Quantitatives Risikomanagement

Quantitatives Risikomanagement Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer von Jan Hahne und Wolfgang Tischer -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 1

Agenda 1. Einführung in die Themenstellung 2. Grundlagen: Copula 3. Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung 4. Irrtümer bzgl. Korrelation und Abhängigkeit 5. Fazit -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 2

1. Einführung in die Themenstellung -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 3

1. Einführung in die Themenstellung -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 4

2. Grundlagen: Copula -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 5

2.1 Definition der Copula Grundsätzliche Idee: Modellierung der Abhängigkeit soll zurückgeführt werden auf die gemeinsame Verteilungsfunktion. Gegeben seien: n Zufallsvariablen X 1,, X n sowie deren gemeinsame Verteilungsfunktion F Dann gilt bekanntlich: Fx 1,, x n ) = P X 1 x 1,, X n x n ) Um zur Copula zu gelangen wird der folgende Satz benötigt: Satz 2.1: Sei X eine Zufallsvariable mit zugehöriger Verteilungsfunktion F. Sei weiterhin F -1 die Quantilfunktion zu F, also: F -1 α) = inf { x Fx) α }, wobei α Є 0,1). Dann gilt: 1. Für jede standard-gleichverteilte Zufallsvariable U ~ U0,1) ist F -1 U) ~ F. 2. Wenn F stetig ist, so ist die Zufallsvariable FX) standard-gleichverteilt, also FX) ~ U0,1). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 6

2.1 Definition der Copula Besitzen die X 1,, X n stetige Randverteilungsfunktionen, so kann der Vektor X = X 1,, X n ) nach Satz 2.1 derart transformiert werden, dass jede Komponente eine standard-gleichverteilte Randverteilung besitzt. Die benötigte Transformation T : R n R n bildet x 1,, x n ) auf F 1 x 1 ),, F n x n )) ab, so dass: Fx 1,, x n ) = P F 1 X 1 ) F 1 x 1 ),, F n X n ) F n x n )) = CF 1 x 1 ),, F n x n )) C ist die gemeinsame Verteilungsfunktion des transformierten Vektors F 1 X 1 ),, F n X n )). Man nennt C die Copula des Zufallsvektors X 1,, X n ). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 7

2.1 Definition der Copula Definition 2.1: Eine n-dimensionale Copula ist eine Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors X Є R n, deren Randverteilungen alle 0,1) gleichverteilt sind. Äquivalent zur obigen Definition kann eine Copula definiert werden als Funktion C : [0,1] n [0,1] mit den drei Eigenschaften: 1. Cx 1,, x n ) ist monoton steigend in jeder Komponente x i. 2. C1,, 1, x i, 1,, 1) = x i für alle i Є [0,1]. 3. Für alle a 1,, a n ), b 1,, b n ) Є [0,1] n, mit a i b i gilt: 2 2... i 1 1 i n 1 1) i 1... in C x,..., x ) 0, mit x j1 = a j und x j2 = b j für alle j Є {1,,n}. Die Summe kann interpretiert werden als: Pa 1 X 1 b 1,..., a n X n b n ) 0. 1i 1 ni n -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 8

2.1 Definition der Copula Zusammenfassend kann also festgehalten werden: Die gemeinsame Verteilungsfunktion F enthält vollständige Informationen über die gesamte Abhängigkeitsstruktur zwischen Zufallsvariablen Idee bei Verwendung der Copula: Teile die gemeinsame Verteilungsfunktion F in zwei Komponenten auf. Die eindimensionalen Randverteilungen F 1,, F n Die Copula C Der Copula-Ansatz ermöglicht eine sehr flexible Modellierung: die Verteilung der einzelnen Zufallsvariablen kann getrennt von der Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen festgelegt werden. Die Abhängigkeitsstruktur die zwischen den Zufallsvariablen besteht wird alleine durch die Copula modelliert. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 9

2.2 Der Satz von Sklar Der bedeutendste Satz in Bezug auf Copulas ist der Satz von Sklar. Satz 2.2: 1. Sei F eine multivariate Verteilungsfunktion mit Randverteilungsfunktionen F 1,, F n. So existiert eine Copula C : [0,1] n [0,1], s.d. für alle x 1,, x n Є R gilt: Fx 1,, x n ) = CF 1 x 1 ),, F n x n )). Die Herleitung wurde oben bereits gezeigt. Falls F 1,, F n stetig sind, so ist die Copula C sogar eindeutig bestimmt. 2. Seien nun umgekehrt eine Copula C sowie die eindimensionalen Verteilungsfunktionen F 1,, F n gegeben, dann ist die durch: Fx 1,, x n ) = CF 1 x 1 ),, F n x n )) definierte Verteilungsfunktion F eine multivariate Verteilung mit den Randverteilungen F 1,, F n. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 10

