Kapitel 1 Mathematische Grundlagen Seite 1 10 Elementare Funktionen Definition 10.1 (konstante Funktion) Konstante Funktionen sind nichts weiter als Parallelen zur xachse, wenn man ihren Graphen in das Koordinatensystem einträgt. Wäre die xachse eine Funktion, könnte man sie folgendermaßen darstellen: denn egal, welche Werte man für x einsetzt, ständig wird auf die 0 abgebildet. Definition 10.2 (identische Funktion) Die identische Funktion wird als Graph durch die Winkelhalbierende im 1. und 3. Quadranten des karthesischen Koordinatensystems dargestellt. Sie bildet jeden xwert auf sich selbst ab, so dass sich sagen lässt: bzw Sie mag durchaus unspektakulär anmuten, jedoch ist sie hilfreich bei Beweisen und dergleichen. Interessanter dagegen sind einzelne Potenzen, sogenannte Monome. Definition 10.3 (Potenzen [Monome] ) Für falls : (konstante Funktion) falls ungerade: ist punktsymmetrisch falls gerade: ist achsensymmetrisch Ist der Exponent einer Potenz gleich Null, so bildet sie die konstante Funktion 1, da die 0te Potenz einer beliebigen Zahl als 0 definiert wird. Ist der Exponent geradzahlig, besitzt ihr Graph die Eigenschaft der Achsensymmetrie, was bedeutet, dass er sich an der yachse spiegeln lässt und sich dabei nicht verändern würde, wie das Beispiel von zeigt.
Kapitel 1 Mathematische Grundlagen Seite 2 Ist der Exponent dagegen ungerade, so ist der Graph punktsymmetrisch. D. h. er lässt sich um den Nullpunkt um 180 Grad drehen, und würde sich dabei ebenso wenig verändern, was der Graph von verdeutlichen soll Genauso, wie man in der Lage ist Werte zu potenzieren, so kann man aus ihnen auch die Wurzel ziehen, was uns zur Wurzelfunktion führt, die in gewisser Weise die Umkehrfunktion der Potenzfunktionen darstellt. Definition 10.4 (Wurzelfunktion) Bemerkung 10.4 (Wurzelfunktion) Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Monome. Dazu muss die Gleichung gelöst werden. Falls ungerade: ist injektiv zu jedem gibt es genau ein mit, dieses wird te Wurzel aus genannt Falls gerade: ist nicht injektiv. Die Gleichung hat in R keine Lösung, falls genau eine Lösung, falls ( ) zwei Lösungen, falls die positive Lösung wird hier als te Wurzel bezeichnet: Wie in der Bemerkung bereits nochmals ewähnt wurde sind Wurzelfunktionen die
Kapitel 1 Mathematische Grundlagen Seite 3 Wie in der Bemerkung bereits nochmals ewähnt wurde sind Wurzelfunktionen die Umkehrfunktionen der Potenzen. Wir haben im Kapitel über Funktionen jedoch festgestellt, dass die ursprüngliche Funktion einer Umkehrfunktion bijektiv sein muss, was uns zu den in der Bemerkung gewählten Fallunterscheidungen führt, um zu lösen. Ist die Potenz geradzahlig, so ist ihre Funktion injektiv, d. h. es gibt für jeden Wert maximal einen Zielwert. In diesem Fall lässt sich zu jedem genau ein finden, das die Lösung der Gleichung ermöglicht. Ist das der Funktion allerdings gerade, so ist die Funktion keinenfalls injektiv, was man sich gedanklich an einer Parabel vorstellen kann. Da wir uns hier im reellen Zahlenbereich befinden, sind wir nicht in der Lage eine Lösung der oben beschriebenen Gleichung zu finden, sollte negativ sein. Im komplexen Zahlenbereich wäre es allerdings möglich. Ist das ergebnis, so findet sich genau eine Lösung, denn in diesem Fall muss auch sein. Interessanter wird die Betrachtung nun für positive. Am Beispiel der Parabel erkennt man leicht, dass man einen der Zweige auswählen muss, um das nötige Kriterium für Umkehrbarkeit zu erlangen. Wir definieren dabei in der Bemerkung, dass immer der "rechte" Zweig umgekehrt wird. Das soll anhand einiger Beispiele erläutert werden. Unsere Betrachtungen bezogen sich in der Erklärungen speziell auf die Parabel, die durch dargestellt werden kann. Kehrt man diese Funktion um, so erhält man. Dieser Graph stellt dar. Die blaue Kurve entspricht dabei der Umkehrung des rechten Zweiges und der rote, der Umkehrung des linken Zweiges. Ähnlich lässt sich auch die Umkehrfunktion für auftragen. Die dazugehörige Wurzelfunktion lautet und wie bereits im Beispiel von zeigt auch hier der blaue Zweig die eigentliche Umkehrung an. Definition 10.5 (Polynome) Für Falls heißt Grad des Polynoms Polynome sind nach Definition Summen aus verschiedenen Monomen. Ihre Grundform wird durch den höchsten Exponenten bestimmt, wobei es starke Ähnlichkeiten innerhalb von Polynomen gibt mit geraden GradZahlen und innerhalb von Polynomen mit ungeraden GradZahlen. So weißt
