Unterthema 2 Funktionen aufstellen
Eingangsbeispiel Datum 28 Funktionen aufstellen ährend es in dem vorangegangenen Kapitel darum ging, eine gegebene Funktion so genau zu untersuchen, dass man deren wichtigen, charakteristischen unkte und Eigenschaften herausgefunden hat und abschließend die Funktion gut beschreiben und zeichnen konnte (diesen Vorgang haben wir Kurvendiskussion genannt), geht in diesem Abschnitt quasi um die gegenteilige Vorgehensweise. Durch Kenntnis mancher unkte oder Eigenschaften einer Funktion, also durch Kenntnis gewisser Bedingungen allgemein, soll diese aufgestellt werden. Diese Situation erleben wir in der Realität viel häufiger als umgekehrt (dass also eine bekannt Funktion untersucht werden soll). Das folgende, einführende Beispiel soll dies verdeutlichen: Einstiegsbeispiel: Die Firma VELO stellt Kleinkrafträder her. Ein Mitarbeiter der Firma hält die Gesamtkosten bei unterschiedlichen roduktionsmengen fest. Diese sind in der unteren Tabelle und im Koordinatensystem eingetragen. roduktionsmenge [Stk] 0 1 4 10 Gesamtkosten [ ] 300 452 668 1100 Da die Firma daran interessiert ist, ihre roduktion zu steigern, möchte sie gerne eine rechnerische Vorauskalkulation treffen, welche Kostenentwicklung auf sie zukommen würde. Um solche Aussagen zu erhalten benötigt sie ein mathematisches Modell, wie es durch eine Gesamtkostenfunktion gegeben ist. Aufgabe zum Eingangsbeispiel: Berechnen Sie die Gesamtkostenfunktion der Firma VELO aus den gegebenen Angaben unter der Annahme, dass es sich um eine Funktion dritter Ordnung handelt.
Eingangsbeispiel 1 1 Lösung 28.1 Ansatz: Eine Funktionsgleichung dritter Ordnung lautet allgemein: K(x)= ax 3 + bx 2 +cx +d Die Koeffizienten (Vorfaktoren) a, b, c und d sind noch unbekannt. Es gilt sie herauszufinden. Da es sich also um vier Unbekannte handelt, brauchen wir auch vier Bedingungen, um die Unbekannten heraus zu bekommen. Dazu dienen uns die gegebenen vier unkte der Funktion (K 1 bis K 4). Da wir den jeweiligen x und y ert kennen, können wir wie folgt vier Gleichungen aufstellen: Aus K 1(0 300) erhalten wir : 300= a(0) 3 + b(0) 2 +c(0) +d 1) 300= d d= 300 Aus K 2(1 452): 452= a(1) 3 + b(1) 2 +c(1) +d 2) 452= a +b +c +d Aus K 3(4 668) 668= a(4) 3 + b(4) 2 +c(4) +d 3) 668= 64a +16b +4c +d Und aus K 4(10 1100) 1100= a(10) 3 + b(10) 2 +c(10) +d 4) 1100= 1000a +100b +10c +d ir erhalten also ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten. Dies können wir ähnlich lösen wie bereits in Klasse 11, indem wir das Gleichungssystem immer weiter vereinfachen. Dazu können wir Gleichungen mit Zahlen multiplizieren (oder durch Zahlen dividieren) und Gleichungen addieren (bzw. subtrahieren). Aus Gleichung 1) ergibt sich bereits d= 300! Daher können wir d in den Gleichungen 2) bis 4) bereits durch 300 ersetzen und vereinfachen das Gleichungssystem: 2) 452 =a +b +c +300-300 2a) 152= a +b +c 3) 668= 64a +16b +4c +300-300 3a) 368= 64a +16b +4c 4) 1100= 1000a +100b +10c +300-300 4a) 800= 1000a +100b +10c ir erhalten also (nur noch) ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten (a, b und c): 2a) 152= a +b +c 3a) 368= 64a +16b +4c 4a) 800= 1000a +100b +10c Durch geschicktes Umformen und Addieren der übrigen Gleichungen kann man das Gleichungssystem weiter vereinfachen: 2a) 152= a +b +c 