Entwurf von IIR-Filtern

Kapitel Entwurf von IIR-Filtern. Einleitung.. Darstellung von IIR-Filtern im Zeitbereich y[n] = b 0 x[n] + b x[n ] + b 2 x[n 2] +... + b M x[n M].) a y[n ] a 2 y[n 2]... a N y[n N] = M N b k x[n k] a m y[n m] k=0 m=..2 Darstellung von IIR-Filtern im z Bereich Y z) = b 0 + b z + b 2 z 2 +... + b M z M ) Xz) a z + a 2 z 2 +... + a N z N) Y z) Hz) = M Y z) b k z k Xz) = k=0 + N a m z m m= = b 0 + b z + b 2 z 2 +... + b M z M Bz) + a z + a 2 z 2 = +... + a N z N Az) Das Zählerpolynom Bz) hat M Nullstellen. Das Nennerpolynom Az) hat N Nullstellen, die zur Unterscheidung Polstellen genannt werden. Wir wählen die Koeffi zienten a m im Blockdiagramm negativ, aber in der Literatur finden sich auch Darstellungen mit positiven Koeffi zienten a m. Negative Koeffi zienten werden vor allem deshalb gewählt, da auch Matlab diese Schreibweise verwendet.

2 KAPITEL. ENTWURF VON IIR-FILTERN..3 Frequenzgang von IIR-Filtern M b k e jωk k=0 Hjω) = Hz) z=jω = + N a m e jωm m= Hjω) = H jω)... gerade ϕω) = arg { He jω ) } ϕω) = ϕ ω)... ungerade..4 Matlab Unterstützung Für die Berechnung des Frequenzgangs stellt Matlab die Funktion freqz zur Verfügung. Pole und Nullstellen können mit der Funktion zplane dargestellt werden. Die numerische Lösung der Differenzengleichung.) für beliebige Eingangsfolgen x kann mit Hilfe von filter durchgeführt werden. impz bzw. stepz berechnen Impuls- und Sprungangtwort. Für den Vergleich von Netzwerkfunktionen unterschiedlicher Filter eignet sich die Funktion fvtool...5 Stabilität von IIR-Filtern IIR-Filter sind zum Unterschied von FIR-Filtern nicht garantiert BIBO-stabil. Stabilität liegt vor, wenn die Impulsantwort des FIR-Filters absolut summierbar ist, bzw. wenn h[n] < die Pole des IIR-Filters innerhalb des Einheitskreises in der z Ebene liegen..2 Filterstrukturen.2. Direkte Form I und II Die Systemfunktion eines FIIR-Filters kann in Form eines Blockdiagramms dargestellt werden. Abbildung. zeigt die Realisierung eines IIR-Filters 4. Ordnung in der Direkten Form. Hz) = H z)h 2 z) = M b k e jωk k=0 }{{} All-zero System + N m= a me jωm } {{ } All-pole System Der linke Teil des Blockdiagramms zeigt den Feed-forward All-zero System), der rechte Teil den Feed-back All-pole System). Aus dem Blockdiagramm kann man leicht erkennen, wie die Struktur von IIR-Filtern höherer Ordnung aussehen muss.

.2. FILTERSTRUKTUREN 3 Abbildung.: IIR-Filter 4. Ordnung, Direkte Form I Abbildung.2: IIR-Filter Direktform Typ 2

4 KAPITEL. ENTWURF VON IIR-FILTERN Abbildung.3: Transponierte Form Für die Systemfunktion gilt, dass Hz) = H z)h 2 z) = H 2 z)h z). Vertauscht man die Reihenfolge, dann liegen die Speicherelemente z in der Schaltung parallel, man kann daher mit der halben Zahl der Speicherelemente auskommen. Abbildung.2 stellt die Zusammenhänge dar. Durch Transposition kann eine weitere Netzwerktopologie gefunden werden. Dabei geht man wie folgt vor: Der Ausgang wird zum Eingang und der Eingang wird zum Ausgang. Alle Richtungspfeile im Signalflussgraphen werden umgedreht. Aus den Verzweigungen werden Addierer. Aus den Addierern werden Verzweigungen. Abbildung.3 zeigt die transponierte Form eines Netzwerks in Direkter Form, Typ 2. Transponierte und direkte Form I & II reagieren sehr empfindlich auf Quantisierungsfehler, da die Quantisierungsfehler rückgekoppelt und summiert werden und werden daher in der Regel nicht verwendet..2.2 Kaskadierte Sektionen 2. Ordnung Kaskadierte Realisierungen zerlegen die Systemfunktion in Subsysteme 2. Ordnung. K K Hz) = G H k z) = G k= k= b 0k + b k z + b 2k z 2 + a k z + a 2k z 2

.2. FILTERSTRUKTUREN 5 Abbildung.4: IIR-Filter in Kaskadenrealisierung Wenn die Systemfunktion Hz) ungerade ist, ist eine Kaskade von. Ordnung. Kaskaden werden in der Regel in der 2. Direktform realisiert. Abbildung.4 zeigt die Anordnung von zwei kaskadierten Subsystemen 2. Ordnung. Kaskadierte Filter sind einfach zu entwerfen und sind weniger anfällig für Quantisierungsfehler und Stabiltätsprobleme als Filter der Direktformen. Allerdings ist die Aufteilung der Pole und Nullstellen auf die Subsysteme zweiter Ordnung nicht trivial. Hz) = G z z ) z z 2 )... z z m ) z p ) z p 2 )... z p n ) Man wählt folgende Vorgangsweise. Suche des dem Einheitskreis nächstgelegenen Poles oder Polpaares 2. Suche der dem Einheitskreis nächstgelegenen Nullstelle oder Nullstellenpaares 3. Zusammenfassen der gefundenen Pole und Nullstellen in eine Sektion zweiter Ordnung Hz) = G z z)z z2) z p )z p 2) 4. Fortsetzen von bis 3, bis alle Pole und Nullstellen in abnehmendem Abstand vom Einheitskreis geordnet sind 5. Implementierung der gefundenen Sektionen Matlab-Unterstützung Die Matlab-Funktion [z,p,g]=tf2zpb,a) macht aus der Darstellung der Transferfunktion eine Pol- Nullstellen-Darstellung z... Nullstellen, p... Polstellen, G... Verstärkung). Mit Hilfe der Matlabfunktion [sos,g]=tf2sosb,a) können die Koeffi zienten der Subsysteme 2. Ordnung ermittelt werden. G ist der Verstärkungsfaktor, der die Gesamtsystemverstärkung darstellt. SOS =[b0 b b2 a a2 b02 b2 b22 a2 a22. b0l bl b2l al a2l ]

6 KAPITEL. ENTWURF VON IIR-FILTERN Bemerkung TF2SOSB,A,DIR_FLAG) specifies the ordering of the 2nd order sections. If DIR_FLAG is equal to UP, the first row will contain the poles closest to the origin, and the last row will contain the poles closest to the unit circle. If DIR_FLAG is equal to DOWN, the sections are ordered in the opposite direction. The zeros are always paired with the poles closest to them. DIR_FLAG defaults to UP. Bemerkung 2 TF2SOSB,A,DIR_FLAG,SCALE) specifies the desired scaling of the gain and the numerator coeffi cients of all 2nd order sections. SCALE can be either NONE, Inf or 2 which correspond to no scaling, infinity norm scaling and 2-norm scaling respectively. SCALE defaults to NONE. The filter must be stable in order to scale in the 2-norm or inf-norm sense. Using infinity-norm scaling in conjunction with UP ordering will minimize the probability of overflow in the realization. On the other hand, using 2-norm scaling in conjunction with DOWN ordering will minimize the peak roundoff noise..2.3 Realisierung durch parallele Filter 2. Ordnung Bei der parallelen Realisierung wird die Systemfunktion durch Partialbruchzerlegung in Subsysteme 2. Ordnung zerlegt. Hz) = Bz) Az) = b 0 + b z +... + b 2k z M + a z + a 2 z N = b 0 + b z +... + b 2k z N ) M N + a z + a 2 z N + c k z k Wenn der Grad des Zählerpolynom größer als der Grad des Nennerpolynoms ist, muss zuerst dividiert werden und es entsteht der Term M N c k z k. Das ist aber nicht anderes als ein parallel geschaltetes FIR-Filter. Der wesentlichste Vorteil der Parallelrealisierung ist die höhere Verarbeitungsgeschwindigkeit, da die Ordnung auf zwei reduziert ist. Abbildung.5 zeigt die Struktur eines parallelen IIR-Filters. Matlab-Unterstützung Die Matlabfunktion [r,p,k] = residuezb,a) unterstützt die Berechnung der Filterkoeffi zienten. k=0 k=0 Hz) = r p z 2 +... + r p z 2 + k + k 2 z +... + k M N z M N) Die konjugiert komplexen Pole und Residuen werden zusammengefasst, um Subsysteme 2. Ordnung und damit reelle Koeffi zienten zu erhalten. Stabilität von Subsystemen 2. Ordnung Ein IIR-Filter. Ordnung ist stabil, wenn Hz) = +az a <. Für IIR- Filter 2. Ordnung können wir den Stabiltitätsbereich graphisch darstellen.

