Formle Ange der Minterme und Mxterme für drei Vrilen: Minterm für y= Mxterm für y= + + + + + + + + + + + + + + + + Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 67 DNF: Disjunktive Verknüpfung derjenigen Minterme (d.h. Zeilen (sum of produts) der Wertetfel), für die die Shltfunktion den Wert nnimmt Regel: Disjunktive Normlform (DNF) DNF = p + p 2 +...p n p i = k k 2...k n x j, flls in dieser Zeile eine in Splte j steht mit k j = x j, flls dort eine steht Beispiel: y = x x2 x3 + x x x + x 2 3 x2 x3 Anmerkung: Die disjunktive Normlform ist günstig, wenn in der Wertetelle für y wenige stehen. Sonst ist die konjunktive Normlform vorzuziehen. x x2 x3 y = f(x,x2,x3) Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 68
Konjunktive Normlform (KNF) KNF: Konjunktive Verknüpfung derjenigen Mxterme (d.h. Zeilen (produt of sums) der Wertetfel), für die die Shltfunktion den Wert nnimmt Regel: KNF = s s 2...s n s i = k + k 2 +...k n mit k j = x j, flls in dieser Zeile eine in Splte j steht x j, flls dort eine steht Beispiel: y = (x +x 2 +x 3 ) (x +x 2 +x 3 ) (x +x 2 +x 3 ) (x +x 2 +x 3 ) (x +x 2 +x 3 ) x x2 x3 y = f(x,x2,x3) Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 69 Beispiel: Algerishe Erzeugung der DNF Gegeen sei in disjunktiver unvollständiger Form: y = + +. Shritt y = + + + = 2. Shritt y = + + + = (die ergänzende Konjunktion knn weggelssen werden, d sie ereits im ersten Shritt erzeugt wurde) 3. Shritt (Lösung) y = + + + = (die ergänzende Konjunktion knn weggelssen werden, d sie ereits im ersten Shritt erzeugt wurde) Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 7
Minimierung logisher Ausdrüke Ziel: Minimle Anzhl von Eingängen und Größe von Shltgttern Methoden: Algerishe Minimierung der Logikfunktion Algerishe Umformungen, häufiges Hilfsmittel ist ds Asorptionsgesetz: x (x y)=x usw. Grfisher Anstz nh Krnugh-Veith Für kleinere Proleme zur mnuellen Lösung geeignet (mx. 6 Vrile) Algorithmus nh Quine-MCluskey Systemtishes Verfhren für prinzipiell elieig große Ausdrüke Heuristishe Algorithmen ) Erstz des exkten, er ufwändigen Algorithmus von Quine- MCluskey ) Proierverfhren, die shneller (mit weniger Rehhenleistung und Speiheredrf) minimle oder fst minimle Lösungen erreihen Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 7 Algerishe Minimierung Verfhren: Gesetze der Booleshen Alger shrittweise so oft nwenden, is ein minimler Ausdruk drgestellt ist Nhteile: Keine systemtishe Vorgehensweise Ergenis ist hängig von der Erfhrung und Geshiklihkeit des Designers Ist nur für wenige Vrile und üershure Ausdrüke nwendr Beispiel: DNF: y = + + +. Shritt: Anwendung Distriutivgesetz ( + ) = ( ) + ( ) y = [ ( + ) ] + [ ( + ) ] 2. Shritt: Anwendung Komplementgesetz + = y = + Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 72
Beispiel: Qudrierer für 2-stellige Dulzhl Ein Qudrierer für 2-stellige Dulzhl ht die Eingänge:, Ausgänge:,, 2, 3 Funktionstelle: 3 2 Gleihungen für die Ausgänge: = + = = 2 = 3 = Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 73 Aus druktehnishen Gründen leere Folie! Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 74
2.2.2.2 Wihtige komintorishe Grundshltungen Addierer Hlddierer Vollddierer Addierwerk Sutrhierwerk Dekoder Multiplexer Komprtor (Vergleiher) Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 75 Addierer Aufge: Zwei Dulzhlen ddieren Beispiel: + (Üertrg) Lösungsshritte: Hlddierer: Zwei einstellige Dulzhlen ddieren; Ergenis ist Summenit und Üertrgsit (Crry-Bit) Vollddierer: Zwei einstellige Dulzhlen und eingehendes Üertrgsit ddieren; Ergenis ist Summenit und (usgehendes) Üertrgsit Addierwerk: Zwei mehrstellige Dulzhlen ddieren (Komintion von Vollddierern) Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 76