2.2 Der Satz von Sklar Interpretation der beiden Aussagen des Satzes von Sklar: Erster Teil des Satzes: Eine beliebige multivariate Verteilung lässt sich in ihre Randverteilungen und in eine Copula aufteilen.für stetige Randverteilungen ist die Copula dabei eindeutig. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 11

2.2 Der Satz von Sklar Der Satz von Sklar gibt jedoch lediglich an, dass diese Überführung möglich ist. Wie dies konkret umgesetzt werden kann wird nicht deutlich. Es ist aber folgendermaßen vorzugehen: Bei bekannter multivariater Verteilungsfunktion F können die eindimensionalen Randverteilungen F 1,, F n bestimmt werden. Sind nun die Zufallsvariablen X 1,, X n mit zugehörigen Verteilungsfunktionen F 1,, F n bekannt. Sei weiterhin u i = PX i x i ) = F i x i ) und daher u i Є [0,1] für alle i Є {1,, n}, so folgt: Cu 1,, u n ) = FF 1-1 u 1 ),, F n -1 u n )). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 12

2.2 Der Satz von Sklar Interpretation der beiden Aussagen des Satzes von Sklar: Zweiter Teil des Satzes: Aus n gegebenen einzelnen Verteilungen F 1,, F n und einer Copula C kann eine gemeinsame Verteilungsfunktion F konstruiert werden, welche die F 1,, F n als Randverteilungen besitzt. Umsetzung: Setze die F 1,, F n in die Copula C ein. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 13

2.3 Invarianz unter streng monoton steigenden Transformationen Copulas besitzen eine Eigenschaft, die für praktische Anwendungen sehr nützlich ist: Satz 2.3: Sei C eine Copula zu X 1,, X n ). Dann ist C für alle streng monoton steigenden stetigen Transformationen T 1,, T n ebenfalls die Copula zu T 1 X 1 ),, T n X n )). Erläuterung des Vorteils dieser Eigenschaft an einem Beispiel: Die Abhängigkeit von Verlusten mehrerer Einzelrisiken sind in der Einheit Euro durch eine Copula C modelliert. Übergang von Euro zu Dollar: streng monoton steigende Transformation. Das Modell in Dollar-Beträgen besitzt dieselbe Copula C wie das Euro- Modell. Achtung: Die Randverteilungen, die die Verteilungen der Einzelrisiken beschreiben müssen in der Regel an die neuen Skalen angepasst werden. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 14

2.4 Beispiele für Copulas Hier werden zwei klassische Beispiele für Copulas vorgestellt werden. Betrachtung im 2-dimensionalen, d.h. gegeben sind: Zwei Zufallsvariablen X und Y mit Verteilungsfunktionen F 1 und F 2 Sei u 1 = PX x 1 ) = F 1 x 1 ) bzw. u 2 = PY x 2 ) = F 2 x 2 ), also u 1,u 2 Є [0,1]. Wie oben gezeigt, gilt: Cu 1, u 2 ) = FF 1-1 u 1 ), F 2-1 u 2 )) *) -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 15

2.4.1 Die Gauß-Copula Randverteilungen F 1 und F 2 sind univariate Normalverteilungen. Die Verteilungsfunktionen werden mit φ bezeichnet. F ist Verteilungsfunktion der bivariaten Normalverteilung N 2 0,ψ). Sie wird hier mit φ ρ bezeichnet. Gemäß *) ergibt sich die Gauß-Copula als: C ρ Ga u 1, u 2 ) = φ ρ φ -1 u 1 ), φ -1 u 2 )) Sind anders herum die Gauß-Copula und die zwei normalverteilten Risiken X und Y mit den Verteilungsfunktionen F 1 und F 2 und Korrelationskoeffizient ρ gegeben, ergibt sich: Fx 1, x 2 ) = C ρ Ga F 1 x 1 ), F 2 x 2 )) Die Gauß-Copula ist genau diejenige Copula, die mehrere univariate Normalverteilungen zu einer multivariaten Normalverteilung zusammenführt. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 16

