Physikpraktikum für Pharmazeuten Universität Regensburg Fakultät Physik 3. Versuch: Fadenpendel In diesem Versuch werden Sie mit den mechanischen Grundlagen vertraut gemacht. Anhand eines Fadenpendels bestimmen Sie die Erdbeschleunigung g.
1 Einführung In diesem Versuch werden wir, was wir bisher über Statistik und Fehlerrechnung gelernt haben, zur Analyse eines physikalischen Experiments anwenden. Wir beginnen mit einem der frühesten Experiment, die in der Physik untersucht wurden, dem Pendel. Es besteht einfach aus einem relativ kompakten und dichten Objekt mit der Masse m, das an einem leichten Draht mit konstanter Länge l aufgehängt ist und sich leicht um seine Ruhelage herum bewegt. Galileo Galilei fand bereits 1592 heraus, dass, wenn die Auslenkung klein genug ist (ein paar Grad), alle Oszillationen die selbe Zeit benötigen. Aufgrund Galileos Beobachtungen wurde das Pendel als eine Uhr benutzt und war bis 1930 (!) die genaueste Technologie zur Messung der Zeit. Das Pendel ist das erste Beispiel für einen harmonischen Oszillator, ein Konzept, welches allgegenwärtig in der Physik ist. Ein großer Teil von in der Physik untersuchten Systemen kann als harmonischer Oszillator modelliert werden (z.b. Massen an Federn, Radioantennen, Erdbeben, RLC Schaltungen, atomare Übergänge, Vibrationen in Kristallen, Quantenpunkte, Elektronen in starken Magnetfelder, etc., etc.). Dies ist das erste physikalische System, dem Sie begegnen. Daher müssen wir zuerst einige Grundlagen von physikalischen Konzepten überdenken. Eigentlich brauchen wir nur ein Prinzip, das Zweite Newtonsche Gesetz oder Grundgesetz der Dynamik. Sie haben es vielleicht bereits in der Schule kennengelernt, wo es F=ma genannt wurde. F=ma ist alles das Sie sich (im Umfang dieses Praktikums) über Mechanik merken müssen. Das ist alles. Es ist wirklich nicht viel, behalten Sie es bitte daher gut im Gedächtnis. Wir werden dem Gesetz im Versuch 4 wieder begegnen. Für diesen Versuch müssen Sie die Konzepte der Fehleranalyse und Fehlerfortpflanzung verstanden haben (siehe dazu Versuch 1). Wir starten daher mit einer einführenden Aufgabe zur Berechnung des Fehlers der Dichte eines gegebenen Materials. Um sich angemessen auf diesen Versuch vorzubereiten, lesen Sie bitte dieses und das Skript des ersten Versuches. 2
2 Theorie 2.1 Dichteberechnung eines Körpers Die Dichte ρ eines Körpers ist definiert als der Quotient aus der Masse m und dem Volumen V ρ = m [ ] kg V = m 3. (2.1) Das Volumen eines Zylinders setzt sich aus der kreisförmigen Grundfläche und der Höhe des Zylinders zusammen: V = Fläche Höhe = A h = πr 2 h. (2.2) Die Dichte wird standardmäßig in der Einheit kg/m 3 angegeben, jedoch können auch andere Größen, wie zum Beispiel 1 g/cm 3 1000 kg/m 3 verwendet werden, die einen zusätzlichen Umrechnungsfaktor aufweisen. Die Präzisionswaage erlaubt eine genaue Messung des Gewichts und wird Ihnen von den Betreuern vor dem Versuch erklärt. Nach der Formel 2.1 kann die Dichte berechnet werden. Hierbei ist auf die Umrechnung der Einheiten zu achten. Um den Fehler der Dichte zu berechnen, benutzen wir die Regel der Summe der Relativfehler für das Produkt und die Division, die im ersten Versuch erklärt wurde 1. Deswegen ist der Relativfehler für die Dichte ρ p eines Parallelepipeds mit Kanten a, b, c: ρ p ρ p = m m + a a + b b + c c, (2.3) und für die Dichte ρ z eines Zylinders mit Höhe h und Radius r: ρ z = m ρ z m + 2 r r + h h. (2.4) Der relative Fehler wird im Ergebnis immer in Prozent angegeben. Der absolute Fehler für diese Rechnung ergibt sich aus der Multiplikation des relativen Fehlers mit dem Zahlenwert der Dichte. 