Kapitel 1 Mathematische Grundlagen Seite 4 eine hohe Ähnlichkeit mit dem Monom und anderen geradzahligen Monomen (und Polynomen) auf und das Polynom eine hohe Ähnlichkeit mit dem Monom und anderen ungeradzahligen Monomen (und Polynomen). Wir wollen das ganze nun ausweiten und nicht nur verschiedene Polynome summieren, subtrahieren oder multiplizieren (dies ergibt wieder Polynome), sondern auch dividieren. Dies leitet uns hin zu den gebrochenrationalen Funktionen. Definition 10.6 (gebrochenrationale Funktionen) Rationale Funktionen sind Quotienten von Polynome: ( Polynome) mit Gebrochenrationale Funktionen entstehen durch das Dividieren zweier oder mehrerer Polynome. Dabei ist wie bei jeder Division zu beachten, dass der Nenner ungleich Null sein muss. Natürlich ist es möglich, dass das Einsetzen von verschiedenen Funktionswerten im Nenner zu einer Null führen kann. Dies wirkt sich im Graph durch eine Definitionslücke aus. Definitionslücken sind Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist, was zu zwei Effekten führen kann, je nachdem um welche Definitionslücke es sich handelt. Entspricht die Definitionslücke einer Polstelle, d. h. befindet sich an der eingesetzten Stelle gleichzeitig keine Nullstelle des Zählers, so strebt die Funktion an der Stelle gegen unendlich. Befindet sich aber an der betrachteten Stelle gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers, so ist es möglich, dass die Funktion prinzipiell "durchgezeichnet" werden kann, ohne etwaige Auffälligkeiten. Der Wert jedoch an sich existiert nicht. Die Unterscheidung zwischen den verschiedenen Definitionslücken wird uns noch in der Differenzialrechnung begegnen und eine bedeutende Rolle spielen. Als kleine Veranschaulichung, wie die Graphen von gebrochenrationalen Funktionen aussehen können, mehrere Bilder:
Kapitel 1 Mathematische Grundlagen Seite 5 Im Vergleich zu den Polynomen sind die Graphen der gebrochenrationalen Funktionen wesentlich vielfältiger und es erweist sich als schwieriger Gesetzmäßigkeiten abzuleiten. Es gibt dafür durchaus Möglichkeiten, jedoch führen diese hier etwas zu weit, da wir bereits auf das Kapitel Folgen und Reihen vorgreifen müssten. Sollte man sich nach Durcharbeiten der verschiedenen Themen wieder hier einfinden, so sollten besonders Regelmäßigkeiten im Bezug auf die Unendlichkeit ins Auge fallen. Doch kehren wir lieber zurück zu weiteren elementaren Funktionen. Definition 10.7 (Exponentialfunktion) Sind Funktionen wobei die Basis vorgegeben ist falls ist streng monoton steigend, d.h. mit ist falls ist streng monoton fallend, d.h. mit ist Auf den ersten Blick weißen die Exponentialfunktionen mit den Monomen eine hohe Ähnlichkeit auf. Rein formal besteht sie auch, denn Variable und Konstante wurden schlichtweg vertauscht. Wir nehmen an, dass die Basis des Exponenten positiv und ungleich 1 ist. In diesem Fall lassen sich abermals grundlegende Aussagen über den Verlauf des Graphen bzw. über die Funktionswerte treffen. Ist die Basis größer als 1 so lässt sich sagen, dass streng monoton steigend ist, was an gesehen werden kann: Ist die Basis allerdings kleiner als 1, wie bei Exponenten!), so ist streng monoton fallend: (beachte den negativen
