WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK PROF. DR. ROLF HÜPEN FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Semiar für Theoretische Wirtschaftslehre Vorlesugsprogramm 30.04.203 Mittelwerte ud Lagemaße I. Quatile vo Häufigkeitsverteiluge 2. Awedug ud Berechug der wichtigste Mittelwerte Modus Media Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel Harmoisches Mittel Literatur: Dege, Horst / Lorscheid, Peter: Statistik-Lehrbuch, 2. Aufl., Müche-Wie 2002, S. 37-43. Mosler, Karl ud Schmid, Friedrich: Beschreibede Statistik ud Wirtschaftsstatistik, 4. Aufl., Berli-Heidelberg-New York 2009, S. 34-42. vo der Lippe, Peter: Deskriptive Statistik, Stuttgart 993, S. 46-82. Aufgabe: Semesterabschlussklausur SS 0, Aufgabe b). Semesterabschlussklausur WS 03/04, Aufgabe. Semesterabschlussklausur WS 04/05, Aufgabe a) bis c). Semesterabschlussklausur WS 05/06, Aufgabe. Semesterabschlussklausur WS 08/09, Aufgabe 5.
Mittelwerte ud Lagemaße Übersicht Kezahle für Datesätze Allgemeie Lageparameter: Quatile Mittelwerte Streuugsmaße Kozetratiosmaße Schiefe Wölbug 2
Mittelwerte ud Lagemaße Quatile p-quatil (allgemeier Lageparameter) Voraussetzug: Midestes ordial skalierte Merkmale Vorgabe: 0 < p < Da heißt die Kezahl x p p-quatil, falls uterhalb vo x p sich höchstes 00 p% ud oberhalb vo x p sich höchstes 00 p % der Beobachtugswerte befide. Beispiel: p=0,4 Das 0,4-Quatil ist derjeige Beobachtugswert x 0,4, für de gilt, dass (höchstes) 40% der Beobachtugswerte kleier ud (höchstes) 60% der Beobachtugswerte größer als x 0,4 sid. Gewit ma z.b. aus eier Erhebug des Moatseikommes vo Haushalte die Iformatio x 0,4 = 2000, da weiß ma: 40% der Haushalte verdiee weiger als 2000, 60% der Haushalte mehr als 2000. 3
Mittelwerte ud Lagemaße Quatile Eigeschafte ud Berechug des p-quatils. Das p-quatil teilt die geordete Urliste i geau zwei Teile. 2. Ist p gazzahlig, so gelte die Prozetsätze exakt. 3. Für die Datelage A gilt: x p = x p+ falls p icht gazzahlig 2 x p + x p+ falls p gazzahlig Dabei bedeutet [α]: = größte gaze Zahl, die kleier oder gleich a ist. [ ] heißt Gauß-Klammer Beispiel: = 25, p = 0, p = 2,5 icht gazzahlig [ p + ] = [3,5] = 3 x 0, = x 3 = dritter Wert der geordete Urliste = 25, p = 0,2 p = 5 gazzahlig p = 5 = 5 ; [ p + ] = [6] = 6 x 0,2 = 2 x 5 + x 6 = Itervallmitte zwische 5. ud 6. Wert der geordete Urliste 4
Mittelwerte ud Lagemaße Quatile Zahlebeispiel aus der Absolveteumfrage 2002 Geordete Urliste Lfd. Nr. (i) 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 2 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3 32 33 34 35 36 37 38 39 Lebesalte r beim Exame x (i) 23 24 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 28 28 28 28 28 29 29 29 29 30 30 30 30 3 3 32 34 x p = x p+ falls p icht gazzahlig 2 x p +x p+ falls p gazzahlig = 39 p = 0,25 p = 9,75 x 0,25 = x 0 = 26 p = 0,5 p = 9,5 x 0,5 = x 20 = 27 p = 0,75 p = 29,25 x 0,75 = x 30 = 29 p = 2 3 p = 26 x 2 3 = 2 (x 26 + x 27 ) = 28 + 28 2 = 28 5
