Felder, Gradient, Kurvenintegral

Kapitel 2 Felder, Gradient, Kurvenintegral 2.1 Partielle Differentiation 2.1.1 Funktionen mehrerer Variabler Eine Funktion kann von mehr als einer Variablen abhängen. Zum Beispiel könnte f(x, y) das Höhenrelief eines Gebirges darstellen. In diesem Fall gibt f(x, y) für jeden Punkt (x, y), der etwa durch die geographische Breite x und die geographische Länge y definiert ist, die Höhe über dem Meeresspiegel an. Im Allgemeinen versteht man unter einer Funktion von zwei unabhängigen Variablen eine Vorschrift, die jedem geordneten Zahlenpaar (x, y) aus dem Definitionsbereich genau ein Element z aus dem Wertebereich zuordnet: z = f(x, y). (2.1) (Diese Definition kann direkt auf eine beliebige Zahl von Argumenten übertragen werden.) So wie eine Funktion y = f(x) in einem kartesischen Koordinatensystem einen Kurve definiert (den Funktionsgraphen), definiert eine Funktion z = f(x, y) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem eine Fläche. Diese Fläche entsteht dadurch, dass jedem Punkt in der xy-ebene eine gewisse Höhe senkrecht zur xy-ebene zugeordnet wird. Die Fläche besteht also aus allen Zahlentriplets (x, y, z = f(x, y)). Beispiel: Die durch die Funktion f(x, y) = y 2 x (2.2) definierte Fläche ist in Abb.?? graphisch dargestellt. Die Funktionsfläche ist ein für fallende Werte von x ansteigendes Tal. Für x = const erhalten wir eine Schar von Parabeln, z = y 2 const, und für y = const eine Schar von Geraden mit Steigung -1, z = const x. 2.1.2 Partielle Ableitung Wir können nun die Funktion f(x, y) nach einer der beiden Variablen ableiten und dabei die andere Variable als konstant betrachten: f(x, y) f(x + x, y) f(x, y) = lim x x Genauso können wir die Funktion nach y ableiten: (y = const). (2.3) f(x, y) y f(x, y + y) f(x, y) = lim y y (x = const). (2.4) Solche Ableitungen nennt man partielle Ableitungen, da die Funktion nur nach einer der Variablen abgeleitet wird, also nur zum Teil, und alle anderen Variablen festgehalten werden. Um 33

34 KAPITEL 2. FELDER, GRADIENT, KURVENINTEGRAL Abbildung 2.1: Darstellung der Funktion z = f(x, y) = y 2 x in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem. den Unterschied zur Differentiation einer Funktion einer einzelnen Variablen zu betonen, verwenden wir für die partielle Ableitung das geschwungene Delta:. Alternativ zur Notation mit dem geschwungenen Delta findet auch die folgende Schreibweise mit Indizes Verwendung: f x = f (2.5) f y = f y. (2.6) Für partielle Ableitungen gelten dieselben Rechenregeln wie für die Differentiation einer Funktion einer einzelnen Variablen. Beispiel: Die Funktion f(x, y) = xy 2 + 4x 5 y + 16x (2.7) kann sowohl nach x als auch nach y differenziert werden: f = y2 + 2x 4 y + 16, (2.8) f y = 2xy + 4x5. (2.9) Durch wiederholtes partielles Ableiten lassen sich partielle Ableitungen höherer Ordnung (höhere

2.2. FELDER 35 Ableitungen) bilden: 2 f 2 = 2 f y = y 2 f y ( ) f = f xx, (2.1) ( ) f = f xy, (2.11) = ( ) f = f yx, (2.12) y ( ) f = f yy. (2.13) y 2 f y 2 = y Beispiel: Mechanik Aus der potentiellen Energie U(x, y, z) kann die Kraft, die auf einen gewissen Körper wirkt, durch partielle Ableitung berechnet werden: F = F x F y F z = U U y U z. (2.14) In Analogie zum Differenzial lassen sich auch partielle Differenziale definieren: und x f(x, y) = y f(x, y) = f(x, y) dx (2.15) f(x, y) dy. (2.16) y Das totale Differenzial (auch vollständiges Differenzial genannt) ergibt sich aus der Summe der partiellen Differenziale: df(x, y) = f f dx + dy. (2.17) y Das totale Differenzial, das in der Fehlerrechnung und in der Thermodynamik von Bedeutung ist, gibt an, um wie viel sich die Funktion f(x, y) ändert, wenn wir ihre Argumente um dx und dy verschieben. 2.2 Felder Im Folgenden werden wir uns mit Vektoranalysis beschäftigen. Dabei geht es um die mathematische Beschreibung von Feldern im dreidimensionalen Raum. Für die Beschreibung von Skalarfeldern ist der Begriff des Gradienten von zentraler Bedeutung. 2.2.1 Skalarfelder Betrachten wir als Beispiel die Atmosphäre über einem bestimmten Gebiet, sagen wir über Wien. Es ist ein sonniger Tag und die Sonnenstrahlen erwärmen Straßen, Häuser, etc. Die Temperatur der Luft über dem Boden hängt nur von der Beschaffenheit des Bodens ab. Während dunkler Asphalt die Sonnenstrahlen absorbiert und dadurch die darüber liegende Luft erwärmt, bleibt die Luft über begrünten Flächen eher kühl. Am kühlsten bleibt es in beschatteten Bereichen. Ferner hängt die Lufttemperatur von der Höhe über dem Boden ab: je höher wir steigen, umso kühler

