Bruchteile Anteile gibt man in Bruchschreibweise an. Anteil : 8 Bruchteil : cm Anteil : 8 Bruchteil : 0, cm Anteil : 8 Bruchteil : cm Anteil : 8 Bruchteil :, cm 8 nennt man einen Bruch. 8 heißt Nenner des Bruches. Er gibt an, in wie viele Teile die Gesamtgröße geteilt wird. heißt Zähler des Bruches. Er gibt an, aus wie vielen Teilen der Anteil besteht.
Bestimmung von Anteilen Beispiele : a) von = b) Cent von 4 = Cent von 400 Cent = 400 Ist B der Bruchteil einer Größe G gemessen in der gleichen Einheit, dann ist der Anteil von B an G B von G = B G Bestimmung von Bruchteilen Beispiele : a) 4 von = ( : 4) = (00 Cent : 4) = Cent = 7 Cent b) 4 von h = ( h : 4) = (400 s : 4) = s = s = 8 min 4 s Den Bruchteil B, den der Anteil z n einer Größe G ausmacht, ist gegeben durch B = z n von G = (G : n) z Merke : Bruchteile von Einheitsgrößen gibt man verkürzt an. Beispiele :
a) 4 von = 4 b) 4 von g = 4 g Bestimmung einer Größe aus Anteil und Bruchteil Beispiele : a) Herr K. zahlt 70 Miete, dass sind seines Nettoverdienstes. 0 Gleichung Schlussrechnung 0 von G = 70 0 G j 70 (G : 0) = 70 G j 70 : = 40 0 G : 0 = 70 : G : 0 = 40 G j 40 0 = 400 G = 40 0 G = 400 Herr K hat einen monatlichen Nettoverdienst von 400. 4 b) Bei einer Bürgermeisterwahl gingen aller Wahlberechtigten nicht zur Wahl. Es wurden 94 Stimmen abgegeben. von G = 94 ergibt G = Es gibt wahlberechtigte Bürger in der Gemeinde.
Kreisdiagramme Beispiel : 7 Bei der Klassensprecherwahl erhält Andreas. Bernhard und Claudia aller abgege- 9 benen Stimmen. Der Rest der Stimmen ist ungültig. j 60 j 0 j 60 9 j 40 9 j 80 j 60 j 7 7 j 0 Bernhard Andreas Claudia
Relative Häufigkeit Beispiel : Eine Klasse erhält ihre Schulaufgabe zurück. Die Anzahl der Schüler, die in der Mathematikschulaufgabe die Note erhalten, nennt man die absolute Häufigkeit der Note in der Schulaufgabe. Analog gibt es eine absolute Häufigkeit der Note ; der Note usw. Den Anteil der Schulaufgaben mit der Note an allen Schulaufgaben nennt man die relative Häufigkeit der Schulaufgaben mit der Note. Note 4 6 gesamt absolute Häufigkeit 9 6 relative Häufigkeit = 8% = 0% 9 = 6% 6 = 4% = 8% = 4% 00% Veranschaulichung durch Diagramme Die absolute Häufigkeit der Noten im Säulendiagramm Die relative Häufigkeit stellt man im Kreisdiagramm dar.
Tritt ein Merkmal bei den n Elementen einer Menge z-mal auf, dann heißt z die absolute Häufigkeit dieses Merkmals und z n die relative Häufigkeit dieses Merkmals. Aufgaben. Gib in der angegebenen Einheit an a) b) c) d) 8 km (m) t (kg) h (min) 0 ha (m ). Gegeben ist ein Quadrat. M und N sind die Mittelpunkte von zwei N Quadratseiten. Welcher Teil der gesamten Quadratfläche wird durch die schraffierte Fläche dargestellt? M Begründung. Schraffiere der Quadratfläche 0 4. Gib in der angegebenen Einheit an a) b) c) d) 4 m (cm) 8 kg (g) 0 min (s) 4 Ar (dm ). Welcher Bruchteil der Fläche ist jeweils schraffiert?