1 Wiederholung: Der Relativfehler eines Produkts (oder einer Division) ist die Summe der Faktoren (oder des Dividends und des Divisors). Zum Beispiel, wenn dann y y = y = a1a2a3... b 1b 2b 3..., a1 + a 2 + a 3 +... + b 1 + b 2 + b 3..., a 1 wobei a i und b i die Größen sind und a i und b i ihre Fehler. a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 3
2.2 Das Fadenpendel Ein Fadenpendel (auch mathematisches Pendel genannt) ist einfach ein Körper der Masse m, der am Ende eines Faden (mit vernachlässigbarer Masse) befestigt ist. Wenn der Körper aus dem Massenmittelpunktes am tiefsten Punkt ausgelenkt wird, beginnt der Körper bzw. das Pendel zurück in die Ruhelage zu schwingen. Durch den Schwung bewegt sich der Körper weiter zu einem zweiten Umkehrpunkt, bevor sich die Bewegung wiederholt. Im idealen Fall ohne Reibung würde dieser Ablauf unendlich lange andauern. Jedoch in unserem Fall im Labor wird die Bewegung bei jedem Durchlauf abgebremst bis sich der Körper wieder in der Ruhelage befindet. Die verschiedenen Kräfte die auf den Körper wirken, werden in Abb. 2.1 dargestellt. Diese sind zum Einen die Gewichtskraft G und zum Anderen die Spannungskraft des Fadens R. Der Betrag der Gewichtskraft G zeigt immer nach unten in Richtung Erdmittelpunkt und ist für den Körper immer gleich groß. Die Gewichtskraft G = mg hängt dabei nur von der Masse des Körpers m und der Erdbeschleunigung g = 9, 81 m/s 2 ab. Die Gewichtskraft kann dabei in zwei Komponenten zerlegt werden: die longitudinale α m R G l G G t Abbildung 2.1: Die verschiedenen Kräfte eines Fadenpendels. Komponente G l parallel zum Faden und eine transversale Komponente G t, die senkrecht zum Fadens liegt. Die Komponente entlang des Fadens G l wird komplett von der Spannungskraft R ausgeglichen. Die senkrechte Komponente G t verursacht hingegen eine Beschleunigung der Masse zum Ruhemittelpunkt. Der Betrag dieser Kraft ist gegeben durch G t = mg sin α, (2.5) wobei der Winkel α dem Auslenkwinkel des Fadens vom Ruhepunkt entspricht. Das 4
zweite Gesetz von Newton F = ma (2.6) beschreibt, dass die Änderung einer Bewegung durch eine Kraft F verursacht wird, wobei a die Beschleunigung und m die Masse des Körpers ist. Diese Gleichung lässt sich für die beschleunigende, transversale Komponente ebenfalls schreiben als G t = ma t. (2.7) Diese Kraft kann durch die Formel 2.5 ersetzt werden und man erhält folgende Gleichung: ma t (t) = mg sin α(t), (2.8) in der wir das Minus-Vorzeichen benutzen, weil die Auslenkung α l entgegengesetzt der transversalen Komponente der Beschleunigung G t ist. Der Winkel des Fadens und die Beschleunigung hängen dabei von der Zeit t ab. Die Masse des Körpers m kommt auf beiden Seiten der Gleichung vor und kann deshalb gekürzt werden. Dies bedeutet, dass die Bewegung des Fadens unabhängig von der Masse des Körpers ist. Für kleine (α < 10 ) Auslenkwinkel hängt die Periodendauer T für eine Schwingung nur noch von der Länge des Fadens ab 2 : l T = 2π g. (2.9) 2.3 Aufbau In dem zweiten Teil des Versuchs wird die Periodendauer T der Schwingung des Pendels als Funktion der Pendellänge l gemessen. Bei dem Pendel wird auf Grund der Aufhängung angenommen, dass es reibungsfrei schwingen kann. Die Reibung des Fadens und der Widerstand der Luft ist äußerst gering und kann daher vernachlässigt werden. Das Fadenpendel ist wie in Abb. 2.1 aufgebaut. 