Gleichungslehre - 1.Teil

Gleichungslehre - 1.Teil ALGEBRA Kapitel 3 MNProfil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 4. März 2012

Überblick über die bisherigen ALGEBRA - Themen: 1 Mengenlehre 1.1 Die Menge im mathematischen Sinne 1.2 Darstellungsformen 1.3 Teilmengen 1.4 Rechnen mit Mengen 1.5 Mengen im Koordinatensystem 1.6 Rechnen in Mengen 2 Termumformungen 2.1 Grundbegriffe 2.2 Einfache Termumformungen 2.3 Das Rechnen mit Polynomen 2.4 Das Rechnen mit Brüchen I

Inhaltsverzeichnis 3 Gleichungslehre 1 3.1 Aussagen, Aussageformen & Gleichungen............. 1 3.2 Das Lösen von Gleichungen..................... 6 3.3 Lineare Gleichungen & deren Diskussion.............. 12 3.3.1 Grundlagen.......................... 12 3.3.2 Gleichungen mit Parametern................ 15 3.3.3 Die Mächtigkeit der Lösungsmenge - eine Lernaufgabe.. 17 3.3.4 Diskussion........................... 24 3.4 Bruchgleichungen........................... 29 II

3 Gleichungslehre Wir werden uns in diesem Kapitel mit einem sehr wichtigen Bereich der Mathematik beschäftigen, mit der Gleichungslehre und damit auch mit dem Lösen von Gleichungen. Im 1. Teil werden wir uns mit den Begriffen Aussage und Aussageform befassen und dadurch die Grundlagen für den Umgang mit Gleichungen schaffen. Weiter werden wir uns mit der Lösung einer Gleichung auseinandersetzen. Nach diesen eher theoretischen Abschnitten werden wir uns dann mit dem Lösen spezieller Gleichungstypen befassen, den Linearen Gleichungen und den Bruchgleichungen, und insbesondere deren Lösbarkeitsbedingungen diskutieren. Im 2. Teil werden wir uns insbesondere mit den Quadratischen Gleichungen befassen. Dies beinhaltet auch die Biquadratischen Gleichungen und Wurzelgleichungen und natürlich wieder die Diskussion der Lösbarkeitsbedingungen. Weiter werden wir mit Hilfe eines Unterrichtspuzzle Textaufgaben behandeln. Auch wird der Satz von Vieta besprochen. Abschliessend werden wir noch auf die Kubischen Gleichungen eingehen. Als wichtige Unterstützung der Theorie verwenden wir die Aufgaben aus Deller/ Gebauer/ Zinn: Algebra 1 3.1 Aussagen, Aussageformen & Gleichungen Wie bei der Menge im mathematischen Sinne wollen wir in diesem Kapitel der Frage nachgehen, was eine Aussage im mathemtischen Sinne ist. Wir beginnen mit der Definition und werden den Begriff der Aussage und weiterführende Begriffe anhand von Beispielen und Aufgaben vertiefen. Def.: Eine Aussage (im mathematischen Sinn) ist ein Satz, von dem es sinnvoll und möglich ist zu sagen, er ist wahr oder falsch. Einer Aussage kann somit ein Wahrheitswert, wahr oder falsch, zugeordnet werden. 1

Wir wollen uns durch die folgenden Aufgaben mit den Begriffen Aussage und Wahrheitswert etwas vertraut machen: Aufgaben : Entscheide, welche der folgenden Sätze Aussagen sind und bestimme dessen Wahrheitswert: 1. 27 ist keine natürliche Zahl. 2. Ist 27 eine natürliche Zahl? 3. 27 N. 4. Welch eine prächtige Aussicht. 5. Gestern hat es in Peking geregnet. Bestimme den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: 1. 4 + ( 18) = 14 200 2. 400 = 205 405 3. { 2, 0, 2, 4} Z 4. { 2, 0, 2, 4} Z 1 5. 4 1 2 > 1 4 + 1 2 Ein Forscher kommt in ein Gebiet, in welchem zwei Stämme leben: Der F-Stamm, dessen Angehörige stets lügen, und der W-Stamm, dessen Angehörige immer die Wahreit sagen. Er trifft zwei Männer: Der Erste sagt: Wir sind zwei F-Männer. Was ist die Stammeszugehörigkeit der beiden Männer? 2

Für unseren Einstieg in die Gleichungslehre benötigen wir noch die folgenden Begriffe: Def.: Eine Aussageform ist ein Satz mit mindestens einer Variablen, der in eine Aussage übergeht, falls alle Variablen geeignet ersetzt werden. Beispiel 3.1.1 x ist ein Teiler von 25. Ist keine Aussage, aber eine Aussageform denn: Ersetze x durch 4 der Satz wird zu einer (falschen) Aussage. Ersetze x durch 5 der Satz wird zu einer (wahren) Aussage. a ist ein Teiler von b. Ist... denn:... Die Einschränkung der zulässigen Einsetzungen einer Aussageform führt uns auf den folgenden Begriff: Def.: Die Menge aller Elemente, welche wir beim Einsetzen in eine Aussageform zulassen wollen, heisst eine Grundmenge der Aussageform. Bem.: Schreibweise: G. Die Grundmenge G einer Aussageform ist nicht eindeutig bestimmt. Je nach Wahl oder Vorgabe von G ist die Mächtigkeit der Menge aller Elemente, welche die Aussageform in eine wahre Aussage überführen, unterschiedlich. Beispiel 3.1.2 Wir betrachten die folgende Aussageform A: A = x ist ein (natürlicher) Teiler von 33. Bestimme die Mächtigkeit der Menge aller Elemente, welche A zu einer wahren Aussage machen, falls 1. G = Z ist, 2. G = N >20 ist, 3. G = N ist. 3

Die im letzten Beispiel gesuchten Mengen haben noch einen speziellen Namen, welchen wir im folgenden definieren werden: Def.: Sei A eine Aussageform mit der Grundmenge G. Die Menge aller Elemente aus G, welche A zu einer wahren Aussage machen, heisst die Lösungsmenge von A (bzgl. G). Bem.: Schreibweise: L. Ein Element aus L heisst eine Lösung von A. L G. Aufgaben : Wir betrachten die folgende Aussageform A A = x ist ein Teiler von 18. Bestimme die Lösungsmenge von A, falls 1. G = N ist, 2. G = N g ist. Wir können feststellen, dass die Lösungsmenge von der Wahl der Grundmenge abhängt! Aufgaben : Wir betrachten die folgende Aussageform A: A = x ist ein (natürliches) Vielfaches von 5 und kleiner als 30. Bestimme die Lösungsmenge L für den Fall, dass 1. G = N ist, 2. G = Z ist, 3. G = {x N x V 2 } ist, 4. G = {x Z x > 5 x < 10} ist, 5. G = {x Z x > 5 x < 10} ist. 4

Eine in der Mathematik sehr häufig verwendete Aussage oder Aussageform ist die Gleichung, die im folgenden kurz definiert wird: Def.: Wenn wir zwischen zwei Terme ein Gleichheitszeichen = setzen, sprechen wir von einer Gleichung. Beispiel 3.1.3 5 = 7 x(x + 5) = 0 Formuliere in eigenen Worten den Zusammenhang zwischen einer Gleichung und einer Aussage oder Aussageform. Beachte, dass für eine Gleichung, als eine spezielle Form einer Aussage oder Aussageform, das Gleiche Gültigkeit hat, was auch für Aussagen und Aussageformen gilt. 5

3.2 Das Lösen von Gleichungen Beim Lösen von Gleichungen geht es nun darum, die Menge aller zulässigen Elememte zu bestimmen, welche die Gleichung in eine wahre Aussage überführen. Bem.: mit zulässigen Elementen sind... mit Elementen, welche die Gleichung in eine wahre Aussage überführen sind... Beispiel 3.2.1 i. 5 = 7... ii. x(x 5) = 0... 1. 2. Wir können auch hier die Abhängigkeit der Lösungsmenge von der Grundmenge feststellen. Beachte : L = { } L = G 6

Aufgaben : Bestimme die Menge aller Elemente aus der Grundmenge G, welche die folgenden Aussageformen in eine wahre Aussage überführen: 1. 2x ist durch 4 teilbar, mit (a) G = {x N x 30} (b) G = {x N x V 3 } 2. x 7 = 8, mit (a) G 1 = N (b) G 2 = Z 3. x 2 4 = 0, mit (a) G 1 = N (b) G 2 = N 0 (c) G 3 = Z 4. a + b = 2a, mit G = N N Neben den Gleichungen existieren noch die sogenannten Ungleichungen, wo zwei Terme durch <, >, oder vebunden sind. Auch hier gilt, dass eine Ungleichung als eine spezielle Form einer Aussage/ Aussageform, die Eigenschaften von Aussagen/ Aussageformen hat. Zur Erinnerung: 7

Aufgaben : Wähle als Grundmenge die Menge der natürlichen Zahlen und bestimme jeweils die Lösungsmenge: 1. x < x + 1 2. x > x + 1 3. x x + 1 4. x x + 1 Aufgaben : Wähle bei den folgenden Aufgaben selber eine sinnvolle Grundmenge, definiere eine Lösungsvariable und formuliere die zugehörigen Gleichung/ Ungleichung: 1. Welche natürlichen Zahlen sind mit (-2) multipliziert grösser als sie selbst? 2. Welche ganzen Zahlen sind mit 2 multipliziert kleiner oder gleich als sie selbst? 3. Welche rationale Zahlen sind mit 6 addiert gleich gross wie ihr Vierfaches? 8

Bei einfachen Gleichungen und Ungleichungen, wie in den bisherigen Beispielen, lässt sich die Lösung direkt ablesen: 14 + x = 25 x = 5x = 4 x = Interessanter wird es bei Gleichungen der folgenden Form: x (x + 2) : 0.5 + 2x 3 = 17 Unser Ziel beim Lösen von Gleichungen ist es, komplizierte Gleichungen in einfache Gleichungen umzuformen, um dann die Lösung, die Lösungen oder die Lösungsmenge direkt ablesen zu können. Bei diesen Umformungen sind zwei Punkte unbedingt zu beachten: 1. 2. Umformungen, welche diese beiden Bedingungen erfüllen heissen Äquivalenzumformungen Def.: Gleichungen heissen (zueinander) äquivalent : sie besitzen die gleiche Lösungsmenge. Bem.: Durch Äquivalenzumformungen entstehen äquivalente Gleichungen. Folgende Äquivalenzumformungen sind uns schon bekannt: Schreibweise: 9

Beispiel 3.2.2 Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: 1. 8x (7x 22) = 3x (2x + x 4) 2. ( 37) 3(x + 2) = 18x 7(3x + 6) 3. x 2(x + 5) 2(x 5) + 3(1 + x) = 3 4. x(12x 96) = 0 ( q ) ( q ) 5. 15 3 2 = 5 2 + 3 (q + 3) Wir treffen die folgenden Vereinbarungen: (Aufg.: 28-55 ; 28a, 31d, 34e, 42c, 44a, 45a, 46c, 47b, 48d, 49a,c, 52a, 53a, 54c Bestimme jeweils die Lösungsmenge L ) 10

Bevor wir uns im Folgenden mit der Diskussion von Linearen Gleichungen und mit weiteren Gleichungstypen befassen werden, eine Zusammenstellung von Begriffen & Formulierungen, die du musst definieren können: Aussage Aussageform Grundmenge Lösungsmenge Lösung sein Äquivalenzumformungen äquivalent zueinander sein 11

3.3 Lineare Gleichungen & deren Diskussion 3.3.1 Grundlagen Ein leicht zu lösender und interessant zu diskutierender Gleichungstyp ist der folgende: Def.: Eine Gleichung heisst linear : Die Lösungsvariable kommt in der ersten und in keiner höheren Potenz vor. Beispiel 3.3.1 Gib eigene Beispiele für eine lineare Gleichung an: x 2 + x = 30 5x 7 + 3x 3 = x 4a 2 x + 12a 3 b = 16a 2 Wir wollen uns nun mit dem Lösen einer linearen Gleichung mit Parametern beschäftigen: Grundsätzlich werden solche Gleichungen wie die üblichen linearen Gleichungen behandelt: 1. Ziel: 2. Zu beachten gilt: 3. Erreicht wird dies durch: 12

Beispiel 3.3.2 Löse die folgenden Gleichungen nach x auf: 1. ax + b = c 2. x = 2b 2 2 bx 3. 4a 2 x + 12a 3 b = 16a 2 Die Verwendung von Parametern (sog. Formvariabeln) ermöglicht uns auch neue Fragenstellungen: Wie müssen die Parameter a und b gewählt werden, für L = {0}? 13

