Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel Grundwissen für das Fach Mathematik Jahrgangsstufe 8 Direkte Proportionalität Zwei Größen, Q heißen zueinander direkt proportional (~), wenn das -Fache von dem -Fachen von entspricht. Das heißt, der Quotient ist konstant. heißt Proportionalitätsfaktor Wertetabelle x 0,6 1,2 1,8 2,4 3 3,6 4,2 y 1 2 3 4 5 6 7 0,6 31,8 1 33 1 0,6 2 1,2 3 1,8 4 2,4 5 3 Das Liniendiagramm von und zeigt eine Ursprungsgerade. Kreisumfang und Kreisfläche Der Kreisumfang des Kreises mit Radius ist die Länge der Kreislinie: 2 3,14 heißt Kreiszahl und ist der Proportionalitätsfaktor der Größen Kreisumfang und Kreisdurchmesser 2. Die Kreiszahl ist keine rationale Zahl. Die Kreisfläche berechnet sich aus der Formel Kreis mit Radius 1. 22 1 2 6,28 1 3,14 M r Indirekte Proportionalität, Q\0 heißen zueinander indirekt proportional, wenn das -Fache von dem -ten Teil von entspricht (und umgekehrt). Das Produkt aus und ist konstant. Im Liniendiagramm aus x und y ergibt sich eine Hyperbel. Ein rechteckiges Grundstück hat den Flächeninhalt 12. Die Größen Länge und Breite aller möglichen solcher Grundstücke sind zueinander indirekt proportional: l 10 12 20 30 40 b 120 100 60 40 30 A 1200 1200 1200 1200 1200-1-
Term Ein Term ordnet einer Größe den Termwert, also das Ergebnis des angegebenen Terms, zu. Die Menge aller zulässigen -Werte heißt Definitionsmenge. Die Menge aller möglichen Ergebnisse bildet die Wertemenge. Funktionen Allgemein nennt man jede eindeutige Zuordnung einer Größe x auf eine Größe y eine Funktion. Die Zuordnungsvorschrift der Funktion f kann durch Schaubilder, Tabellen oder Terme : beschrieben werden. heißt auch Funktionsvariable, (oder alternativ ) heißt auch Funktionswert an der Stelle. Definitions- und Wertemenge ergeben sich aus den zulässigen -Werten und den möglichen Ergebnissen von (vgl. Term). Die Nullstellen einer Funktion sind diejenigen x- Werte, die einen Funktionswert 0 liefern. Die Menge aller Punkte heißt Graph der Funktion. Lineare Funktionen Eine lineare Funktion hat die Form. heißt Steigung, heißt y-achsenabschnitt. Bei einem angenommenen, durchschnittlichen Verbrauch von 10 Liter auf 100km und einem Benzinpreis von 1,45 pro Liter ergibt sich für die entstehenden Spritkosten der Term,. Graphisch lässt sich der Term in einem Koordinatensystem veranschaulichen, in dem man alle möglichen Punkte einträgt. Ein Wanderer läuft mit gleichbleibender Geschwindigkeit innerhalb von 1 Stunde eine Strecke von 4 km. Nach 6 Stunden ist er am Ziel angekommen. Anhand der Funktionsgleichung 4 lässt sich durch Einsetzen der Zeit [in h] die gelaufene Strecke [in km] berechnen. In die Funktionsvariable x lassen sich Zeiten von 0 bis 6 Stunden einsetzen (Definitionsmenge), dabei ergeben sich Strecken von 0 bis 24 km (Wertemenge). Die Zuordnungsvorschrift dieser Funktion lautet : 4, der Funktionsterm steht rechts nach dem Pfeil. Die einzige Nullstelle 0 der Funktion errechnet sich aus dem Nullsetzen des Funktionsterms: 4 0 0 Die Funktion : 1 ist linear mit Steigung und y-achsenabschnitt 1. Der Graph ist eine Gerade, welche die y-achse am y-achsenabschnitt und die x-achse an ihrer Nullstelle schneidet. Zeichnet man an einer beliebigen Stelle des Graphen ein rechtwinkliges Dreieck wie abgebildet ein, so erhält man das Steigungsdreieck. y-achsenabschnitt t=1 1 LE m LE (Steigung m=0,5) Steigungsdreieck Nullstelle x o= -2-2-
Die Steigung lässt sich auch aus den Seitenlängen eines Steigungsdreiecks, welches zwei beliebige Graphenpunkte und aufspannen, berechnen: 0: Die Gerade steigt 0: Die Gerade ist parallel zur x-achse 0: Die gerade fällt 2 202 0: Die Gerade ist eine Ursprungsgerade Ungleichungen Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Ungleichheitszeichen miteinander verbunden sind. Für die Grund- und Lösungsmengen gibt es unterschiedliche Schreibweisen: Mengenschreibweise: 5 Intervallschreibweise: 5; Zeigt die eckige Klammer zur jeweiligen Intervallgrenze, so ist diese Zahl gerade noch in der Menge enthalten (als Konsequenz aus 5). Ansonsten zeigt die geöffnete Klammer von der betreffenden Grenze weg und zeigt an, dass die Zahl selbst nicht mehr Bestandteil der Menge ist. Lösungen von Ungleichungen a) Äquivalenzumformungen Durchführung wie bei Gleichungen. Beim Multiplizieren und Dividieren mit negativen Zahlen und beim Umformen durch Kehrbruchrechnung muss das Ungleichheitszeichen jedoch umgedreht werden! b) Graphische Lösung Beide Seiten der Ungleichung werden als Funktionsterme aufgefasst. Für zeichnet man die Graphen beider Funktionen in ein Koordinatensystem und bestimmt diejenigen Werte auf der x-achse, bei denen die dazugehörigen Graphenpunkte von unterhalb von verlaufen. Diese x-werte bilden die Lösungsmenge der Ungleichung. Analoges Verfahren für. Gesprochen: Die Menge aller x-werte, für die gilt: x ist größer gleich 5 Gesprochen: Das Intervall von 5 eingeschlossen bis plus Unendlich ausgeschlossen Unendlich wird immer ausgeschlossen. 336 3 39 3 3 3 21 1 2 1,5-3-
Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei linearen Gleichungen, für die gemeinsame Punktepaare als Lösungen gesucht werden. 6 5 a) Graphische Lösung Wie schon bei Ungleichungen gesehen, zeichnet man die Graphen, die sich aus den Gleichungen ergeben. Die Koordinaten des Graphenschnittpunkts S bilden die gesuchte Lösung. Liegen beide Geraden aufeinander, so bildet diese komplette Gerade die gesamte Lösungsmenge. Sind die Geraden parallel, so ist die Lösungsmenge leer. b) Einsetz- und Gleichsetzverfahren Das Einsetzverfahren bringt eine schnelle Lösung, wenn eine der beiden Gleichungen sich schnell nach einer Variable auflösen lässt (z. B. Gleichung II). Dann setzt man den Term für diese Variable einfach in die andere Gleichung ein. Beim Gleichsetzverfahren ist es günstig, wenn beide Gleichungen auf einer Seite denselben Term enthalten oder beide nach derselben Variablen aufgelöst sind. c) Additionsverfahren Erkennt man, dass durch Addition (oder auch Subtraktion) derselben Gleichungsseiten eine Variable herausfällt, so bringt dieses Verfahren eine schnelle Lösung. Zufallsexperimente Experimente, bei denen das Ergebnis zufällig eintritt, heißen Zufallsexperimente. Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments bilden die Ergebnismenge Ω oder den Ergebnisraum. Die Ergebnismenge lässt sich mittels Baumdiagramm darstellen. Fasst man bestimmte Ergebnisse zu einer Menge von gewünschten Ergebnissen zusammen, so spricht man von einem Ereignis E. Das sichere Ereignis tritt immer ein, das unmögliche Ereignis dagegen nie. Das Gegenereignis enthält alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis E gehören. Ereignismengen können durch Vereinigung oder Schnitt kombiniert werden. Einsetzverfahren: 6 5 56 66 6 1 5 1 5 Gleichsetzverfahren 6 5 65 66 1 5 Additionsverfahren 6 5 065 066 1 Beispiele: Münzwurf, Würfeln mit einem fairen Würfel Zufallsexperiment: Werfen eines Spielwürfels Augenzahl ist gerade 2;4;6 Augenzahl ist größer als 4 5;6 2;4;5;6 Vereinigungsmenge 6 Schnittmenge -4-