36 KAPITEL 2. FELDER, GRADIENT, KURVENINTEGRAL wird es. Durch Messung mit einem Thermometer können wir die Temperatur an jedem durch die Koordinaten (x, y, z) beschriebenen Punkt bestimmen und erhalten T (x, y, z). (2.18) Da die Temperatur auch von der Tageszeit abhängt, können wir auch die Zeit t in die Variablenliste aufnehmen: T (x, y, z, t). (2.19) Dies ist ein Beispiel für ein zeitabhängiges, skalares Feld. Das Feld T (x, y, z, t) heißt deshalb skalar, weil die Temperatur T eine skalare Größe ist. Im Allgemeinen ordnet ein Skalarfeld jedem Punkt (x, y, z) eines räumlichen (oder ebenen) Bereichs in eindeutiger Weise einen Skalar A zu (siehe Abb.??): A(x, y, z) = A( r). (2.2) Abbildung 2.2: Ein Skalarfeld ordnet jedem Punkt r in der Ebene ( r = (x, y), links) oder im Raum ( r = (x, y, z), rechts) eine skalare Größe A( r) zu. Das Feld A(x, y, z) kann man sich mit Hilfe der Flächen veranschaulichen, auf denen die skalare Größe einen konstanten Wert hat: A(x, y, z) =const. Man nennt diese Flächen Niveau- oder Äquipotenzialflächen. In der Ebene definiert die Bedingung A(x, y) =const Niveaulinien (oder Äquipotenziallinien). Solche Niveaulinien kennen wir von topographischen Karten, in denen sie Punkte gleicher Meereshöhe verbinden, oder vom Wetterbericht, wo in der Temperaturkarte für einen diskreten Satz von Temperaturen Punkte gleicher Temperatur durch Niveaulinien miteinander verbunden sind. Ein weiteres 2D-Beispiel ist eine metallische Platte, die an einer Ecke erhitzt und an den gegenüberliegenden Seiten gekühlt wird (siehe Abb.??). 2.2.2 Vektorfelder In anderen Fällen ist es notwendig, an jeder Stelle x, y, z einen Vektor zu definieren. So möchte man beispielsweise zusätzlich zur Temperatur auch die Windgeschwindigkeit v als Funktion des Ortes angeben: v(x, y, z). (2.21) Da sich Windgeschwindigkeit und Windrichtung mit der Zeit ändern, können wir auch in diesem Fall die Zeit t in die Liste der Argumente aufnehmen und erhalten damit ein zeitabhängiges Geschwindigkeitsfeld: v(x, y, z, t). (2.22)

2.2. FELDER 37 Abbildung 2.3: Eine metallische Platte wird an der rechten hinteren Ecke erwärmt und gleichzeitig an der linken und der vorderen Kante gekühlt. Dadurch stellt sich ein Zustand ein, bei dem die Temperatur der Platte vom Ort abhängt. Orte gleicher Temperatur sind durch so genannte Niveaulinien miteinander verbunden. Ein solches Feld nennt man ein Vektorfeld. Im Allgemeinen ordnet ein Vektorfeld jedem Ort (x, y, z) eines Bereichs und (falls nötig) auch jedem Zeitpunkt aus einem bestimmten Intervall einen Vektor zu: A(x, y, z) = A( r). (2.23) In der Ebene ist ein Vektorfeld A(x, y) analog definiert (siehe Abb.??). Beispiele für Vektorfelder sind das elektrische Feld, das magnetische Feld und das Geschwindigkeitsfeld einer strömenden Flüssigkeit. Abbildung 2.4: Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt r (hier in der Ebene) einen Vektor A( r) zu. Vektorfelder kann man mit Feldlinien veranschaulichen. Das sind Linien, für die in jedem Punkt der dortige Feldvektor tangential zur Linie ist. Feldlinien können sich nicht schneiden, da in jedem Punkt der Feldvektor eine eindeutige Richtung hat. Würden sich Feldlinien unter einem Winkel schneiden, gäbe es an einem Punkt zwei verschiedene Feldvektoren, was jedoch nicht zulässig ist. Felder, die sich zeitlich nicht ändern, nennt man stationär. Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Stärke des Vektorfeldes. Einige Felder von besonderer Bedeutung sind: Homogene Felder: In einem homogenen Feld hat der Feldvektor überall die gleiche Richtung und den gleichen Betrag. Ein homogenes Feld kann geschrieben werden als A(x, y, z) = (c x, c y, c z ), (2.24)

38 KAPITEL 2. FELDER, GRADIENT, KURVENINTEGRAL Abbildung 2.5: Ein Vektorfeld (hier das zweidimensionale Geschwindigkeitsfeld einer Strömung um eine Scheibe) kann mit Hilfe von Feldlinien, zu denen die Feldvektoren tangential sind, dargestellt werden. wobei c x, c y, c z Konstanten sind. Kugelsymmetrische Felder (Zentralfelder): Abbildung 2.6: Ein kugelsymmetrisches Vektorfeld. Der Feldvektor zeigt in jedem Punkt radial nach außen oder innen, also vom Ursprung weg oder zum Ursprung hin. Der Betrag hängt nur vom Abstand r vom Zentrum ab. Ein kugelsymmetrisches Feld lässt sich ausdrücken als: A( r) = A(r) r r, (2.25) wobei r = r der Abstand des Punktes vom Ursprung ist. Beispiele für ein kugelsymmetrisches Feld sind das Gravitationsfeld der Erde und das elektrische Feld einer Punktladung. Zylinder- oder axialsymmetrische Felder: Der Feldvektor zeigt radial von einer Achse weg und hat keine Komponente in Achsenrichtung. Der Betrag hängt nur vom Abstand des Punktes zur Achse ab. Ein zylindersymmetrisches Feld lässt sich schreiben als: A( r) = A(ρ) e ρ. (2.26) Hier ist ρ der Normalabstand zur z-achse und e ρ der Einheitsvektor normal zur z-achse in Richtung zum Punkt r.

2.3. GRADIENT 39 Abbildung 2.7: Ein zylindersymmetrisches Vektorfeld. 2.3 Gradient 2.3.1 Definition Betrachten wir ein Skalarfeld A(x, y, z) im dreidimensionalen Raum (zum Beispiel die Temperatur T (x, y, z) eines ungleichmäßig erwärmten Körpers). Wir fragen uns nun, wie sich die skalare Größe A ändert, wenn wir uns vom Punkt r = (x, y, z) leicht wegbewegen, wenn wir also von r = (x, y, z) auf r + d r = (x + dx, y + dy, z + dz) übergehen. In linearer Näherung (für sehr kleine dx, dy und dz) ist die Änderung da in der Größe A gegeben durch da = A dx + A y A dy + dz. (2.27) z (Dies ist einfach das bereits bekannte totale Differenzial der Funktion A(x, y, z).) Wir können die rechte Seite der obigen Gleichung als das Skalarprodukt des Vektors d r = (dx, dy, dz) mit dem Vektor ( A/, A/ y, A/ z) betrachten. Dieser im Allgemeinen ortsabhängige Vektor ist der Gradient des Skalarfeldes A(x, y, z). Wir schreiben dafür grad A = A A y A z = A(x, y, z). (2.28) A(x, y, z) nennt man auch das Gradientenfeld von A(x, y, z), ein Vektorfeld. Das Symbol ist der Nabla-Operator, der in der Vektoranalysis eine zentrale Rolle einnimmt und formal als Vektor geschrieben werden kann: = y z. (2.29) Der Nabla-Operator (auf Englisch auch del genannt) wurde zum ersten Mal vom irischen Physiker William Rowan Hamilton (185-1865) verwendet. Das Wort Nabla bezeichnet eine antike Harfe und wurde vermutlich wegen der Ähnlichkeit des Symbols mit einer Harfe eingeführt. Der Gradient des Skalarfeldes A(x, y, z) ist also ein Vektorfeld, dessen Komponenten die partiellen Ableitungen von A(x, y, z) nach den Raumkoordinaten sind. Der Gradient von A entsteht durch Anwendung des Nabla-Operators auf A. Man kann den Gradienten auch mit Hilfe der Basisvektoren e x, e y, e z ausdrücken: grad A = A = A e x + A y e y + A z e z. (2.3)

