Curriculum Mathematik Klassen 5/6 - Gymnasium Achern Leitidee Kompetenzen UnterrichtsInhalte Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Klasse 5 Zahl - verschiedene Darstellungsformen von Zahlen erkennen, situationsgerecht auswählen und ineinander umwandeln - Zahlen vergleichen und anordnen - Überschlagsrechnungen durchführen und zur Kontrolle von Rechenergebnissen einsetzen Natürliche Zahlen (18 Stunden) - natürliche Zahlen, Anordnung, Zahlenstrahl, die Zahl Null - Zehnersystem - Darstellung großer Zahlen im Zehnersystem, Zehnerpotenzen - keine weiteren Stellenwertsysteme verpflichtend - bis Größenordnung Billion lesen und nach Diktat schreiben (*) ergänzend: römische Zahlen (Grundkenntnisse) Messen - die Struktur und den Gebrauch von Maßsystemen verstehen - geeignete Maßgrößen und Einheiten nutzen, um Situationen zu beschreiben und zu untersuchen - Maße schätzen und bestimmen - Messergebnisse sachangemessen darstellen - messen, Maßeinheit, Maßzahl, Maße schätzen, Größen mit Komma - Umwandlung der Maßeinheiten bei Längen, Flächeninhalten, Rauminhalten, Massen und Zeiten - auch Fahrpläne und einfache Bewegungsdiagramme lesen und interpretieren können Algorithmus - Zahlen auf vorgegebene Genauigkeit runden Daten und Zufall - Daten übersichtlich darstellen - Urliste - relative Häufigkeiten - Tabellen, Diagramme,verbale Beschreibungen - Daten auch selbst erheben - Tabellen anlegen, auch in Prozent - Häufigkeitstabelle - z.b. Balken- und Kreisdiagramme - (kritische) Interpretation von Statistiken Vernetzung - Situationen durch grafische Darstellungen beschreiben - Skizzen, Tabellen, Diagramme - kleine mathematische Aufsätze verfassen Modellieren - Ergebnisse sinnvoll runden, durch Schätzen auf Brauchbarkeit prüfen
Curriculum Mathematik Klassen 5/6 - Gymnasium Achern Leitidee Kompetenzen UnterrichtsInhalte Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Raum und Form - grundlegende geometrische Objekte fachgerecht benennen und vollständig beschreiben - charakteristische Eigenschaften von geometrischen Objekten erkennen und Beziehungen zwischen geometrischen Objekten analysieren - geometrische Objekte mithilfe von Geodreieck und Zirkel sorgfältig darstellen - ebene Figuren darstellen Klasse 5 Symmetrie (15 Stunden) - geometrische Grundobjekte Punkt, Gerade, Strecke - Spiegeln an Gerade und Punkt - achsen- und punktsymmetrische Figuren - Parallelität, Orthogonalität - Abstände - Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Dreieck, Kreis - Koordinatensystem - Begriffe, wo immer möglich, handlungsorientiert (Falten, Pausen, Schneiden) erschließen - keine Mehrfachspiegelungen, keine Verschiebungen, keine Drehungen; sinnvolle Anwendungen (Billardkugeln) - Ornamente, Kirchenfenster, Mandalas, Symmetrie in Kunst und Biologie - Diagonalen und Höhen Algorithmus Zahl - Grundrechenarten bei natürlichen Zahlen im Kopf, schriftlich, in komplexeren Fällen mit Rechenhilfsmitteln durchführen - über den sinnvollen Einsatz von Rechenhilfsmitteln entscheiden - Überschlagsrechnungen durchführen und zur Kontrolle von Rechenergebnissen einsetzen Rechnen (20 Stunden) - Grundrechenarten bei natürlichen Zahlen - Teiler und Vielfache - einfache Potenzen - Kopfrechnen, großes Einmaleins - schriftliche Rechenverfahren - Fachbegriffe - keine Potenzgesetze - einstellig x zweistellig, kleines Einmaleins auswendig - händisch: maximal 3-stellige Faktoren, 2- stellige Divisoren (Prinzip ist wichtig) Überschlagsrechnungen - (*)ergänzend: Teilbarkeitsregeln für 3, 9, 2, 5, 10; Primzahlen, ggt und kgv (Definition und sinnvolle Anwendungsaufgaben), keine PFZ, Quadratzahlen bis 20², 25 2 ) - Runden, Überschlagsrechnungen - sinnvolles Runden bei Anwendungsaufgaben
Curriculum Mathematik Klassen 5/6 - Gymnasium Achern Leitidee Kompetenzen UnterrichtsInhalte Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Messen - die Struktur und den Gebrauch von Maßsystemen verstehen - Maße schätzen und bestimmen - Messergebnisse sachangemessen darstellen Klasse 5 Flächen (20 Stunden) - Flächeninhalt von Rechtecken, Dreiecken und Parallelogrammen - Umfang einer Fläche - Figuren durch Zerlegen/Zerschneiden auf Rechtecke und Dreiecke zurückführen Variable - Formeln zur Bestimmung von Maßen entwickeln und anwenden - Flächeninhaltsformeln für Rechtecke, Dreiecke, Parallelogramme Modellieren - mithilfe geometrischer Modelle Situationen darstellen und Probleme lösen - maßstäbliche Darstellungen Raum und Form - grundlegende geometrische Objekte fachgerecht benennen und vollständig beschreiben - charakteristische Eigenschaften von geometrischen Objekten erkennen und Beziehungen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten analysieren - geometrische Objekte mithilfe von Geodreieck und Zirkel sorgfältig darstellen - ein angemessenes räumliches Vorstellungsvermögen einsetzen Körper (14 Stunden) - Quader, Würfel - Begriffe Kante, Ecke, Fläche auseinander halten - Herstellen von Modellen Messen - geeignete Maßgrößen und Einheiten nutzen, um Situationen zu beschreiben und zu untersuchen - Maße schätzen und bestimmen - Rauminhalt des Quaders
