Inlt, Fomelsmmlung: Geometie Ds llgemeine Deiek Spezielle Deieke Vieeke Regelmäßige Vieleke Keisfläen Pismen Pymien un Kegel 5 Pymien- un Kegelstümpfe 6 Kugel 6 Zentise Stekung un ie Stlensätze 6 Stz es Pytgos, Kteten- un Höenstz 7 Tigonometie, Winkelfunktionen 7 lge Die Reengesetze e ition un Sutktion 7 Renen mit negtiven Zlen 7 Klmmeenung 8 Renen mit Vilen 8 Die inomisen Fomeln 8 uenung 8 Linee Gleiungen 9 Linee Gleiungssysteme 9 Qutise Gleiungen 0 Linee un qutise Funktionen 0 Deistzenung 0 Pozentenung 0 Zinsenung Qut- un Kuikwuzeln Potenzen Logitmen Mittelwete Umenen von Eineiten Stostik Dten efssen Wseinlikeitsenung opyigt 0 Mtemtik-Velg, wwwmtevelgom
Fomelsmmlung Geometie Seite Ds llgemeine Deiek ezeinungen: γ Gleiseitiges Deiek: lle ei Seiten sin glei lng Jee Höe ist zuglei Winkel- un Seitenlieene 60 Summe e Innenwinkel: γ 80 60 60 Höe: Fläeninlt: Fläeninlt un Umfng: Gleisenkliges Deiek: Zwei Seiten, ie eien Senkel, sin glei lng Die itte Seite ist ie sis Die Höe liet en Winkel g un ie Seite Fläeninlt: Umfng: U γ γ Fläeninlt: Umfng: U Retwinkliges Deiek: Spezielle Deieke In einem etwinkligen Deiek wi ie Seite gegenüe em eten Winkel ls Hypotenuse ezeinet Die eien Seiten, ie en eten Winkel ilen, sin ie Kteten Fläeninlt: Umfng: U Stz es Tles: Ṁ ' γ 90 Jee Punkt uf em Keis um M (mit M M) ilet mit en Punkten un ein etwinkliges Deiek Vieeke Retek: lle Innenwinkel etgen 90 Die eien Digonlen sin glei lng un lieen si M Fläeninlt: Umfng: U ( ) Digonle: Qut: lle Innenwinkel etgen 90 lle Seiten sin glei lng Die eien Digonlen steen senket ufeinne, sie sin glei lng un lieen si Fläeninlt: Digonle: M Umfng: U opyigt 0 Mtemtik-Velg, wwwmtevelgom
Fomelsmmlung Geometie Seite Pllelogmm: Die gegenüeliegenen Seiten sin zueinne pllel un glei lng Die gegenüeliegenen Winkel sin glei goß Die Digonlen e un f lieen si e f M Fläeninlt: Umfng: U ( ) Tpez: Minestens zwei Seiten sin pllel ( ) Fläeninlt: m ( ) m ist ie Mittelpllele Umfng: U m Den: Jeweils zwei ente Seiten sin glei lng Minestens zwei gegenüeliegene Winkel sin glei goß Die sen e un f steen senket ufeinne Regelmäßige Vieleke (n-eke) Ein Vielek eißt egelmäßig, wenn lle Seiten glei lng zw lle Innenwinkel glei goß sin Regelmäßiges Fünfek: Umkeisius, i Inkeisius i u Regelmäßiges Sesek: 60 5 7 80 5 Fläeninlt: 5 Umfng: U 5 u Umkeisius, i Inkeisius i u 60 6 60 60 u, i Fläeninlt: Umfng: U 6 i Regelmäßiges n-ek: D f e Fläeninlt: e f Umfng: U ( ) 60 n Fläeninlt: n i Umfng: U n Die Summe e Innenwinkel eines n-eks etägt (n ) 80 Keisfläen Rute (Romus): lle Seiten sin glei lng Die gegenüeliegenen Innenwinkel sin jeweils glei goß Die eien Digonlen steen senket ufeinne Keis: M Mittelpunkt, Rius, Dumesse e f Fläeninlt: Umfng: U e f M Fläeninlt: π π Umfng: U π π Die Summe e Innenwinkel von Vieeken ist 60 π, opyigt 0 Mtemtik-Velg, wwwmtevelgom