Absolute und relative Häufigkeit Tritt bei einer konkreten Versuchsdurchführung ein Ergebnis oder Ereignis mit einer bestimmten Anzahl ein, so ist dies die absolute Häufigkeit des Eintretens. Setzt man die absolute Häufigkeit in Bezug zur Gesamtzahl der Versuchsdurchführungen, so ergibt sich die relative Häufigkeit. Setzt man die Zahl der Versuchsdurchführungen n sehr hoch an, schwankt die relative Häufigkeit nur noch geringfügig um eine feste Zahl. Diese Zahl heißt Wahrscheinlichkeit. Absolute, relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten lassen sich auch in eine Vierfeldertafel übertragen. Dies ist bei der Betrachtung zweier Ereignisse sinnvoll: Summe Summe Zählprinzip Bei der Auswahl oder Ziehung aus n Dingen 1 2 2 1! (sprich: n- Fakultät) Möglichkeiten der vollständigen Anordnung. Laplace-Wahrscheinlichkeit Ein Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, heißt Laplace-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses errechnet sich aus der Anzahl der für ein Ereignis günstigen Ergebnisse dividiert durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Gebrochen-rationale Funktionen Grundform: ; Q\ 0; Q\ 0 Solche gebrochenrationalen Funktionen beschreiben die indirekte Proportionalität der Größen und. Ihr Graph heißt Hyperbel. Die x-achse ist zugleich waagrechte Schmiegegerade (Asymptote). Die y-achse ist eine senkrechte Schmiegegerade (Asymptote). Ein Spielwürfel wird 5-mal geworfen, dabei tritt 2-mal die Zahl 4 auf. Absolute Häufigkeit für die Zahl 4: 2 Relative Häufigkeit für die Zahl 4: Würfelt man nun 1000-mal, so wird die Zahl 4 etwa genauso häufig auftreten, wie alle anderen Augen. Der Wert für wird sich also bei einpendeln. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer 4. Zufallsexperiment Zahlenglücksrad mit Zahlen A= 1, 2 oder 3 und B= Primzahl Relative Häufigkeit Summe Summe 2 1 3 3 5 8 5 6 Die Anzahl der Möglichkeiten, 6 verschiedene Dinge in einer Reihenfolge anzuordnen, berechnet sich aus 6 5 4 3 2 16!720. Experiment: Wurf eines 6er-Laplace-Würfels Gerade Augenzahl Beispiel für 3 6 1 2 50% 1-5-
Die allgemeine gebrochenrationale Funktion enthält im Nennerterm und ggf. auch im Zählerterm die Funktionsvariable. Die Definitionslücken sind die Nullstellen des Nennerterms. Die Nullstellen der Gesamtfunktion entsprechen denen des Zählerterms, sofern sie in der Definitionsmenge liegen. Beispiel: 2 2 Definitionsmenge: Q \1;1 Nullstellen: 2 Zeichnung ist z. B. über Wertetabelle möglich Rechnen mit Bruchtermen Um gebrochenrationale Funktionen zu vereinfachen oder Gleichungen mit gebrochenrationalen Termen zu lösen, kann man auch mit Bruchtermen rechnen. a) Erweitern und Kürzen Dies funktioniert wie bei Brüchen ohne Variable. Zum Erweitern multipliziert man den Zähler und den Nenner mit dem gleichen Faktor. Zum Kürzen dividiert man aus Zähler und Nenner den gleichen Faktor heraus. Dazu muss man ggf. Zähler und Nenner erst in ein Produkt umformen (faktorisieren). Das Kürzen aus Summen und Differenzen ist streng verboten! b) Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen Wie bei reinen Zahlenbrüchen können diese nur über den Hauptnenner miteinander addiert oder voneinander subtrahiert werden. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der einzelnen Nenner. Zu dessen Ermittlung ist die Primfaktorenzerlegung der Nenner hilfreich. Eckige Klammern nicht vergessen! Multiplizieren und Dividieren Bruchterme werden miteinander multipliziert, indem man das Produkt ihrer Zähler durch das Produkt ihrer Nenner dividiert. Die Division ersetzt man durch die Multiplikation mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchterms. Beispiel Kürzen: Faktorisieren von Zähler und Nenner Gemeinsame Faktoren kürzen 22 21 21 21 2 2 Hauptnenner finden zur Berechnung von. Primfaktorenzerlegung Nenner 1: 2 3 2 Primfaktorenzerlegung Nenner 2: 2 2 1 Hauptnenner (kgv): 2 3 2 1 Erweitern auf Hauptnenner: 6 1 62 1 3 32 22 31 Berechnen: 6192 62 66918 1 62 1 312 62 1 34 62 1 4 22 1 Division durch Mulitplikation mit dem Kehrbruch ersetzen und ggf. Kürzen 1 :1 2 1 2 1 2 1 1 2 1-6-
Bruchgleichungen Wie bereits bei linearen Gleichungssystemen und Ungleichungen gezeigt, kann man auch Bruchgleichungen lösen: a) durch graphische Lösung Linke und rechte Gleichungsseite als Funktionsterme auffassen, Graphen zeichnen und Schnittpunkte bestimmen. Die x-koordinaten der Schnittpunkte lösen die Bruchgleichung. b) durch rechnerisches Lösen Bruchgleichung auf beiden Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren, dadurch lassen sich die ursprünglichen Nenner wegkürzen. Die entstehende Gleichung nach der Unbekannten auflösen. Vor dem Aufstellen der Lösungsmenge muss die Definitionsmenge beachtet werden! 1 2 1 Q\ 0;1. Hauptnenner ist 1. 1 1 2 1 1 Kürzen: 12 1 1 Diese Lösungsstrategien werden z. B. beim Auflösen physikalischer Formeln benötigt. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Potenzen sind Produkte mit gleichen Faktoren Q: Außerdem gilt: 1 Q \0 1 ; Q \0 Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten Q\0;, Beispiele: Beispiele: 2 16 2 1 2 1 16 2 1 2 2 2 2 2 : Q\0;, : Q\0;,, Q\0;, Q\0; 2 :2 2 1 2 2 2 2 3 2 3 6 2 :3 2 3 Streckenverhältnisse und Streckenteilung Der Quotient zweier Streckenlängen heißt Streckenverhältnis. Wird eine Strecke durch einen Teilungspunkt T in zwei Teilstrecken zerlegt, so spricht man von einer Streckenteilung im Verhältnis :. Streckenverhältnisse kann man auch in (gekürzten) Brüchen angeben. A T B 3 1,5 3 1,5 2:1 : -7-
Konstruktion einer Streckenteilung : Zeichne Hilfs-Halbgerade mit Startpunkt. Abtragen von gleichlangen Strecken. Punkt ist das Ende der letzten angetragenen Strecke auf der Hilfshalbgeraden Zeichne Konstruktion der Parallelen durch gewünschten Teilpunkt auf der Hilfsgeraden Gesuchter Teilpunkt auf ist der Schnittpunkt von mit Konstruktion des Teilungsverhältnisses 2:1 A T B p C Strahlensätze a) V-Figur Es lassen sich folgende Verhältnisse der sich entsprechenden Dreieckseiten aufstellen: Es gilt die Gleichheit der Verhältnisse jeweils zweier Seiten im Dreieck und der entsprechenden Seiten im Dreieck : Es gelten auch die Teilverhältnisse aus der Streckenteilung: b) X-Figur Analog zur V-Figur lassen sich auch hier die Verhältnisse aus den Dreiecken und der Streckenteilung durch S finden: Durch Umformung kann man auch zeigen: -8-
Ähnliche Figuren Das beim Strahlensatz verwendete Dreieck entsteht durch eine Streckung der Dreiecksseiten des Dreiecks mit dem Streckungsfaktor. Solche Figuren heißen zueinander ähnlich (Symbol ~). Ähnliche Figuren haben an den entsprechenden Ecken die gleichen Winkel (Winkeltreue). Die entsprechenden Seiten haben zueinander das gleiche Verhältnis (Verhältnistreue). Ähnlichkeitssätze a) Stimmen zwei Figuren in allen Längenverhältnissen entsprechender Seiten überein, dann sind sie zueinander ähnlich. Auch kongruente (deckungsgleiche) Figuren erfüllen diese Bedingungen und sind deshalb ein Sonderfall der Ähnlichkeit: 1 b) Stimmen zwei Figuren in allen Innenwinkel sich entsprechender Eckpunkte überein, so sind sie ähnlich. -9-