Beispiel 3.3.3 1. 2px q 2 p + q + q = p 2. px p 2 1 = x 2p 3. 2x m + 1 2m 6 m 1 = x m 1 4. (x m)(mx + 2) + (1 + mx)(2m x) + m 4 = 1 (Aufg.: 75-100 ; 75a, 78b, 82a, 86a, 90b, 92a, 97a, 99c Löse jeweils nach der Lösungsvariable auf) 14

3.3.2 Gleichungen mit Parametern Um die Bedeutung der Parameter aufzuzeigen wollen wir uns mit den folgenenden Beispielen befassen: Beispiel 3.3.4 Löse die folgende Gleichung für die angegebenen Parameterwerte: 4ax x(a 1) = x 6a 2, mit a = 15, 0.5, 20, 100 Wir erhalten auch eine neue Möglichkeit der Fragestellung: Wie muss a gewählt werden, damit die Lösung x = 10 ist? 15

Der Einsatz von Parametern ermöglicht uns nicht nur neue Fragestellungen, sondern vereinfacht auch den Aufwand beim Lösen mehrere Gleichungen von der gleichen Form: Beispiel 3.3.5 Löse alle Gleichungen: 2x + 1 = 5x + 10 2x + 2 = 5x + 20 2x + 3 = 5x + 30 2x + 4 = 5x + 40 2x + 5 = 5x + 50 2x + 6 = 5x + 60 (Aufg.: 70-74, 102-103; 16

3.3.3 Die Mächtigkeit der Lösungsmenge - eine Lernaufgabe Im Folgenden sollst du selbständig die Mächtigkeit der Lösungsmenge einer linearen Gleichung untersuchen. Das heisst, du gehst der Frage nach, wie viele Lösungen eine lineare Gleichung haben kann. Du wirst diese Frage graphisch beantworten und dazu versuchen, einen Zusammenhang zwischen einer Gleichung und einer Funktion herzustellen. Dieser Zusammenhang wird dir auch ermöglichen Gleichungstypen, für welche du noch kein Lösungsverfahren kennst, näherungsweise zu lösen. Arbeite den folgenden Text sorgfälltig durch. Er beinhaltet viele Wiederholungen zur Festigung der Grundbegriffe und kleine Beispiele und einfache Aufgaben, die dich in kleinen Schritten vorwärts bringen sollen. Du sollst diesen Zusammenhang zwischen einer Gleichung und einer Funktion mit Hilfe einiger Beispiele herleiten. Dafür musst du die folgenden Beispiele durcharbeiten: 1. Beispiel : 3x + 9 = 0 Ist eine Aussageform. Um die Lösungsmenge dieser Gleichung zu bestimmen, suchst du aus der Grundmenge all diejenigen Elemente, welche eingesetzt eine wahre Aussage erzeugen, d.h. du suchst die Elemente, die in der linken Seite eingesetzt 0 ergeben: L = {... } f(x) = 3x + 9 Ist eine Funktionsgleichung. Um die Nullstellen dieser Funktion zu bestimmen, suchst du aus dem Definitionsbereich all diejenigen Elemente, welche in der Funktionsgleichung eingesetzt 0 ergeben: x =... 17

2. Beispiel : x 2 4 = 0 Ist eine Aussageform. Um die Lösungsmenge dieser Gleichung zu bestimmen, suchst du aus der Grundmenge all diejenigen Elemente, welche eingesetzt eine wahre Aussage erzeugen, d.h. du suchst die Elemente, die in der linken Seite eingesetzt 0 ergeben: L =...... g(x) = x 2 4 Ist eine Funktionsgleichung. Um die Nullstellen dieser Funktion zu bestimmen, suchst du aus dem Definitionsbereich all diejenigen Elemente, welche in der Funktionsgleichung eingesetzt 0 ergeben: x 1 =..., x 2 =... Du kannst festhalten, dass die Lösungsmenge einer Gleichung der Menge aller Nullstellen der zugehörigen Funktion entspricht. die Grundmenge einer Gleichung dem Definitionsbereich der zugeörigen Funktion entspricht. Bestimme analog die Lösungsmenge für x 2 + 4x + 4 = 0 die Menge aller Nullstellen von h(x) = x 2 + 4x + 4 (Verwende dazu (ein weiteres mal): Ein Produkt ist gleich 0 mindestens ein Faktor ist gleich 0. ) 18