.2. FILTERSTRUKTUREN 7 Abbildung.5: IIR-Filter in Parallelrealisierung Hz) = + a z + a 2 z = p z ) p 2 z ) Nach Koeffi zeintenvergleich erhalten wir a = p p 2, a 2. Stabilität liegt vor, wenn die Pole innerhalb des Einheitskreises liegen, d.h. p <, p 2 <. Daraus folgt, dass a 2 = p p 2 <, a < +a 2. Die Koeffi zienten a, a 2 müssen innerhalb des Stabilitätsdreiecks liegen, wie in Abbildung.6 gezeigt..2.4 Zählergrad > Nennergrad Wenn Zählergrad > Nennergrad muss durch Division zunächst eine eigentliche rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad) erzeugt werden. Im Blockdiagramm treten dann reine FIR-Filter auf. Abbildung.6: Stabilitätsdreieck für IIR 2. Ordnung

8 KAPITEL. ENTWURF VON IIR-FILTERN Wir untersuchen das Filter b=[ 2 3 4 5 4 3 2 ], a =[ 0.3 0. 0.2 0.25] mit der Systemfunktion H Bsp z) = b 0 + 2z + 3z 2 + 4z 3 + 5z 4 + 4z 5 + 3z 6 + 2z 7 + z 8 + 0.3z + 0.z 2 + 0.2z 3 + 0.25z 4 Da der {Zählergrad} {Nennergrad}, dividieren wir um {Zählergrad} {Nennergrad} zu erhalten. Wir führen die Division mit der Matlabfunktion [q,r]=deconvb,a) durch und erhalten q=[.7 2.39 2.9 3.30], r=[0 0 0 0 0.8.49 0.6 0.8] H Bsp z) = +.7z + 2.39z 2 + 2.9z 3 + 3.3z 4.8z 3 +.49z 2 + 0.6z ) + 0.8 + z 4 z 4 + 0.3z 3 + 0.z 2 + 0.2z + 0.25) = +.7z + 2.39z 2 + 2.9z 3 + 3.3z 4.8z +z 4 +.49z 2 + 0.6z 3 + 0.8z 4 ) + 0.3z + 0.z 2 + 0.2z 3 + 0.25z 4 = +.7z + 2.39z 2 + 2.9z 3 + 3.3z 4 }{{} + z 5 }{{} Verschiebung FIR-Teil.8 +.49z + 0.6z 2 + 0.8z 3 + 0.3z + 0.z 2 + 0.2z 3 + 0.25z }{{ 4 } IIR-Teil Abbildung.2.4 zeigt das Blockdiagramm von H Bsp. Die Verzögerung um z 5 kann durch Verlängerung und Abgriff des FIR-Teils realisiert werden. Blockdiagramm zu H Bsp