2.4.2 Die Gumbel-Copula Gegeben ist ein Parameter Θ Є [0,1]. Die Gumbel-Copula ist dann gegeben als: C Θ Gu u 1, u 2 ) = exp - - log u 1 ) 1/Θ + - log u 2 ) 1/Θ )) Θ ) Modelliert man Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen mit der Gumbel-Copula kann durch den Parameter Θ jede positive Abhängigkeitsstruktur zwischen Unabhängigkeit Θ = 1) und perfekter Abhängigkeit Θ 0) abgedeckt werden. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 17

3. Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 18

3. Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz Definitionen und Eigenschaften Unterschiede Vor- und Nachteile -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 19

3.1 Lineare Korrelation Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 20

3.1.1 Definition der linearen Korrelation Das am häufigsten verwendete Maß zur Modellierung von Abhängigkeiten. Idee: Die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Zufallsvariablen in Form einer Maßzahl dem linearen Korrelationskoeffizienten ausdrücken. Definition 3.1: Der Pearsonsche bzw. lineare Korrelationskoeffizient zweier Zufallsvariablen X und Y mit 0 < VarX), VarY) < ) ist definiert als: X, Y ) Cov X, Y ) Var X ) Var Y ) ρx,y) Є [-1,1] ρx,y) = 0: unkorrelierte Zufallsvariablen. Also kein linearer Zusammenhang. ρx,y) = 1: perfekte lineare Abhängigkeit im positiven Sinn. ρx,y) = -1: perfekte lineare Abhängigkeit im negativen Sinn. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 21

3.1.2 Vor- und Nachteile der linearen Korrelation Vorteile der linearen Korrelation: Einfach zu bestimmen nur Berechnung zweiter Momente) Bestimmung der Korrelation von linear transformierten Zufallsvariablen sehr elegant möglich, da für a,c Є \ {0} und b,d Є : Cov ax b, cy d) ac Cov X, Y ) und daher: a c ax b, cy d) X, Y ) a c D.h. insbesondere: lineare Korrelation invariant unter positiven affinen Transformationen. Für sphärische und elliptische Verteilungen kann die gesamte Abhängigkeitsstruktur zweier Zufallsvariablen über die Korrelation beschrieben werden. Zu den elliptischen Verteilungen zählt auch die Normalverteilung daher viele Anwendungsgebiete wo die Benutzung der linearen Korrelation Sinn macht). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 22

3.1.2 Vor- und Nachteile der linearen Korrelation Nachteile der linearen Korrelation: Korrelationskoeffizient ist nur definiert falls eine Verteilung mit endlicher Varianz vorliegt. z.b. Probleme für heavy-tailed Verteilungen). Lediglich Messung der linearen Abhängigkeit. Zwar invariant unter positiven affinen Transformationen aber nicht invariant unter streng monoton steigenden Transformationen T. D.h. ρx,y) ρtx),ty)). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 23

3.1.2 Vor- und Nachteile der linearen Korrelation Die Abbildung fasst das bedeutendste Problem bei der Verwendung der Korrelation als Abhängigkeitsmaß zusammen. Gleiche Randverteilungen Gleiche Korrelation Aber deutlich unterschiedliche Abhängigkeitsstrukturen -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 24

Exkurs: Sphärische und elliptische Verteilungen -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 25

E.1 Sphärische Verteilungen Erweiterung der multivariaten Normalverteilung N n 0,I). Klasse symmetrischer Verteilungen für unkorrelierte Zufallsvariablen mit Mittelwert 0. Definition 3.2: Ein Zufallsvektor X = X 1,, X n ) hat eine sphärische Verteilung, wenn für jede orthogonale Matrix U Є n x n also U U = UU = I n x n ) die folgende Gleichung erfüllt ist: UX = d X² A = d B bedeutet:,,a besitzt dieselbe Verteilung wie B. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 26

E.1 Sphärische Verteilungen Definition 3.3: Für alle t Є n ist die charakteristische Funktion φ : R n einer n-dimensionalen Zufallsvariablen X definiert als: φ X t) = Eexpit X)) Die charakteristische Funktion sphärischer Verteilungen nimmt eine sehr einfache Form an, denn es existiert eine Funktion γ : 0 + 0 +, sodass: φt) = γt t) = γt 1 ² + + t 2 ²). Die Funktion γ wird als charakteristischer Generator der sphärischen Verteilung bezeichnet. Man schreibt daher auch: X ~ S n γ). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 27