4 KAPITEL 2. FELDER, GRADIENT, KURVENINTEGRAL Auch die Schreibweise wird oft verwendet. A = A r (2.31) 2.3.2 Eigenschaften Der Gradient steht senkrecht auf die Äquipotenzialflächen (Niveauflächen), auf denen A = const. Um das einzusehen, betrachten wir die Änderung da, die durch Verschiebung des Ortsvektors r(x, y, z) um d r = (dx, dy, dz) entsteht: da = A d r. (2.32) Ist d r tangential zur Niveaufläche, bleibt A konstant und wir haben: da = A d r =. (2.33) Das bedeutet, dass A senkrecht auf die Flächen mit A = const steht. In der Ebene können wir uns das für das Temperaturfeld T (x, y) leicht veranschaulichen: Auf diesen Linien ist T konstant. Das heißt, wenn wir auf ihnen entlangfahren, ändert sich die Temperatur nicht. Wenn wir d r in Richtung einer solchen Linie wählen, muss daher für kleine d r gelten: da =. Das Differenzial da ist aber das Skalarprodukt von d r und A: da = A d r. Daher haben wir A d r =. Somit ist A orthogonal zu d r und, da d r tangential an die Niveaulinie ist, auch orthogonal zur Niveaulinie selbst. Analog gilt das auch in höheren Dimensionen. Abbildung 2.8: Der Gradient A eines skalaren Feldes A( r) (hier das Temperaturfeld von Abb.??) steht normal zu den Niveaulinien des Feldes. Der Gradient A zeigt in die Richtung, in der die Funktion A(x, y, z) am schnellsten anwächst. Man kann dies zum Beispiel mit Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatoren beweisen, worauf wir aber hier nicht eingehen können. Anschaulich ist dies plausibel, da wir natürlich am schnellsten von einer Niveaulinie (oder Niveaufläche) zur nächsten kommen, wenn wir uns senkrecht dazu, also in Richtung des Gradienten, bewegen. (Denken Sie zum Beispiel an die Höhenschichtenlinien auf einer Wanderkarte.) Der negative Gradient zeigt in die Richtung der schnellsten Abnahme der Funktion A(x, y, z). Der Betrag des Gradienten ist die Steigung (oder Ableitung) der Funktion in der Richtung ihres stärksten Zuwachses. Beispiel: Betrachten wir das Gravitationspotenzial, das von einer Masse M im Ursprung erzeugt wird: GM u(x, y, z) = x2 + y 2 + z = GM 2 r. (2.34) Hier ist r der Abstand einer Probemasse m vom Ursprung und mu(x, y, z) ist die potentielle Energie dieser Probemasse. G ist die Gravitationskonstante. Der Gradient des Gravitationspotenzials

2.3. GRADIENT 41 lautet: u = = u u y u z = 1 GM 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 1 GM 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 3 1 GM 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 x GM y (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 z = GM r 3 2x 2y 2z x y z = GM r 2 e r. (2.35) Die Äquipotenzialflächen dieses Feldes sind konzentrische Kugeln und u ist orthogonal zur entsprechenden Kugeloberfläche. Die Kraft auf die Probemasse m F ( r) = m u = GMm r 2 e r (2.36) zeigt zum Ursprung und ist somit attraktiv. Beispiel: Das Feld hat den Gradienten u = u(x, y) = x 2 + y 2 (2.37) ( u u y ) = ( 2x 2y ). (2.38) 2.3.3 Richtungsableitung Die Ableitung der Funktion A(x, y, z) in Richtung eines beliebigen Vektors a lässt sich ebenfalls mit Hilfe des Gradienten ausdrücken: a A(x, y, z) a = A e a. (2.39) Die Größe nennt man die Richtungsableitung in Richtung des Vektors a. Man erhält sie durch Projektion des Gradienten A auf den normierten Richtungsvektor e a = a a. Die Richtungsableitung ist in Richtung des Gradienten am größten. 2.3.4 Rechenregeln Für den Gradienten gelten folgende Rechenregeln: Für ein konstantes Feld A( r) = c folgt: A =, Summenregel: Faktorregel: Produktregel: (A + B) = A + B, (αa) = α A, (AB) = A B + B A. Diese Regeln folgen aus den Regeln für die partielle Differentiation. Zusammenfassend halten wir fest: Der Gradient von A( r) ist ein Vektor (eigentlich ein Vektorfeld), dessen Komponenten die partiellen Ableitungen nach den Koordinaten sind. Der Gradient entsteht durch Anwendung des Nabla-Operators auf A( r). A steht orthogonal zu den Niveauflächen. A zeigt in Richtung des stärksten Zuwachses von A( r). A e a = A ( a/ a ) ist die Richtungsableitung von A in Richtung von a.