3. Beispiel : 3x = x 2 + 2 Ist eine Aussageform. Um die Lösungsmenge dieser Gleichung zu bestimmen, suchst du aus der Grundmenge all diejenigen Elemente, welche eingesetzt eine wahre Aussage ergeben: L =...... h(x) = x 2 3x + 2 = (......)(......) Ist eine Funktionsgleichung. Um die Nullstellen dieser Funktion zu bestimmen, suchst du aus dem Definitionsbereich all diejenigen Elemente, welche in der Funktionsgleichung eingesetzt 0 ergeben: x 1 =..., x 2 =... Du kannst festhalten, dass du für die zugehörige Funktionsgleichung die ursprüngliche Gleichung gleich 0 setzen musst. Bestimme analog die Lösungsmenge für 2x 2 = 2x + 12 die zugehörige Funktionsgleichung und die Menge aller Nullstellen. 19

4. Beispiel : 0.9x = 2.86 x 2 Ist eine Aussageform. Um die Lösungsmenge dieser Gleichung zu bestimmen, suchst du aus der Grundmenge all diejenigen Elemente, welche eingesetzt eine wahre Aussage ergeben. du hast hier jedoch eine quadratische Gleichung, deren Lösungsmethoden wir noch nicht besprochen haben und du somit die Lösungsmenge auch noch nicht (algebraisch) bestimmen kannst. Aufgrund des dir bekannten Zusammenhang zwischen der Lösungsmenge einer Gleichung und der Menge aller Nullstellen der zugehörigen Funktionsgleichung solltest du trotzdem in der Lage sein, die Lösungen (ungefähr) zu bestimmen. Do it! Graphische Darstellung: Kontrolliere die Genauigkeit Deiner Lösungen. 20

Kurz zusammengefasst können wir festhalten: Die Lösungsmenge einer Gleichung ist gleich der Menge der Nullstellen der zugehörgen Funktionsgleichung. Die zugehörige Funktionsgleichung finden wir, indem wir die gegeben Gleichung nach 0 auflösen. Aufgaben : Die folgenden Gleichungen sind algebraisch und mit Hilfe einer zugehörigen Funktionsgleichung zu lösen: 11x = 5 + 7x 21

12x = 12 ( 12x 12) 5x (3 4x) = 3 2 (x 1) 22

Da die einer linearen Gleichung zugehörige Funktionsgleichung immer affin ist und der Graph einer affinen Funktion immer eine Gerade ist (vergl. dazu: Analysis - Kapitel 2: Affine Funktionen) ist, lässt sich über die Anzahl Lösungen einer linearen Gleichung folgendes Aussagen: Eine lineare Gleichung hat entweder Bevor wir uns (wieder gemeinsam) mit der Frage auseinandersetzen, unter welchen Bedingungen eine lineare Gleichung mit Parametern keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen hat, noch ein Beispiel einer Gleichung, die wir (im Moment noch) nur graphisch lösen können: Aufgaben : Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung und verifiziere Deine Lösungen. 11x = x 3 + 2x 2 12 23

3.3.4 Diskussion Wir wissen nun, dass für die Lösungsmenge einer linearen Gleichung nur die folgenden Fälle eintreten können: L = { } L = 1 L = G Im Folgenden werden wir lineare Gleichungen mit Parameter diskutieren, das heisst, wir wollen untersuchen für welche Wahl der Parameter welche der obigen Fälle eintreten. Bei dieser Diskussion ist nicht die Lösung der Gleichung das Ziel, sondern der Einfluss der Parameter auf die Gleichung. Um diese Diskussion durchführen zu können, müssen wir die gegebene lineare Gleichung auf die sog. Normalform bringen: ax = b Bem : Jede lineare Gleichung lässt sich durch beidseitige Additionen und Subtraktionen und Anwendungen des Distributivgesetze auf diese Form bringen. Beispiel 3.3.6 Stelle die folgenden Gleichungen in der Normalform dar: i. 2x = 3x 4 ii. x = 4 iii. 7x + 16 = d 2 + ax iv. p + 5x = px 2 24