E.1 Sphärische Verteilungen Bemerkungen zu sphärischen Verteilungen: 1. Sphärische Verteilungen sind i.a. Verteilungen unkorrelierter nicht jedoch unabhängigker Zufallsvariablen. 2. Die multivariate Normalverteilung ist die einzige Verteilung unter den sphärischen Verteilungen, bei der die Zufallsvariablen auch unabhängig sind. 3. X ~ S n γ) ist äquivalent zu X = d RU, wobei U auf der Einheitskugel S n-1 = { x Є x x = 1 } gleichverteilt ist und R 0 eine von U unabhängige Zuvallsvariable darstellt. Die 3. Bemerkung ermöglicht eine Interpretation sphärischer Verteilungen als n-dimensionale Gleichverteilung auf Umgebungen mit verschiedenen Radien. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 28

E.2 Elliptische Verteilungen Erweiterung der multivariaten Normalverteilung N n μ, ). Klasse symmetrischer Verteilungen mit Mittelwert μ und Kovarianzmatrix. Mathematisch gesehen: affine Transformationen sphärischer Verteilungen. Definition 3.4: Sei eine affine Transformation T : n n mit Tx) = Ax + μ, A Є n x n, μ Є n gegeben. Ein Zufallsvektor X Є n hat eine elliptische Verteilung, falls X = TY), wobei Y ~ S n γ). Die charakteristische Funktion ist gegeben als: mit = AA. φt) = expit μ) γt t), Notation: X ~ E n μ,, γ) -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 29

E.2 Elliptische Verteilungen Bemerkungen zu elliptischen Verteilungen: 1. Die Verteilung von X bestimmt nur μ ŝŷğŝŷěğƶɵőğƌt ĞŝƐĞ єƶŷěγ sind nur bis auf eine positive Konstante bestimmt. 2. Es ist möglich so zu wählen, dass sie die Kovarianzmatrix von X darstellt. Insgesamt bedeutet dies: Eine elliptische Verteilung ist eindeutig definiert durch: Mittelwert μ Kovarianzmatrix Charakteristischer Generator γ Insbesondere: Die Varianz einer elliptisch verteilten Zufallsvariablen ist endlich der lineare Korrelationskoeffizient für solch eine Zufallsvariable ist wohldefiniert. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 30

E.3 Korrelation und Kovarianz als natürliche Abhängigkeitsmaße in der Welt elliptischer Verteilungen Elliptische Verteilungen besitzen einige sehr nützliche Eigenschaften: Jede Linearkombination eines elliptisch verteilten Zufallsvektors ist selbst wieder elliptisch verteilt und besitzt sogar den selben charakteristischen Generator. Die Randverteilungen elliptischer Verteilungen sind ebenfalls elliptisch verteilt und besitzen den selben charakteristischen Generator. Sei die Kovarianzmatrix єăůɛɖžɛŝɵǀ ĚĞĮ Ŷŝƚǀ ŽƌĂƵƐŐĞƐĞƚnjƚ ĂŶŶŝƐƚĚŝĞďĞĚŝŶŐƚĞ Verteilung X 1 unter X 2 auch elliptisch verteilt allerdings i.a. mit einem anderen charakteristischen Generator. Alle Randverteilungen elliptisch Elliptische Verteilung eindeutig durch Mittelwert, Kovarianzmatrix und Verteilungstypen bestimmt. Anders ausgedrückt: Gesamte Abhängigkeitsstruktur stetiger, elliptischer Verteilungen eindeutig festgelegt durch Korrelationsmatrix und Verteilungstypen. Jegliche Form von Abhängigkeit wird für elliptisch verteilte Zufallsvariablen komplett über den linearen Korrelationskoeffizienten beschrieben. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 31

E.4 Kovarianz und elliptische Verteilungen im Risikomanagement Elliptische Verteilungen begünstigen den Einsatz vieler mathematischer Standard-Modelle. Z.B. Markowitz-Modell und Value-at-Risk). Konzentration auf Value-at-Risk VaR): Gegeben sei ein elliptisch verteilter Zufallsvektor X = X 1,, X n ), wobei X i das Risiko i modelliert. Definiere die Menge linearer Portfolios, die aus diesen n Risiken bestehen als: { Z n X i i1 i R}. Die Verteilungsfunktion von Portfolio Z ist gegeben durch F Z und der VaR zu vorgegebener Wahrscheinlichkeit α ist bekanntermaßen: VaR α Z) = F Z -1 α) = inf { z Є F Z z) α } VaR als Risikomaß besitzt für elliptische Verteilungen eine besondere Eigenschaft. i -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 32