42 KAPITEL 2. FELDER, GRADIENT, KURVENINTEGRAL 2.4 Kurvenintegrale 2.4.1 Einleitung Im Kapitel 1.1.1 haben wir gesehen, dass wir die bei der Verschiebung eines Körpers verrichtete Arbeit mit Hilfe des Skalarproduktes der angewendeten Kraft F und der vektoriellen Verschiebung r ausdrücken können: W = F r. (2.4) Wenn wir jedoch den Körper nicht auf einer geraden Linie bewegen beziehungsweise die Kraft entlang des Weges nicht konstant ist, können wir diesen einfachen Ausdruck nicht mehr verwenden (siehe Abb.??). Das wäre etwa bei einem auf einem kurvigen Gleis gezogenen Fahrzeug oder einer Seilbahn der Fall. Wenn wir die gesamte Strecke jedoch in kleine, annähernd gerade Stücke zerlegen, können wir die in jedem kleinen Intervall verrichtete Arbeit mit Hilfe von Gleichung (??) berechnen. Abbildung 2.9: Verschiebung eines Körpers entlang eines geradlinigen (links) und eines gekrümmten Weges (rechts). Die Gesamtarbeit ergibt sich dann aus der Summe aller Arbeiten in den Teilstücken. Im Grenzfall unendlich kleiner Intervalle wird diese Prozedur exakt und führt uns auf den Begriff des Kurvenintegrals. Auf ähnliche Weise können wir zum Beispiel auch den Fluss durch eine gekrümmte Fläche als Summe der Flüsse durch viele kleine, annähernd ebene Flächenelemente ausdrücken und gelangen so zum Flächenintegral. 2.4.2 Definition Ein wichtiges Beispiel für ein Kurvenintegral ergibt sich bei der Berechnung der Arbeit, die geleistet wird, wenn ein Körper in einem Kraftfeld entlang einer gegebenen Kurve verschoben wird. Wir betrachten ein Kraftfeld F ( r), zum Beispiel das Gravitationsfeld, das die Kraft beschreibt, die im Punkt r auf einen Körper wirkt. Wir stellen uns nun vor, dass in diesem Kraftfeld der Körper auf einer vorgegebenen Kurve C vom Punkt r a zum Punkt r b verschoben wird (siehe Abb.??). Abbildung 2.1: Ein Körper wird im Kraftfeld F ( r) entlang eines gekrümmten Weges von r a nach r b verschoben. An jedem Punkt entlang dieses Weges herrscht eine bestimmte Kraft F, die Arbeit verrichtet. Zur Berechnung dieser Arbeit können wir nun nicht den Ausdruck W = F s aus Kapitel 1.1.1 verwenden, weil sich die Kraft sowohl in Betrag als auch in Richtung entlang des Weges ändern kann und der Weg im Allgemeinen nicht geradlinig ist. Um die gesamte Arbeit zu ermitteln, die

2.4. KURVENINTEGRALE 43 bei Verschiebung des Körpers von r a nach r b geleistet wird, zerlegen wir den Weg C in N kleine, gerade Stücke r i, die sich aus den Differenzen r i = r i+1 r i, i =,... N 1 auf der Kurve liegender Punkte r i ergeben (siehe Abb.??). Durch Wahl einer genügend großen Zahl N kann die Kurve C durch die geraden Segmente r i beliebig gut angenähert werden. Abbildung 2.11: Durch Zerlegen des Weges in viele kurze und annähernd gerade Teilstücke r i können wir die geleistete Arbeit als ein Wegintegral ausdrücken. Für eine genügend feine Zerlegung, das heißt, für genügend kleine Kurventeilstücke r i, können wir die Kraft F in jedem Teilstück als konstant betrachten. Daher kann die im Teilstück i geleistete Arbeit W i als das bekannte Skalarprodukt der Kraft F ( r i ) am Ort r i mit der kleinen Verschiebung r i geschrieben werden: W i = F ( r i ) r i. (2.41) Die insgesamt geleistete Arbeit ist die Summe der in den Teilstücken geleisteten Arbeiten W i W N 1 i= W i = N 1 i= F ( r i ) r i. (2.42) Im Grenzwert unendlich kleiner (und unendlich vieler) Wegstücke r i erhalten wir den exakten Wert der im Kraftfeld F ( r) auf dem vorgegebenen Weg geleisteten Arbeit: N 1 W = lim F ( r i ) r i = F ( r) d r. (2.43) N i= C Wir nennen dies das Kurvenintegral (oder Linienintegral) des Vektorfeldes F längs der Raumkurve C. (Wir können das Kurvenintegral für ein beliebiges Vektorfeld definieren, nicht nur für die Kraft F.) Oft schreibt man für das Kurvenintegral auch: r b r b W = F ( r) d r oder W = r a r a,c F ( r) d r. (2.44) Abbildung 2.12: Bei einem geschlossenen Weg C sind Ausgangspunkt r a und Endpunkt r b identisch: r a = r b. Falls r a = r b, die Kurve C also geschlossen ist (siehe Abb.??), schreibt man für das Integral F ( r) d r = Z c (2.45) C