Fomelsmmlung Geometie Seite Keising: ußenius, i Innenius, Ringeite Gleiseitige Deieksäule: M Keisussnitt: M i i Fläeninlt: π ( i ) π ogenlänge: 60 ussnittsfläe: oe π 60 liegen Gunfläe: G steen Mntel: M Volumen: V G Oefläe: O ( 6) Pismen (gee Köpe) Tpezsäule: Pismen: In jeem Pism git es zwei gleie Seitenfläen, ie pllel zueinne steen G Gunfläe, Höe, Volumen: V G Mntel: M u (u Umfng e Gunfläe) Wüfel: Gunfläe: G, Volumen: V Oefläe: O 6, Mntel: M Digonle: liegen Gunfläe: G Volumen: V G steen ( ) Oefläe: O G () Mntel: M ( ) Que: Zyline: π Mntel M Gunfläe: G, Volumen: V Oefläe: O ( ), Mntel: M ( ) Digonle: Gunfläe: G π ( Keis) Volumen: V π Mntel: M π Oefläe: O G M π π π ( ) opyigt 0 Mtemtik-Velg, wwwmtevelgom
Fomelsmmlung Geometie Seite 5 Holzyline (Ro): äußee Rius, i Gunfläe: G π ( i ) i innee Rius Volumen: V G π ( i ) Äußee Mntel: M π Innee Mntel: M i π i Oefläe: O G M M i π äußee Mntel M G ( Keising) Pymien un Kegel G Gunfläe, llg Volumen: V G, Höe Qutise Pymie: Tetee: lle vie Seitenfläen sin gleiseitige Deieke Gunfläe: G ( gleiseitiges Deiek) Volumen: V G, mit 6 folgt: V Mntel: M G Sesseitige Pymie: s Gunfläe: G, Oefläe: O G ( egelmäßiges Sesek) Volumen: V G Mntel: M s Oefläe: O G M s s Gunfläe: G, Volumen: V G Oefläe: O G M s Mntel: M s s mit s Kegel: s 0,5 (mit ) s π Mntel M s s Gunfläe: G π Volumen: V G π Mntel: M π s π s 60, mit s 60 Oefläe: O G M π ( s) opyigt 0 Mtemtik-Velg, wwwmtevelgom
Fomelsmmlung Geometie Seite 6 Pymien- un Kegelstümpfe G Gunfläe, D Dekelfläe llgemeines Volumen: V (G G D D) Qutise Pymienstumpf: Gunfläe: G Dekelfläe: D Volumen: V ( ) Mntel: M ( ) Oefläe: O G D M ( ) Zentise Stekung un Stlensätze Zentise Stekung: ei eine zentisen Stekung (mit em Stekzentum Z un em Stekfkto k) leien lle Winkelgößen elten Jee ilsteke ist k -ml so goß wie ie Oiginlsteke Z Es gilt: k Z' Z γ Z' Z ' Z' Z, un γ γ Die Fläe e ilfigu ist um en Fkto k göße: k γ' ' ' ' ' Kegelstumpf: s s π s π Mntel M Die Stlensätze: e f f e D Z g T Q g Z S R Figu Figu Gunfläe: G π Dekelfläe: D π Stlenstz: Zwei snitte uf einem Stl velten si zueinne wie ie entspeenen snitte uf em neen Stl: Volumen: V π ( ) Mntel: M π s ( ) Oefläe: O G D M π π π s ( ) In Figu gilt: In Figu gilt: Z Z ZR ZT Z ZD ZS ZQ Kugel Stlenstz: Die snitte uf en Pllelen velten si zueinne wie ie (von Z gemessenen) entspeenen snitte uf en Stlen: M In Figu gilt: In Figu gilt: D RS QT Z un Z D ZR un ZT RS QT Z ZD ZS ZQ Volumen: V π Oefläe: O π opyigt 0 Mtemtik-Velg, wwwmtevelgom