Aufge: Addiert zwei einstellige Dulzhlen Erzeugt ls Ergenis ein - Summenit (S) - Üertrgsit zw. Crry-Bit (C) Funktionstelle: DNF: S = + C = Hlddierer Keine Vereinfhung mit KV-Digrmm möglih S C Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 S C Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 77 Hlddierer - Shltung Direkte Umsetzung in eine Shltung: S C Vereinfhung mit OR (Antivlenz): S = + = = S C Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 78
Aufge: Addiert zwei einstellige Dulzhlen mit eingehendem Üertrgsit ( = Crry in), d.h. es sind drei Bit zu ddieren Erzeugt ls Ergenis ein - Summenit (S) - Üertrgsit zw. Crry-Bit (C) Funktionstelle: S C Betrhtungen für ds Summenit S: DNF: S = + + + KV-Digrmm: keine Vereinfhung möglih (eenso mit dem Verfhren nh Quine MCluskey ( Üung!) Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Vollddierer Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 79 Vollddierer - Shltung Direkte Umsetzung in eine Shltung: S sehr ufwändig, komplex essere Lösung suhen Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 8
Vollddierer Optimierung für ds Summenit Algerishe Vereinfhung: Ziel: Nur OR Gtter verwenden S = + + + = ( + ) + ( + ) mit x y + xy = x y und x y + xy = (x y) = x y wird S = ( ) + ( ) = ( ) S = Shltung für ds Summenit: = = (OR, Antivlenz) (NOR, Äquivlenz) x y OR NOR S Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 8 Betrhtungen für ds Crry-Bit C: Funktionstelle: S DNF: C = + + + KV-Digrmm: Vollddierer Optimierung für ds Crry-Bit Anmerkung: Es wird nur eine Vereinfhungsmöglihkeit im KV-Digrmm in Anspruh genommen, d sih der Ausdruk dnn esser vereinfhen lässt! C C = + + = ( + ) + C = ( ) + Shltung für ds Crry-Bit: = C Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 82
Vollddierer optimierte Shltung Zusmmenu der Shltungen für Summenit und Crry-Bit: = = S C Vergleih mit Hlddierer: = = S C Der Vollddierer ist us zwei Hlddierern und einem ODER-Gtter ufgeut. Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 83 Addierwerk - Ziel: Zwei mehrstellige Dulzhlen ddieren Erinnerung: Addition von Dulzhlen + (Üertrg) Verfhren: Bits der eiden Opernden und ggf. Crry-Bit ddieren; für die unterste Stelle ist ds eingehende Crry-Bit immer Null Shltungsrelisierung: Aneinnderreihung von Vollddierern (für die Stelle Null würde uh ein Hlddierer reihen) Den zuvor entwikelten Vollddierer knn mn uh nders drstellen: = = S C i C out S i i C in Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 84
Addierwerk - 2 Prllelddierwerk (Ripple Adder): n n C out C in C out C in C out C in S n S S Vorteil: - Einfhe Shltung - Modulrer Aufu (Vollddierer n Stelle erlut Kskdierung ds Crry-in knn dnn er oder sein) - Theoretish elieig usur Nhteil: Lngsm, d sih die Ausführungszeiten der einzelnen Vollddierer summieren Lösung: Crry-Look-Ahed-Addierwerk (shneller, er ufwändiger) Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 85 Prinzip: Zusmmenfssung von z.b. ht Vollddierern zu einem Addierwerk Crry-Bit wird dem drüer liegenden Addierwerk zur Verfügung gestellt, evor die Addition vollständig usgeführt ist Für ds Crry-Bit des Vollddierers wr: C = + ( ) Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Addierwerk Crry-Look-Ahed Mit = G = rry generte -Signl (wenn, eide sind, wird ungehtet des Crry-in ein Crry-out erzeugt) und = P = rry propgte -Signl knn mn verllgemeinert shreien C i+ = G i + P i C i und sukzessive entwikeln C = G + P C C 2 = G + P C = G + P (G + P C ) = G + P G + P P C C 3 = G 2 + P 2 C 2 = G 2 + P 2 (G + P G + P P C ) = G 2 + P 2 G + P 2 P G + P 2 P P C usw. Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 86
