M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( ): Umrechnungsformeln: Besondere Werte: Gradmaß Bogenmaß
M 10.2 Kugel Ist der Radius einer Kugel, so gilt: Volumen: Oberfläche:
M 10.3 Sinus und Kosinus für beliebige Winkel Für beliebige Winkel gibt der Sinus die -Koordinate: der Kosinus die -Koordinate: eines Punktes an, der unter auf dem Einheitskreis liegt. Die Sinuswerte (bzw. Kosinuswerte ) haben für den spitzen Winkel sowie für die Winkel und denselben Betrag. Die Vorzeichen liefern die Quadranten: Alle anderen Winkel lassen sich durch Addition und Subtraktion von Vielfachen von auf einen Winkel zwischen und zurückführen. am Einheitskreis am Einheitskreis
M 10.4 Sinus- & Kosinusfunktion im Gradmaß im Bogenmaß Eigenschaften: Sinusfunktion periodisch mit der Periode Kosinusfunktion periodisch mit der Periode Definitionsmenge Wertemenge punktsymmetrisch zum Ursprung achsensymmetrisch zur -Achse
M 10.5 Die allgemeine Sinusfunktion Durch die allgemeine Sinusfunktion beliebige sinusförmige Graphen beschreiben: lassen sich : Stauchung/Streckung in -Richtung (Amplitude) b: Stauchung/Streckung in -Richtung. c: Verschiebung in -Richtung d: Verschiebung in -Richtung : Doppelter Ausschlag nach oben ( ) : Doppelte Periode ( ) : Verschiebung um nach links : Verschiebung um nach unten
M 10.6 Lineares und exponentielles Wachstum Lineares Wachstum Konstanter Zuwachs pro Zeiteinheit Exponentielles Wachstum Konstanter Wachstumsfaktor in gleichen (Zeit-) Schritten Nimmt die Größe um zu, so wächst die Größe stets um einen festen Summanden. Nimmt die Größe um zu, so wächst die Größe stets um einen festen Faktor.
M 10.7 Exponentialfunktion Funktionen der Form (,,, ) heißen Exponentialfunktionen. Die Konstante gibt den Wachstumsfaktor an. Die Konstante gibt den Anfangswert der Funktion für an, also ist. Für steigt der Graph Wachstum Für fällt der Graph negatives Wachstum Der Graph verläuft durch den Punkt. Die -Achse ist Asymptote. Spiegelt man den Graphen von so erhält man den Graphen von Ist, so wird der Graph in -Richtung mit dem Faktor gestreckt ) bzw. gestaucht ( b ). Ist, so wird der gestreckte/gestauchte Graph zusätzlich an der -Achse gespiegelt. an der -Achse, und umgekehrt.
M 10.8 Logarithmus Die eindeutige Lösung der (Exponential-)Gleichung (für,, ) bezeichnet man als Logarithmus von zur Basis und schreibt : Logarithmus ist ein Name für Exponent zu einer bestimmten Basis : Rechenregeln: (Produktregel) (Quotientenregel) (Potenzregel) (Wechsel der Basis)
M 10.9 Exponentialgleichungen Bei einer Exponentialgleichung tritt die Unbekannte im Exponenten auf. Es gibt verschiedene Arten von Exponentialgleichungen, für die es unterschiedliche Lösungsstrategien gibt: Logarithmieren Substitution Grafisch Exponentialgleichungen, die in die Form gebracht werden können, löst man durch Logarithmieren: Substitution: ( Lösung der quadratischen Gleichung und Resubstitution liefert das Ergebnis: Exponentialgleichungen in denen die Unbekannte im Exponenten und in der Basis auftreten sind rechnerisch unlösbar. Eine näherungsweise Lösung bietet das Zeichnen in einem Koordinatensystem:
M 10.10 Ereignisse und Vierfeldertafel Ereignisse sind Teilmengen der Ergebnismenge, beim einfachen Würfelwurf mit z.b. Augenzahl gerade A = {2, 4, 6} bzw. Augenzahl prim B ={2, 3, 5}. Mit den Ereignisverknüpfungen erhält man: Komplement von A : A und B : A oder B : ist Statistische Angaben über zwei Merkmale mit jeweils zwei Merkmalsausprägungen stellt man üblicherweise in einer sog. Vierfeldertafel dar. Diese kann Anzahlen oder auch Wahrscheinlichkeiten enthalten. Die Wahrscheinlichkeiten findet man auch im zugehörigen Baumdiagramm. 1. Merkmal ( ) 2. Merkmal ( )