Curriculum Mathematik Klassen 5/6 - Gymnasium Achern Leitidee Kompetenzen UnterrichtsInhalte Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Zahl - Zahlen vergleichen und anordnen Klasse 5 Ganze Zahlen (22 Stunden) - Anordnung und Gegenzahl und Betrag - Darstellung an der Zahlengeraden Algorithmus - Grundrechenarten bei ganzen Zahlen im Kopf, schriftlich Vernetzung In den Sachthemen kommen in vielfältiger Form die Kompetenzen und Inhalte aller Leitideen zum Zuge. Sachthema z. B. Ferien am Bodensee, Rund ums Pferd (vgl. LS 1, Klett-Verlag)
Curriculum Mathematik Klassen 5/6 - Gymnasium Achern Leitidee Kompetenzen UnterrichtsInhalte Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Klasse 6 Zahl Daten und Zufall - verschiedene Darstellungsformen von Zahlen erkennen, situationsgerecht auswählen und ineinander umwandeln - Zahlen vergleichen und anordnen - Daten systematisch sammeln, anordnen und übersichtlich darstellen Rationale Zahlen (20 Stunden) - Bruchzahlen, Gemischte Brüche - Dezimalbrüche - Erweitern und Kürzen von Brüchen - Darstellung an der Zahlengeraden - Gleichheit, Anordnung, Betrag rat. Zahlen - Umwandlung der Bruchschreibweise in Dezimalschreibweise und umgekehrt - Prozentangaben - Die Mengen N, Z und Q - Diagramme - Häufigkeitstabellen - Anteile auch in Prozent - auch negative Bruchzahlen - bei händischem Rechnen höchstens zweistellige Zähler und Nenner bzw. Zehnerzahlen - sukzessives Kürzen durch gemeinsame Faktoren (keine PFZ) - Einsatz des TR - händisch nur einfache Brüche in Dezimalzahlen umwandeln - Dezimaldarstellung durch schriftliche Division in einfachen Fällen finden - Verfahren zur Bruchdarstellung nur für abbrechende Dezimalbrüche - Umwandlung von Dezimal- in Prozentschreibweise und umgekehrt. - (*) Keine Prozentrechnung! Algorithmus Addition und Subtraktion von rationalen Zahlen (18 Stunden) - Grundrechenarten bei rationalen Zahlen im Kopf, schriftlich, in komplexeren Fällen mit Rechenhilfsmitteln durchführen - über den sinnvollen Einsatz von Rechenhilfsmitteln entscheiden - Zahlen auf vorgegebene Genauigkeit runden - rationale Zahlen addieren und subtrahieren - Teiler und Vielfache - Rechengesetze, Rechenvorteile - Rechenausdrücke - händisch Beschränkung auf einfache Brüche - angemessener Einsatz des TR, Verwendung der Bruchrechentaste - gezielt auf Rechenvorteile achten - Rechenausdrücke verbalisieren
Curriculum Mathematik Klassen 5/6 - Gymnasium Achern Leitidee Kompetenzen UnterrichtsInhalte Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Klasse 6 Zahl - verschiedene Darstellungsformen von Zahlen erkennen, situationsgerecht auswählen und ineinander umwandeln - Überschlagsrechnungen durchführen und zur Kontrolle von Rechenergebnissen verwenden - Runden, Überschlagsrechnungen - sinnvolles Runden bei Anwendungsaufgaben auch in Verbindung mit dem TR - auf vorgegebene Stellenwerte und auf vorgegebene Anzahl geltender Ziffern runden Raum und Form - grundlegende geometrische Objekte fachgerecht benennen und vollständig beschreiben - charakteristische Eigenschaften von geometrischen Objekten erkennen und Beziehungen zwischen geometrischen Objekten analysieren Winkel und Kreis (12 Stunden) - Winkel - Kreisumfang und Kreisfläche - Achsen- und Punktsymmetrische Figuren - Einteilung und Schätzen von Winkeln - Winkelorientierung - Messen und Zeichnen von Winkeln mit dem Geodreieck - experimentelle Bestimmung von π; Einsatz des TR Messen - die Struktur und den Gebrauch von Maßsystemen verstehen - Maße schätzen und bestimmen - Messergebnisse sachangemessen darstellen Daten und Zufall - Daten systematisch sammeln, anordnen und übersichtlich darstellen - Daten bewerten und aus ihnen Schlüsse ziehen - Winkelweiten - Anteile, Kreisdiagramme
Curriculum Mathematik Klassen 5/6 - Gymnasium Achern Leitidee Kompetenzen UnterrichtsInhalte Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Zahl Klasse 6 Multiplikation und Division von rationalen Zahlen (24 Stunden) - verschiedene Darstellungsformen von Zahlen erkennen, situationsgerecht auswählen und ineinander umwandeln - Überschlagsrechnungen durchführen und zur Kontrolle von Rechenergebnissen einsetzen - rationale Zahlen - einfache Potenzen - keine Potenzgesetze - händisch maximal 3-stellige Faktoren, 2-stellige Divisoren (Prinzip ist wichtig) Algorithmus - Grundrechenarten bei rationalen Zahlen im Kopf, schriftlich, in komplexeren Fällen mit Rechenhilfsmitteln durchführen - Zahlterme interpretieren und berechnen - über den sinnvollen Einsatz von Rechenhilfsmitteln entscheiden - Zahlen auf vorgegebene Genauigkeit runden - rationale Zahlen multiplizieren und dividieren - einfachste Doppelbrüche Daten und Zufall - Daten systematisch sammeln, anordnen und übersichtlich darstellen - Daten bewerten und aus ihnen Schlüsse ziehen - Mittelwert Modellieren - Ergebnisse sinnvoll runden; durch Schätzen auf Brauchbarkeit überprüfen - Überschlagsrechnungen
Curriculum Mathematik Klassen 5/6 - Gymnasium Achern Leitidee Kompetenzen UnterrichtsInhalte Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Variable - einfache Situationen und Zahlenmuster mithilfe von Termen und Gleichungen darstellen - einfache Gleichungen durch systematisches Probieren lösen - Formeln zur Bestimmung von Maßen entwickeln und anwenden Modellieren - Zahlen und Zahlverknüpfungen zur adäquaten Beschreibung und Untersuchung von Aufgaben in Mathematik und Umwelt einsetzen Klasse 6 Terme und Gleichungen (17 Stunden) - Rechenausdrücke, Terme - Übertragen von Rechenausdrücken in verbale Form und umgekehrt - Gleichungen - mathematische Aufsätze - Terme mit bis zu drei Hierarchieebenen - angemessener Einsatz des TR - Gleichungen mit einmaligem Vorkommen der Variablen durch Rückwärtsrechnen lösen, ansonsten durch systematisches Probieren - einfache Umkehraufgaben zur Berechnung von Geschwindigkeiten, Umfängen, Flächenund Rauminhalten - Interpretation von Weg-Zeit-Diagrammen (Schulweg) Messen - Maße schätzen und bestimmen Abhängigkeiten zwischen Größen (18 Stunden) - Längen - Kreisumfang, Flächeninhalt vom Kreis Daten und Zufall - Daten systematisch sammeln, anordnen und übersichtlich darstellen - Daten bewerten und aus ihnen Schlüsse ziehen - Häufigkeitstabelle - Diagramme
Curriculum Mathematik Klassen 5/6 - Gymnasium Achern Leitidee Kompetenzen UnterrichtsInhalte Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Klasse 6 Vernetzung - Situationen und Fragestellungen durch konkrete, verbale, grafische und numerische Modelle oder Darstellungen beschreiben funktionaler Zusammenhang - einfache Zusammenhänge zwischen Größen beschreiben und darstellen - Abhängigkeiten dynamisch deuten, d.h. erklären, wie die Änderung einer Größe sich auf die andere auswirkt - Inhaltsformeln für Flächen- und Rauminhalte - Änderungsverhalten von Umfängen, Flächenund Rauminhalten in Abhängigkeit von Seitenlängen Modellieren - mithilfe geometrischer Modelle Situationen darstellen und Probleme lösen - Zahlen und Zahlverknüpfungen zur adäquaten Beschreibung und Untersuchung von Aufgaben in Mathematik und Umwelt einsetzen - den Dreisatz bei Aufgaben des bürgerlichen Rechnens anwenden - Dreisatz - maßstäbliche Darstellungen - keine systematische Behandlung von Proportionalität und Antiproportionalität - kein verketteter Dreisatz - keine Prozentrechnung - einfache Zimmer- und Hausgrundrisse Vernetzung In den Sachthemen kommen in vielfältiger Form die Kompetenzen und Inhalte aller Leitideen zum Zuge.
Curriculum Mathematik Klassen 5/6 - Gymnasium Achern Leitidee Kompetenzen UnterrichtsInhalte Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Vermittlung von überfachlichen Kompetenzen in den Klassen 5 und 6 in Abstimmung mit dem Methodencurriculum des GA, ergänzt durch Beschlüsse der Fachschaft Mathematik am GA 1) Mathematik und Lernen Die Erschließung neuer Inhalte kann auch in Form von sinnvollen Lernfeldern geschehen. Pro Schuljahr muss mindestens ein Lernfeld durchgeführt werden. Im Sinne des nachhaltigen Lernens muss pro Schuljahr mindestens eine Klassenarbeit eine Überprüfung länger zurückliegender Inhalte beinhalten. Dazu ist es notwendig, im Unterricht immer wieder früher behandelte Inhalte zu wiederholen und sie mit dem aktuellen Stoff zu vernetzen. In Anlehnung an das schuleigene Methodencurriculum müssen in Klasse 5 die Freiarbeit und in Klasse 6 die Methode der Planarbeit in sinnvollem Umfang eingeführt werden. Die Schüler werden zu einer ordentlichen und strukturierten Darstellung im Hausheft angeleitet. Den Schülern soll klar werden, dass eine saubere Darstellung für mathematisches Arbeiten unabdingbar ist. Dazu werden in Klasse 5 mindestens einmal die Hefte eingesammelt und bewertet. Diese Bewertung soll in die Gesamtnote einfließen. In Klasse 6 ist das Bewerten der Darstellung im Hausheft nicht verbindlich aber möglich. Um das Interesse an mathematischen Problemen zu fördern, wird von der Fachschaft Mathematik das Problem des Monats (PDM) organisiert und durchgeführt. Die Fachlehrer der Klasse 5 und 6 sollen die PDM Aufgaben in den Unterricht mit einbeziehen. Auf diese Weise soll die freiwillige Teilnahme am PDM angeregt und gefördert werden. 2) Mathematik und Problemlösen Nach Einführung des Taschenrechners müssen im Hinblick auf das Abitur auch Klassenarbeitsteile oder ganze Klassenarbeiten ohne Taschenrechner bearbeitet werden. 3) Mathematik und Kommunizieren Die Erfindung eigener Textaufgaben oder das Abfassen kleiner Aufsätze zu vorgegebenen Gleichungen, Tabellen oder Bewegungsdiagrammen liefern wichtige Verknüpfungen von Sprache und Mathematik und sollten gepflegt und weiterentwickelt werden. Inhaltliche Vereinbarungen für die Umsetzung im Unterricht Die Aufzählung der Inhalte innerhalb eines Jahres legt keine Reihenfolge fest, sie sollen im Gegenteil vernetzt und wenn möglich in mehreren Durchgängen (Spiralprinzip) unterrichtet werden. Grundlage und Richtschnur für die Behandlung im Unterricht sind die in den Leitideen geforderten Kompetenzen. Ausgangspunkt für Tiefe und Breite der Behandlung der Inhalte sind die Hinweise in der Spalte Umsetzung zur Erfüllung der Standards (s. o.).sowie die Niveaukonkretisierungen (Nikos) in der Anlage zu den Bildungsstandards. Noch weitergehende Anforderungen sind jederzeit möglich, wenn die Zeit und die Klassensituation es zulassen. Sie können dann auch Gegenstand von Klassenarbeiten sein.