E.4 Kovarianz und elliptische Verteilungen im Risikomanagement Definition 3.5: Ein Risikomaß ist eine Funktion ξ mit: X Risikomaß ordnet jedem Risiko X eine reelle Zahl zu. ξ X). D.h. ein Definition 3.6: Ein kohärentes Risikomaß nach Atzner, Delbaen, Eber und Heath) ist ein Risikomaß mit folgenden Eigenschaften: 1. Positivität: Für jedes X 0 ist: ξx) 0 2. Subadditivität: Für alle X und Y gilt: ξx + Y) ξx) + ξy). 3. Positive Homogenität: Für jedes λ 0 ist: ξλx) = λξx). 4. Translationsinvarianz: Für jedes a Є gilt: ξx + a) = ξx) + a. Der VaR ist i.a. kein kohärentes Risikomaß, da er nicht subadditiv ist. Für elliptische Verteilungen erfüllt der VaR auch die Subadditivitätseigenschaft und ist somit kohärent. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 33

3.2 Alternative Abhängigkeitsmaße Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 34

3.2.1 Komonotonie Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 35

3.2.1 Komonotonie Definition 3.7: Zwei Risiken X und Y werden komonoton genannt, wenn es eine Zufallsvariable Z und zwei monoton steigende Funktionen f 1 und f 2 gibt, sodass: X = f 1 Z) und Y = f 2 Z) gilt. Wenn f 1 eine monoton steigende Funktion ist und f 2 monoton fällt, so spricht man von kontramonotonen Zufallsvariablen. Die Entwicklung der beiden Risiken hängt komplett von einem einzigen gemeinsamen Faktor ab. Komonotone Risiken können sich niemals ausgleichen extremste Form positiver Abhängigkeit. Steigt das eine Risiko von zwei kontramonotonen Risiken, so sinkt das andere Risiko extremste Form negativer Abhängigkeit. Sind X und Y komonotone Zufallsvariablen, so gilt: VaR α X + Y) = VaR α X) + VaR α Y). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 36

3.2.1.1 Fundamentale Copulas Komonotonie und Kontramonotonie lassen sich zumindest im Zweidimensionalen durch bestimmte Copulas modellieren. Zusammen mit der Unabhängigkeits-Copula bilden sie die fundamentalen Copulas. Definition 3.8: Die Komonotonie-Copula C o wird für alle u 1,u 2 ) Є [0,1]² definiert durch: C o u 1,u 2 ) = minu 1,u 2 ). Definition 3.9: Die Kontramonotonie-Copula C u wird für alle u1,u2) Є [0,1]² definiert durch: C u u 1,u 2 ) = maxu 1 + u 2-1, 0). Definition 3.10: Die Unabhängigkeits-Copula C id wird für alle u1,u2) Є [0,1]² definiert durch: C id u 1,u 2 ) = u 1 u 2. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 37

3.2.1.2 Die Schranken von Fréchet Perfekte negative Abhängigkeit, Unabhängigkeit, perfekte positive Abhängigkeit lassen sich mit fundamentalen Copulas darstellen. Sie stehen zu vielen anderen Copulas in einer interessanten Beziehung. z.b. Gumbel-Copula:,,interpoliert zwischen Unabhängigkeits- und Komonotonie-copula). Eine weitere wichtige Beziehung liefern die Fréchet-Schranken. Satz 3.2: Für jede n-dimensionale Copula Cu 1,, u n ) gilt: max {u 1 + + u n + 1 n, 0} Cu 1,, u n ) min {u 1,, u n }. Im zweidimensionalen Fall gilt also genau: C u Cu 1, u 2 ) C o. Für höhere Dimensionen sind die Schranken ähnlich zu interpretieren, aber die untere Schranke ist keine Copula mehr. Komonotonie ist eine sehr viel allgemeinere Definition von Abhängigkeit als die lineare Korrelation. Sie erfasst nicht nur lineare sondern jede Form von perfekter) Abhängigkeit. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 38

3.2.2 Rangkorrelation Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 39

3.2.2 Rangkorrelation Definition 3.11: Seien X und Y Zufallsvariablen mit den Randverteilungen F 1 und F 2 sowie F ihre gemeinsame Verteilungsfunktion. Der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient von X und Y ergibt sich als: ρ S X,Y) = ρf 1 X),F 2 Y)), wobei ρ den linearen Korrelationskoeffizienten bezeichnet. Definition 3.12: Seien X 1,Y 1 ) und X 2,Y 2 ) zwei unabhängige Paare von Zufallsvariablen und F ihre gemeinsame Verteilungsfunktion. Der Kendallsche Rangkorrelationskoeffizient von X und Y ergibt sich als: ρ τ X,Y) = PX 1 X 2 )Y 1 Y 2 ) > 0) PX 1 X 2 )Y 1 Y 2 ) < 0). Sowohl der Spearmansche, als auch der Kendallsche Rangkorrelationskoeffizient messen den Grad monotoner Abhängigkeit. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 40