44 KAPITEL 2. FELDER, GRADIENT, KURVENINTEGRAL und nennt es die Zirkulation von F entlang C oder auch das geschlossene Kurvenintegral oder Ringintegral. 2.4.3 Eigenschaften Da im oben definierten Kurvenintegral der Ausdruck, über den integriert wird, ein Skalarprodukt ist, ist das Kurvenintegral selbst auch ein Skalar. Wenn man bei einem Kurvenintegral den Integrationsweg umkehrt (also den Integrationsweg in umgekehrter Richtung durchläuft), ändert sich das Vorzeichen des Integrals F ( r) d r = F ( r) d r, (2.46) C wobei C den in umgekehrter Richtung durchlaufenen Integrationsweg bezeichnet. Diese Eigenschaft folgt daraus, dass bei einer Umkehrung des Integrationsweges alle r i ihr Vorzeichen wechseln und somit das Kurvenintegral selbst auch sein Vorzeichen wechselt. C Abbildung 2.13: Der Weg C besteht aus den beiden Teilwegen C 1 und C 2. Ferner ist das Kurvenintegral additiv, das heißt das Kurvenintegral über einem aus zwei Teilstücken C 1 und C 2 bestehenden Weg C ist die Summe der Kurvenintegrale über C 1 und C 2 : F ( r) d r = F ( r) d r + F ( r) d r. (2.47) C 1 C 2 C Wenn also die Zirkulation Z C entlang eines geschlossenen Weges C verschwindet, sind die Kurvenintegrale entlang der beiden Kurven C 1 und C 2, die die beiden Punkte r a und r b miteinander verbinden, gleich (siehe Abb.??): Z C = F ( r) d r = F ( r) d r + F ( r) d r = F ( r) d r F ( r) d r. (2.48) C 1 C 2 C 2 C Da aber Z C =, folgt: C 1 C 1 C 2 F ( r) d r = F ( r) d r. (2.49) 2.4.4 Berechnungsverfahren Um Kurvenintegrale auszuwerten, führen wir sie auf gewöhnliche Integrale zurück. Falls die Kurve C in Parameterform gegeben ist, das heißt, falls der Ortsvektor x(t) r(t) = y(t) (2.5) z(t) als Funktion eines Parameters t im Bereich t a t t b gegeben ist, können wir das Kurvenintegral in ein einfaches Integral über den Parameter t verwandeln. In diesem Fall entspricht jeder Punkt r i in der Zerlegung der Kurve einem bestimmten Parameterwert t i. Die beiden Randpunkte der Kurve, r a und r b, erhalten wir für die Parameterwerte t a und t b : r a = r(t a ) und r b = r(t b ). (2.51)

2.4. KURVENINTEGRALE 45 Abbildung 2.14: Die Punkte r a und r b liegen auf einer geschlossenen Kurve. Man kann sowohl über die Kurve C 1 als auch über die Kurve C 2 von r a nach r b gelangen. Jedes gerade Teilstück r i = r i+1 r i entspricht dann einem Teilintervall t i = t i+1 t i des Parameters. In der Summe in Gleichung (??) dividieren und multiplizieren wir nun jeden Term mit t i und erhalten dadurch: W N 1 i= F ( r i ) r i = N 1 i= F ( r i ) r i t i t i. (2.52) Im Grenzfall N wird aus r i / t i die Ableitung des Ortsvektors nach dem Parameter t: Damit wird das Linienintegral zu W = r i lim = d r(t). (2.53) N t i dt t b t a F ( r(t)) ( ) d r dt. (2.54) dt Dieses Integral ist ein gewöhnliches Integral, dessen Integrand, der Skalar F ( r(t)) (d r/dt), eine Funktion des Parameters t ist. Dabei beinhaltet der Vektor d r(t)/dt, der in jedem Punkt tangential zur Kurve ist, die Information über den Verlauf der Kurve (siehe Abb.??). (Wenn man den Vektor d r(t)/dt normiert, erhält man den Tangentialvektor t = (d r(t)/dt)/ d r(t)/dt.) Falls t die Zeit ist, ist d r(t)/dt = v(t) die Geschwindigkeit des Körpers, der sich gemäß r(t) entlang C bewegt. Abbildung 2.15: Der Geschwindigkeitsvektor d r(t)/dt ist tangential zur Kurve r(t). Aus dieser Darstellung des Linienintegrals ergibt sich folgendes Rezept zur Berechnung von Linienintegralen in Parameterform: 1. Zunächst drücken wir den Feldvektor F ( r) durch Einsetzen der parameterabhängigen Koordinaten x(t), y(t) und z(t) als Funktion des Parameters t aus.

46 KAPITEL 2. FELDER, GRADIENT, KURVENINTEGRAL 2. Dann differenzieren wir den Vektor r(t) nach t und bilden das Skalarprodukt F ( r(t)) (d r/dt). 3. Schließlich integrieren wir dieses Skalarprodukt, das nur mehr eine Funktion von t ist, in den Grenzen von t a bis t b. Beispiel: Abbildung 2.16: Eine Kraft F ( r) verrichtet Arbeit entlang einer Parabel. Wir bestimmen das Integral des Feldes F (x, y) = (2x + y, x) entlang der in Parameterform gegebenen Kurve r(t) = (t, t 2 ) (das ist eine Parabel) zwischen den Punkten, die zu den Parametern t a = und t b = 1 gehören. Die Kurve beginnt im Ursprung, r(t a = ) = (, ), und endet im Punkt r(t b = 1) = (1, 1). Der Feldvektor als Funktion von t ist gegeben durch: ( ) ( ) 2x(t) + y(t) 2t + t F (x(t), y(t)) = = 2. (2.55) x(t) t Ableitung des Ortsvektors nach t liefert d r dt = ( 1 2t ) (2.56) und somit ( F d r dt = 2t + t 2 t ) ( 1 2t ) = 2t + t 2 + 2t 2 = 2t + 3t 2. (2.57) Das Kurvenintegral ist deshalb gegeben als: C F ( r) d r = t b t a ( F d r ) dt = dt 1 (2t + 3t 2 )dt = 2t2 2 + 3t3 3 1 = 1 + 1 = 2. (2.58) Falls die Integrationskurve C nicht in Parameterform vorliegt, können wir folgendermaßen vorgehen. In der Summe in Gleichung (??) lässt sich jedes Teilstück und der dazugehörige Vektor F ( r i ) in Komponenten zerlegen: und r i = x i e x + y i e y + z i e z (2.59) F ( r i ) = F x ( r i ) e x + F y ( r i ) e y + F z ( r i ) e z. (2.6) Das Skalarprodukt F ( r i ) r i können wir somit schreiben als F ( r i ) r i = F x ( r i ) x i + F y ( r i ) y i + F z ( r i ) z i (2.61)