Klasse 7 Kompetenzen und Inhalte des Bildungsplans Leitidee Modellieren - mit Prozentangaben in vielfältigen und auch komplexen Situationen sicher umgehen Unterrichtsinhalte PROZENTRECHNUNG UND ZINSRECHNUNG (ca. 25 Std.) Analysis Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Einfache Grundaufgaben Auch Überschlagsrechnungen Tabellen und Graphen interpretieren Lernfeld (z.b: Haushalt von Achern, Wahlen,..) Excel-Einsatz möglich Leitidee Funktionaler Zusammenhang - funktionale Zusammenhänge erkennen und darstellen - kennzeichnende Eigenschaften von Funktionen (Zuordnungen) erkennen und sachgerecht nutzen - Funktionen (Zuordnungen) dynamisch deuten Leitidee Modellieren - inner- und außermathematische Sachverhalte mithilfe von Tabellen, Terme und Graphen beschreiben und umgekehrt Tabellen, Terme und Graphen in Bezug auf einen Sachverhalt interpretieren LINEARE FUNKTIONEN (ca. 30 Std.) Proportionalität Lineare Funktion und ihr Schaubild Darstellen von Sachverhalten aus dem täglichen Leben in Tabellen, Termen und Schaubildern (vertieft behandeln!) Steigung m, y-achsenabschnitt c, Zeichenrezept, Steigungsdreieck Anwendungsbezogene Aufgaben (Lernfeld: z.b. Stromrechnungen) Leitidee Vernetzung - verschiedene Darstellungsformen einer 1
Funktion ineinander übersetzen Leitidee Variable - Einfache Terme umformen, insbesondere durch Ausmultiplizieren und Ausklammern - Größengleichungen umformen Leitidee Algorithmus - Gleichungen und Ungleichungen erkennen sowie manuell und grafisch lösen TERME UND GLEICHUNGEN (ca. 20 Std.) (einfache) Terme und Termumformungen Lineare Gleichungen Einfache Ungleichungen Aufstellen und Interpretation von Termen (Praxisbezug: Umwelt, Klima, Geldwesen, ) Werteberechnung von Termen (hier Einsatz einer Tabellenkalkulation / Excel möglich) Leitidee Algorithmus - Lineare Gleichungssysteme manuell und grafisch lösen SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN (ca. 20 Std.) (2,2)-LGS (verstärkte Behandlung) Äquivalenzumformungen Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren Wahrscheinlichkeitsrechnung (ca. 0 Std.) Behandlung erst in Klasse 8; dafür verstärkt das Thema lineare Funktionen und (2,2)-LGS 2
Leitidee Raum und Form - Eigenschaften ebener geometrischer Figuren erkennen und begründen - Ebene Figuren mit vorgegebenen Eigenschaften darstellen Geometrie BEZIEHUNGEN IN GEOMETRISCHEN FIGUREN (ca. 25 Std.) Winkel an Parallelen Seiten und Winkel im Dreieck Abstände und Orthogonalität Ortslinien Inkreis und Umkreis von Dreiecken Einfache Dreieckskonstruktionen Satz des Thales Stufen- und Wechselwinkel Winkelsumme in Dreieck (und evtl. im Viereck) Konstruktionsbeschreibungen Einsatz von Software ( geogebra, Euklid ) (vgl.methodencurriculum) Hinweis: Zudem Methodencurriculum in Klasse 7 beachten: Einsatz von Excel (siehe Extrablatt) 3
Klasse 8 Kompetenzen und Inhalte des Bildungsplans Unterrichtsinhalte Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Analysis TERME MIT MEHREREN VARIABELN (ca. 12 Std.) Leitidee Variable - Einfache Terme umformen, insbesondere durch Ausmultiplizieren und Ausklammern - Größengleichungen umformen Interpretation von Graphen und einfachen Termen Aufstellen von Termen Distributivgesetz (Ausmultiplizieren und Ausklammern) Ausmultiplizieren von Summen Binomische Formeln Termeinsetzungen berechnen Größengleichungen umformen (vgl. Physik) Leitidee Zahl - die Unvollständigkeit von Zahlbereichen verstehen und aufzeigen - Zahlbereiche unterscheiden, Zahlen diesen zuordnen - Zahlterme vereinfachen REELLE ZAHLEN (ca. 16 Std.) irrationale Zahlen Quadratwurzeln Rechnen mit Quadratwurzeln (reduzierter Anspruch) Leitidee Vernetzung - algebraische und geometrische QUADRATISCHE FUNKTIONEN Eigenschaften, Scheitelform y = a(x-d) 2 +e und Normalform = ax 2 +bx+c y 4
Fragestellungen in geeigneten Fällen ineinander überführen und gegebenenfalls auf diesem Weg lösen - den GTR als Hilfsmittel einsetzen QUADRATISCHE GLEICHUNGEN Auch zeichnerische Darstellung Anwendungsaufgaben im Alltag (auch einfache Optimierungsaufgaben) Hilfsmittel wie GTR oder geogebra sinnvoll einsetzen Leitidee Funktionaler Zusammenhang - funktionale Zusammenhänge erkennen und darstellen - kennzeichnende Eigenschaften von Funktionen erkennen und sachgerecht nutzen - Funktionen dynamisch deuten POTENZFUNKTIONEN MIT NATÜRLICHEN HOCHZAHLEN (ca. 8 Std.) y = x n und f(x) = ax n Darstellungsformen: Tabelle, Graph Leitidee Raum und Form - Kongruenz von Dreiecken erkennen und anwenden - Ebene Figuren mit vorgegebenen Eigenschaften darstellen - Eigenschaften ebener geometrischer Figuren erkennen und begründen KONGRUENZ (ca. 16 Std.) Geometrie Kongruente Figuren (im Besonderen von Dreiecken) Inkreis und Umkreis von Dreiecken Viereckslehre (reduzierter Anspruch) Zeichnerische Bestimmung wahrer Größen bei Strecken und Flächen (auch im Raum) einfache Beweise; Fachsprache üben Evtl. als GFS / Kurzvorträge Konstruktionsbeschreibungen z.b. bei Pyramiden und Dachkonstruktionen 5