Wir wollen am letzten Beispiel den Einfluss des Parameters p auf die Lösungsmenge diskutieren: p + 5x = px 2 (p 5)x = p + 2 Der lineare Koeffizient ist somit das Konstante Glied lautet Wir haben genau eine Lösung, genau dann wenn... Wir haben keine Lösung, genau dann wenn... Es gilt L = G, genau dann wenn... Allgemein lässt sich festhalten: Eine lineare Gleichung (mit Parametern) hat genau eine Lösung, genau dann wenn der lineare Koeffizient der zugehörigen Normalform 0 ist, keine Lösung, genau dann wenn der lineare Koeffizient der zugehörigen Normalform = 0 ist und das konstante Glied der zugehörigen Normalform 0 ist, L = G, genau dann wenn der lineare Koeffizient der zugehörigen Normalform = 0 ist und das konstante Glied der zugehörigen Normalform = 0 ist. 25

Aufgaben : Diskutiere die Lösbarkeitsbedingungen an folgendem Beispiel: qx + 2 = 2q 2 x 26

Wir wollen noch zwei ausführliche Beispiele zur Diskussion einer linearen Gleichung besprechen: Beispiel 3.3.7 Gegeben ist die folgende Gleichung: x (t + 3) 4 = t + 2 (6x 1) 1. Bestimme eine Normalform. 2. Diskutiere die Lösbarkeitsbedingungen (d.h.: gib an, unter welchen Bedingungen genau eine Lösung existiert, (gib diese explizit an) L = { } gilt, L = G gilt. ) 3. Bestimme die Lösungsmenge für die folgende Wahl der Parameter: (a) t = 9, (b) t = 9, (c) t = 2, (d) t = 0. 4. Wie muss der Parameter t gewählt werden, damit folgendes gilt: (a) L = {0}, (b) L = {1}, (c) L = { }, (d) L = G. 27

Beispiel 3.3.8 Gegeben ist die folgende Gleichung: xq (q 5) + a = q (1 14x) (15 a) 1. Bestimme eine Normalform. 2. Diskutiere die Lösbarkeitsbedingungen (d.h.: gib an, unter welchen Bedingungen genau eine Lösung existiert, (gib diese explizit an) L = { } gilt, L = G gilt. ) 3. Bestimme die Lösungsmenge für die folgende Wahl der Parameter: (a) q = 0, a = 7, (b) q = 0, a = 22, (c) q = 9, a = 7, (d) q = 9, a = 2, (e) q = a = 1. 4. Wie müssen die Parameter q und a gewählt werden, damit folgendes gilt: (a) L = {0}, (b) L = {1}, (c) L = G. (Aufg.: 110-123 ; führe bei den Aufgaben 110-118 zusätzlich noch eine vollständige Diskussion der Lösbarkeitsbedingungen durch) 28

3.4 Bruchgleichungen Wir beenden unseren ersten Teil der Gleichungslehre mit dem Lösen und Diskutieren von Bruchgleichungen. Bei diesem Gleichungstyp handelt es sich, wie der Name nur unschwer erahnen lässt, um Gleichungen zwischen Brüchen. Auch bei diesem Gleichungstyp geht es nun darum ohne Änderung der Lösungsmenge die Darstellung der Gleichung soweit zu vereinfachen, dass die Lösung direkt abgelesen werden kann. In einem 1. Teil kannst Du die Lösungsverfahren für Bruchgleichungen selbständig erarbeiten. Du hast dafür 60 Minuten Zeit und kannst im Anschluss freiwillig eine Kurzprüfung über dieses Gebiet ablegen. Im 2. Teil werden wir dann gemeinsam die Bruchgleichungen mit Parameter diskutieren. 1. Teil: Eine elegante Vorgehensweise um die Brüche in einer reinen Bruchgleichung mit einer Umformung zum Verschwinden zu bringen ist das Multiplizieren über s Kreuz: a b = c d ad = cb a, b, c, d R\{0} Mit dieser Umformung lassen sich in einem Schritt aus einer (reinen) Bruchgleichung die Brüche eliminieren: Beispiele : i. 5 4 = 20 16 5 16 = 4 20 29