Mittelwerte ud Lagemaße Quatile 4. Für die Datelage B gilt: x p = x i für F i < p < F i 2 x, wobei i =,, m ud F i + x i+ für p = F 0 = 0 i Zahlebeispiel Absolveteumfrage 2002, Merkmal Alter : Nr. Merkmalsausprägug eifache Häufigkeit kumulierte Häufigkeit absolut relativ absolut relativ i x i h i f i H i F i 23 0,0256 0,0256 2 24 0,0256 2 0,053 3 25 6 0,538 8 0,205 4 26 0 0,2564 8 0,465 5 27 4 0,026 22 0,564 6 28 5 0,282 27 0,6923 7 29 4 0,026 3 0,7949 8 30 4 0,026 35 0,8974 9 3 2 0,053 37 0,9487 0 32 0,0256 38 0,9744 33 0 0,0000 38 0,9744 2 34 0,0256 39 Summe 39 Kotrollfrage: Wo liegt der Media x 0,5 F 4 = 0,465 < p = 0,5 < F 5 = 0,564 x 0,5 = x 5 = 27 Atwort: Bei eiem Lebesalter vo 27 Jahre. 6
Kumulierte relarive Häufigkeit Mittelwerte ud Lagemaße Quatile Graphische Ermittlug des p-quatils bei Datelage B: Empirische Verteilugsfuktio 0,75 0,5 0,25 0 20 2 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3 32 33 34 35 36 Lebesalter beim Exame 7
Mittelwerte ud Lagemaße Quatile 5. Für die Datelage C gilt: p-quatile köe im allgemeie ur äherugsweise bestimmt werde. Ma greift auf die approximierede empirische Verteilugsfuktio zurück ud bestimmt x p als Lösug der Gleichug F x p = p Berechug: Schritt : Ma bestimmt zuächst die Klasse G i mit F i p < F i, i die das gesuchte Quatil hieifällt. Diese Klasse hat die Greze [a i, a i ) ud die Breite i = a i a i. Somit gilt die Eigrezug a i x p < a i. Schritt 2: Feiberechug durch lieare Iterpolatio: x p a i + p F i F i F i a i a i = a i + p F i f i i Bei Aahme der Gleichverteilug ierhalb der Klasse ist die Approximatio exakt. 8
Mittelwerte ud Lagemaße Quatile Zahlebeispiel: Absolveteumfrage, Merkmal Alter beim Exame, 7 Klasse, idetische Breite = 2 vo bis uter Mitte Breite i a i- a i x i D i h i f i H i F i 22 24 23 2 0,0256 0,0256 2 24 26 25 2 7 0,795 8 0,205 3 26 28 27 2 4 0,3590 22 0,564 4 28 30 29 2 9 0,2308 3 0,7949 5 30 32 3 2 6 0,538 37 0,9487 6 32 34 33 2 0,0256 38 0,9744 7 34 36 35 2 0,0256 39 Summe 39 Berechug des Medias (p = 0,5). Schritt: I welche Klasse fällt der Media? Da 0,205 < 0,5 < 0,564, befidet sich der Media i Klasse 3, also gilt: 26 < x 0,5 < 28 2. Schritt: Feiberechug durch lieare Iterpolatio: 0,5 0,205 x 0,5 = 26 + 2 = 27,6 Jahre 0,564 0,205 9
Mittelwerte ud Lagemaße Quatile Zahlebeispiel: Absolveteumfrage, Merkmal Alter beim Exame, 7 Klasse, idetische Breite = 2 vo bis uter Mitte Breite i a i- a i x i D i h i f i H i F i 22 24 23 2 0,0256 0,0256 2 24 26 25 2 7 0,795 8 0,205 3 26 28 27 2 4 0,3590 22 0,564 4 28 30 29 2 9 0,2308 3 0,7949 5 30 32 3 2 6 0,538 37 0,9487 6 32 34 33 2 0,0256 38 0,9744 7 34 36 35 2 0,0256 39 Summe 39 Berechug des. Quartils (p = 0,25). Schritt: 0,205 < 0,25 < 0,564 Q befidet sich auch i Klasse 3, also gilt: 26 < x 0,25 < 28 2. Schritt: Feiberechug durch lieare Iterpolatio: 0,25 0,205 x 0,25 = 26 + 2 = 26,3 Jahre 0,564 0,205 0
Mittelwerte ud Lagemaße Quatile Zahlebeispiel: Absolveteumfrage, Merkmal Alter beim Exame, 7 Klasse, idetische Breite = 2 vo bis uter Mitte Breite i a i- a i x i D i h i f i H i F i 22 24 23 2 0,0256 0,0256 2 24 26 25 2 7 0,795 8 0,205 3 26 28 27 2 4 0,3590 22 0,564 4 28 30 29 2 9 0,2308 3 0,7949 5 30 32 3 2 6 0,538 37 0,9487 6 32 34 33 2 0,0256 38 0,9744 7 34 36 35 2 0,0256 39 Summe 39 Berechug des 3. Quartils (p = 0,75). Schritt: 0,564 < 0,75 < 0,7949 Q 3 befidet sich i Klasse 4, also gilt: 28 < x 0,75 < 30 2. Schritt: Feiberechug durch lieare Iterpolatio: 0,75 0,564 x 0,75 = 28 + 2 = 29,6 Jahre 0,7949 0,564