Fomelsmmlung Geometie / lge Seite 7 Stz es Pytgos, Kteten- un Höenstz In einem etwinkligen Deiek wi ie Seite gegenüe em eten Winkel ls Hypotenuse ezeinet Die eien Seiten, ie en eten Winkel ilen, sin ie Kteten p un q sin ie Hypotenusensnitte q γ 90 p Stz es Pytgos: Höenstz: p q Die Reengesetze e ition un Multipliktion Ds Kommuttivgesetz (Vetusungsgesetz): ition: Multipliktion: Ds ssozitivgesetz (Veinungsgesetz): ition: ( ) ( ) Multipliktion: ( ) ( ) Ds Distiutivgesetz (Veteilungsgesetz): ( ) Ktetenstz: p un q un ( ) Tigonometie, Winkelfunktionen Vom Winkel us ettet wi in einem etwinkligen Deiek iejenige Seite ls Gegen ktete ezeinet, ie em Winkel gegenüeliegt Die Ktete, ie m Winkel n liegt, nennt mn n ktete Gegenktete γ 90 Die Winkelfunktionen: sin Gegenktete Hypotenuse os Gegenktete nktete nktete Hypotenuse tn Gegenktete nktete esonee Wete: 0 0 5 60 90 sin 0 0,5 os 0,5 0 tn 0 Renen mit negtiven Zlen Negtive un positive Zlen uf em Zlenstl: 5 0 5 Negtive Zlen Positive Zlen - Die negtiven Zlen liegen uf em Zlenstl links vom Uspung 0 Die positiven Zlen liegen ets vom Uspung De etg eine Zl: De etg eine Zl entspit em stn iese Zl vom Uspung 0 uf em Zlenstl Z : oe ition un Sutktion uf em Zlenstl: ( stet fü en etg eine eellen Zl) Mn iet zu e Zl Z ie Zl, inem mn von Z us um -Längeneineiten n ets get Mn sutiet von e Zl Z ie Zl, inem mn von Z us um -Längeneineiten n links get Die itions- un Sutktionsegeln: ( un steen fü ie etäge eelle Zlen) Die Summen zw Diffeenzen:,,, ween n folgenen Regeln eenet: ei gleien Vozeien iet mn ie etäge un Die Summe eält s gemeinsme Vozeien Z : 5 8 oe 7 8 5 ei untesielien Vozeien sutiet mn en kleineen etg vom gößeen Die Diffeenz eält s Vozeien, s vo em gößeen etg stet Z : 6 9 oe 8 opyigt 0 Mtemtik-Velg, wwwmtevelgom
Fomelsmmlung lge Seite 8 Multipliktion un Division: Mn multipliziet zwei Zlen mit gleiem Vozeien, inem mn ie etäge multipliziet Ds Poukt eält s positive Vozeien Mn multipliziet zwei Zlen mit untesielien Vozeien, inem mn ie etäge multipliziet Ds Poukt eält s negtive Vozeien ml ml ml ml u u u u Klmmeenung uflösen von Plus -Klmmen: Es gilt: () () ( ) ( ) uflösen von Minus -Klmmen: Es gilt: ( ) () () ( ) usmultiplizieen (vgl Distiutivgesetz): un ( ± ± ) ± ± ( ± ± ) ± ± Multiplizieen von Summen un Diffeenzen: In Summen un Diffeenzen ween gleitige Teme zusmmengefsst, inem mn ie Summe zw Diffeenz e Koeffizienten eenet ete: De Mlpunkt wi eim Renen mit Vilen meist weggelssen Es eeutet: x x Summen un Diffeenzen mit vesieentigen Temen: x y x y ( )x ( )y In Summen un Diffeenzen us vesieentigen Temen können nu ie gleitigen Teme zusmmengefsst ween Z : x y x 7y 5x y Multipliktion un Division: (x) ( )x, z : 5x 0x x y ( )xy, z : 7x 5y 5xy (x) : ( : )x, z : 8x : 6 (8 : 6)x x Die inomisen Fomeln ( ) ( ) ( ) ( ) u: uenung Jee Quotient : (, Z, mit 0) knn ls u gesieen ween Din ist e Zäle un e Nenne uteile: Mit einem u wi ein uteil von etws Gnzem esieen De Nenne es us git n, in wie viele Teile s Gnze geteilt ween soll De Zäle es us git n, wie viele von iesen Teilen gemeint sin eispiele: ( ) ( ) oe ( ) ( ) Renen mit Vilen,,, x, y R, x un y sin ie Vilen,, un ween Koeffizienten gennnt ition un Sutktion: x x x ( ) x, z : x 5x x 0x x x x ( ) x, z : 7x x 8x x Kewet: Mn eält en Kewet (zw Keu oe Rezipokes) eines us, inem mn Zäle un Nenne vetust Es gilt: opyigt 0 Mtemtik-Velg, wwwmtevelgom