6. Im Durchschnitt erlernen 76 von 80 Erwachsenen das Autofahren vor Erreichen des 4. Lebensjahres. Welcher Bruchteil ist das? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7. Welchen Bruchteil des Bodens eines,6 m großen Zimmers wird von einem 8, m großem Teppich bedeckt. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8. Bei einem Ausverkauf werden die Preise um reduziert. 0 Was war der ursprüngliche Preis eines Fernsehapparats, der jetzt 70 kostet? 4 9. Bei einer Kommunalwahl gingen der Wahlberechtigten zur Wahl. 64 Stimmen waren ungültig, das sind der abgegebenen Stimmen. Wie viele Leute in der Gemeinde sind wahlberechtigt? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0. Im Durchschnitt sind von 800 gelegten Eiern verdorben. a) Gib den Bruchteil verdorbener Eier in einfacher Form an. b) Wie viele Eier muss man demnach mindestens kaufen, damit man 800 der gekauften Eier unverdorben sind? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Wenn Wasser friert, nimmt sein Volumen um / zu. Um welchen Bruchteil nimmt sein Volumen ab, wenn es wieder schmilzt? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Das Säulendiagramm zeigt das Ergebnis einer einer Mathematikschulaufgabe. Anzahl 8 6 4 4 6 Note Gib den Anteil jeder einzelnen Note an. BMT 00
Welcher Bruchteil des Rechtecks ABCD ist grau gefärbt? 7 + 6 7
Bruchzahlen Anteile lassen sich auf dem Zahlenstrahl angeben. 0 0/ / / / 4/ 0/ / / / 4/ / 6/6 0/6 /6 /6 /6 4/6 /6 6/6 7/6 8/6 9/6 0/6 /6 /6 Damit hat man neue Zahlen die sog. Bruchzahlen entdeckt. Verschiedene Brüche können ein und dieselbe Bruchzahl darstellen. Es ist auch sinnvoll, Anteile größer als einzuführen, Ein und dieselbe Bruchzahl kann durch verschiedene Brüche dargestellt werden. So ist und. = 4 = 6 =... = 6 = 9 =... Ist z n ein Bruch, dann unterscheidet man a) Stammbrüche z = wie z. B.,, 00 b) Echte Brüche z < n wie. Sie sind kleiner als.,, 4 c) Scheinbrüche. Sie stellen natürliche Zahlen dar wie z. B 4 4 =, 6 =, 9 = d) Unechte Brüche z > n, z ƒ n wie z. B. = + =, 7 = + = Sie sind größer als sind, und lassen sich als gemischte Zahlen schreiben. Erweitert man den Zahlenstrahl zur Zahlengeraden, dann erhält man zusätzlich die negativen Bruchzahlen. -7/6 - -/6 -/ -/ -/ -/6 0 /6 / / / /6 Die Menge aller Bruchzahlen bezeichnet man als rationale Zahlen Q. Die Menge der ganzen Zahlen Z ist in der Menge der Bruchzahlen enthalten : Z Q
Aufgaben ==================================================================. Verwandle in einen unechten Bruch : a) b) c) 4 7 60. Vewandle in eine gemischte Zahl : a) b) c) 9
Die Division in Q Drei Ganze lassen sich mit Hilfe der Bruchzahlen durch Vier teilen (vierteln). : 4 = 4 Sinnvoll ist daher auch : 4 =, und 4 : 4 = 4 : 4 = 4 zu rechnen. In der Menge Q ist die Division z : n mit z Z und n Z\{0} durchführbar. Es ist z : n = z n Beispiele. a) : = = b) : 8 = 8 Speziell gilt : z =. Man nennt den Kehrwert oder den Kehrbruch von z. z z Die Zahl 0 hat keinen Kehrbruch.