Kumulierte relative Häufigkeit Mittelwerte ud Lagemaße Quatile Graphische Ermittlug des p-quatils bei Datelage C mit Hilfe der approximierede empirische Verteilugsfuktio: Approximierede empirische Verteilugsfuktio F x 0,75 0,5 0,25 0 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 Lebesalter beim Exame 2
Mittelwerte ud Lagemaße Quatile 6. Spezialfälle Quartile: p = (0,25 0,5 0,75) Die drei Quartile teile die geordete Urliste i vier gleiche Teile. 0,25 Quatil = x 0,25 = Q = uteres Quartil 0,5 Quatil = x 0,5 = Q 2 = mittleres Quartil oder Media 0,75 Quatil = x 0,75 = Q 3 = oberes Quartil Dezile: p = 0, 0,2 0,8 0,9 Die eu Dezile teile die geordete Urliste i zeh gleiche Teile. 3
Mittelwerte Überblick Mittelwert = Kezahl zur Beschreibug der zetrale Tedez eier statistische Masse. Ziel: Durch Agabe eies eizige, typische Wertes soll die statistische Masse möglichst gut repräsetiert werde. Der Mittelwert soll das Niveau, die allgemeie Größeordug der Messwerte charakterisiere ud de Datesatz durch eie eizige Zahl zusammefasse. Die wichtigste Mittelwerte sid: Modus Media (Zetralwert) Arithmetisches Mittel (AM) Harmoisches Mittel (HM) Geometrisches Mittel (GM) lagetypische Mittelwerte recherische Mittelwerte Vo geriger praktischer Bedeutug sid das quadratische ud das atiharmoische Mittel, die zusamme mit de scho geate recherische Mittelwerte Spezialfälle der sogeate Potezmittel sid. Die Berechug der Mittelwerte hägt vo der Datelage ab. 4
Relative Häufigkeit f Mittelwerte Zahlebeispiel Fiktives Zahlebeispiel, quatitatives Merkmal x, 20 Beobachtugswerte: 5,6,4,2,8,3,7,5,5,3,6,4,2,3,4,6,5,7,5, Quelle für das Zahlebeispiel: Abels, Heier: Wirtschafts- ud Bevölkerugsstatistik, 4. Aufl., Wiesbade 993, S. 209 Geordete Urliste i 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 x (i) 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 Häufigkeitstabelle x i h i f i H i F i 0,05 0,05 2 2 0, 3 0,5 3 3 0,5 6 0,3 4 3 0,5 9 0,45 5 5 0,25 4 0,7 6 3 0,5 7 0,85 7 2 0, 9 0,95 8 0,05 20 Summe 20 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 0 Stabdiagramm 2 3 4 5 6 7 8 Merkmal x 5
Mittelwerte Zahlebeispiel Datelage A Datelage A: Bei der Datelage A besteht der Datesatz aus eizele, icht otwedigerweise vo eiader verschiedee Beobachtugswerte x,, x Gegebe: Geordete Urliste x () x (2) x () i 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 x (i) 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 Modus = häufigster Beobachtugswert Media = AM = HM = i= 2 x 2 x i x i i= GM = x i i= x + 2, ist ugerade + x 2 +, ist gerade = x x 2 x 3 x Modus = 5 Media = 2 x 0 + x = 2 5 + 5 = 5 AM = 20 + 2 + 2 + + 7 + 8 = 9 20 = 4,55 20 HM = + 2 + 2 + + 7 + = 3,53 8 20 GM = 2 2 7 8 20 = 82895200000 = 4,0 6
Mittelwerte Awedug, Eigeschafte ud Iterpretatio Modus Awedug, Eigeschafte ud Iterpretatio der Mittelwerte Modus (Modalwert): häufigster oder dichtester Wert Realitätsähe: der Modus ist immer ei beobachteter Wert Mit dem Modus verbidet ma eie gewisse Vorstellug vo Normalität ud Üblichkeit Beispiele: ormaler Preis, übliche Zeit Awedug ab Nomialskaleiveau möglich, also immer. 7