Fomelsmmlung lge Seite 9 Eweiten: üe ween eweitet, inem mn Zäle un Nenne mit e gleien Zl multipliziet Es gilt: mit 0 Küzen: üe ween geküzt, inem mn Zäle un Nenne u ie gleie Zl iviiet Ein u knn nu nn mit geküzt ween, wenn un u teil sin Es gilt: : :, mit 0 ition un Sutktion gleinmige üe: üe mit gleiem Nenne eißen gleinmig Gleinmige üe ween iet zw sutiet, inem mn ie Zäle iet zw sutiet un en Nenne eieält: un ition un Sutktion ungleinmige üe: Ungleinmige üe ween iet zw sutiet, inem mn sie uf enselen Nenne, en Huptnenne, eweitet De Huptnenne ist ein gemeinsmes Vielfes e eien Nenne nsließen vefät mn wie ei gleinmigen üen Es gilt: un Multipliktion un Division: Zwei üe ween miteinne multipliziet, inem mn Zäle mit Zäle un Nenne mit Nenne multipliziet Mn iviiet u einen u, inem mn mit seinem Kewet multipliziet : : llgemeine Fom: Linee Gleiungssysteme ( Gleiungen, Vilen) x y x y (I) (II) mit en Konstnten,,,,, R un en Vilen x un y Lösungsvefen: Einsetzungsvefen: Mn löst eine Gleiung n eine Vilen uf (z n y) un setzt en entspeenen Tem in ie zweite Gleiung ein Gleisetzungsvefen: Mn löst eie Gleiungen n eselen Vilen uf (z n y) un setzt ie eien Teme fü y glei itionsvefen: Mn fomt eie Gleiungen so um, ss eim ieen zw Sutieen eie Gleiungen eine Vile eusfällt ei llen ei Vefen eält mn eine Gleiung mit nu no eine Vilen, ie u uflösen eenet ween knn Die zweite Vile eält mn u Einsetzen e eeneten esten Vile in eine e eien usgngsgleiungen Gfise Lösung: Mn löst eie Gleiungen n y uf un zeinet jeweils ie Gee zu Funktionsgleiung y mx in ein Suil Die Koointen es Snittpunkts S(x s y s ) eie Geen sin ie Lösungsmenge eispiel: g: y x, : y x,5 y g S(,5) Die Koointen es Snittpunkts sin S(,5) Dmit ist ie Lösungsmenge L { (;,5) } x Linee Gleiungen Zwei Gleiungen sin äquivlent, wenn sie ie gleie Lösungsmenge en Die Lösungsmenge eine Gleiung änet si nit, wenn mn uf eien Seiten enselen Tem iet oe sutiet, eie Seiten mit eine Zl ( 0) zw einem Tem multipliziet oe iviiet eispiel: x 0 x : x L { } mit 0 opyigt 0 Mtemtik-Velg, wwwmtevelgom
Fomelsmmlung lge Seite 0 Qutise Gleiungen llgemeine Fom: x x 0 mit en Konstnten,, R un 0 Lösung: x, ± mit e Diskiminnten D Nomlfom: x px q 0 mit en Konstnten p, q R p p Lösung: x ± ( ) q, p mit e Diskiminnten D ( ) q Zl e Lösungen: (ei llgemeine Fom un Nomlfom) genu eine Lösung fü D 0 zwei Lösungen fü D > 0 keine Lösung fü D < 0 Linee un qutise Funktionen Linee Funktionen: y m x, m ist ie Steigung, ist e y-sensnitt y x y mx y y m x x Deistzenung Popotionle