3.2.2 Rangkorrelation Satz 3.3: Seien X und Y Zufallsvariablen mit den Randverteilungen F 1 und F 2, gemeinsamer Verteilungsfunktion F sowie Copula C. Dann gilt: 1. ρ S X,Y) = ρ S Y,X) und ρ τ X,Y) = ρ τ Y,X) 2. X und Y unabhängig ρ S X,Y) = ρ τ X,Y) = 0 3. -1 ρ S X,Y), ρ τ X,Y) +1 4. 5. S S 1 X, Y ) 12 C x, y) x y) dxdy X, Y ) 4 C u, v) dc u, v) 1 0 1 0 6. ρ S und ρ τ sind invariant unter streng monotonen Transformationen T : : X, Y), fallst steigend T X), Y) S, X, Y), fallst fallend 1., 2. und 3. sind vom linearen Korrelationskoeffizienten bekannt. Die übrigen Punkte werden vom linearen Korrelationskoeffizienten nicht erfüllt. Größter Vorteil der Rangkorrelation gegenüber linearer Korrelation: Rangkorrelationskoeffizienten hängen nur von der Copula ab 4. und 5.) sie sind invariant unter streng monotonen Transformationen. Größter Nachteil der Rangkorrelation gegenüber linearer Korrelation: Keine momentbasierte Korrelation. 7. ρ S X,Y) = ρ τ X,Y) = 1 C = C o 8. ρ S X,Y) = ρ τ X,Y) = -1 C = C u -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 41

3.2.3 Tail Abhängigkeit Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 42

3.2.3 Tail Abhängigkeit Wichtige Fragestellung im Risikomanagement: Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten mehrerer extremer Ereignisse angeben. Tail Abhängigkeit: Maßzahl für die Abhängigkeit von extremen Ereignissen, also in den Randbereichen einer Verteilung: -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 43

3.2.3.1 Definition der Tail Abhängigkeit -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 44 Frage: Wie hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Risiko X höchstens zu einem Verlust von a führt, unter der Bedingung, dass Risiko Y höchstens einen Verlust von b erleidet? Also: Bei bekannter Copula C kann nach dem Satz von Sklar eine gemeinsame Verteilungsfunktion F gefunden werden, die F 1 bzw. F 2 als Randverteilungen hat: O.B.d.A. treten die Ereignisse X a und Y b mit derselben Wahrscheinlichkeit α ein, also: Und wegen der Stetigkeit der Randverteilungen gilt: Es gilt also:. ) ), ) b Y P b Y a X P b Y a X P. ) )) ), ) 2 2 1 b F b F a F C b Y a X P ). ) und ) ) 2 1 b F b Y P a F a X P ). und ) 1 2 1 1 F b F a. ), )) ))) )), ) 1 2 2 1 2 2 1 1 1 C F F F F F F C b Y a X P

3.2.3.1 Definition der Tail Abhängigkeit -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 45 Eine zweite interessante Frage lautet: Wie hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Risiko X einen sehr hohen Verlust erleidet X > a), unter der Bedingung, dass auch Risiko Y einen sehr hohen Verlust verursacht hat Y > b)? Also: Äquivalent zu oben: Sowie aufgrund der Stetigkeit der Randverteilungen: Damit folgt in Copula-Schreibweise:. ) 1 ), ) ) 1 ) ), ) b Y P b Y a X P b Y P a X P b Y P b Y a X P b Y a X P ). ) und ) ) 2 1 b F b Y P a F a X P ). und ) 1 2 1 1 F b F a. ) 1 ), ) ) 1 ) ), b Y P b Y a X P b Y P a X P b Y a X P C

3.2.3.1 Definition der Tail Abhängigkeit Definition 3.13 und Definition 3.14: Seien X und Y zwei stetige Zufallsvariablen. Bei bekannter Copula C ergeben sich der untere Tail-Abhängigkeitskoeffizient λ L bzw. der obere Tail-Abhängigkeitskoeffizient λ U als: L C, ) lim 0 und wenn der Grenzwert existiert und λ L, λ U Є [0,1] ist. 1 2 C, ) lim 1 U 1 λ L = 0: asymptotische Unabhängigkeit im unteren Tail. λ U = 0: asymptotische Unabhängigkeit im oberen Tail. λ L Є 0,1]: Abhängigkeit im unteren Tail. λ U Є 0,1]: Abhängigkeit im oberen Tail. Je größer λ L bzw. λ U ) ist, desto größer ist die Abhängigkeit im unteren bzw. oberen) Tail. Die Tail Abhängigkeit ist invariant unter streng monoton steigenden Transformationen. Abhängigkeiten in den Tails werden durch unterschiedliche Copulas unterschiedlich modelliert. Bei Auswahl eines Copula-Modells wichtig. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 46

