Rainer Göb Elementare Wirtschaftsmathematik Erster Teil: Funktionen von einer und zwei Veränderlichen Mit 87 Abbildungen Methodica-Verlag Veitshöchheim
Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen: Mengen, Tupel, Relationen. 1 1.1 Mengen 1 1.2 Tupel und cartesische Produkte 5 1.3 Relationen 7 1.4 Äquivalenzrelationen 8 1.5 Ordnungsrelationen 8 2 Grundlagen: Zahlenbereiche. 11 2.1 Nominalzahl, Ordinalzahl, Kardinalzahl 11 2.2 Die natürlichen Zahlen 12 2.3 Die ganzen Zahlen 15 2.4 Die rationalen Zahlen 18 2.5 Das Kontinuumsproblem 25 2.6 Die reellen Zahlen 28 2.7 Intervalle auf der reellen Achse 30 2.8 Offene und abgeschlossene Teilmengen der reellen Achse 32 2.9 Der Betrag reeller Zahlen 33 2.10 Operationen mit reellen Zahlen: Potenzen und Wurzeln 34 2.11 Der R 2 36 2.12 Offene und abgeschlossene Mengen im R 2 38 2.13 Der R 3 41 2.14 Die komplexen Zahlen 42 2.15 Lösung quadratischer Gleichungen in komplexen Variablen 45 3 Grundlagen: Funktionen. 47 3.1 Funktionen: Grundbegriffe 47 3.2 Die Definition von Funktionen 49 3.3 Wichtige Begriffe im Zusammenhang mit dem Funktionsbegriff 51 3.4 Rechenoperationen mit Punktionen 52 3.5 Verkettung von Punktionen 53 3.6 Injektivität, Umkehrabbildung, Bijektivität von Funktionen 54 4 Elementare reellwertige Funktionen eines reellen Arguments. 56 4.1 Reellwertige Punktionen eines reellen Arguments in der Modellbildung... 56 4.2 Monotonie reellwertiger Punktionen eines reellen Arguments 58 4.3 Extremwerte reellwertiger Funktionen eines reellen Arguments 59 4.4 Krümmung reellwertiger Punktionen eines reellen Arguments 62
4.5 Elementare Kenngrößen reellwertiger Punktionen eines reellen Arguments.. 64 4.6 Differentialkenngrößen reellwertiger Funktionen eines reellen Arguments.. 66 4.7 Lineare Funktionen 68 4.8 Potenzfunktion bei rationalem Exponenten 70 4.9 Quadratische Funktionen (Polynome vom Grade 2) 72 4.10 Kubische Punktionen (Polynome vom Grade 3) 75 4.11 Polynome 81 4.12 Anpassung von Funktionen an Daten 84 4.13 Rationale Funktionen 88 4.14 Rationale Funktionen als Sättigungs- und Ausfallfunktionen 89 4.15 Die Exponentialfunktion 91 4.16 Funktionen mit konstanter Momentanrendite pro Zeiteinheit 93 4.17 Sättigungs- und Ausfallfunktionen auf Grundlage der Exponentialfunktion. 95 4.18 Die Logarithmusfunktion 97 4.19 Die Potenzfunktion 97 4.20 Logarithmen zu einer gegebenen Basis 98 4.21 Sinus und Cosinus 99 Folgen reeller Zahlen. 101 5.1 Standardinterpretation von Folgen 101 5.2 Darstellung von Folgen 102 5.3 Kenngrößen von Folgen 105 5.4 Folgen als Einschränkungen von auf Intervallen definierten Punktionen... 106 5.5 Arithmetische Folge 107 5.6 Geometrische Folge 108 5.7 Folgen mit konstanter Rendite 110 5.8 Kontoentwicklung bei Guthaben- oder Sollzinsen ohne Ein- und Auszahlungen 110 5.9 Endliche Summen und Produkte 111 5.10 Kontoentwicklung bei variablen Guthaben- oder Sollzinsen ohne Ein- und Auszahlungen 113 5.11 Durchschnittszinsen bei variablen Guthaben- oder Sollzinsen ohne Ein- und Auszahlungen 115 5.12 Einige endliche Summen 116 5.13 Diskontierung 117 5.14 Die Differenzengleichung erster Ordnung 118 5.15 Cobweb-Modelle 120 5.16 Fakultäten 122 IV
V INHALTSVERZEICHNIS 5.17 Binomialkoeffizienten 122 6 Finanzmathematik. 125 6.1 Abschreibung 125 6.2 Kontoentwicklung bei Guthabenzinsen und Einzahlungen 128 6.3 Kontoentwicklung bei laufender Auszahlung und bei Sollzinsen 132 6.4 Stetige Verzinsung 133 7 Grenzwerte. 136 7.1 Der Sinn von Grenzwertbetrachtungen 136 7.2 Grenzprozesse von Variablen 137 7.3 Mathematische Definition von Konvergenz und bestimmter Divergenz.... 138 7.4 Konvergenz und Divergenz 140 7.5 Konvergenz und bestimmte Divergenz spezieller Funktionen und Folgen... 141 7.6 Rechenregeln für konvergente Funktionen und Folgen 143 7.7 Diskontierte ewige Einkünfte 148 7.8 Drei Konvergenzuntersuchungen 149 7.9 Kriterien für die Konvergenz von Folgen 151 7.10 Konvergenz im R 2 153 7.11 Konvergenz in C 154 7.12 Begriff der unendlichen Reihe 154 7.13 Die geometrische Reihe 155 7.14 Die harmonische Reihe 156 7.15 Potenzreihen 157 7.16 Exponentialreihe 158 7.17 Logarithmusreihe 158 7.18 Reihendarstellung der Sinus- und Cosinusfunktion 159 8 Diskrete dynamische Modelle. 160 8.1 Einführung in die diskrete dynamische Modellierung 160 8.2 Einführende Beispiele von Autoregressionsgleichungen 160 8.3 Autoregressionsschemata und autoregressive Zeitreihen 163 8.4 Die Nullstellen des Autoregressionspolynoms 166 8.5 Lösungen der homogenen Autoregressionsgleichung 168 8.6 Eine spezielle Lösung der allgemeinen Autoregressionsgleichung 169 8.7 Lösungen der Autoregressionsgleichung mit Initialisierungen 172 8.8 Die Fibonacci-Zahlen 179 8.9 Der Verlauf autoregressiver Folgen 181 8.10 Stabilität und asymptotische Stabilität 183