Addierwerk Shltung für Crry-Look-Ahed Shltung: usw. C 3 P 2 G 2 Vorteil: Hohe Beshleunigung des Addierers P G P G C C 2 C Nhteile: Aufwnd nimmt mit zunehmenden Addierstufen sehr strk zu (vergl. sukzessive Entw.) Teuer, z.b. für 32 oder 64 Bit Addierer Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 87 Sutrhierwerk Sutrktion zweier Dulzhlen: x y z= x y Zweierkomplement des Sutrhenden ilden, z.b.: (er Kompl.) + = (2er Kompl.) Sutrktion ist dnn die Addition des 2er Komplement z = y z = y Shltung für einen 4-Bit Addierer / Sutrhierer: 3 3 2 2 = = = = Steuerleitung: C out C in C out C in C out C in C out C in = Addieren = Sutrhieren S 3 S 2 S S Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 88
Dekoder Funktion: Ein Dekoder ermittelt us n Eingängen, die einen numerishen Wert repräsentieren, einen entsprehenden Ausgng Ein typishes Beispiel dfür ist die Wndlung einer Binärzhl in einen " us n"-code. Dekoder werden häufig zur Auswhl (Selektierung, Adressierung) von integrierten Busteinen eingesetzt Beispiel: us 4 Dekoder (uh 2 zu 4 Dekoder gennnt); vergl. us Dek.! Funktionstelle: I I I I I I O 3 O 2 O O Shltung: O 3 O 2 DNF: O 3 = I I O 2 = I I I O O = I I O = I I I O Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 89 Beispiel: Adressdekoder Beispiel: Es seien 8 gleihrtige Speiheränke zu je KByte vorhnden. KByte = 24 Byte = 2 Byte, lso Bit ( is 9 ) (mit den Bit wird odiert, welhes der 24 Byte ngesprohen wird) 8 = 2 3 Speiheränke, lso 3 Bit ( is 2 ) (mit den drei Adressits is 2 wird der Chip estimmt, uf den zugegriffen werden soll). Ds wird mit einem ( us 8)-Dekoder relisiert. Jeder Chip ht einen zusätzlihen Eingng (Chipselet). 2 2 CS Bnk CS Bnk CS Bnk 7 Anmerkung: Dekoder: Bit-Anzhl Eingngsodewort < Bit-Anzhl Ausgngsodewort Enoder: Bit-Anzhl Eingngsodewort > Bit-Anzhl Ausgngsodewort Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 9
Multiplexer (MU): Multiplexer Mehrere Eingngsports, einen Ausgngsport SELECT (S) Leitungen wählen denjenigen Eingngsport us, dessen Werte m Ausgngsport ersheinen sollen Ein Multiplexer verhält sih lso wie ein Umshlter, welher durh einen Code (Dulzhl) n den SELECT Eingängen den Ausgngsport mit einem der Eingngsports verindet. d d 2 y DIN-Symol: (mit Enle) d n Anders usgedrükt: Die n Eingngssignle s i dienen dzu, eine der 2 n Eingngsleitungen d k uf den Ausgng y durhzushlten, diesen Eingng lso zu "selektieren". Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 9 Beispiel: 4 zu Multiplexer (MU) Beispiel: Funktionstelle: 4 zu MU S S O I I I 2 I 3 I 3 S i = Steuereingänge I i = Dteneingänge O = Dtenusgng S S I I O = S S I + S S I + S S I 2 + S S I 3 I 2 I O I S S Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 92