2.4. KURVENINTEGRALE 47 und die Summe in Gleichung (??) besteht somit aus drei Termen, die zu den drei Koordinatenrichtungen gehören: W F x ( r i ) x i + F y ( r i ) y i + F z ( r i ) z i. (2.62) Im Grenzwert einer unendlich feinen Zerlegung des Integrationsweges in Teilstücke erhalten wir daraus die Summe dreier gewöhnlicher Integrale: W = = x b y b z b F x ( r)dx + F y ( r)dy + x a y a x b F z ( r)dz z a y b z b F x (x, y, z)dx + F y (x, y, z)dy + F z (x, y, z)dz. (2.63) x a y a z a Abbildung 2.17: Räumliche Kurve und ihre Projektion in die xy-ebene. Bei der Berechnung von Fx ( r)dx müssen sowohl y als auch z als Funktion von x ausgedrückt werden. Das Problem ist hier, dass die Integranden von allen drei Variablen x, y und z abhängen und nicht nur von der jeweiligen Integrationsvariablen. Betrachten wir zum Beispiel das erste Integral. Hier gehören zu jedem x-wert auch wohldefinierte Werte von y und z (siehe Abb.??). Diese hängen von der Gestalt der Integrationskurve ab. Falls wir nun y und z mit Hilfe der Kurve als Funktion von x ausdrücken, erhalten wir für das erste Integral x b x a F x (x, y(x), z(x))dx, (2.64) ein gewöhnliches Integral über x. (Falls wir y und z aus Eindeutigkeitsgründen nicht als Funktion von x ausdrücken können, zerlegen wir die Integrationskurve in Teilbereiche, sodass dies möglich ist.) Mit den anderen beiden Integralen verfahren wir analog und erhalten schließlich W = x b x a F x (x)dx + y b y a F y (y)dy + z b z a F z (z)dz, (2.65) wobei F x (x) = F x (x, y(x), z(x)), F y (y) = F y (x(y), y, z(y)) und F z (z) = F z (x(z), y(z), z). Die Information über die Gestalt der Kurve C ist nun in den Funktionen F x (x), F y (y) und F z (z) enthalten.

48 KAPITEL 2. FELDER, GRADIENT, KURVENINTEGRAL Beispiel: Wir berechnen wieder das Kurvenintegral aus dem letzten Beispiel. Hier war F (x, y) = (2x + y, x) (2.66) und die Kurve war gegeben durch r(t) = (t, t 2 ) oder, in nichtparametrischer Form, durch y = x 2. Für das Kurvenintegral haben wir also: W = x b x a F x (x, y)dx + y b y a F y (x, y)dy, (2.67) wobei gemäß Angabe x a = y a = und x b = y b = 1. Da wir mit y = x 2 keine Eindeutigkeitsprobleme haben, können wir im ersten Term y und im zweiten Term x durch die jeweilige Integrationsvariable ausdrücken: x b y b W = F x (x, x 2 )dx + F y ( y, y)dy. (2.68) x a y a Unter Berücksichtigung von F (x, y) = (F x (x, y), F y (x, y)) = (2x + y, x) erhalten wir W = 1 (2x + x 2 )dx + 1 ( ) 2x 2 ydy = 2 + x3 1 + 2 3 3 y 3 2 1 = 1 + 1 3 + 2 = 2, (2.69) 3 was mit dem Resultat aus dem vorherigen Beispiel, bei dem eine Parameterdarstellung der Kurve verwendet wurde, übereinstimmt. 2.4.5 Kurvenintegrale über Gradientenfelder Kurvenintegrale der Form C F ( r) d r hängen im Allgemeinen sowohl vom Vektorfeld F als auch von der Integrationskurve C ab (insbesondere von deren Anfangs- und Endpunkt). Unter gewissen Umständen kann es jedoch vorkommen, dass das Kurvenintegral C F ( r) d r nur vom Kraftfeld selbst und den Endpunkten r a und r b abhängt, nicht aber von der Form des Weges, der r a und r b verbindet. Wir wollen uns in diesem Abschnitt mit der Frage beschäftigen, unter welchen Bedingungen dies der Fall ist. Als Beispiel betrachten wir das Linienintegral im Kraftfeld F ( r) = 2 r = (2x, 2y, 2z) und verbinden den Anfangspunkt r a = (,, ) mit dem Endpunkt r b = (1, 1, 1) durch drei unterschiedliche Kurven C 1, C 2 und C 3 (siehe Abb.??): C 1 : Gerade von (,,) nach (1,1,1), C 2 : Polygonzug (,, ) (1,, ) (1, 1, ) (1, 1, 1), C 3 : Parabelbogen von (,,) nach (1,1,1). Für die Kurve C 1 ist die Parameterdarstellung r(t) = (t, t, t) Das Kurvenintegral lautet somit C 2 F ( r) d r = also ist 1 2t 2t 2t d r dt = (1, 1, 1) und t a =, t b = 1. (2.7) 1 1 dt = 1 1 6tdt = 6t2 1 2 = 3. (2.71)

