Das Mathematikabitur Abiturvorbereitung Infini Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1
Gliederung Was ist eine Funktion? Welche Funktionen kennen wir? Welche Eigenschaften von Funktionen sind wichtig? Wie löst man Gleichungen? Wie werden Funktionen in Anwendungssituationen verwendet? Welche Operatoren gibt es? Welche speziellen Aufgabentypen gibt es? Beispiele Wie soll ich mich vorbereiten? Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 2
Funktionen Definition: Eine eindeutige Zuordnung einer Zahl x auf eine Zahl y heißt Funktion: f: x y = f(x) Definitionsmenge: Menge der Zahlen, die für x eingesetzt werden dürfen. Wertemenge: Menge der Zahlen, die sich als Werte für y ergeben. x 0 1 3-1 y 2,375 3 2 0 Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 3
Polynomfunktionen Lineare Funktion: y = 2 3 x + 2 kubische Funktion: y = 1 8 x3 3 8 x + 7 4 Quadratfunktion: y = 1 (x 1) +1 3 Funktion 4. Grades: y = x 4 3x 2 + 1 Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 4
Rationale Funktionen f: x y = 1 x f: x y = x 2 + 1 x + 1 f: x y = 1 x 2 f: x y = 4x2 x 2 + 1 Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 5
Trigonometrische Funktionen f: x y = sin (x) f: x y = cos (x) f: x y = 1,5 sin x π 4 + 1 f: x y = tan (x) Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 6
Exponential- und Logarithmusfunktionen f: x y = e x f: x y = ln (x) f: x y = 2 e 1 2 x2 f: x y = ln (x 2 + 1) Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 7
Eigenschaften von Funktionen Eigenschaft Bestimmungsgleichung Definitionsmenge Nenner 0, bei ln (z): z>0 Grenzwerte --- Nullstellen f(x)=0 Symmetrie f x = ±f(x) Extrema f x = 0 mit Vzw. Wendepunkte f x = 0 mit Vzw. Monotonie, Krümmung Vorzeichen vonf x bzw. f (x) Funktionsgraph, Tangenten, ---, y=mx+t, Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 8
(Un-)Gleichungen Gleichung Lösungsverfahren Beispiel Lineare Glg. x auf eine Seite bringen 2a 7 = 4 a Quadratische Glg. Lösungsformel 2z 2 7 = z Gleichung 3. -... Grades Lösung erraten z 3 2z + 1 = 0 Exponentialgleichung logarithmieren 2e x+1 4 = 0 Logarithmusgleichung Gleichung exp ln 2x 3 = 4 Gleichungssystem Einsetzverfahren, I a + b = 7 II: a + 3b = 5 jede Gleichung Newtonverfahren 2 ln x x = 0 Ungleichungen faktorisieren x 1 ln x > 0 Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 9
Funktionen und Anwendungen Anwendung Unabhängige Variable Abhängige Variable Geburtenentwicklung Zeit Geburtenzahl Geländeprofil Länge Höhe Umsatz Stückzahl Umsatz in Fieberkurve Zeit Temperatur Wirkstoffkonzentration Zeit Konzentration Wachstum Zeit Höhe der Sonnenblume Schwerpunkt Füllhöhe Höhe des Schwerpunkts Kunstwerk x-koordinate y-koordinate Wasserfluss Zeit Menge gefl. Wassers Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 10
1. Ableitung Der Wert der Ableitung f (x) gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (x,f(x)) an. f (x)<0: G f fällt (f nimmt ab) f (x)<0: G f steigt (f nimmt zu) f (x) ist die lokale Änderung der Funktion f im Punkt (x,f(x)). Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 11
2. Ableitung Der Wert der 2. Ableitung f (x) gibt die Krümmung des Graphen von f im Punkt (x,f(x)) an. f (x)<0: Rechtskrümmung f (x)>0: Linkskrümmung f (x) ist die Änderung der Änderung der Funktion f im Punkt (x,f(x)). Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 12