M 10.11 Bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung, dass eingetreten ist. Die möglichen Ergebnisse sind nur noch die Ergebnisse von. Die günstigen Ergebnisse sind die Ergebnisse von, bei denen zusätzlich eintritt ( Anteil vom Anteil des Ganzen ). 1. Baumdiagramm 2. Baumdiagramm 1. Merkmal ( ) 2. Merkmal ( ) 1. Merkmal ( ) 2. Merkmal ( ) Berechnung:
M 10.12 Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel Baumdiagramm 4-Feldertafel In einem Betrieb kommt es an 1% aller Arbeitstage zu einem Brand. In 90% dieser Fälle wird ein automatischer Alarm ausgelöst. Liegt kein Brand vor, so gibt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% einen Fehlalarm. Berechne, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass es wirklich brennt, wenn ein Alarm ausgelöst wird? A:= Alarm wird ausgelöst Geg.: B:= Es brennt im Betrieb
M 10.13 Ganzrationale Funktionen Grad Potenzfunktionen Koeffizienten Polynom ganzrationale Funktion Beispiel für qualitativen Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion: höchster vorkommende Exponent (hier ) gerade ungerade Leitkoeffizient (hier ) von links oben nach rechts oben von links unten nach rechts unten von links unten nach rechts oben von links oben nach rechts unten
M 10.14 Nullstellen einer ganzrationalen Funktion Eine ganzrationale Funktion -ten Grades hat höchstens Nullstellen. Beispiel zur Bestimmung der Nullstelle(n) der Funktion Errate Nullstelle durch systematisches Probieren (NST Teiler von ) Schreibe Funktion als Produkt mit Restpolynom Polynomdivision Restliche Nullstellen durch Mitternachtsformel (bzw. Vieta) bestimmen falls Grad des Restpolynoms Faktorisierte Form: (doppelte Nullstelle bei ) Tritt in der vollständig faktorisierten Form eine Nullstelle ungeradzahlig oft auf, wechselt bei das Vorzeichen, geradzahlig oft auf, wechselt bei das Vorzeichen nicht.
M 10.15 Polynomdivision Beispiel:
M 10.16 Verschieben, Strecken/Stauchen/ Spiegeln von Funktionsgraphen (vgl. M10.5) Verschiebung von Funktionsgraphen Verschiebung um in -Richtung (Ausklammern von b) Verschiebung um d in -Richtung Strecken (Stauchen) von Funktionsgraphen Stauchung/Streckung um in -Richtung. Stauchung/Streckung um a in -Richtung Spiegelung an der -Achse / -Achse / am Ursprung liefert den an der -Achse gespiegelten Graph von liefert den an der -Achse gespiegelten Graph von liefert den am Ursprung gespiegelten Graph von
M 10.17 Symmetrie von Funktionsgraphen Achsensymmetrie zur -Achse Punktsymmetrie zum Ursprung Gleich weit vom Nullpunkt entferte -Werte besitzen stets denselben Funktionswert. Gleich weit vom Nullpunkt entfernte - Werte besitzen stets den betragmäßig gleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen. Ganzrationale Funktionen sind achsensymmetrisch, wenn sie nur geradzahlige Exponenten besitzen und punktsymmetrisch, wenn sie nur ungeradzahlige Exponenten besitzen.
M 10.18 Verhalten im Unendlichen Konvergenz Kommen die Funktionswerte einer Funktion für beliebig groß werdende - Werte einer Zahl beliebig nahe, so nennt man den Grenzwert der Funktion für gegen unendlich ( ). Die Gerade mit der Gleichung ist dann waagrechte Asymptote von Divergenz Wachsen die Funktionswerte für bzw. unbegrenzt nach oder sinken sie unbegrenzt nach, so divergiert die Funktion (bestimmte Divergenz) d.h. sie besitzt keinen Grenzwert. kein Grenzwert unbestimmt divergent
M 10.19 Strategien zum Untersuchen des Verhaltens im Unendlichen Ganzrationale Funktionen und vgl. 10.13 Gebrochen rationale Funktionen Ausklammern und Kürzen der höchsten Nennerpotenz: größte Nennerpotenz geht gegen = Exponentialfunktionen + - geht gegen also besitzt Graph waagrechte Asymptote y = 3 mit Annäherung von unten für x. vgl. 10.7
M 10.20 Grundfunktionen Name Term Beispiel Graph 1 2 3 4 5 6 Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochen rationale Funktionen Exponentialfunktionen Winkelfunktionen