2.4. KURVENINTEGRALE 49 Abbildung 2.18: (a) Integrationsweg C 1, (b) Integrationsweg C 2 und (c) Integrationsweg C 3. Entlang der Kurve C 2 erhalten wir C 2 F ( r) d r = 1 2xdx }{{} r(x)=(x,,) x als Parameter + 1 2ydy }{{} r(y)=(1,y,) y als Parameter + 1 2zdz }{{} r(z)=(1,1,z) z als Parameter = 3 2x2 2 1 = 3. (2.72) Die Parabel C 3 ist in Parameterform gegeben durch: r(t) = (t, t, t 2 d r ), d. h. dt = (1, 1, 2t) und somit gilt 1 2t 1 1 F ( r) d r = 2t 1 dt = (4t + 4t 3 )dt C 3 2t 2 2t = 4t2 2 + 4t4 1 4 = 2 + 1 = 3. (2.73) Das heißt, für alle drei Wege C 1, C 2 und C 3 erhalten wir den selben Wert für das Kurvenintegral. Das ist im Allgemeinen immer dann der Fall, wenn nämlich das Vektorfeld A als Gradient eines skalaren Feldes dargestellt werden kann, das heißt, wenn A = grad φ, dann gilt für das Kurvenintegral: r b A( r) d r = r b grad φ d r = r b dφ = φ( r b ) φ( r a ). (2.74) r a,c r a,c r a,c Das Integral hängt somit nur vom Anfangs- und vom Endpunkt ab. Es läßt sich überdies zeigen, dass die Wegunaghängigkeit ausschließlich im Fall von Gradientenfeldern gegeben ist. Es gilt also der folgende Satz: Kurvenintegrale über ein Vektorfeld A( r) sind genau dann (und nur dann) vom Weg unabhängig, wenn eine Funktion φ( r) existiert, sodass A = grad φ. Legt man φ an einer Stelle r a fest, ist φ eindeutig bestimmmt. Die Funktion φ wird Potenzial genannt (in der Physik bezeichnet man meistens φ als das Potenzial. Die potentielle Energie in der Mechanik ist ein Beispiel dafür.). Das Feld A nennt man auch ein konservatives Vektorfeld. Wie man einem Vektorfeld A ansehen kann, ob wir es als Gradientenfeld darstellen können, werden wir später sehen. Aus dem obigen Satz folgt, dass genau dann geschlossene Kurvenintegrale über das Vektorfeld A verschwinden, wenn sich das Vektorfeld A als Gradient eines skalaren Feldes φ darstellen lässt. Das Ringintegral A( r) d r kann nämlich durch Wahl zweier beliebiger Punkte r C a und r b auf der Kurve C in zwei Teile zerlegt werden, die den Wegen C 1 und C 2 entsprechen (siehe Abb.??): A( r) d r = A( r) d r + A( r) d r. (2.75) C C 1 C 2

5 KAPITEL 2. FELDER, GRADIENT, KURVENINTEGRAL Abbildung 2.19: Durch Wahl zweier Punkte r a und r b zerlegen wir das Ringintegral in zwei Linienintegrale entlang C 1 und C 2. Wir durchlaufen nun C 2 in entgegengesetzter Richtung und drehen damit das Vorzeichen des zweiten Integrals um: A( r) d r = A( r) d r A( r) d r. (2.76) C C 2 C 1 Da aber C 1 und C 2 Anfangs- und Endpunkt gemeinsam haben und laut Voraussetzung das Kurvenintegral über A nicht von der Form des Weges abhängt, sind die beiden Integrale auf der rechten Seite der obigen Gleichung gleich. Demzufolge verschwindet das Ringintegral: A( r) d r =. (2.77) C