Leitidee Daten und Zufall - den Begriff Wahrscheinlichkeit verstehen - Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten berechnen Leitidee Modellieren - inner- und außermathematische Sachverhalte mithilfe von Tabellen, Terme und Graphen beschreiben und umgekehrt Tabellen, Terme und Graphen in Bezug auf einen Sachverhalt interpretieren - ein Zufallsexperiment durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreiben Wahrscheinlichkeitsrechnung WAHRSCHEINLICHKEITEN (ca. 24 Std.) Wahrscheinlichkeitsbegriff Pfadregeln Wahrscheinlichkeitsverteilung Modellbildung Verstärkte Behandlung (da in Klasse 7 ausgeklammert) Bezüge zur Biologie (Mendel sche Experimente relative Häufigkeiten) Einsatz des GTR bzw. von Excel oder geogebra Leitidee Vernetzung - Prozesse des Begründens verstehen und anwenden, insbesondere bei Beweisen in der Geometrie - mathematische Sachverhalte und Problemlösungen verbal beschreiben - Algebraische und geometrische Sachverhalte ineinander überführen und gegebenenfalls auf diesem Weg lösen Beweistechnik BEWEISEN UND BEGRÜNDEN (ca. 10 Std.) Beweis (direkter und indirekter) Mathematischer Aufsatz Es ist nicht an eine isolierte Behandlung gedacht. Vernetztes Denken einüben Prozesse des Begründens auch geometrische Beweise 6
Kompetenzen und Inhalte des Bildungsplans Leitidee Zahl - besondere Darstellungsformen von reellen Zahl kennen und sinnvoll anwenden Leitidee Variable - einfache Terme umformen - elementare Gleichungen lösen Klasse 9 Unterrichtsinhalte Analysis POTENZEN UND LOGARITHMEN (ca. 30 Std.) Normdarstellung Potenzen mit rationalen Hochzahlen Logarithmen Rechenregeln für Potenzen und Logarithmen Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Schwerpunkte: Potenzen mit gleicher Basis; Potenzgesetze; Übungsblatt: Terme und Gleichungen z.b. soweit sie zum Lösen elementarer Gleichungen notwendig sind Leitidee Modellieren - einen Sachverhalt auf angemessene Weise mathematisch beschreiben - eine zugehörige Problemstellung in dem gewählten mathematischen Modell lösen sowie die Ergebnisse auf die Ausgangssituation übertragen, interpretieren und ihre Gültigkeit prüfen - Wachstumsvorgänge durch diskrete Modelle beschreiben und simulieren Leitidee Vernetzung - Hilfsmittel sinnvoll und effizient einsetzen - grundlegende Problemlösetechniken kennen und anwenden WACHSTUMSVORGÄNGE (ca. 16 Std.) Lineares, natürliches und beschränktes Wachstum, Proportionalität Simulation dynamischer Vorgänge Umgang mit Hilfsmitteln wie Formelsammlung, grafikfähiger Taschenrechner bzw. Rechner mit geeigneter Software Problemlösetechniken 1
Geometrie RECHTWINKLIGE DREIECKE SATZ DES PYTHAGORAS (ca. 16 Std.) Leitidee Raum und Form - Seitenlängen und Winkelweiten am rechtwinkligen Dreieck berechnen Leitidee Messen - Maße von Figuren und Körper abschätzen und mithilfe der Formelsammlung berechnen Satz des Pythagoras Satz und Umkehrbarkeit thematisieren Sinus, Kosinus und Tangens Berechnung von Streckenlängen bei Figuren und Körpern auch Anwendungsaufgaben zu Körpern Leitidee Raum und Form - grundlegende Sätze zur Berechnung von Streckenlängen kennen und anwenden Leitidee Messen - Inhaltsformeln einfacher Körper kennen und mithilfe der Ideen Zerlegung und Annäherung einsichtig machen - Maße von Figuren und Körper abschätzen und mithilfe der Formelsammlung berechnen Leitidee Vernetzung - Hilfsmittel sinnvoll und effizient einsetzen KREISE UND KÖRPER (ca. 12 Std.) Berechnung von Streckenlängen und Inhalten Körpern Umfang und Inhalt von Figuren, die auch von Kreisen und Kreisbögen begrenzt sind Rauminhalt und Oberflächeninhalt von Prisma und Zylinder Zusammengesetzte Körper bereits aus Klasse 6 bekannt, kann jedoch rechnerisch mithilfe des Pythagoras` näherungsweise hergeleitet werden sinnvoller Einsatz der Formelsammlung Leitidee Raum und Form - Figuren zentrisch strecken sowie Eigenschaften der zentrischen Streckung kennen und anwenden ÄHNLICHE FIGUREN - STRAHLENSÄTZE (ca. 8 Std.) zentrische Streckung Strahlensätze 2
Wahrscheinlichkeitsrechnung WAHRSCHEINLICHKEIT (ca. 16 Std.) Leitidee Daten und Zufall - Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnen - Erwartungswert einer Zufallsvariablen verstehen und berechnen Ereignisse Unabhängigkeit von Ereignissen Erwartungswert Begrifflichkeiten aus Klasse 8 wiederholen: Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Baumdiagramm, Pfadregeln Schreibweise: Neue Begrifflichkeiten in Klasse 9: Gegenereignis, Vereinigung, Schnitt, Erwartungswert Bei starken Gruppen Behandlung von Additionssatz und / oder Vierfeldertafel als Vertiefung sinnvoll 3
