Kapitel I Lineare Gleichungsssteme Lineare Gleichungen in zwei Unbestimmten Die Grundaufgabe der linearen Algebra ist das Lösen von linearen Gleichungssstemen Beispiel : Gesucht sind alle Lösungen des Gleichungssstems I + = 4 II = Genügen und beiden Gleichungen, so erhält man durch Addition des fachen der zweiten Gleichung zur ersten Gleichung: I + II Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt + + 4 = 5 = 4 + 6 = 0, also 5 = 0, dh = 4 =, also = Das Gleichungssstem hat somit höchstens eine Lösung, nämlich =, = Die Probe bestätigt diese Lösung: I + = 4; II = Fazit: Das GLS ist eindeutig lösbar Die Lösung ist =, = Beispiel : I = II = Angenommen, genügen beiden Gleichungen Durch Addition erhält man I + II + = 0 = + =, Widerspruch Also ist die Annahme, dass das GLS lösbar ist, falsch Fazit: Das GLS ist unlösbar
Beispiel : = + = Lösen und die erste Gleichung, dh =, so ergibt die Multiplikation mit : + = dh und erfüllen automatisch auch die Gleichung Also ist das GLS gleichbedeutend mit der Gleichung =, dh = Lösungen sind zb 4 5 0 0 4 - Fazit: Das GLS ist lösbar, aber nicht eindeutig lösbar ( Veranschaulichung: Fasse jede Lösung, zu einem Zahlenpaar zusammen und interpretiere dieses als Punkt in der Ebene R ( Im Beispiel : Die Lösungen R bilden die Gerade l mit der Gleichung = l : = - 4 Im Beispiel : Die Lösungen von = bilden die Gerade l von oben Die Lösungen von + = bilden die Gerade l : = +
l und l haben beide die Steigung m = l und l sind verschieden und parallel, haben also keinen Schnittpunkt Folglich haben die beiden Gleichungen keine gemeinsame Lösung l l - - - 4 Im Beispiel : Die Lösungen von + = 4 bilden die Gerade l : = + Die Lösungen von = bilden die Gerade l 4 : = Die Geraden l und l 4 haben verschiedene Steigung Daher schneiden sie sich in genau einem Punkt Dieser Punkt ist ( = (
l 4 ( - - 4 l Wir betrachten nun zwei beliebige Gleichungen in zwei Unbekannten Frage: Wie kann die Gesamtheit aller gemeinsamen Lösungen ausfallen? Seien Zahlen a, b, c, d, e, f fest vorgegeben Betrachte das Gleichungssstem ( I a + b = e II c + d = f Wir wollen zunächst annehmen, dass wenigstens eine der Zahlen a, b, c, d verschieden von Null ist Durch evtl Vertauschen der Gleichungen und evtl Vertauschen der Unbestimmten kann man erreichen, dass die Zahl links oben 0 ist Sei also ohne Einschränkung a 0 Vereinfachung des Gleichungssstems: Ersetze die zweite Gleichung durch ihr a faches: ( a + b = e ac + ad = af 4
Gilt (, so gilt auch ( Aus ( folgt aber auch ( (Dividiere die zweite Gleichung von ( durch a Also sind die Gleichungsssteme ( und ( gleichwertig Subtrahiere das c fache der ersten Gleichung von der zweiten Gleichung Erhalte ( a + b = e (ad bc = af ec Wieder sind ( und ( gleichwertig, also auch ( und ( Unterscheide nun drei Fälle Fall : ad bc 0 Dann ist ( gleichwertig zu = also auch gleichwertig zu (4 af ec ad bc ; a + baf ec ad bc = e = af ec ad bc (= a ead ebc baf+bec ad bc = ed bf ad bc Fazit: Ist ad bc 0, so ist ( eindeutig lösbar Die Lösungsformel (4 nennt man die Cramersche Regel Fall : ad bc = 0 und af ec 0 Aus ( folgt 0 = af ec 0; die Gleichung ist unlösbar Fazit: Ist ad bc = 0 und af ec 0, so ist ( unlösbar Fall : ad bc = af ec = 0 Dann ist ( von der Form a + b = e; 0 = 0 Die zweite Gleichung ist für jedes erfüllt, kann also weggelassen werden ( Die Lösungsmenge von ( besteht also aus allen Paaren R, welche der Gleichung a + b = e 5
genügen Dabei war a 0 Anschaulich ist dies die Gerade l durch die Punkte ( e a 0 und ( e a b a e a b a e a l 6
Wir betrachten noch den Fall, dass a = b = c = d = 0 Dann degeneriert das Gleichungssstem zu ( 0 + 0 = e 0 + 0 = f Zwei Fälle sind möglich: ( Ist e = f = 0, so ist jedes Paar eine Lösung von ( Ist e 0 oder f 0, so hat ( keine Lösung Wir fassen zusammen: Struktur der Lösungsmenge eines Sstems von zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten Es gibt vier Möglichkeiten: Das Sstem ist eindeutig lösbar Das Sstem ist unlösbar Die Lösungen des Sstems bilden eine Gerade im R ( 4 Jeder Punkt R löst das Sstem 7