LGÖ Ks Ph -stündig 0.09.0 Zusammenfassung: Lineare mehanishe Wellen Alle Shwingungen und Wellen werden als ungedämpft angesehen. Mehanishe Wellen benötigen zu ihrer Ausbreitung einen Wellenträger, d. h. einen festen, flüssigen oder gasförmigen Körper. Wir betrahten zunähst lineare Wellen, d. h. Wellen mit einem eindimensionalen Wellenträger, beispielsweise einem Seil. Fortshreitende ransversalwellen Ein Modell für einen linearen Wellenträger sind einzelne eilhen, die durh elastishe Bänder aneinander geoppelt sind. Bewegt man das eilhen am linen Rand des Wellenträgers nah oben bzw. unten, dann wird durh das elastishe Band das zweite eilhen nah oben bzw. unten beshleunigt, anshließend das dritte eilhen usw.; auf dem Wellenträger läuft eine Querstörung mit einer onstanten Ausbreitungsgeshwindigeit nah rehts. Bewegt man das erste eilhen nah oben und wieder zurü in seine Gleihgewihtslage, dann läuft ein Wellenberg nah rehts. Die Momentangeshwindigeit eines eilhens heißt seine Shnelle v. Sie ist an der Vorderseite des Wellenbergs nah oben und an der Rüseite des Wellenbergs nah unten gerihtet; das eilhen auf dem Gipfel des Wellenbergs hat die Momentangeshwindigeit Null. v v Führt das erste eilhen eine harmonishe Shwingung aus, dann überträgt sih diese Bewegung der Reihe nah auf die anderen eilhen. Sobald ein eilhen von der Welle erfasst wird, beginnt es ebenfalls harmonish zu shwingen. Die Shnelle v der eilhen ist stets orthogonal zur Ausbreitungsgeshwindigeit der Welle: es handelt sih um eine ransversalwelle (Querwelle). Shwingt das Erregerteilhen mit der Frequenz f bzw. der Periodendauer, dann shiebt sih die Welle in der Zeit um eine bestimmte Stree weiter, die Wellenlänge. Also gilt für die Ausbreitungsgeshwindigeit der Welle = = f. Ein Momentbild der Welle ist räumlih periodish mit der Wellenlänge als Periode. Eine fortshreitende Welle transportiert Energie. s 0 s t = 5 0_zus_linearemehanishewellen /7
LGÖ Ks Ph -stündig 0.09.0 Erste Standardaufgabe: Zeihne ein Momentbild der Welle zu einem Zeitpunt t. Lösung: Berehne die Wellenlänge mit Hilfe der Beziehung = = f. Berehne mit Hilfe der Beziehung = die Position des Wellenopfs zum Zeitpunt t, t d. h. die Stree, die die Welle bis zu diesem Zeitpunt zurügelegt hat. Zeihne vom Ort aus rüwärts das Bild der Welle. Geht das Erregerteilhen zum Zeitpunt 0 s nah oben (bzw. nah unten) durh die Gleihgewihtslage, dann folgt auf den Wellenopf ein Wellenberg (bzw. ein Wellental). Zweite Standardaufgabe: Beshreibe die Bewegung des eilhens in der Entfernung vom Erregerteilhen. Lösung: Berehne mit Hilfe der Beziehung = die Zeit t 0, nah der die Welle das eilhen t0 erfasst. Für t < t 0 ist das eilhen in Ruhe. Für t t 0 gilt: Gibt s() t den Ort des Erregerteilhens zum Zeitpunt t an, dann gibt s( t t 0 ) den Ort des eilhens zu diesem Zeitpunt an. Entsprehendes gilt für die Shnelle des eilhens. Stehende ransversalwellen Breiten sih auf einem Wellenträger zwei Wellen aus, dann überlagern sih die Elongationen und die Shnellen ungestört, d. h. sie addieren sih mit Vorzeihen (Superpositionsprinzip). Wir betrahten zwei einander entgegenlaufende Wellen derselben Wellenlänge und derselben Amplitude: 0 s : : : : 0_zus_linearemehanishewellen /7