3a) 368= 64a +16b +4c :4 3b) 92= 16a +4b +c 4a) 800= 1000a +100b +10c :10 4b) 80= 100a +10b +c Und weiter: 2a) 152= a +b +c 3b) 92= 16a +4b +c 2a) 3b) 3c) 60= -15a-3b 4b) 80= 100a +10b +c 2a) 4b) 4c) 72= -99a-9b Jetzt liegen nur noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten vor. Dieses Gleichungssystem kann man mit den bekannten Lösungs-Strategien wie Einsetz- Gleichsetz- oder Additionsverfahren lösen: 3c) 60= -15a -3b (-3) 3d) -180= 45a +9b 4c) 72= -99a -9b bleibt unverändert 4c) 72= -99a -9b 3d) +4c) 4d) -108= -54a :(-54) a= 2 Nachdem nun die letzte Gleichung gelöst wurde, werden die Lösungen Schritt für Schritt wieder in die vorigen Gleichungen eingesetzt, so dass letztendlich alle Unbekannten ermittelt werden können: a= 2 in 3c) 3c) 60= -15(2) -3b = -30-3b +30 90= -3b :(-3) b= -30 a= 2 und b= -30 in 2a) 2a) 152= (2) +(-30) +c = -28 +c +28 c= 180 Jetzt sind alle 4 Unbekannten gelöst! ir können also unsere Gesamtkostenfunktion formulieren zu K(x)= 2x 3-30x 2 +180x +300
- Mathematische Übung - Datum 29 Hinweis zur Lösung: Um die Aufgabe zu lösen, benötigt man den rinzip-ansatz des Eingangsbeispiels, dass man ein Lineares Gleichungssystem aufstellen und entsprechend lösen muss. Die zu der Aufgaben passenden mathematischen Ansätze der Folgeseite ( 30). Kurzlösung: Grundansatz Gleichung: f(x)= ax³ +bx² +cx +d Ansätze für LGS: 13 1. = a + b c + d 3 2. 0 = 3a 2b + c 3. 0 = 12a + 2b 4. 1 = d einsetzen in (1.) 2 3 2 Lösung: f ( x) = x + 4x + 10x + 1 3 Summe
- Merkregeln - Datum 30
- Mathematische Übung - Lösung 1 29.1 Als LÖS-Ausleihe
- Übungen - Datum 31 Übungsaufgaben 1) ie lautet die Funktion dritter Ordnung, die einen Extrempunkt und Ordinate bei E(0-16) und einen endepunkt bei (2-8) hat? 2) Bestimmen Sie jeweils eine Funktion dritter Ordnung, die a) die x-achse im Ursprung berührt und deren Tangente in (-3 0) parallel zu Geraden y= 6x +1 ist. b) in 1 (1 4) einen Extrempunkt und in 2 (0 2) einen endepunkt hat. c) durch die unkte 1 (2 0), 1 (-2 4), 3 (-4 8) verläuft und einen Hochpunkt auf der y-achse hat. 3) ie lautet die achsensymmetrische Funktion 4. Ordnung, deren endepunkt bei (1 0) liegt und deren Tangentenfunktion an dieser mit y T = 4x -4 beschrieben wird? zu 4) 4) Bestimmen Sie die abgebildete Funktionsgleichung 3.Ordnung. zu 5) 5) Geben Sie die Funktionsgleichung des abgebildeten Graphen an, indem Sie sich geeignete Bedingungen raussuchen. Stellen Sie Ihre Lösungsansätze vor. 6) Eine Grippewelle breitet sich wie in der nebenstehenden Abbildung dargestellt aus, und kann modellhaft durch eine Funktion dritter Ordnung beschrieben werden. Nach drei ochen wird der größte Anstieg der Erkrankungen verzeichnet (unkt A). Diese Steigung der Neuerkrankungen beläuft sich dort auf 10,8 Krankheitsfälle! Nach 6 ochen erreicht die Grippewelle ihren Höhepunkt (unkt B). Berechnen Sie die Funktionsgleichung, mit der die Grippewelle beschrieben werden kann. Summe 70 42
- Übungen - 1 1 Lösung 31.1 Zu 1) zu 2 Grund-Ansatz Gleichung: f(x)= ax³ +bx² +cx +d a) Lösung: b) Lösung: c) Lösung: zu 3 Grund-Ansatz Gleichung: f(x)= ax 4 +bx² +c Lösung: f(x)= -0,5x 4 +3x 2-2,5 zu 4 Grund-Ansatz Gleichung: f(x)= ax³ +bx² +cx +d Lösung: zu 5) zu 6) Grundansatz Gleichung: f(x)= ax³ +bx² +cx +d Lösung: Grundansatz Gleichung: f(x)= ax³ +bx² +cx +d Lösung: