Kombinatorische Geometrien

KAPITEL 5 Kombinatorische Geometrien Beispiele von Geometrien wurden schon als Inzidenzstrukturen (z.b. projektive Ebenen) gegeben. Wir nehmen hier einen anderen Standpunkt ein und verstehen unter einer Geometrie zunächst eine Grundmenge M, auf der eine Abhängigkeitsstruktur gegeben ist. Diese Begriffe können unter verschiedenen Aspekten spezifiziert werden. 1. Hüllensysteme und Abschlussoperatoren Ein Hüllensystem ist eine Familie H von Teilmengen H M derart, dass (HS1) M H. (HS2) H H für alle H H. H H H ist also stabil unter beliebigen Durchschnitten und enthält die Grundmenge M. H definiert einen Hüllenoperator (oder Abschlussoperator) auf der Potenzmenge von M: Offenbar gilt S S = {H H S H} H. S = S S H. Die Mengen H heissen deshalb auch abgeschlossen. Die (Halb-)Ordnung (H, ) der abgeschlossenen Mengen ist ein Verband (H,, ) mit den Operationen H 1 H 2 = H 1 H 2 H 1 H 2 = H 1 H 2 = H 1 H 2. EX. 5.1. Die Potenzmengen sind trivialerweise Hüllensysteme. Die linearen Teilräume eines Vektorraums bilden ein Hüllensystem. Aber z.b. auch die Menge aller konvexen Teilmengen des R n bildet ein Hüllensystem. Ebenso die Menge aller Polyeder in R n etc. Wir machen für die weitere Diskussion in diesem Kapitel die Annahme, dass die Grundmenge M endlich ist. Ein Hüllensystem (H, ) ist dann ein 85

86 5. KOMBINATORISCHE GEOMETRIEN endlicher Verband und besitzt eine Rangfunktion r(h) = max{k H i H so, dass H 0 H 1... H k = H}, die in natürlicher Weise auf die Potenzmenge von M fortgesetzt werden kann: r(s) = r(s) für alle S M. Offenbar gilt nun für alle a M: a S r(s a) = r(s). Das heisst: Das Hüllensystem H ist durch seine Rangfunktion r : P ot(m) N eindeutig bestimmt: S = {a M r(s a) = r(s)}. Man beobachtet nun sofort: r ist 0-normiert und stark monoton im folgenden Sinn. Für alle Teilmengen S T M und Elemente a M gilt: (RF.0) r( ) = 0 ; (RF.1) r(s a) r(s) ; (RF.2) r(t a) > r(t ) = r(s a) > r(s). LEMMA 5.1. Sei M eine endliche Menge, r : P ot(m) N eine Funktion mit den Eigenschaften (RF.0)-(RF.2) und S = {a M r(s a) = r(s)} für alle S M. Dann ist H = {S S M} ein Hüllensystem. Beweis. Da r eine monotone Funktion ist, gilt offenbar M = M und deshalb M H. Seien nun H 1, H 2 H und H = H 1 H 2. Wir müssen H H nachweisen und betrachten dazu ein beliebiges a M \ H mit r(h a) = r(h). Wegen H 1, H 2 H und (RF.2) wissen wir, dass a H 1 und a H 2 gelten muss. Also haben wir a H und schliessen somit H H. 1.1. Geometrische Rangfunktionen. Wollen wir die Rangfunktion r eines Hüllenoperators geometrisch interpretieren können, so erwarten wir sicher, dass die Hinzunahme eines weiteren Punktes a zu einer Teilmenge S den Rang allenfalls um 1 erhöht, d.h. (RF.3) r(s a) = r(s) oder r(s a) = r(s) + 1. Unter einer geometrischen Rangfunktion verstehen wir deshalb eine normierte stark monotone Funktion r mit der Eigenschaft (RF.3) (d.h. eine Funktion mit den Eigenschaften (RF.0)-(RF.3)).

1. HÜLLENSYSTEME UND ABSCHLUSSOPERATOREN 87 PROPOSITION 5.1. Es sei r eine geometrische Rangfunktion auf der endlichen Menge M mit Hüllenoperator S S = {a M r(s a) = r(s)}. Dann ist r genau die wieder aus dem Hüllenoperator abgeleitete Rangfunktion. Beweis. Für die Zwecke des Beweises bezeichnen wir mit r die Rangfunktion des Hüllenoperators S S. Sei nun die Kette abgeschlossener Mengen S 1... S k = S derart, dass k = r(s). Dann gilt notwendigerweise für jedes a S i \ S i 1 S i = (S i 1 a), denn S i 1 (S i 1 a) S i würde ja r(s) k + 1 bedeuten. Die Eigenschaft (RF.3) garantiert nun r(s i ) = r(s i 1 ) + 1 d.h r(s) = k = r(s k ) = r(s). Allgemein erhalten wir deshalb: r(s) = r(s) = r(s) = r(s). Die Eigenschaft (RF.3) ist stärker als (RF.1). Ist sie gegeben, so kann man geometrische Rangfunktionen auch durch Submodularität (d.h. Eigenschaft (21) im folgenden Lemma 5.2) charakterisieren, was für spätere Verallgemeinerungen vorteilhaft ist. LEMMA 5.2. Sei r : P ot(m) N eine 0-normierte Funktion mit der Eigenschaft (RF.3). Genau dann ist r eine geometrische Rankfunktion, wenn gilt (21) r(s T ) + r(s T ) r(s) + r(t ) für alle S, T M. Beweis. Wir nehmen zunächst an, dass r im Sinne von (21) submodular ist, und beweisen (RF.2). In der Tat haben wir im Fall S T wegen S = T (S a), T a = T (S a) und der Submodularität von r r(t ) + r(s a) r(t a) + r(s) d.h. r(s a) r(s) r(t a) r(t ) und somit (RF.2). Umgekehrt nehmen wir nun an, dass r die Eigenschaft (RF.2) besitzt, und beweisen, dass dann auch (21) gelten muss. Wir argumentieren per Induktion über n = M, wobei der Fall n 1 trivial ist. Sei also (21) garantiert wennimmer M n 1.

88 5. KOMBINATORISCHE GEOMETRIEN Im Fall S T haben wir S T = S und deshalb (21). Andernfalls gibt es ein a S mit a / T. Sei S := S \ a und folglich S T = S T. Nach Induktionsvoraussetzung (bzgl. M \ a) gilt dann r(s T ) + r(s T ) r(s ) + r(t ) bzw. r(s T ) r(s ) r(t ) r(s T ). Im Fall r(s T ) = r(s T ) folgt (21) sofort aus r(s ) r(s). Im Fall r(s T ) = r(s T ) + 1 haben wir wegen (RF.2) auch r(s) = r(s ) + 1 und somit ebenso die Gültigkeit von (21). BEMERKUNG. Es gibt von Hüllenoperatoren abgeleitete Rangfunktionen, die zwar submodular, aber keine geometrischen Rangfunktionen im oben eingeführten Sinn sind. EX. 5.2. M = {a, b} mit Hüllensystem H = {, b, {a, b}} ergibt 0 = r( ) < r(a) = 2 r( ) + 1. (RF.3) ist also auch bei Submodularität echt stärker als (RF.1). Typische Beispiele von geometrischen Rangfunktion erhält man so. Wir betrachten eine Matrix A K m n über einem Körper K und nehmen als Grundmenge M die Menge aller Spaltenvektoren von A. Einer Teilmenge S M mit S = k entspricht die aus der Spaltenmenge S gebildete Untermatrix A S K m k. Als Rangfunktion auf M wählen wir den Matrixrang: r(s) := rg A S. In diesem Beispiel bedeutet r(s a) > r(s), dass der Spaltenvektor a nicht von den Vektoren in S linear abhängt. Aus dem Gaussverfahren zur Lösung linearer Gleichungen ist klar, dass der Rang einer Matrix höchstens um 1 wächst, wenn eine weitere Spalte hinzugefügt wird. Liegt r(t a) > r(t ) vor, dann hängt a natürlich auch nicht von einer Untermenge S der Vektormenge T ab: r(s a) > r(s) (d.h. Eigenschaft (RF.2) ist erfüllt). BEMERKUNG (KOORDINATISIERUNGEN). Es gibt auch geometrische Rangfunktionen, die nicht auf eine Matrixkonstruktion wie oben zurückgeführt werden können. Die Frage, wann eine solche Koordinatisierung einer gegebenen geometrischen Rangfunktion möglich ist, ist im allgemeinen sehr offen. Wenn man die Frage einschränkt auf Koordinatisierung über einem fest vorgegebenen Körper K, so sind Charakterisierungen bzgl. einiger weniger endlicher Körper (K = GF (2), GF (3), GF (4)) bekannt.

2. UNAHHÄNGIGKEITSSYSTEME UND GEOMETRISCHE RANGFUNKTIONEN 89 2. Unahhängigkeitssysteme und geometrische Rangfunktionen Bzgl. eines Hüllensystems mit Rangfunktion r auf der (endlichen) Menge M sagen wir, dass a M von der Teilmenge S M \ a abhängt, falls a S. Dementsprechend nennen wir eine Menge I M unabhängig, wenn a S = a / (S \ a) (bzw. r(s \ a) < r(s) ). Mit jeder unabhängigen Menge I ist sicher auch jede Teilmenge I I unahbhängig (denn a I I \ a impliziert ja immer a I \ a). Das Mengensystem I = I(r) = {I M I unabhängig bzgl. r} ist also ein Unabhängigkeitssystem (bzw. ein Simplizialkomplex). Entfernen wir aus einer Teilmenge S M sukzessive Elemente a S mit der Eigenschaft r(s \ a) = r(s), so erhalten wir eine unabhängige Teilmenge gleichen Ranges. Das heisst r(s) = max {r(i) I I(r), I S}. Aus der Intuition der linearen Algebra (vgl. die aus Matrizen gewonnenen geometrischen Rangfunktionen oben) würde man erwarten: (22) r(i) = I für alle I I(r). Man sieht jedoch leicht, dass im allgemeinen zwar für unabhängige Mengen I immer I r(i) gilt, Gleichheit aber nicht unbedingt gewährleistet ist. Wir nennen deshalb die Rangfunktion r matroidal, wenn I(r) die Eigenschaft (22) besitzt. Matroidale Rangfunktionen r zeichnen sich also durch die Eigenschaft aus S I(r) r(s) = S. Alternativ haben wir die folgende Charakterisierung: (23) r matroidal r(s) S für alle S M. LEMMA 5.3. Die matroidalen Rangfunktionen sind genau die geometrischen Rangfunktionen.

90 5. KOMBINATORISCHE GEOMETRIEN Beweis. Sei die Rangfunktion r geometrisch und I = {a 1,..., a m } I(r). Wir setzen I 0 := und I k := I k 1 a k für k = 1,..., m. Dann haben wir r(i k 1 ) < r(i k ) < r(i k 1 ) + 1 d.h r(i k ) = r(i k 1 ) + 1 und folglich r(i m ) = m = I. Ist umgekehrt r matroidal und r(s) < r(s a), so existiert eine unabhängige Menge I S mit I = S und I = r(i) = r(s). Aus I a = S a ersehen wir r(i a) = r(s a). Also enthält auch I a eine unabhängige Menge vom Rang r(s a), d.h. r(s) r(s a) I a = r(s) + 1. Umgekehrt gehen wir von einem beliebigen Unabhängigkeitssystem I auf M aus und definieren eine Funktion r I : P ot(m) N durch r I (S) = max{ I I I, I S}. Es ist klar, dass r I die Eigenschaften (RF.0), (RF.1) und (RF.3) besitzt. Also finden wir: LEMMA 5.4. Die durch das Unabhängigkeitssystem I definierte Funktion r I ist die Rangfunktion eines Hüllensystems genau dann, wenn r I matroidal ist. Ist r I matroidal, dann ist I genau das zugehörige System der unabhängigen Mengen. 2.1. Die Steinitzsche Austauscheigenschaft. Ist r eine matroidale Rangfunktion auf M, dann weisen die Mengen I = I(r) eine Erweiterungseigenschaft auf, die als Austauscheigenschaft von Steinitz bekannt ist: (SA) Sind I, J I Mengen mit I J 1, so existiert ein a J \ I derart, dass I a I. Wegen r(i) = I < r(j) existiert nämlich (mindestens) ein a J mit r(i) < r(i a) = r(i) + 1. Also muss I a unabhängig sein. Umgekehrt gehen wir nun von einem beliebigen Unabhängigkeitssystem I auf M aus und definieren zu jedem S M Damit haben wir bewiesen r I (S) := max { I I I, I S}.

3. KOMBINATORISCHE GEOMETRIEN UND MATROIDE 91 SATZ 5.1. Das Unabhängigkeitssystems I auf M genügt genau dann der Steinitzeigenschaft (SA), wenn die zugehörige Funktion r I einen Hüllenoperator auf M definiert. 3. Kombinatorische Geometrien und Matroide Unter einer kombinatorischen Geometrie verstehen wir eine (endliche) Menge M zusammen mit einer geometrischen Rangfunktion r mit der Eigenschaft r(a) = 1 für alle a M. BEMERKUNG (MATROIDE UND SCHLINGEN). Setzen wir nur eine geometrische Rangfunktion r voraus, so ist (M, r) ein Matroid. Ein Element a M mit r(a) = 0 (d.h. a ) heisst dann Schlinge (auf englisch: loop), eine Sprechweise die durch die graphentheoretische Interpretation später klarer werden wird. Wir haben im vorhergehenden Abschnitt gesehen: Matroide entsprechen genau den Unabhängigkeitssystemen, welche die Steinitzsche Austauscheigenschaft besitzen. In einer kombinatorischen Geometrie G = (M, r) vom Rang r(g) = r(m) nennen wir die Elemente a M die Punkte von G, abgeschlossene Mengen G = G mit r(g) = 2 Geraden. Ebenen sind abgeschlossene Mengen E mit r(e) = 3 und Hyperebenen abgeschlossene Mengen H vom Rang r(h) = r(g) 1. Eine kombinatorische Geometrie G vom Rang r(g) = 3 ist jedoch nicht notwendigerweise eine projektive Ebene, da zwei Geraden möglicherweise keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. 3.1. Restriktion und Kontraktion. Ist M M eine Teilmenge von M so ist die Einschränkung r der geometrischen Rangfunktion r auf die Teilmengen von M natürlich eine geometrische Rangfunktion auf M. Wir bezeichnen mit G(M ) = (M, r ) = G \ (M \ M ) die Restriktion der kombinatorischen Geometrie (bzw. des Matroids) G auf M. (Die zweite Notation soll andeuten, dass dazu die Elemente der komplementären Menge M \ M entfernt werden.) BEMERKUNG. Die unabhängigen Mengen von G(M ) ergeben sich als I(r ) = {I M I I(r)}.

92 5. KOMBINATORISCHE GEOMETRIEN Eine weitere Möglichkeit, aus einer gegebenen kombinatorischen Geometrie eine andere zu konstruieren, wird durch die Idee der Projektion der Geraden durch einen Punkt a auf eine unendlich ferne Hyperebene gegeben. Konkret bedeutet dies, dass wir die Geraden G, die a enthalten, als Punkte p einer neuen geometrischen Struktur mit der Rangfunktion r a ({p 1,..., p k {) := r({p 1... p k }) 1 auffassen. Die Konstruktion läuft darauf hinaus, dass wir auf der Menge M := M \ a eine Rangfunktion r a, wie folgt, betrachten: r a (S) := r(s a) 1 (S M ). Es ist leicht zu sehen, dass r a eine geometrische Rangfunktion auf M ist. Wir bezeichen die entsprechende kombinatorische Geometrie mit G/a = (M, r a ) und nennen G/a die Kontraktion 1 von G bzgl. a. BEMERKUNG. Aus der Definition von r a folgt direkt: I(r a ) = {I M \ a I a I}. 3.2. Dekomposition. Man kann eine kombinatorische Geometrie G auf M dekomponieren, indem man der Reihe nach Elemente aus der Grundmenge entfernt und entweder die entsprechende Restriktion oder Kontraktion der vorangehenden Geometrie definiert. Dabei ist es irrelevant, ob wir zuerst die Restriktionen oder die Kontraktionen durchführen, d.h. im Fall A B = erhalten wir (G \ A)/B = (G/B) \ A, denn beide Strukturen sind auf M = M \ (A B) definiert und haben als Rangfunktion r B (C) = r(c B) (C M ). 1 dieser Begriff erhält eine anschauliche Erklärung im Kontext von Graphen

4. PROJEKTIVE GEOMETRIEN 93 3.3. Invarianten. Ein kombinatorischen Geometrien (Matroiden) G zugeordneter numerischer Parameter t(g) heisst (Matroid)-Invariante, falls für alle Elemente a der jeweiligen Grundmenge gilt: (24) t(g) = t(g \ a) + t(g/a). EX. 5.3. Ist G = (M, r) eine kombinatorische Geometrie, so haben wir bzgl. eines jeden a M: I \ a = {I I a / I} I/a = {I I a I} d.h. I(r) = I \ a + I/a. Die Anzahl t(g) der unabhängigen Teilmengen einer kombinatorischen Geometrie G ist folglich eine Invariante. Der Wert der Invarianten t(g) ist durch ihre Werte auf den kleineren kombinatorischen Geometrien G \ a und G/a festgelegt und kann deshalb rekursiv aus t( ) und der Dekompositionsstruktur von G berechnet werden. 4. Projektive Geometrien Einer geometrischen Sprechweise folgend heissen die abgeschlossenen Teilmengen einer kombinatorischen Geometrie G = (M, r) auch Unterräume von G. Gilt für je zwei Unterräume S, T die modulare Gleichung (25) r(s T ) + r(s T ) = r(s) + r(t ), wird G = (M, r) eine projektive Geometrie genannt. Die projektiven Ebenen sind genau die projektiven Geometrien G vom Rang G = 3. BEMERKUNG. Die modulare Gleichung (25) wird bei projektiven Geometrien nur für Unterräume vorausgesetzt. Bei (nicht abgeschlossenen) Teilmengen ist sie nicht unbedingt erfüllt. (Zur Erinnerung: S T ist der kleinste Unterraum, der S und T enthält.) Man macht sich klar: Die Kontraktion einer projektiven Geometrie ergibt immer eine projektive Geometrie. Die Restriktion einer projektiven Geometrie ist typischerweise keine projektive Geometrie (aber natürlich eine kombinatorische Geometrie).

94 5. KOMBINATORISCHE GEOMETRIEN BEMERKUNG (DIMENSION PROJEKTIVER RÄUME). Unter der (projektiven) Dimension eines Unterraums S einer projektiven Geometrie G = (M, r) versteht man die Zahl dim S := r(s) 1. Die Elemente p M haben somit als Punkte der projektiven Geometrie G die Dimension dim p = r(p) 1 = 0. Projektive Geraden haben Dimension 1, Ebenen Dimension 2 usw. 4.1. Projektive Geometrien von Vektorräumen. Sei V ein Vektorraum der (Vektorraum-)Dimension dim V V = n über einem (endlichen) Körper K mit K = q Elementen. Dann ist die Anzahl der Vektoren von V V = q n. Jeder 1-dimensionale Unterraum p = v von V umfasst q Elemente: v = {λv λ K} (v V \ {0}). Wir nehmen nun die Menge M = {v v V \{0}} aller 1-dimensionalen Unterräume von V als die Menge der Punkte(!) einer kombinatorischen Geometrie P = P(V ) = (M, r), wobei wir setzen r(s) = dim V S (S M). Die abgeschlossenen Teilmengen der kombinatorischen Geometrie P(V ) entsprechen genau den linearen Teilräumen des Vektorraums V. Die (aus der linearen Algebra bekannte) Modularität der Dimensionsfunktion auf dem Verband der linearen Teilräume von V zeigt: P(V ) ist eine projektive Geometrie. Die Grundelemente von P(V ) sind bzgl. V aber nicht Vektoren sondern 1-dimensionale lineare Teilräume. Die projektive(!) Dimension von P ist dim P(V ) = dim V V 1 = n 1. Wieviele Punkte besitzt die projektive Geometrie P? Da sich je zwei 1- dimensionale lineare Teilräume von V genau im 0-Vektor schneiden, finden wir P = qn 1 q 1. Betrachten wir V = K n als Koordinatenraum, so erhalten wir die (linearen) Hyperebenen von V als die Mengen der Lösungen x = (x 1,..., x n ) K n von homogenen linearen Gleichungssystemen vom Rang 1: a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = 0.

4. PROJEKTIVE GEOMETRIEN 95 Also schliessen wir, dass auch für die Menge H der Hyperebenen der projektiven Geometrie P(V ) gilt: H = qn 1 q 1 = P, wie wir es schon bei projektiven Ebenen kennen.