Weitere Beispiele : ii. 3x 2 = 6 9 3x 9 = 2 6 x = 12 27 x = 4 9 iii. 17x 5 = 7 + 2x 17x = 5 (7 + 2x) 17x = 35 + 10x 7x = 35 x = 5 Wir wollen das Multipizieren über s Kreuz noch beweisen: Beweis: a b = c d b a b b = c d b kürzen a = d a d = cb d cb d d ad = cb a, b, c, d R\{0} 30

Beachte, dass wir das Multiplizieren über s Kreuz nur dann anwenden können, wenn links und rechts vom Gleichheitszeichen jeweils ein Bruch steht. Andernfalls müssen die Terme beidseitig des Gleichheitszeichen vor der Anwendung zu einem Bruch zusammengefasst werden: Beispiel : iv. 4x 5 3 2x 1 6 = x 2 1 2 (4x 5) (2x 1) 6 6x 9 6 = x 2 1 2 = x 2 2 2 (6x 9) = 6 (x 2) 6x = 6 x = 1 Eine weitere Möglichkeit alle Brüche mit einer Umformung zum Verschwinden zu bringen ist das beidseitige Multiplizieren mit dem Hauptnenner mit geleichzeitigem Kürzen. Wir wollen diese Vorgehensweise am vorherigen Beispiel besprechen: Beispiel : iv. 4x 5 3 2x 1 6 = x 2 1 HN = 6 2 (4x 5) (2x 1) = 3 x 6 1 8x 10 2x + 1 = 3x 6 3x = 3 x = 1 31

Am folgenden Beispiel wollen wir die Lösungsmenge einer Bruchgleichung genauer untersuchen: Beispiel : v. 2 4x 6 2x = 2x + 1 x 3 (2 4x)(x 3) = (6 2x)(2x + 1). =. x = 3 Da eine reine Bruchgleichgung vorgegeben ist, haben wir diese Gleichung mit der Multiplikation über s Kreuz lösen können und erhalten als Lösung x = 3 und somit die Lösungsmenge L = {3}. Wir können den Wahrheitswert dieser Lösung überprüfen, in dem wir x = 3 in der ursprünglichen Gleichung einsetzen:... Das Einsetzen zeigt uns, dass x = 3 keine zulässige Lösung ist. Es stellt sich die Frage, wo sich diese falsche Lösung in unsere Lösungsmenge eingeschlichen hat? Bei der Multiplikation über s Kreuz haben wir beidseitig mit (6 2x) und mit (x 3) multipliziert. Mit Termen also, welche die Lösungsvariable beinhalten und somit auch 0 sein können. Dieses beidseitige Multiplizieren mit einer verstecken Null hat in diesem Beispiel zu einer Gewinnumformung geführt, d.h. wir haben dadurch eine falsche Lösung hinzugewonnen. Wir können dieses Problem sehr einfach beheben, indem wir das machen, was wir bei jeder Aussageform eigentlich machen müssten: Wir definieren eine Grundmenge. Im Falle einer Bruchgleichung sprechen wir dann von dem sogennanten Definitionsbereich D. 32

Mit D beschreiben also wir die Menge aller zulässigen Elemente der Gleichung. Grundsätzlich arbeiten wir in der Menge der reellen Zahlen R. Nichtzulässig sind nun alle diejenigen Elemente aus R, welche eine verbotene Division durch 0 erzwingen. In unserem Beispiel ist das die 3, was zu folgendem Definitionsbereich führt: D = R\{3} Da unsere mutmassliche Lösung kein Element aus dem Definitionsbereich ist, ist sie nicht zulässig und somit auch kein Element aus der Lösungsmenge. Weil wir bei der beidseitigen Multiplikation mit einer versteckten Null nur eine falsche Lösung hinzugewinnen aber keine verlieren können, existiert kein zulässiges Element welches die Gleichung erfüllt und die Lösungsmenge ist in diesem Beispiel leer. Wir wollen ein weiteres Beispiel besprechen: Beispiel : vi. 8x 2 3x 5 5(x 1) = 3x 5 Bevor wir diese Gleichung durch Umformungen vereinfachen, wollen wir den Definitionsbereich festlegen: Nicht-zulässig ist x = 1. (Dieser Wert erzwingt im ersten Bruch eine verbotene Division.) D = R\{1} Unter Beibehaltung des Definitionsbereiches können wir die Gleichung nun mit Hilfe der Multiplikation über s Kreuz oder dem beidseitigen Multiplizieren mit dem Hauptnenner lösen: 8x 2 3x 5 5(x 1) = 3x 5 8x 2 3x 5 = 3x (x 1). =. 5x 2 5 = 0 5(x 1)(x + 1) = 0 x 1,2 = ±1 33