Kompetenzen und Inhalte des Bildungsplans Leitidee Funktionaler Zusammenhang - das Änderungsverhalten von Funktionen quantitativ beschreiben - das Änderungsverhalten von Größen analytisch beschreiben und interpretieren Leitidee Algorithmus - Einfache Funktionen ableiten Unterrichtsinhalte Analysis ABHÄNGIGKEIT UND ÄNDERUNG (ca. 26 Std.) Änderungsrate und Ableitung Ableitungsfunktion Momentanänderung von Größen Ableitung von x n und Ableitungsregeln (Potenz-, Summen- und Faktorregel) Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Wdh. des Funktionsbegriffs und die dazugehörige Fachsprache Unterschiedliche Mengenschreibweisen bei der Definitionsmenge Die Begriffe Definitionsmenge und Intervall sind bis dahin unbekannt. Anschauliche Einführung über den Graphen und dessen Steigung wäre eine altersgemäße Möglichkeit (Tipp: Tangentensurfer, grafisches Ableiten, Geogebra) Der Differenzenquotient und die näherungsweise Bestimmung der Ableitung kann in starken Lerngruppen vertieft behandelt werden. Funktionenscharen sind bis dahin nicht bekannt und sind erst in der Kursstufe Bestandteil der Standards. 4
Leitidee Funktionaler Zusammenhang - Über Grundkompetenzen im Umgang mit Funktionen verfügen - Funktionen auf lokale und globale Eigenschaften untersuchen EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN (ca. 26 Std.) Eigenschaften von Funktionen: Nullstellen, Extremstellen und Monotonie Einführung der 2.Ableitung möglich keine Polynomdivision Wendestellen sind erst in der Kursstufe Bestandteil der Standards. Behandlung von einfachen Optimierungsaufgaben (mit Hilfsmitteln) Leitidee Funktionaler Zusammenhang - Über Grundkompetenzen im Umgang mit Funktionen verfügen - Wirkungen von Parametern in Funktionstermen verstehen FUNKTIONSKLASSEN (ca. 22 Std.) Ganzrationale Funktionen xx k (k=-1;-2); xa x ; x sin(x); x cos(x) verschobene und gestreckte Graphen An Streckung in x-richtung ist nur bei trigonometrischen Funktionen gedacht. Modellierungsaufgaben können in starken Lerngruppen vertieft behandelt werden. Leitidee Daten und Zufall - Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnen - Erwartungswert einer Zufallsvariablen verstehen und berechnen Wahrscheinlichkeitsverteilung WAHRSCHEINLICHKEIT BINOMIALVERTEILUNG (ca. 18 Std.) Unabhängigkeit von Ereignissen Binomialverteilung und Histogramme Erwartungswert Wdh. folgender Begrifflichkeiten: Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Baumdiagramm, Pfadregeln Gegenereignis, Erwartungswert 5
Geometrie Leitidee Zahl - Objekte und Verknüpfungen zur rechnerischen Behandlung geometrischer Fragestellungen kennen und einsetzen GERADEN IM RAUM VEKTOREN (ca. 22 Std.) Vektor Linearkombination Verwendet werden: Koordinatensystem, Punkt, Ortsvektor, Richtungsvektor, Stützvektor, Gerade Leitidee Raum und Form - Geometrische Objekte im Raum analytisch beschreiben und ihre Lagebeziehung analysieren Leitidee Algorithmus - Lineare Gleichungssysteme manuell und mithilfe des GTR lösen Ortsvektor und Geradengleichung Lage von Geraden Lineare Gleichungssysteme lösen (3x2) Lagebeziehung: Punkt Gerade; Gerade Gerade. Abstandsbestimmungen (z.b. Betrag eines Vektors) werden in der Kursstufe behandelt. Hinweis: im 3-Dimensionalen auch 6
Kursstufe Mathematik Kompetenzen und Inhalte des Bildungsplans Unterrichtsinhalte Hinweise/Vorschläge zur Erweiterung und Vertiefung des Kompetenzerwerbs Die Schülerinnen und Schüler können Leitidee Funktionaler Zusammenhang - besondere Eigenschaften von Funktionen rechnerisch und mithilfe des GTR bestimmen; Analysis Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten (ca. 8-11 Std.) Höhere Ableitungen Die Bedeutung der zweiten Ableitung Kriterien für Extremstellen Kriterien für Wendestellen Bestimmung von Nullstellen, Extrem- und Wendestellen; auch mit dem GTR; keine Polynomdivision Argumentieren mit Eigenschaften der ersten und zweiten Ableitung Wiederholung: Ableitungsbegriff Graphisches Differenzieren Leitidee Modellieren - inner- und außermathematische Sachverhalte und ihre Veränderungen auch in komplexeren Zusammenhängen mathematisch modellieren. Probleme lösen mit Hilfe von Ableitungen, Extrem- und Wendepunkten (ca. 8-11 Std.) Sachzusammenhänge mittels Eigenschaften von Graphen und Funktionen analysieren und modellieren Geometrische Probleme im Umfeld der Tangente Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen Förderung der Problemlösekompetenz: Vergleich verschiedener Lösungswege 1