8.11 Untersuchung autoregressiver Folgen auf Beschränktheit bzw. Konvergenz. 187 9 Stetige Funktionen. 189 9.1 Motivation 189 9.2 Begriff der Stetigkeit 190 10 Differenzierbare Funktionen. 194 10.1 Der Grenzwert des Differenzenquotienten in der Montonieuntersuchung... 194 10.2 Der Grenzwert des Differenzenquotienten als Momentangeschwindigkeit... 196 10.3 Der Grenzwert des Differenzenquotienten als Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion 197 10.4 Der Begriff der Differenzierbarkeit 198 10.5 Differenzierbare Funktionen, Differentiationsregeln 201 11 Extremwerte und Extremalstellen bei differenzierbaren Funktionen. 202 11.1 Eigenschaften stetiger Funktionen 202 11.2 Untersuchung differenzierbarer Funktionen auf Monotonie, Extremwerte und Wendepunkte 203 12 Anwendungen der Differentialrechnung in der wirtschaftswissenschaftlichen Modellierung. 211 12.1 Der Begriff des Differentials 211 12.2 Die Interpretation der ersten Ableitung als Grenzfunktion 212 12.3 Die Elastizität einer Funktion 214 13 Meßskalen. 218 13.1 Entitäten und ihre Charakteristika 218 13.2 Skalen 218 13.3 Skalentransformationen 220 13.4 Gleichwertigkeit von Skalen 222 13.5 Skalenverträgliche Operationen 223 13.6 Festlegung von Skalen 224 13.7 Die Likertskala 226 14 Nutzen. 228 14.1 Einführung 228 14.2 Nutzenmessung 229 14.3 Ursprünge der Theorie des Grenznutzen 230 14.4 Nutzen und Grenznutzen in ordinaler Sicht 231 14.5 Nutzen und Grenznutzen in kardinaler Sicht 234 VI
14.6 Ordinale und kardinale Präferenzen 238 15 Reellwertige Punktionen von zwei reellen Argumenten. 240 15.1 Mathematische Beispiele von Punktionen von zwei Variablen 240 15.2 Stetigkeit von Punktionen von zwei Variablen 243 15.3 Partielle Ableitungen 244 15.4 Differentiation bei Verkettung 246 15.5 Differentiation impliziter Punktionen 247 16 Extremwerte von Funktionen zweier Veränderlicher. 253 16.1 Extremalstellen und Sattelpunkte bei Punktionen zweier Veränderlicher... 253 16.2 Bestimmung von Extremalstellen bei Punktionen zweier Veränderlicher... 254 16.3 Extremwerte unter Nebenbedingung 260 17 Regression. 269 17.1 Das Regressionsmodell 269 17.2 Lineare Regression 270 17.3 Nichtlineare Regression 270 18 Integration. 275 18.1 Motivation 275 18.2 Flächenberechnung vom intuitiven Standpunkt 276 18.3 Das Integral als Flächeninhalt und als Grenzwert von Rechtecksflächensummen 278 18.4 Elementare Eigenschaften des Integrals 282 18.5 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 283 18.6 Integrationstechniken: Stammfunktion 285 18.7 Integrationstechniken: Partielle Integration 286 18.8 Integrationstechniken: Substitutionsregel 287 18.9 Uneigentliche Integrale 288 18.10Differentiation von Integralen 291 18.11Anwendungen der Integralrechnung in der wirtschaftswissenschaftlichen Modellierung 292 19 Differentialgleichungen. 297 19.1 Der Begriff der Differentialgleichung 297 19.2 Die Differentialgleichung erster Ordnung 299 19.3 Die lineare Differentialgleichung erster Ordnung 300 19.4 Das Wachstum einer Population 301
19.5 Preisentwicklung in kontinuierlicher Zeit 302 19.6 Die Wachstumstheorie von Harrod und Domar 303 A Anhang: Regeln für Rechenoperationen mit reellen Zahlen. 306 B Anhang: Regeln für Rechenoperationen auf der kompaktifizierten Zahlengeraden. 306 C Anhang: Grenzübergang, Konvergenz, bestimmte Divergenz bei Folgen und Funktionen auf R. 308 D Anhang: Grenzübergang, Konvergenz, bestimmte Divergenz im R 2 und in C. 312 E Anhang: Differentialrechnung bei reellwertigen Funktionen einer reellen Variablen. 314 E.l Der Begriff der Differenzierbarkeit 314 E.2 Differentiationsregeln 315 E.3 Die Ableitung wichtiger Punktionen 315 E.4 Untersuchung differenzierbarer Punktionen auf Monotonie, Extremwerte und Wendepunkte 319 Literaturverzeichnis. 322 Index. 325 VIII