Ableitung in Anwendungen Anwendung unabh. Var. abh. Var. 1. Ableitung 2. Ableitung Geburtenentw. Zeit Geburtenzahl Änderung der Geburtenzahl Tendenz in der Änderung der Geb.z. Geländeprofil Länge Höhe Steigung des Hangs Krümmung des Hangs Umsatz Stückzahl Umsatz in Umsatzänderung Tendenz in der Änd. Fieberkurve Zeit Temperatur Fieberzu- /abnahme Tendenz der Änderung Wirkstoffkonz. Zeit Konzentration Zu- / Abnahme der Konzentration Wachstum Zeit Höhe der Sonnenblume Schwerpunkt Füllhöhe Höhe des Schwerpunkts Wachstumsgeschwindigkeit Zu- / Abnahme der Höhe Tendenz der Zu-/ Abnahme Änderung der Wachstumsgeschwindigkeit --- (nicht sinnvoll) Kunstwerk x-koordinate y-koordinate Steigung Krümmung Wasserfluss Zeit Wassermenge Zu-/ Abnahme der Wassermenge Tendenz der Zu- / Abnahme Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 13
Integrale Das Integral ist der gerichtete Inhalt der Fläche, den G f mit der x-achse einschließt. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 14
Integrale in Anwendungen Unabhängige Variable Abhängige Variable b Integral f x dx a Zeit Geburtenzahl Gesamtzahl an Geburten im Zeitraum von a bis b Länge Höhe des Hangs Querschnittsfläche des Hangs x-koordinate y-koordinate des Kunstw. Fläche des Kunstwerks Zeit Menge gefl. Wassers gesamte Wassermenge Zeit Schneemenge pro Zeit gesamte Schneemenge Integrale geben wie der Name sagt Gesamtmengen von Größen an. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 15
Operatoren Operatoren sind Verben, die eine Aufgabenstellung genau beschreiben. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 16
Standardaufgaben Kurvendiskussion Flächenberechnungen Symmetrie Tangenten Bestimmung von Funktionstermen Skizzen von f bzw. F Bestimmung der Steigung aus dem Graphen Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 17
Beispiel Abitur 2013 / I Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 18
Beispiel Abitur 2013 / I Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 19
Beispiel Abitur 2013 / I Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 20
Beispiel Abitur 2011 / I Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 21
Beispiel Abitur 2011 / I Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 22
Beispiel Abitur 2011 / II Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 23
Wichtige Sätze Ableitung = Grenzwert der Sekantensteigung HDI Vorzeichen von f gibt die Monotonie an Vorzeichen von f gibt die Krümmung an Differenzierbare Funktionen sind stetig Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 24
Tipps und Tricks Sauber begründen Fachbegriffe verwenden Symmetrien nutzen Auf logische Argumentation achten (z.b. Symmetrie) formale Fehler vermeiden Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 25
Tipps und Tricks Zwischenergebnisse nutzen sind immer richtig Aufgabenstellung beachten Oft sind zwei unterschiedliche Darstellung von Funktionen möglich (z.b. rationale Funktionen) Verschiebung/Streckung von Graphen f x af b x + c + d Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 26
Tipps und Tricks Anwendungen Einheiten beachten/mit einbeziehen gegebene Graphen einbeziehen Ableitung Division Integral Multiplikation Tangentenformel: t x = f x 0 x x 0 + y 0 Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 27
Vorbereitung Aufgaben rechnen Abi 2013 2011 Übungsklausur Grundkursabiture 2011 2008 Probeabitur (?) Lösungen der Aufgaben nach dem Rechnen noch einmal ansehen und werten. Aufgaben gliedern und benennen (3M). Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 28
Beispielabiture Abitur 2013 Abitur 2012 Abitur 2011 Abitur 2011 (Grundkurs) Hinweise zum länderübergreifendem Abitur Merkhilfe Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 29
Viel Erfolg Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 30