2.4 Bestimmung der Erdbeschleunigung mithilfe des Graphens der Messwerte Die Länge des Fadens l kann in einem Graphen auf der x-achse und die Periodendauer T auf der y-achse aufgetragen werden. Die resultierende Kurve zeigt dabei eine gekrümmte Form (Abb. 2.2). Die Krümmung der Kurve deutet darauf hin, dass kein linearer Zusammenhang zwischen der Periodendauer und der Länge des Fadens besteht. (lα). Weil für kleine Winkel sin α α gilt, kann man die folgende Differenti- dt 2 d 2 α(t) = g α(t), wobei der Winkel α eine Funktion der Zeit ist. Die Lösung dt 2 l t + c2), wobei c1 und c2 zwei Integrationskonstanten 2 g sin(α) = d2 x d2 dt 2 algleichung schreiben: dieser Gleichung ist bekannt: α(t) = c 1 sin( g l sind. Für eine solche Funktion der Zeit ist die Frequenz durch f = 1 durch T = 2π l g gegeben. 2π g l und deswegen die Periode 5
Nach Formel 2.9 aus der Vorbereitung besteht für ein Fadenpendel folgender Zusammenhang: T l. Durch Quadrieren dieses Ausdrucks und durch Auftragen des Quadrats der Periodendauer T 2 auf der y-achse und der Länge l auf der x-achse erhält man einen geraden Verlauf des Graphen (Abb. 2.3)). Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, wie die Werte voneinander abhängig sein können. Dieser neue quadratische Zusammenhang zwischen den beiden Größen kann in einem weiteren Graphen sichtbar gemacht werden. Dazu wird einfach eine weitere Spalte in Qti-Plot eingefügt, die mittels der Funktion Spaltenwert setzen versehen wird. Die Werte für T werden dabei in der neuen Spalte quadriert. Der neue Graph aus dem Quadrat der Periodendauer und der Fadenlänge sollte nun eine Gerade ergeben. Dabei ist auf die geänderte Achsenbeschriftung zu achten. Abbildung 2.2: Gekrümmter Verlauf der Periodendauer T in Bezug zur Fadenlänge l. Mithilfe der Abbildung 2.3 kann die Erdbeschleunigung g [m/s 2 ] bestimmt werden. Das Quadrat der Periodendauer ist nach obiger Formel (Gl. 2.9): T 2 = 4π2 l. (2.10) g 6
Abbildung 2.3: Linearer Zusammenhang zwischen dem Quadrat der Periodendauer T 2 und der Fadenlänge l. Ersetzt man nun die Periodendauer T 2 = y und die Fadenlänge l = x so entsteht zwischen den Größen x und y folgender, linearer Zusammenhang: y = 4π2 x. (2.11) g Dabei entspricht der Bruch vor dem x dem Anstieg des Graphen und wird als Steigung A = 4π2 g bezeichnet. Bestimmen Sie mithilfe der Qti-Plot Funktion Analyse - Linearer Fit die Steigung A der Graphen und dessen Fehler. Durch Umformen der Gleichung 2.11 kann die Erdbeschleunigung berechnet werden: g = 4π2 A. (2.12) 7
3 Versuchsdurchführung 3.1 Hinweise für den Messvorgang Die Pendellänge wird in diesem Versuch zwischen 10 und 90 cm variiert und lässt sich durch eine cm-skala sehr gut einstellen. Die menschliche Reaktionszeit beim Bedienen der Stoppuhr verursacht den größten Messfehler. Die Reaktionszeit ist eine Zufallsvariable, die einen zufälligen Fehler verursacht. Im ersten Versuch haben wir gelernt, dass der zufällige Fehler mit der Standardabweichung von wiederholten Messungen dargestellt werden kann. Als erster Schritt dieses Versuchsteils sollen Sie zehn Mal die Dauer einer einzelnen Pendelbewegung bestimmen. Der darstellerische Wert für die Periode T ist der Mittelwert aus den 10 Einzelbewegungen. Der Fehler der Standardabweichung liegt normalerweise zwischen 0,1 s und 0,3 s. Dieser Fehler kann reduziert werden, wenn statt einer Einzelnen zehn aufeinanderfolgende Pendelbewegungen gemessen werden. Der Fehler für die gesamte Messung (d.h. 10 Pendelschwingungen) ist derselbe, jedoch reduziert sich der Fehler pro Pendelbewegung auf ein Zehntel (y = 0, 1x y = 0, 1 x). Im letzten Teil des Versuchs sollen Sie die Periode der Pendelbewegungen für zehn verschiedene Längen messen. Bitte messen Sie für jede Länge zehn aufeinanderfolgende Pendelbewegungen und tragen sie 1/10 der Messwerte in QTI ein. Die Messung der Zeit geschieht über die bereitgestellten Stoppuhren. Wichtig für die Messungen sind außerdem folgende Punkte: Lenken Sie das Pendel nicht zu weit aus. Für die Messungen sind kleine Amplituden notwendig, daher reicht eine Auslenkung um etwa 10 Grad. Die effektive Länge des Pendels besteht nicht nur aus der Fadenlänge, sondern auch noch aus dem halben Durchmesser der Kugel (bis zum Mittelpunkt der Masse). 3.2 Aufgaben Teil I Teil II Berechnen Sie mithilfe der Formeln 2.3 und 2.4 die Dichte eines Kupfer- und Aluminiumstücks inklusive der Fehlerrechnung und vergleichen Sie diese mit den Literaturwerten von Ihren Betreuern. Für l = 50 cm, messen Sie 10 mal die Zeit einer einzelnen Pendelbewegungen und bestimmen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung (mithilfe einer Qti- 8
Teil III Plot Tabelle und der Spaltenfunktion Spaltenstatistik). Das ist der typische Fehler für Ihre einzelne Messung (ist er zufällig oder maximal?) Messen Sie jetzt für l = 50 cm 10 mal eine Sequenz von 10 Oszillationen (insgesamt also 10 10=100 Oszillationen). Bilden Sie für jede Sequenz den Mittelwert. Sie werden 10 Mittelwerte haben. Bestimmen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung für die 10 Mittelwerte. Wie ist die Standardabweichung im Vergleich zum vorherigen Abschnitt? Wieso verringert sich der Fehler bei der Messung über mehrere Schwingungen? Führen Sie für jede Fadenlänge zwischen 10 und 90 cm (in 10 cm-schritten) eine Messung der Zeit von einer Sequenz von 10 Schwingungen aus und bestimmen Sie die dafür benötigte durchschnittliche Zeit für 1 Schwingung. Stellen Sie das Ergebnis in einem Graphen mit der x-achse (Fadenlänge l) und y-achse (Pendeldauer T 2 ) dar (T 2 [s 2 ] gegen l [m], siehe Abb. 2.3) und bestimmen Sie die Erdbeschleunigung aus dem Graphen mithilfe von Gl. 2.9. Vergleichen Sie den ermittelten Wert mit dem Literaturwert. 3.3 Protokoll/Versuchsmitschrift Nach jedem Praktikumsversuch muss von jedem Praktikant ein Protokoll angefertigt werden. Das Protokoll sollte immer so geschrieben sein, dass es für sich selbst steht und auch ohne Anleitung noch erkennbar ist, welches Thema behandelt wurde und wie der Versuch ablief (Überschriften!!!). In der Regel wird vor jedem Versuch durch die Betreuer eine Einführung zum Thema gegeben und eventuelle Aufbauten erklärt. In der Auswertung sollten die verwendeten Formeln stehen, Rechenwege und Ergebnisse gezeigt werden. Abschließend wird das Ergebnis noch erklärt oder begründet. Das Protokoll wird noch während des Praktikumversuchs erstellt und am Ende den Betreuern zur Durchsicht übergeben. Es kann handschriftlich oder per Computern im Praktikum erstellt werden - je nach Vorliebe des Praktikanten. Diagramme, Graphen oder Tabellen können über die Drucker im Praktikumsraum gedruckt werden. 9