Wir erhalten zwei (provisorische) Lösungen x 1 = 1 und x 2 = 1 wovon jedoch nur eine Lösung auch Element des Definitionsbereiches ist. Die Lösungsmenge ist somit: L = { 1} Beachte, dass die Lösungsmenge L immer eine Teilmenge des Definitionsbereiches D ist: L D Beim Lösen einer Bruchgleichungen, wo die Lösungsvariable auch im Nenner vorkommt, müssen wir also wie folgt vorgehen: 1. Definitionsbereich D bestimmen, 2. die Gleichung vereinfachen, 3. die provisorischen Lösungen mit dem Definitionsbereich vergleichen, 4. die Lösungsmenge bestimmen (und doppelt unterstreichen). Beispiele : vii. 2 4x 6 2x = 2x + 1 3 x D = R\{3} 2 4x 6 2x = 2x + 1 3 x (2 4x) (3 x) = (2x + 1) (6 2x). =. x = 3 Da 3 D ist, folgt: L = { }. 34

viii. x 1 x 2 = x 2 x 3 D = R\{2, 3} x 1 x 2 = x 2 x 3 (x 1) (x 3) = (x 2) (x 2). =. 0 = 1 Die letzte Gleichung ist widersprüchlich. Somit folgt: L = { }. ix. 2 x 2 = 3 2x D = R\{0} 2 x 2 = 3 2x 2 2x = ( 3) x 2. =. x 1 = 0 x 2 = 4 3 Da x 1 D und x 2 D gilt, folgt: L = { 4 3 }. x. x x + 1 = x2 x x 2 1 D = R\{ 1, 1} x x + 1 = x2 x x 2 1 x (x 2 1) = (x 2 x) (x + 1). =. x = x Die letzte Gleichung ist allgemein gültig. Somit folgt: L = D. 35

xi. x 1 3 x + 1 3 = 3 D = R\{ 1 3 } x 1 3 x + 1 3 = 3 x 1 3 = (x + 1 3 ) ( 3). =. x = 1 6 Da 1 6 D gilt, folgt: L = { 1 6 }. (Aufg.: 56-200 ; 57c,d, 60d, 63b, 174c, 178c, 181a, 182a, 185a, 193d, 194f, 198a, 199g) 36

Bevor wir zum 2. Teil und damit zu den Bruchgleichungen mit Parametern übergehen, noch zwei letzte parameterfreie Aufgaben: Aufgaben : Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichung: 3x 2x 2 2 3x 3x 5 3x 2 = 1 + 6x 2x 3 2x 3 3 37

x + 10 x 2 10x + x + 5 x 2 5x = x x 2 15x + 50 38

2. Teil: Wir beginnen mit dem Lösen zweier Bruchgleichungen mit Parameter ohne Diskussion aber immer mit der Bestimmung des zugehörigen Definitionsbereichs: Beispiel 3.4.1 1 a 2x a 1 a 2 + 2ax = 4a 1 a 2 4x 2 39

Beispiel 3.4.2 x + a x a 4a x x 2 a 2 + x a ax + a2 = 2 + x x 2 ax (Aufg.: 201-218 ; (ohne 210, 212) 201b, 203b, 204b, 213a, 215b, 216d, 218b) 40

Die folgenden zwei Bruchgleichungen wollen wir nun vollständig diskutieren: Beispiel 3.4.3 x 1 x a + x + 1 x + a = 2 41

Beispiel 3.4.4 a a 2 x 2 1 a + x = 1 a x b + 1 a + x Bestimme die Lösungsmenge für die folgende Wahl der Parameter: a = 0 und b = 1 a = 1 und b = 1 a = 1 und b = 1 a = 1 und b = 1 2 Wie müssen/ dürfen die Parameter gewählt werden, damit L = {2} erfüllt ist? Bestimme ein Beispiel. 42

Aufgaben : Diskutiere die folgende Bruchgleichung vollständig: 1 a a + x 1 + a a + x = 2x + a 2a + x (Aufg.: 210 und 212) 43