Magnitude.2. FILTERSTRUKTUREN 9 0.8 Magnitude Response Butterworth 5. Ordnung 0.6 0.4 Hamming 20. Ordnung 0.2 0 0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Nor m alized Fr equency π rad/sample) Abbildung.7: Vergleich FIR- IIR-Filter.2.5.2.6 Vorteile und Nachteile von IIR-Filtern IIR-Filter haben kompliziertere Blockdiagramme, sind schwerer zu entwerfen und analysieren als FIR-Filter, haben keine lineare Phase, aber sie sind selektiver! Abbildung.7 vergleicht ein Hamming-FIR-Filter 20. Ordnung mit einem Butterworth-IIR-Filter 5. Ordnung. IIR-Filter sind nicht garantiert stabil..2.7 Ermittlung der Filterkoeffi zienten Die Filterkoeffi zienten von IIR-Filtern werden in der Regel aus analogen Filtern abgeleitet. Man geht wie folgt vor:. Entwurf eines analogen Tiefpass-Filters Für analoge Tiefpässe gibt es umfangreiche Literatur und Entwurfstabellen. 2. Hochpass-, Bandpass oder Bandsperren-Filter werden durch Frequenztransformation in der s Ebene aus dem Tiefpass-Filter erzeugt. 3. Umwandeln in ein IIR-Filter durch Abbildung der s Ebene in die z Ebene. Matlab stellt Funktionen zur Verfügung, die den direkten Entwurf von IIR-Filtern ermöglichen und die Entwurfsschritte 3 umsetzen. Alternativ kann auch das analoge Tiefpass-Referenzfilter in den z Bereich transferiert werden und die Hochpass-, Bandpass-, Bandsperren-Tranformation im z Bereich durchgeführt werden Platzieren von Polen und Nullstellen Für einfache Filter erster oder zweiter Ordnung kann durch geeignetes Platzieren von Polen und Nullstellen die gewünschte Filterfunktion realisiert werden. Abbildung zeigt.2.7 ein Bandpassfilter, Abbildung.2.7 zeigt ein Bandsperrenfilter, das auf diese Weise gefunden wurde.

0 KAPITEL. ENTWURF VON IIR-FILTERN Invariante Impulsantwort Diese Methode findet zum analogen Filter ein digitales Filter mit ähnlicher Impulsanwort. Man geht wie folgt vor:. Ermittlung der Systemfunktion H a s) des analogen Referenz-Filters. 2. Berechnung der Impulsantwort h a t) durch inverse Laplace-Transformation L 3. Abtastung der Impulsantwort h a nt ) = h d [n] 4. z Transformation von h d n) führt zu H d z) Wir zeigen diese Methode am Beispiel eines analogen Tiefpass-Filters. Ordnung A i H a s) = s p i { } h a t) = L {H a s)} = L Ai s p i Durch Abtastung erhalten wir = A i e pit h d [n] = h a nt ) = A i e pit, n = 0,, 2,... Wir bringen in den z Bereich und erhalten

.2. FILTERSTRUKTUREN H d z) = h a nt )z n = Ai e pit ) z n = A i e p it z ) n n=0 Wir erhalten also die Abbildung n=0 n=0 } {{ } e p i T z A i s p i }{{} s Bereich A i e pit z }{{} z Bereich Bei Filtern höherer Ordnung wird die Partialbruchzerlegung durchgeführt und die einzelnen Pole werden vom s Bereich in den z Bereich abgebildet. Für Subsysteme 2. Ordnung erhalten wir die Beziehungen H a s) = H d z) = λ s + β) 2 + λ 2 ze βt sinλt ) z 2 2ze βt cosλt ) + e βt H a s) = H d z) = s + β s + β) 2 + λ 2 z 2 ze βt cosλt ) z 2 2ze βt cosλt ) + e βt Vom Abtasttheorem wissen wir, dass das Spektrum des analogen Signals periodisch fortgesetzt wird. Wir tasten die Impulsantwort h a t) ab, es wird also H a ω) periodisch fortgesetzt. Diese Methode kann daher nur für scharf begrenzte Tiefpass- oder Bandpassfilter verwendet werden und verlangt ein kleines T, um die Impulsantwort genau abzutasten. Für Hochpässe und Bandsperren ist dieses Verfahren wegen des Aliasings nicht geeignet. Die Matlabfunktion impinvar unterstützt die Berechnung eines IIR-Filters aus dem analogen Referenzfilter. Sprung-Invarianz Das dargestellte Verfahren ist invariant für die Impulsanwort, aber nicht z. B. für die Sprungantwort. Für die Sprungantwort erhalten wir Y astep = s H as) = A i = A i s s p i p i s + ) s p i Wir führen die Laplace-Transformation durch und erhalten Nach Abtastung wird daraus y astep t) = A i p i e p it ) δ t)