Anwendungseispiel für Multiplexer Anwendungen: Dtenüertrgung, Messwerterfssung. Dei findet eine Prllel-Seriell- und eine Seriell-Prllel-Umsetzung sttt. Es sind zwei Fälle zu untersheiden: Die Konzentrtion von n Knälen uf einen Knl Die Verteilung von einem Knl uf n Knäle: Demultiplexer Multiplexer Demultiplexer Multiplexer Demultiplexer SRC DST SRC DST SRC SRC 2 DST DST 2 SRC SRC 2 MU Leitung DMU DST DST 2 SRC n DST n SRC n DST n SRC SELECT DST SELECT SRC SELECT DST SELECT SRC = Soure, Quelle, Sender DST = Destintion, Ziel, Empfänger Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 93 Komprtor Komprtor (Vergleiher): Ein n-bit-zhlenkomprtor vergleiht die Ziffernstellen zweier n-bit Dulzhlen und stellt ds Ergenis m Ausgng zur Verfügung. Anwendung: Z.B. in Rehnern zum Aprüfen von Sprungedingungen (ufwändige Relisierung; dher werden 2-Bit-Komprtoren kskdiert). Ergenis eines Vergleihs: ) = ( gleih ) ) > ( größer ) ) > ( kleiner ) A > B Einfhe inäre Vergleihsshltungen: A < B ( + ) = ( ) = A = B Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 94
Vergleih zweier -Bit-Werte: Funktionstelle: = > < Anwendungseispiel: Komprtor : y = + = = ( ) : y = : y = Shltungsrelisierung: ( ) Vorteil dieser Lösung: Grundelement für Mehrit-Komprtor. Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 (=) (>) (<) Tehnishe Grundlgen der Informtik ( ) = ( + ) = = (>) ( + ) = (=) ( ) = ( + ) = = (<) SU-TGI2.ppt Folie 95 2.2.2.3 Vereinfhungsmethode nh Krnugh-Veith Murie Krnugh: Ameriknisher Elektroingenieur, der Anfng der 95er Jhre ei den Bell Ls die Vereinfhungsmethode entwikelt ht. (ge. 924 in den USA, reitete in den Bell Ls und 97 ei IBM) Murie Krnugh: "The Mp Method for Synthesis of Comintionl Logi Ciruits. Trnstions of the AIEE, Vol. 72, No. 9 (953), 593-599 Edwrd W. Veith: Ameriknisher Mthemtiker, der ungefähr gleihzeitig eine gnz ähnlihe Methode mit etws nderer grphisher Drstellung erfunden ht. E. W. Veith: "A hrt method for simplifying truth funtions. My 952, Pro. Asso. for Computing Mhinery, Pittsurgh Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 96
Krnugh-Veith-Methoden Zwei Methoden: Minterm-Methode Vereinfhung durh Ausnutzen von DNF: + = ( + ) = Vorgehen: Funktion in disjunktive Normlform ringen KV-Digrmm konstruieren Minterme mit Ergenis ins KV-Digrmm üertrgen Benhrte Splten- und Zeilenfelder mit durhgängig zusmmenfssen (immer 2 oder 4 oder 6 usw.) Produktterme disjunktiv zusmmenfssen Mxterm-Methode Vereinfhung durh Ausnutzen von KNF: ( + ) ( + ) = + ( ) = Vorgehen: Funktion in konjunktive Normlform ringen KV-Digrmm konstruieren Mxterme mit Ergenis ins KV-Digrmm üertrgen Benhrte Splten- und Zeilenfelder mit durhgängig zusmmenfssen (immer 2 oder 4 oder 6 usw.) Summenterme konjunktiv zusmmenfssen Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 97 Konstruktion des KV-Digrmms Verfhren: Eine einzelne Vrile wird durh ein Feld repräsentiert; ein enhrtes Feld steht für die Negtion der Vrilen Für jede weitere Vrile wird ds Digrmm durh Hinzunhme der neuen Vrilen gespiegelt, und zwr wehselnd n der unteren wgerehten Knte und der rehten senkrehten Knte d d d d d d d d d d d d d d d d d d d Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 98
Minimierungsidee: D horizontl und vertikl (uh rndüerlppend) enhrte -Felder nur in einer Vrilen differieren, können enhrte -en (Minterme) gemäß dem Asorptionsgesetz (Term Vrile) + (Term Vrile) in einem einzigen Term kominiert werden ( Nhrshftseziehung ) Vorgehen:. Mrkierung ller mximl großen rehtekigen Blöke mit -en ( Nhrshftseziehung ehten) 2. Bildung der zughörigen konjunktiven Terme - Vrile immer in Mrkierung Vrile im Term komplementiert - Vrile immer in Mrkierung Vrile im Term unkomplementiert - Vrile und in Mrkierung Vrile im Term weglssen 3. Disjunktive Verknüpfung der konjunktiven Terme minimle Lösung Beispiel: y = ( )+( )+( ) Minimierung mit dem KV-Digrmm y = + Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 99 Minimierung mit dem KV-Digrmm für drei Vrile Beispiel: y = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) y = ( ) + ( ) + ( ) Räumlihe Anordnung eines KV-Digrmms für drei Argumente,,: Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie
Minimierung mit dem KV-Digrmm für vier Vrile Beispiel: y = ( d) + ( d) + ( d) + ( d) d y = d Anmerkung: Für Don t Cre Eingngskomintionen ist die Ausgngsfunktion niht definiert. d d Die Belegung der Don t Cres erfolgt dnn so, dss die mrkierten Rehteke möglihst groß werden. Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie Bezeihnungen eim Krnugh-Digrmm Impliknt Feldverund Primimpliknten (PI): Bezeihnung für die so groß wie möglih gewählten Blöke von Einsen im Krnugh-Digrmm. Essentielle PI: Primimpliknten, die mindestens eine Eins enthlten, die sonst von keinem nderen Blok gedekt ist. Die minimle Lösung enthält zumindest die essentiellen Primimpliknten. Niht-essentielle PI: Primimpliknten, die oige Bedingung niht erfüllen. Nur eine Teilmenge, die lle Einsen dekt, muss erüksihtigt werden (mehrere Lösungen) Redundnte PI: Niht essentielle PI, die nur ereits von essentiellen PI gedekte Einsen mrkieren. Üerflüssig. Beispiel: f = ( d) + ( d) + ( d) + ( d ) + ( d) + ( d) + ( d ) + ( d) + ( d ) + ( d ) Essentielle PI:, d Niht essent. PI:, d, d Redundnter PI: d Minimle Lösung: f = ( ) + ( d) + ( d ) d Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 2
Zusmmenfssung KV-Digrmm Grfishes Verfhren zur Minimierung Boolesher Ausdrüke Üersihtlih, gut nhvollziehr Führt systemtish zum Ziel Ist für is zu mximl sehs Vrilen geeignet Ist für is zu vier Vrilen mnuell prktikel Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 3 Beispiel: -us--dekoder - Aufge: Dekodierung und Anzeige von BCD-Zhlen Eine von Lmpen, die mit den Ziffern 9 eshriftet sind, soll mit einer BCD-Zhl ngesprohen werden, d.h. die entsprehende Lmpe soll eingeshltet werden. 2 3 4 5 6 7 8 9 Vorgehen:. Funktionstelle ufstellen 2. Disjunktive Normlform für die Ausgänge ufstellen (uh für Don t Cre) 3. Minimierung der Funktion (z.b. KV-Digrmm) 4. Lösung ufshreien 5. Shltung erstellen (und Buteiluswhl) Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 4
Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 SU-TGI2.ppt Folie 5 Tehnishe Grundlgen der Informtik Anmerkung: D immer nur ein Term den Ausgng estimmt, sind nur ufgrund der Don t Cre Vereinfhungen zu erwrten 5 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 j i h g f e d A B C D BCD Ausgänge Eingänge Beispiel: -us--dekoder 2 (Funktionstelle) Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 SU-TGI2.ppt Folie 6 Tehnishe Grundlgen der Informtik Beispiel: -us--dekoder Disjunktive Normlform für Don t Cre (Muster für die folgenden Shritte): = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D KV-Digrmm: AB CD Disjunktive Normlform für : = A B C D KV-Digrmm: AB CD Keine Vereinfhung möglih Beispiel: -us--dekoder - 3
Beispiel: -us--dekoder - 4 Beispiel: -us--dekoder Disjunktive Normlform für : = A B C D KV-Digrmm: CD AB Lösung: = A B C Lösungen für die nderen Anzeigen: (Üungsufge) = A B C D d = A B C e = A B C f = A B C g = A B C h = A B C i = A D j = A D Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 7 Beispiel: -us--dekoder - 5 Shltung eines BCD in -us--dekoders: d e f g h i j A B C D Fhereih VI - Informtik und Medien Linnemnn, SoSe 26 Tehnishe Grundlgen der Informtik SU-TGI2.ppt Folie 8