Erweitern und Kürzen von Brüchen Es ist = 4 6 = ; = 6 9 = usw. Erweitern : Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn man den Zähler und den Nenner des Bruches mit derselben natürlichen Zahl multipliziert. z n = z k n k z Z, n, k Z\{0} Umgekehrt gilt : Kürzen : Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn man den Zähler und den Nenner des Bruches durch dieselbe natürliche Zahl dividiert. k z n = z : k n : k z Z, n, k Z\{0} Beispiele : a) 6 8 = 6 : 8 : = 4 b) 80 = 4 : 4 80 : 4 = 4 = 80 =
Beachte : Es ist 6 4 4 = 4 = 8, jedoch 6 + 4 4 = 0 4 = 9 Bemerkungen : a) Ein Bruch heißt vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind. b) Gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner findet man mit Hilfe der Teilbarkeitsregeln oder der Primfaktorzerlegung von z und n c) Die größte Zahl k mit der man kürzen kann ist k max = ggt(z; n) Aufgaben. Erweitere auf den Nenner 4 : a) b) c) d) 4 6 8 6 7. Kürze vollständig : a) b) c) 6 90 0 70. Ein Bruch ist gleich. Die Summe aus seinem Zähler und seinem Nenner beträgt 6. 7 Wie lautet der Bruch?
Größenvergleich von Brüchen Es ist 8 > 8 Sind zwei Brüche nennergleichen (gleichnamig), dann stellt der mit dem größeren Zähler die größere Zahl dar. z n > z n z > z Es ist > Sind zwei Brüche zählergleich, dann stellt der mit dem kleineren Nenner die größere Zahl dar. z n > z n n < n Beliebige Brüche vergleicht man, indem man sie so erweitert, dass sie nenner- oder zählergleich sind. Beispiel : Zum Vergleich von und rechnet man = 0 = 9 > Als gemeinsamen Nenner für mehrere Brüche wählt man meist kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) der Nenner (Hauptnenner). Das kgv bestimmt man mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.
Aufgaben. Ordne die Zahlen der Größe nach in einer fallenden Ungleichungskette, 4 9,. Bestimme alle natürlichen Zahlen x mit 7 < x 8 < 7 4
Das Rechnen mit positiven Brüchen Addition und Subtraktion 9 + 9 = + 9 = 7 9 9 9 = 9 = Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält. a c + b c = a + b c a c b c = a b c Sind die Brüche ungleichnamig, dann macht man sie gleichnamig. Beispiel : 8 + = 9 4 + 6 4 = 4 = 4 Addiert oder subtrahiert man gemischte Zahlen, dann kann man das Assoziativgesetz benutzen. 4 + = 4 + 4 = + 4 + + 4 = + + 4 + 4 = + 4 = 4 = 6 4 Kurz 4 + = 4 + 4 = 4 = 6 4 4 = 0 = 4 = 0 = 4 =
Multiplikation 4 = 4 + 4 + 4 = = 4 4 = 4 = 4 = 4 = 4 Ein Bruch wird mit einer natürlichen Zahl multipliziert, indem sein Zähler mit der natürlichen Zahl multipliziert wird und der Nenner beibehalten wird. a b n = n a b = n a b a, b, n N, b 0 Beim Vervielfachen gemischter Zahlen lässt sich das Distributivgesetz benützen. = 0 4 4 = 4 = = 4 4 4 = 4 oder 4 = + 4 = + 4 Kurz = 0 4 4 = 4 = 0 + 4 = 0 + 4 = dm dm dm dm Die Figur zeigt : Der Flächeninhalt eines Rechteck mit der Länge und der Breite beträgt. dm dm dm
Deshalb ist bzw.. dm dm = dm = Damit ist sinnvoll 4 = 4 = 4 = ( 4) = 4 Brüche werden miteinander multipliziert,indem ihre Zähler und ihre Nenner multipliziert. a b c d = a c b d a, b, c, d N Gemischte Zahlen werden vor der Produktbildung in unechte Brüche verwandelt. a) 4 = 4 = 9 8 b) = = 6 = 4 6 4 = 4 = 9 8 c) = 4 = 4 4 = 6 9 = 7 9
Division Es ist 6 : = 6: = : = 6 : = = Ein Bruch wird durch eine natürliche Zahl dividiert, indem man entweder den Zähler durch diese Zahl dividiert oder den den Nenner mit dieser Zahl multipliziert. Beachte : a) : 4 = : 4 = b) 8 4 : = 6 + 4 : = 6 : + 4 : = 4 Es ist 6 : = 6 : = : 4 = 8 0 : 0 = 8 : = 8 = 4 = 4 Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert. a b : c d = a b d c = a d b c Beachte : a) b) 4 : = 4 = 4 = 0 : = : = c) : = : = =