LGÖ Ks Ph -stündig 0.09.0 Die Überlagerung ergibt eine stehende Welle. Die mit einem Kreuz marierten Punte sind dauernd in Ruhe: sie heißen Bewegungsnoten. Der Abstand zweier benahbarter Bewegungsnoten ist. Alle eilhen zwishen benahbarten Bewegungsnoten shwingen phasengleih mit vershiedener Amplitude. Die Punte in der Mitte zwishen den Bewegungsnoten shwingen mit maimaler Amplitude: sie heißen Bewegungsbäuhe. Der Abstand zweier benahbarter Bewegungsbäuhe ist ebenfalls. Eine stehende Welle transportiert eine Energie. Refleion von ransversalwellen. Refleion an einem festen Ende Ein Wellenberg wird als Wellental refletiert. 0 s: : Die refletierte Welle entsteht aus der gedahten weiterlaufenden Welle durh eine Puntspiegelung an P. Das feste Ende verhält sih wie ein Erreger, der gegenphasig zur anommenden Welle shwingt. P Vor dem Ende bildet sih eine stehende Welle mit einem Bewegungsnoten an dem festen Ende.. Refleion an einem freien Ende Ein Wellenberg wird als Wellenberg refletiert. 0 s: : Die refletierte Welle entsteht aus der gedahten weiterlaufenden Welle durh eine Geradenspiegelung an g. Das feste Ende verhält sih wie ein Erreger, der in Phase mit der anommenden Welle shwingt. g 0_zus_linearemehanishewellen /7
LGÖ Ks Ph -stündig 0.09.0 Vor dem Ende bildet sih eine stehende Welle mit einem Bewegungsbauh an dem freien Ende. ransversale Eigenshwingungen Wir betrahten einen beidseitig begrenzten Wellenträger der Länge l mit der Ausbreitungsgeshwindigeit für ransversalwellen.. Beide Enden fest Eine stehende Welle hat an beiden Enden einen Bewegungsnoten. Also gibt es folgende Mögliheiten: l = l = l Grundshwingung oder. Harmonishe. Obershwingung oder. Harmonishe = l. Obershwingung oder. Harmonishe usw. Allgemein: = l ( = ; ; ; ) Auflösen der allgemeinen Bedingung nah ergibt l =. (*) Auflösen der Gleihung = = f nah f ergibt f =, und Einsetzen der Gleihung (*) ergibt f = = =. l l Eigenshwingungen (d. h. stabile stehende Wellen) sind also nur bei bestimmten Frequenzen möglih, den sog. Eigenfrequenzen f = ( = ; ; ; ). l Die Frequenz f = l der Grundshwingung ist die tiefste dieser Frequenzen; die Frequenzen der Obershwingungen sind alle ganzzahligen Vielfahe hiervon: f = f ( = ; ; ; ). Bei Anregung mit einer der Eigenfrequenzen tritt Resonanz auf, d. h. es bildet sih eine stehende Welle mit großer Amplitude. 0_zus_linearemehanishewellen /7
LGÖ Ks Ph -stündig 0.09.0 Bringt man die (beidseitig eingespannte) Saite eines Musiinstruments zum Shwingen, dann stellt sih die Grundshwingung ein (und gleihzeitig mit shwäheren Amplituden einige der Obershwingungen). Die Grundshwingung bestimmt die onhöhe und die Lautstäre (und die Amplituden der Obershwingungen bestimmen die Klangfarbe).. Beide Enden frei Eine stehende Welle hat an beiden Enden einen Bewegungsbauh. Also gibt es folgende Mögliheiten: l = l = l Grundshwingung oder. Harmonishe. Obershwingung oder. Harmonishe = l. Obershwingung oder. Harmonishe usw. Man erhält dieselbe Bedingung wie bei. und damit auh dieselben Eigenfrequenzen.. Ein Ende fest, ein Ende frei Eine stehende Welle hat