Mittelwerte Awedug, Eigeschafte ud Iterpretatio Media Media (Zetralwert): Halbierugseigeschaft: der Media ist der Merkmalswert, der die Date i geau zwei gleiche Teile teilt. 50% der Merkmalswerte sid kleier oder gleich, 50% sid größer oder gleich dem Media. Gibt die Mittepositio eier Verteilug a, spricht das Mittegefühl a. sehr robust gegeüber Ausreißer Beispiel: ormaler Studet, politische Mitte, mittleres Eikomme Miimaleigeschaft: Die Summe der absolute Abweichuge des Medias vo de Beobachtugswerte ist miimal. Die Fuktio φ y = x i y i= besitzt ei Miimum a der Stelle y = x 0,5, also beim Media. Awedug ab Ordialskaleiveau möglich. 8
Mittelwerte Awedug, Eigeschafte ud Iterpretatio arithmetisches Mittel Arithmetisches Mittel AM = x = i= x i bekatester Mittelwert Durchschittswert, recherischer Durchschitt AM ka Wert aehme, der als Beobachtugswert icht vorkommt. empfidlich gegeüber Ausreißer Ersatzwerteigeschaft: x i = AM Schwerpukteigeschaft (Nulleigeschaft): x i AM = 0 Miimaleigeschaft: Die Fuktio φ y = (x i y) 2 besitzt ei Miimum a der Stelle y = AM, d.h. AM miimiert die quadratische Abweichuge. Liearität: y i = a + b x i AM Y = a + b AM X Eie lieare Trasformatio der Beobachtugswerte des Merkmals X führt zu derselbe lieare Trasformatio des AM. Awedug ab Itervallskaleiveau möglich. 9
Mittelwerte Awedug, Eigeschafte ud Iterpretatio geometrisches Mittel Geometrisches Mittel GM = x i = x x 2 x 3 x i= Hauptawedugsgebiet: Wachstumsfaktore/Wachstumsrate. Beispiel logarithmisches Mittel : l GM = l x i = AM(l X ) i= Der Logarithmus des geometrische Mittels ist gleich dem arithmetische Mittel der logarithmierte Merkmalswerte. Beispiele: Mittlere Wachstumsrate, mittlere Iflatiosrate, (Cobb-Douglas-Fuktio) Awedug ab Verhältisskaleiveau möglich. v. d. Lippe 993, S. 6f.: Dipl.-Kfm. K aus E erhält im Jahre 989 eie Gehaltserhöhug um 20%. Wege der schlechte Geschäftslage im Jahre 990 muß er jedoch 990 eie Gehaltssekug um 20% hiehme. Er verdiet jetzt (richtiges akreuze): weiger als, mehr als, geauso viel wie vor der Gehaltserhöhug. 20
Mittelwerte Awedug, Eigeschafte ud Iterpretatio harmoisches Mittel Harmoisches Mittel HM = x i i= weitgehed ubekater Mittelwert, der i eiige Fälle jedoch agewedet werde muss, weil jede adere Mittelwertbildug zu usiige Ergebisse führe würde. Beispiele: mittlere Geschwidigkeit, Durchschittspreis bei kostate Ausgabe, aber verschiedee Preise ( Ich take immer für 20 ). Awedug bei Verhältiszahle, bei dee der Zähler kostat ud der Neer variabel sid. Awedug ab Verhältisskaleiveau möglich. v. d. Lippe 993, S. 63: Ei Flugzeug legt für de Flug vo A ach B ud zurück isgesamt 4.800 km zurück. Aufgrud vo Gegewid ka das Flugzeug auf dem Hiweg ur eie Geschwidigkeit vo 600 km/h erreiche, auf dem Rückweg jedoch eie Geschwidigkeit vo 800 km/h. Mit welcher Durchschittsgeschwidigkeit ist das Flugzeug uterwegs? Stud. rer. oec. Sebastia Sparsam hat im laufede Moat zweimal für jeweils zwazig Euro getakt. Beim erste Mal betrug der Bezipreis,25 /l, beim zweite Mal,55 /l. Zu welchem durchschittliche Preis hat er getakt? 2