Kapitel 1 Mathematische Grundlagen Seite 6 Wer die Rechenregeln für Potenzen kennt, sollte im Umgang mit Exponentialfunktionen keine großen Schwierigkeiten haben, da genauso diese dort angewandt werden: Bemerkung 10.7 (Rechenregeln für Exponentialfunktionen) i) und ii) iii) und Manchen mag vielleicht das in den Beispielen aufgefallen sein und einigen davon könnte dieses Zeichen womöglich noch unbekannt sein. ist ebenso wie eine Konstante, mit unendlich vielen Stellen und wird eulersche Zahl genannt. Bemerkung 10.7 (die eulersche Zahl ) wird in der Informatik häufig als behandelt Auch wenn der Grenzwert noch nicht eingeführt wurde, soll er zur Vollständigkeit bereits hier erwähnt werden. Es gibt verschiedene Arten zu definieren und eine ist über den in der Bemerkung angegebenen Grenzwert. Ihre Funktion wird Funktion genannt und auch diese Funktion besitzt wegen ihrer streng monotonen Steigung ( > ) eine dazugehörige Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen im allgemeinen werden Logarithmusfunktionen genannt. Die Umkehrfunktion der Funktion im speziellen, der natürliche Logarithmus Definition 10.8 (Logarithmusfunktion) Die Logarithmusfunktion Wie alle Umkehrfunktionen entsteht die Logarithmusfunktion durch Spiegelung der Exponentialfunktionen an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten des Koordinatensystems. Daher sollten die Graphen der zugehörigen Logarithmusfunktionen nicht verwundern. Zunächst die Umkehrfunktion von, der natürliche Logarithmus
Kapitel 1 Mathematische Grundlagen Seite 7 Wir wollen aber auch noch zeigen wie man den Logarithmus zu einer anderen Basis schreiben kann. Die Umkehrfunktion von beispielsweise ist Die nachfolgende Bemerkung sollte beim Umrechnen zwischen Exponentialfunktion und Logarithmen helfen: Bemerkung 10.8 (allgemein) Analog für andere Exponentialfunktionen: (Logarithmus zur Basis ) Die Basis der Exponentialfunktion wird tiefergestellt nach dem log notiert und der Exponent, dient der Logarithmusfunktion als Argument. Ebenso wie bei den Exponentialfunktionen kann man auch mit den Funktionen der Logarithmen rechnen. Die Rechenregeln lassen sich von denen der Exponentialfunktion herleiten und sollen nicht weiter bewiesen werden. Es ist jedoch für komplexere Funktionen absolut unerlässlich, sie perfekt zu beherrschen! Bemerkung 10.8 (Rechenregeln für Logarithmusfunktionen) i) ii) iii) Betrachtet haben wir bisher konstante und identische Funktionen, Monome, Polynome, Wurzelfunktionen, sowie Exponential und Logarithmusfunktionen. Vermissen werden einige die trigonometrischen Funktionen. Dieses Versäumnis wollen wir nun nachholen. Definition 10.9 (Trigonometrische Funktionen Teil I) Wir betrachten einen Punkt auf dem Einheitskreis. Der Winkel, der von der positiven Achse und dem Nullpunkt eingeschlossen wird, sei. Dann heißt die Koordinate von der Sinus von x (. Der Winkel kann im Gradmaß oder im Bogenmaß (Länge des Bogens von 1 bis ) gemessen werden und es gilt:
Kapitel 1 Mathematische Grundlagen Seite 8 Bogens von 1 bis ) gemessen werden und es gilt: So lassen sich die Funktionen und definieren: und weiter: Trigonometrische Funktionen verlaufen periodisch wie der Graph der Sinusfunktion zeigt. Merken sollte man sich vor allem die Periodizität, die alle Schritte auftritt, die Nullstellen, die alle Schritte vorhanden sind, sowie den Wert von, nämlich 0. Vor allem letzterer Wert ist wichtig, um auf den ersten Blick eine Kosinusfunktion von einer Sinusfunktion zu unterscheiden. Die Kosinusfunktion entspricht exakt der Sinusfunktion, nur ist diese um verschoben: Der Tangens tritt ebenfalls periodisch auf, wobei er alle aufweißt, die durch das im Nenner begründet ist: Schritte eine Polstelle Wie auch die anderen Funktionen besitzen auch die trigonometrischen ihre eigenen Umkehrfunktionen und genauso wie bei den anderen müssen auf die speziellen Kriterien für Umkehrfunktionen geachtet werden d. h. auch hier dürfen nur spezielle Zweige zur Umkehrung ausgewählt werden. Bemerkung 10.9 (Lösungen des Sinus der Arcsin) Die Gleichung besitzt unendlich viele Lösungen und zwar
Kapitel 1 Mathematische Grundlagen Seite 9 Die Gleichung besitzt unendlich viele Lösungen und zwar und für alle Die Gleichung mit hat im Intervall genau eine Lösung, diese nennt man Die Funktion, ist die Umkehrfunktion des Sinus auf dem Intervall Bemerkung 10.9 (Einschränkungen) Man kann die Einschränkung des Sinus auf andere Intervalle betrachten und diese dann umkehren. Dadurch erhält man die sogenannten Nebenzweige des Arkussinus. Beim oben vorgestellten Arkussinus spricht man vom Hauptzweig. Analog verfährt man mit Kosinus, Tangens und Kotangens. Definition 10.9 (Trigonometrische Funktionen Teil II)