Die Schülerinnen und Schüler können Leitidee Algorithmus - zusammengesetzte Funktionen ableiten. Der Aufbau zusammengesetzter Funktionen aus elementaren Funktionen (ca. 3 5 Std.) Produkt, Quotient und Verkettung von Funktionen Die Ableitung zusammengesetzter Funktionen (ca. 7 9 Std.) Ableitung von Produkt und Verkettung von Funktionen; Ableitung von Quotienten mit konstantem Zähler Ableitung eines Quotienten von Funktionen mit der Quotientenregel Die Schülerinnen und Schüler können Leitidee Zahl - den Begriff des Grenzwertes verstehen und erläutern; - Grenzprozesse bei der Festlegung von Zahlen nutzen; Die natürliche Exponentialfunktion (ca. 6 8 Std.) Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung Exponentialgleichungen und natürlicher Logarithmus; keine Logarithmusfunktion Wiederholung: Rechengesetze für Potenzen und Logarithmen Hinweis: WADIS Klasse 9/10 Leitidee Funktionaler Zusammenhang - besondere Eigenschaften von Funktionen rechnerisch und mithilfe des GTR bestimmen. 2
Die Schülerinnen und Schüler können Leitidee Zahl - in einfachen Fällen Grenzwerte bestimmen; - den Begriff des Grenzwertes verstehen und erläutern; - Grenzprozesse bei der Festlegung von Zahlen nutzen; Leitidee Algorithmus - in einfachen Fällen Stammfunktionen angeben. Leitidee Funktionaler Zusammenhang - eine Funktion aus Änderungsraten rekonstruieren; Leitidee Messen - das Konzept der Rekonstruktion auf verschiedene Anwendungsfelder übertragen; - Bestände auch mithilfe des GTR berechnen. Das Integral und der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (ca. 10 12 Std.) Definition des Integrals Bestimmung von Stammfunktionen in einfachen Fällen z (Potenzfunktionen x mit z Z, x, sin(x), cos(x), e x, Summe von Funktionen, konstanter Faktor, lineare Substitution) Stammfunktion von x 1 für x>0 ( kennen genügt) Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Berechnung von Integralen in einfachen Fällen mit dem Hauptsatz Integralfunktionen, auch mit dem GTR Anwendungen des Integrals (ca. 10 15 Std.) Bestandsänderung aus momentanen Änderungsraten rekonstruieren; auch graphisch Berechnungen bei Anwendungen vorwiegend mit dem GTR: - Flächeninhalte - Mittelwerte von Funktionen - Rauminhalte von Rotationskörpern - Inhalt unbegrenzter Flächen Bei starken Lerngruppen: Beweis des Hauptsatzes GFS Möglichkeiten: - Numerische Integration( z.b. Fassregel von KEPLER) - Herleitung der Formel für das Volumen von Rotationskörpern 3
Die Schülerinnen und Schüler können Leitidee Funktionaler Zusammenhang - besondere Eigenschaften von Funktionen rechnerisch und mithilfe des GTR bestimmen; - heuristische Verfahren zur Erkenntnisgewinnung kennen und einsetzen; Leitidee Modellieren - inner- und außermathematische Sachverhalte und ihre Veränderungen auch in komplexeren Zusammenhängen mathematisch modellieren. Eigenschaften von Funktionen und Graphen (ca. 8 11 Std.) Definitionslücken und senkrechte Asymptoten in einfachen Fällen Verhalten für x ± und waagrechte Asymptoten, auch im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen Nullstellen, Extrem- und Wendestellen bei zusammengesetzten Funktionen, bei komplexen Funktionstermen mithilfe des GTR Problemlösen und Modellieren mit Funktionen und Graphen (ca. 8 11 Std.) Funktionenscharen Interpretation von Funktionstermen in einer realen Situation Anpassen von Funktionstermen an eine reale Situation Funktionsanpassung bei trigonometrischen Funktionen GFS Möglichkeiten: Allgemeine Symmetrie von Graphen Schiefe Asymptoten und Näherungskurven, Polynomdivision Ortskurven Regression mit dem GTR Die Schülerinnen und Schüler können Leitidee Funktionaler Zusammenhang - diskrete Abhängigkeiten beschreiben; Folgen (ca. 9 12 Std.) Explizite und rekursive Darstellung von Folgen Grenzwerte, Monotonie, Beschränktheit von Folgen; kein formaler Nachweis Die eulersche Zahl e als Grenzwert einer Folge 4
Die Schülerinnen und Schüler können Leitidee Modellieren - inner- und außermathematische Sachverhalte und ihre Veränderungen auch in komplexeren Zusammenhängen mathematisch modellieren. Die Schülerinnen und Schüler können Leitidee Algorithmus - lineare Gleichungssysteme auf Lösbarkeit untersuchen; die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bestimmen; Leitidee Modellieren - inner- und außermathematische Sachverhalte und ihre Veränderungen auch in komplexeren Zusammenhängen mathematisch modellieren. Wachstum (ca. 9 12 Std.) Exponentielles (natürliches) Wachstum Beschränktes Wachstum Logistisches Wachstum ( ohne Differenzialgleichung) Differenzialgleichungen für exponentielles und beschränktes Wachstum Wachstumsprozesse mit exponentiellem, beschränktem und logistischem Wachstum modellieren Bestimmung von Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme (ca. 5 7 Std.) Äquivalenzumformungen linearer Gleichungssysteme Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme Bestimmung der Lösung von linearen Gleichungssystemen sowohl mit dem Gauß-Verfahren als auch mit Hilfe des GTR, in einfachen Fällen ohne Hilfsmittel Bestimmung ganzrationaler Funktionen (ca. 4 6 Std.) Bestimmung ganzrationaler Funktionen, auch in Sachzusammenhängen Regression mit dem GTR Struktur der Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme Nichtgeometrische Anwendungen linearer Gleichungssysteme 5