an dem festen Ende einen Bewegungsnoten und an dem freien Ende einen Bewegungsbauh. Also gibt es folgende Mögliheiten: l = l = l 5 = l Grundshwingung oder. Harmonishe. Obershwingung oder. Harmonishe. Obershwingung oder. Harmonishe usw. Allgemein: ( ) = l ( = ; ; ; ) Eine zu. analoge Rehnung ergibt die Eigenfrequenzen f = ( ) ( = ; ; ; ). l Die Frequenz f = l der Grundshwingung ist die tiefste dieser Frequenzen; die Frequenzen der Obershwingungen sind alle ungeradzahligen Vielfahe hiervon: f = f ( = ; ; ; ). ( ) 0_zus_linearemehanishewellen 5/7
LGÖ Ks Ph -stündig 0.09.0 Longitudinalwellen Ein Modell für einen linearen Wellenträger sind einzelne eilhen, die sih nur längs einer Geraden bewegen önnen und die sih gegenseitig abstoßen. Bewegt man das eilhen am linen Rand des Wellenträgers nah rehts bzw. lins, dann wird das zweite eilhen nah rehts bzw. lins beshleunigt, anshließend das dritte eilhen usw.; auf dem Wellenträger läuft eine Längsstörung mit der Ausbreitungsgeshwindigeit nah rehts. Führt das erste eilhen eine harmonishe Shwingung aus, dann überträgt sih diese Bewegung der Reihe nah auf die anderen eilhen. Sobald ein eilhen von der Welle erfasst wird, beginnt es ebenfalls harmonish zu shwingen. Man trägt eine Elongation s der eilhen, die nah rehts erfolgt, nah oben auf. Die Shnelle v der eilhen ist stets parallel zur Ausbreitungsgeshwindigeit der Welle: es handelt sih um eine Longitudinalwelle (Längswelle). 0 s s In festen Körpern gibt es ransversalwellen und Longitudinalwellen. An der Oberflähe von Flüssigeiten gibt es nur ransversalwellen. Im Innern von Flüssigeiten und in Gasen gibt es nur Longitudinalwellen. Ist der Wellenträger ein Gas oder eine Flüssigeit, dann bewirt die Elongation der eilhen eine Drudifferenz p gegenüber dem Normaldru. s An den Stellen, an denen die Elongation Null ist und die eilhen lins und rehts davon zu dieser Stelle hin vershoben sind, herrsht maimaler Überdru. An den Stellen, an denen die Elongation Null ist und p die eilhen lins und rehts davon von dieser Stelle weg vershoben sind, herrsht maimaler Unterdru. An den Stellen, an denen die Elongation maimal ist, herrsht Normaldru. Eine Longitudinalwelle in einem Gas oder in einer Flüssigeit ist also eine Druwelle. Die Überlagerung zweier einander entgegenlaufender Longitudinalwellen gleiher Wellenlänge und gleiher Amplitude ergibt eine stehende Longitudinalwelle. In den (mit einem Kreuz marierten) Bewegungsnoten herrsht abwehselnd maimaler Überdru und maimaler Unterdru; dort sind die Drubäuhe. Jeweils in der Mitte dazwishen, in den Bewegungsbäuhen, sind die Drunoten. 0 s t = 0_zus_linearemehanishewellen 6/7
LGÖ Ks Ph -stündig 0.09.0 Am Ende eines Wellenträgers wird eine Longitudinalwelle refletiert, und vor dem Ende bildet sih eine stehende Welle. An einem festen Ende ist ein Bewegungsnoten bzw. Drubauh, und an einem freien Ende ist ein Bewegungsbauh bzw. Drunoten. Auf einem beidseitig begrenzten Wellenträger önnen sih bei bestimmten Frequenzen, den Eigenfrequenzen, longitudinale Eigenshwingungen bilden. Die Eigenfrequenzen sind dieselben wie bei transversalen Eigenshwingungen. 0_zus_linearemehanishewellen 7/7