Zuonungen: eispiel: Ein uto veut Lite Kftstoff uf 6 km Wie weit knn mn (ei konstntem Veu) mit 0 Liten fen? : 0 Lite ^ 6 km Lite ^,5 km 0 Lite ^ 70 km : 0 Umgeket popotionle Zuonungen: eispiel: 8 Pfee fessen in 5 Tgen eine estimmte Menge Hfe Wie lnge wüe ie gleie Menge Hfe fü 0 Pfee eien? : 8 0 8 Pfee ^ 5 Tge Pfe ^ 0 Tge 0 Pfee ^ Tge Pozentenung 8 : 0 Die Gungleiung e Pozentenung: p Pozentstz, G Gunwet, p G 00 p % P w p 00 00 Pw p G Pozentsätze im Keisigmm: P w Pozentwet 00 Pw G p Qutise Funktionen: ) llgemeine Fom: y x px q ) Seitelfom: y (x ) De Seitelfom knn mn ie Seitelkoointen e Pel iekt lesen: S ( ) y Es gilt: % å,6 eispiel: p % 0 % p % 5 % p % 5 % 5 % 0 % 6 7 6 5 % ei negtivem -Wet ist ie Nomlpel n links vesoen ei negtivem -Wet ist ie Nomlpel n unten vesoen x Vemete un veingete Gunwet: G Gunwet, W neu neue Wet vemete (veingete) Gunwet Es gilt: q G W neu p mit q ( 00) p un q ( ) ei Eöung es Gunwets ei Veingeung es Gunwets 00 opyigt 0 Mtemtik-Velg, wwwmtevelgom
Fomelsmmlung lge Seite Zinsenung K Sttkpitl, Keit oe Dleen, Z Zinsen, p % Zinsstz, n nzl e Je, m nzl e Monte, t nzl e Tge Jeszinsen: Montszinsen: Tgeszinsen: K p Z 00 K p m Z m 00 K p t Z t 00 60 Mont t in e Zinsenung imme 0 Tge J t in e Zinsenung imme 60 Tge Zinseszins (ei konstntem Zinsstz p) : K 0 Sttkpitel, K n Kpitl n n Jen n Es gilt: K n K 0 q p, mit q ( ) 00 Qut- un Kuikwuzeln Qutwuzel (spi: Wuzel ) mit R 0 ist e Rikn ± ist ie Lösung e Gleiung x Logitmen Seiweise: log (spi: Logitmus zu sis ) mit, R un x log ist ie Lösung e Gleiung x log un log 0 Spezielle sen: Zenelogitmus: log 0 lg Ntülie Logitmus: log e ln e (mit e Eulesen Zl e,788 ) Logitmengesetze: log (u v) log u log v log u v log u log v log u log u ( R) Mittelwete itmetises Mittel: M x x x n n Geometises Mittel: G n x x x n Es gilt: un un fü, > 0 Umenen von Eineiten Rtionlmen es Nennes: Mn knn einen Nenne tionl men, inem mn en u mit e Wuzel es Nennes eweitet: Kuikwuzel (spi: -te Wuzel von ) mit R 0 ist ie Lösung e Gleiung x Seiweise: Potenzen n n Fktoen mit R \ {0} ; n N Potenz n (spi: o n ), sis, n Exponent Spezielle Potenzen: (spi: -Qut ),, 0, n Potenzgesetze: ei > 0 fü m, n R un ei R \ {0} fü m, n Z gleie sis: m n m n un m n m n gleie Exponent: n n ( ) n un n n n ( ) Potenzieen: ( n ) m n m un ( s ) n n s n n 000 0 0 0 Länge: km m m m mm 00 00 Fläe: m m m mm 000 00 00 00 000 000 Volumen: m m m mm (Lite) 000 000 000 Msse: t kg g mg 60 60 Zeit: Tg min s opyigt 0 Mtemtik-Velg, wwwmtevelgom