Die Schülerinnen und Schüler können Leitidee Raum und Form - geometrische Objekte im Raum vektoriell beziehungsweise analytisch beschreiben und ihre Lagebeziehungen analysieren; Analytische Geometrie Ebenen mathematisch beschreiben (ca. 8 10 Std.) Parametergleichung einer Ebene Skalarprodukt Orthogonale Vektoren Betrag (Länge) eines Vektors Normalengleichung und Koordinatengleichung einer Ebene Wiederholung: Dreidimensionales Koordinatensystem, Vektorbegriff, Geraden Möglichkeit: Einsatz eines Geometrieprogramms Vektorprodukt (Flächeninhalt eines Parallelogramms) - Eigenschaften von geometrischen Objekten und Beziehungen zwischen geometrischen Objekten beschreiben und berechnen. Ebenen in einem Koordinatensystem veranschaulichen (ca. 2 3 Std.) Veranschaulichung von Ebenen im Koordinatensystem; auch Ebenen in besonderer Lage Schnittgerade von 2 Ebenen zeichnen Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden bestimmen (ca. 6 8 Std.) Gegenseitige Lage von Ebenen Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden Untersuchung auf Parallelität, Orthogonalität und Schnitt: Ebene - Gerade und Ebene - Ebene 6
Die Schülerinnen und Schüler können Leitidee Raum und Form - geometrische Objekte im Raum vektoriell beziehungsweise analytisch beschreiben und ihre Lagebeziehungen analysieren; - Eigenschaften von geometrischen Objekten und Beziehungen zwischen geometrischen Objekten beschreiben und berechnen; Abstände und Winkel zwischen geometrischen Objekten bestimmen (ca. 14 18 Std.) Abstand eines Punktes von einer Ebene Die Hessesche Normalenform Abstandsberechnungen: zwei Ebenen, Ebene und Gerade, Punkt und Gerade, parallele Geraden, windschiefe Geraden Winkel zwischen Vektoren Schnittwinkel berechnen von Gerade - Gerade, Ebene - Ebene, Gerade - Ebene Geometrische Probleme lösen (ca. 3 4 Std.) Leitidee Vernetzung - Probleme lösen, die den Einsatz von Begriffen und Verfahren aus verschiedenen Teilbereichen der Mathematik erfordern; Leitidee Modellieren - inner- und außermathematische Sachverhalte und ihre Veränderungen auch in komplexeren Zusammenhängen Behandlung von Abstandsproblemen auch mit Hilfe von Methoden aus der Analysis, Geradlinige Bewegungen im Raum ( z. B. Flugzeugaufgaben) Probleme zur Spiegelung an Ebenen und Geraden Förderung der Problemlösekompetenz: Entwickeln verschiedener Lösungswege aus der Vektorgeometrie, der Analysis, der Koordinatengeometrie und der Elementargeometrie 7
Die Schülerinnen und Schüler können Leitidee Vernetzung - mithilfe von Vektoren beweisen; Leitidee Modellieren - inner- und außermathematische Sachverhalte und ihre Veränderungen auch in komplexeren Zusammenhängen mathematisch modellieren. Beweisen mit Vektoren (ca. 7 9 Std.) Beweise zur Parallelität Beweise zur Orthogonalität Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit nur anschaulich Förderung der Begründungskompetenz: Auch Verwendung von Beweismitteln aus der Elementargeometrie und der Koordinatengeometrie Die Schülerinnen und Schüler können Leitidee Daten und Zufall - Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten mit unendlich vielen Ausgängen berechnen; - Hypothesen über Vorgänge, die vom Zufall abhängen, quantitativ beurteilen; Stochastik Problemlösen mit der Binomialverteilung (ca. 6 8 Std.) Problemlösen mit Hilfe der Binomialverteilung, auch mit Hilfe des GTR Testverfahren zur Binomialverteilung (ca. 8 11 Std.) Ein Testverfahren zur Binomialverteilung Wiederholung: Baumdiagramm, Pfadregel, Summenregel, Zufallsvariable, Erwartungswert Wiederholung der Binomialverteilung Standardabweichung einer Binomialverteilung) Einseitiger Test oder Zweiseitiger Signifikanztest zur 8
Leitidee Vernetzung - Probleme lösen, die den Einsatz von Begriffen und Verfahren aus verschiedenen Teilbereichen der Mathematik erfordern. Fehler beim Testen; Fehler erster und zweiter Art Stetige Verteilungen (ca. 6 9 Std.) Wahrscheinlichkeitsdichte Erwartungswert Gaußsche Glockenfunktion; normalverteilte Zufallsvariable Binomialverteilung Alternativtest 9
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