3.2.4 Konkordanz Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 47

3.2.4 Konkordanz Hier: Nicht Stärke der Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen X und Y messen sondern feststellen, ob die Abhängigkeit zwischen positiv ihnen Konkordanz) oder negativ Diskordanz) ist. Zentrale Frage: Wie ist positive bzw. negative) Abhängigkeit definiert? 1. Möglichkeit: Der Zusammenhang zwischen X und Y ist genau dann positiv, wenn ρx,y) > 0 oder ρ S X,Y) > 0 bzw. ρ τ X,Y) > 0) ist. In der Regel wird positive Abhängigkeit jedoch anders definiert! 2. Möglichkeit: Der Zusammenhang zwischen X und Y ist genau dann positiv, wenn X und Y positiv quadrant abhängig PQA) sind. 3. Möglichkeit: Der Zusammenhang zwischen X und Y ist genau dann positiv, wenn X und Y positiv assoziiert PA) sind. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 48

3.2.4 Konkordanz Definition 3.15: Zwei Zufallsvariablen X und Y werden positiv quadrant abhängig PQA) genannt, wenn für alle x,y Є gilt: PX x, Y y) PX x) PY y). Positive quadrant Abhängigkeit ist geeignet um positive Abhängigkeit zwischen X und Y auszudrücken, da X und Y mit höherer Wahrscheinlichkeit beide große bzw. kleine) Werte annehmen als im Falle der Unabhängigkeit zwischen X und Y. Wird die Ungleichung in Definition 3.15 umgekehrt, spricht man von negativ quadrant abhängigen Zufallsvariablen. Definition 3.16: Zwei Zufallsvariablen X und Y werden positiv assoziiert PA) genannt, wenn für alle reellwertigen, messbaren Funktionen g 1 und g 2, die monoton steigend in beiden Komponenten sind und für die die nachfolgenden Erwartungswerte definiert sind, gilt: Eg 1 X,Y) g 2 X,Y)) Eg 1 X,Y)) Eg 2 X,Y)). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 49

3.2.4 Konkordanz Die obige Definition für PA) ist äquivalent zu: Cov g 1 X,Y), g 2 X,Y) ) 0. Daran wird deutlich, warum die Positive Assoziation ein geeignetes Konzept ist, um positive Abhängigkeit zwischen X und Y zu beschreiben. Wird die Ungleichung in Definition 3.16 umgekehrt, spricht man von negativ assoziierten Zufallsvariablen. PQA) und PA) sind invariant unter streng monoton steigenden Transformationen. PQA) und PA) sind stärkere Abhängigkeitsbedingungen als die drei bekannten Korrelationskoeffizienten. Folgende Darstellung verdeutlicht dies und zeigt gleichzeitig, dass Komonotonie die stärkste Form von Konkordanz also positiver Abhängigkeit ist: Komonotonie PA) PQA) ρx,y) 0, ρ S X,Y) 0, ρ τ X,Y) 0 -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 50

4. Irrtümer bzgl. Korrelation und Abhängigkeit -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 51

4.1 Irrtum 1 Die gemeinsame Verteilungsfunktion F kann mithilfe der Randverteilungen F 1 und F 2 und der Korrelation zwischen den Zufallsvariablen X und Y bestimmt werden. Die Aussage gilt für elliptische Verteilungen. Im Allgemeinen jedoch nicht! Gegenbeispiel: Betrachte zwei verschiedene gemeinsame Verteilungen mit Gamma3,1)- Randverteilungen und derselben Korrelation ρ = 0,7. Dies ist sowohl mit der Gauß- als auch mit der Gumbel-Copula konstruierbar. F Ga Ga Gu x, y) C G3,1 x), G3,1 y)) und FGu x, y) C G3,1 x), G3, 1 y)) mit 0,71und 0,54. Während die Gauß-Copula keine Tail-Abhängigkeiten aufweist, ist die Gumbel- Copula für θ < 1 asymptotisch abhängig. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 52