Fomelsmmlung Stostik Seite Dten efssen Mekml X: De eotete Wet eine Dteneie Zum eispiel ie Köpegöße e Jugenlien eine Sulklsse Uliste: Ungeonete Zusmmenstellung e eoteten Mekmle zw Egenisse Zum eispiel Köpegöße von 5 Jugenlien:,65 m;,78 m;,6 m;,8 m;,59 m Rngliste oe geonete Uliste: N e Göße geonete Uliste Zum eispiel:,59 m;,6 m;,65 m;,78 m;,8 m solute Häufigkeit: Die Zl, ie ngit, wie oft ein Mekmlswet in eine Häufigkeitsliste vokommt Reltive Häufigkeit: solute Häufigkeit Gesmtzl lle Wete Minimum x min : De kleinste Wet eine Liste Mximum x mx : De gößte Wet eine Liste Mittelwet oe Dusnitt: Wenn jee Mekmlswet nu einml vokommt, eenet mn en Mittelwet mit x x x x n n De Mittelwet knn u mit en eltiven Häufigkeiten i eine Häufigkeitstelle eenet ween Dnn gilt: x x x n x n Molwet x*: Dejenige Wet in e Uliste, e m äufigsten vokommt Meee Molwete sin mögli Zentlwet x ~ ( Mein): Wi mitilfe eine geoneten Uliste zw Rngliste estimmt ei eine ungeen nzl n Weten gilt: ~ x ist e mittlee Wet e Rngliste ei eine geen nzl n Weten gilt: ~ x ist e Mittelwet e eien in e Mitte steenen Wete Untees Qutil q u : Mn multipliziet ie nzl e Wete e Uliste mit ¼ Ist s Egenis nit gnzzlig nimmt mn en näst öeen Rngpltz De Mekmlswet ieses Rngpltzes ist q u ei gnzzligem Egenis ist q u e Mittelwet us em Wet ieses un es näst öeen Rngpltzes Wseinlikeitsenung Zufllsexpeiment: Ein Vesu, essen usgng ungewiss ist Zum eispiel s Wefen eines Wüfels Eeignis: lle usgänge mit eine estimmten Eigensft ilen ein Eeignis Zum eispiel geöen eim Wüfeln ie ugenzlen ; un 5 zum Eeignis ungee ugenzlen Lple-Expeiment: Sin lle möglien usgänge eines Zufllsexpeiments glei wseinli, spit mn von einem Lple-Expeiment Lple-Wseinlikeit: Sin lle usgänge eines Zufllsexpeiments glei wseinli, gilt fü ie Wseinlikeit P() eines Eeignisses : P() nzl e usgänge,ei enen eintitt nzl lle möglien usgänge Gegeneeignis: Zu jeem Eeignis git es ein Gegeneeignis, s genu s Gegenteil eseit Die Summe e Wseinlikeiten eines Eeignisses un seines Gegeneeignisses ist imme Es gilt: P( ) P() Mestufige Zufllsexpeimente: Ist ein Zufllsvesu, ei em meee neinne lufene Zufllsvesue zu einem einzigen Zufllsvesu zusmmengefsst ween Zum eispiel s eimlige Wefen eine Münze mit en Teilegenissen Wppen (W) oe Zl (Z) umigmm: Jees mestufige Zufllsexpeiment knn in einem umigmm vensulit ween Din esiftet mn ie Knoten mit en Teileegenissen (eim Münzwuf mit Z oe W) Die Wseinlikeiten e Teilegenisse seit mn uf ie Äste eim Wefen Teilexpeiment Z W Teilexpeiment eine ielen Münze ist iese Wseinlikeit ½ Pfegel: Die Wseinlikeit eines Vesususgngs in einem mestufigen Zufllsexpeiment ist glei em Poukt e Wseinlikeiten entlng es entspeenen Pfes Z (Z; Z) W (Z; W) Z (W; Z) W (W; W) Oees Qutil q o : Wi wie s untee Qutil estimmt, nu ss mn ie nzl e Wete e Uliste mit ¾ multipliziet oxplot: Ist ein Säulen- oe lkenigmm, in s mn x min, x mx, q u un q o eintägt Die ox zwisen en eien Qutilen umfsst 50% lle Wete opyigt 0 Mtemtik-Velg, wwwmtevelgom Summenegel: Die Wseinlikeit eines Eeignisses in einem mestufigen Zufllsexpeiment ist glei e Summe e Wseinlikeiten lle zu iesem Eeignis geöenen Pfe