2 KAPITEL. ENTWURF VON IIR-FILTERN y astep nt ) = A i p i e p int ) δ t) Berechnen wir die Sprungantwort für unser Impuls-invariantes Filter im z Bereich, müsssen wir mit der z Transformierten der Sprungantwort multiplizieren und erhalten Y dstep = A i e pit z z = A i e p it ) e pit e pit z + z nach Durchführung der z Transformation wird daraus y dstep n) = A i e p it e pit e pit n + ) A i δ t) = e pit e pit n+)) δ t) Wir sehen, dass y astep nt ) y dstep n) A i p i e p int ) δ t) A i e pit e pit n+)) δ t) Das berechnete Filter ist Impuls-invariant, aber nicht Sprung-invariant! Wir berechnen noch die Sprung-Invarianz die z Tranformation liefert Y astep z) = A i p i y astep nt ) = A i p i e p int ) δ t) ) e pit z z δ t) = Hz) z ) z e pit z = A i e p it ) z p i e pit z = A i e p it ) z p }{{ i e } pit z }{{ } Konstante Hz) = A i p i Bilineare Transformation z e p i T A i e p i T z Impulsinvarianz Hz) = Sprunginvarianz Hz) = Aiep i T ) p i z e p i T z Die Filtergleichungen sind Differentialgleichungen, die wir auf einem» Analogrechner«darstellen können. Wir benötigen dazu die Operation Addition, Multiplikation mit einer Konstanten und Integration. Die Lösung der Differentialgleichung wollen wir aber numerisch über eine Differenzengleichung finden, wir benötigen daher einen digitalen Integrator.

.2. FILTERSTRUKTUREN 3 y a t) = x a t)dt y a nt ) = y a n ) ) }{{} + Anfangsbedingung nt n )T x a t)dt y a n ) + T 2 {x ant ) + x a n T )} }{{} Trapezregel yn) yn ) = T {xn) + xn )} 2 Wir führen die z Transformation durch und erhalten Y z) Xz) = ) + z 2 z Aus dem analogen Integrierer /s wird also s ) + z 2 z ) z s = 2 T + z z = + st/2 st/2 Aus der analogen Systemfunktion H a s) wird die digitale Systemfunktion H d z) H d z) = H a s) s= 2 z T ) z +z +z ) Die Abbildung s = 2 T nennt man bilineare 2 Transformation. Durch diese Transformation wird s Ebene in die z Ebene abgebildet. Wir schreiben Ω für die Kreisfrequenz in der s Ebene und ω für die Kreisfrequenz der z Ebene und erhalten durch Einsetzen von s = σ + jω z = + σt 2 + j ΩT 2 σt 2 j ΩT 2 σ < 0 z = σ = 0 z = σ > 0 z = + σt 2 +j ΩT 2 σt 2 j ΩT 2 +j ΩT 2 j ΩT 2 + σt 2 +j ΩT 2 σt 2 j ΩT 2 < = > Die gesamte linke offene s Halbebene wird innerhalb des Einheitskreises der z Ebene abgebildet. Die Transformation ist daher stabil. 2 Durch Umformung erhalten wir T 2 sz + T 2 s z + = 0. Eine lineare Beziehung, wenn die jeweils andere Variable konstant bleibt, oder bilinear in s und z.

4 KAPITEL. ENTWURF VON IIR-FILTERN Abbildung.8: Abbildung z Ebene s Ebene durch die bilineare Transformation Die imaginäre Achse der s Halbebene wird auf den Einheitskreises der z Ebene abgebildet. Es gibt daher kein Alisiasing. Allerdings ist die Abbildung sehr nichtlinear, da die imaginäre Achse von 0 bis + auf den Einheitskreis von 0 bis π,die imaginäre Achse von 0 bis auf den Einheitskreis von 0 bis π abgebildet wird. Wir setzen s = jω in der s Ebene und z = e jω in der z Ebene und erhalten jω = 2 ) e jω T + e jω = j 2 ω ) T tan 2 Ω = 2 ω ) T tan 2 Die Verzerrung der Frequenzachse durch die nichtlineare Abblidung wird» frequency warping«genannt. Abbildung.9 zeigt den Zusammenhang zwischen analogem und digitalem Filter am Beispiel eines Cauerfilters 5. Ordnung. Um ein digitales Filter mit einem gewünschten Toleranzschema zu erhalten, müssen die Grenzfrequenzen ω p und ω s vorverzerrt prewarped) werden, um die korrespondierenden Grenzfrequenzen Ω p und Ω s des Referenzfilters H a s) zu erhalten. Aus H a s) wird durch Bilineartransformation H d z). Matlab unterstützt die Bilineartransformation und Prewarping mit der Funktion bilinear.

.2. FILTERSTRUKTUREN 5 Abbildung.9: Darstellung der Verzerrung der Frequenzachse