4.1 Irrtum 1 Um dies zu verdeutlichen betrachte für beide Modelle: PX > u Y > u), mit u = VaR 0,99 X) = VaR 0,99 Y) = G -1 3,1 0,99). Empirische Schätzungen liefern: P FGa X > u Y > u) = 1/3 und P FGu X > u Y > u) = 3/4 Gumbel-Modell: gemeinsame extrem hohe Verluste sind wahrscheinlicher als im Gauß-Modell. weniger Diversifikation! Analytische Aussage über den VaR der Summe X + Y unter den beiden Modellen zu treffen ist schwierig. Aber Simulationen belegen, dass das Gumbel-Modell eine höhere Anzahl an großen Resultaten für den VaR liefert. Entscheidender Unterschied der Modelle bei Einschätzung extremer Verluste der sich in den Randverteilungen und der Korrelation nicht bemerkbar macht). -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 53

4.2 Irrtum 2 Seien F1 und F2 gegeben. Die lineare Korrelation zwischen X und Y kann bei einer geeigneten Spezifikation von F alle Korrelationen zwischen -1 und 1 annehmen. Diese Aussage ist falsch! Gegenbeispiel: Betrachte: X ~ LN0,1) und Y ~ LN0,σ²), mit σ > 0. Was ist der minimale ρ min ) bzw. maximale ρ max ) Wert, den die Korrelation bei diesen Randverteilungen annehmen kann? Da ρ min = ρe Z,e σz ) und ρ max = ρe Z,e σz ), mit Z ~ N0,1) gilt, ist eine analytische Lösung möglich: min e 1 e 1) e 2 max 1) und e 1 e 1) e 2 1) -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 54

4.2 Irrtum 2 Bei diesem Beispiel werden nicht alle Werte zwischen -1 und +1 angenommen. lim min lim max 0 Zusätzliches Problem: X und Y sind in diesem Beispiel komonoton bzw. kontramonoton), aber für σ ist die lineare Korrelation sehr nahe bei 0. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 55

4.3 Irrtum 3 Der Value-at-Risk eines linearen Portfolios X + Y wird am größten, wenn ρx,y) maximal ist, also wenn X und Y komonoton sind. Wir wissen: 1. Für zwei komonotone Zufallsvariablen X und Y gilt: VaR α X + Y) = VaR α X) + VaR α Y). 2. Für elliptische Verteilungen erfüllt der VaR die Subadditiätseigenschaft, also VaR α X + Y) VaR α X) + VaR α Y). 3. Für nicht-elliptische Verteilungen erfüllt der VaR die Subadditiätseigenschaft nicht, d.h. es existieren X und Y, s.d. VaR α X + Y) > VaR α X) + VaR α Y). Die obige Aussage gilt also i.a. nicht, für elliptische Verteilungen ist sie jedoch korrekt. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 56

4.3 Irrtum 3 Beispiel, bei dem sich der Value-at-Risk sehr interessant verhält: Betrachte zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y mit derselben Verteilung: F 1/2 = 1 x -1/2, mit x 1. Hierbei handelt es sich um eine extreme heavy-tailed Verteilung ohne endlichen Mittelwert. Betrachte nun die beiden Risiken: X + Y unabhängig) sowie 2X komomoton). Es lässt sich abschätzen, dass für z > 2 gilt: 2 z 1 P X Y z) 1 P2X z) z Damit folgt: VaR α X + Y) > VaR α 2X) = VaR α X) + VaR α Y). Hier: aus Sicht des VaR Unabhängigkeit schlechter als perfekte positive Abhängigkeit - ganz unabhängig von der Wahl von α. keinerlei Diversifikationseffekt, sondern es ist sogar besser zwei gleiche Risiken einzugehen. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 57

5. Fazit -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 58

5. Fazit Überblick über verschiedene Möglichkeiten zur Modellierung von Abhängigkeiten zwischen Zufallsvariablen. Lineare Korrelation: Lediglich für elliptische Verteilungen gut geeignet. Alternative Abhängigkeitsmaße: Falls keine elliptische Verteilung vorliegt. Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen Lineare Korrelation Komonotonie Rangkorrelation Tail Abhängigkeit Konkordanz Drei klassische Irrtümer bzgl. Korrelation und Abhängigkeit: mit der intuitiven Gleichsetzung der Begriffe Abhängigkeit und Korrelation gehen einige Irrtümer einher besonders bei nicht-elliptischen Verteilungen ist Vorsicht geboten. -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 59

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! -Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement: Eigenschaften und Irrtümer- Seite 60