Aufgabe : Die Die ist der fünftgrößte der neun Planeten unseres Sonnensystems und wiegt 5,98* 0 4 kg. Sie ist zwiscen 4 und 4,5 Millionen Jaren alt und bewegt sic auf einer elliptiscen Ban in einem durcscnittlicen Abstand von etwa 50 Millionen Kilometer um die Sonne. Für iren mlauf benötigt sie 65 Tage und 6 Stunden, also etwas länger als ein Jar. Desalb ist jedes vierte Jar ein Scaltjar mit 66 Tagen. Gleiczeitig mit der Bewegung um die Sonne, dret sie sic auc einmal am Tag um ire eigene Acse. Dadurc entstet der Wecsel von Tag und Nact. Das Meer bedeckt rund 7 % der Erdoberfläce und ist damit der größte Lebensraum der. Seine Besondereiten liegen in der Tiefe, der Ausdenung und den dadurc ser weiträumigen Narungsbezieungen. a) Das Volumen der beträgt.08.9.000.000 ³ (~ eine Billion ³). Welcen Radius besitzt die? b) Welcen Fläceanteil der in ² nimmt das Meer davon in Anspruc? c) Angenommen, entlang des Äquators wird eine Scnur fest um die als ideale Kugel gespannt. m wie viele Kilometer müsste diese Scnur verlängert werden, damit du im aufrecten Gang überall durc sie indurc geen könntest? Scätze zunäcst, bevor du zu recnen beginnst! Welcen der folgenden Aussagen stimmst du am eesten zu? Die Scnur muss nur um meine Körpergröße verlängert werden. Die Scnur muss um das doppelte meiner Körpergröße verlängert werden. Die Scnurverlängerung beträgt weniger als einen Kilometer. Die Scnur muss um 86,7 erweitert werden. Wiederolungsaufgabe zum Problemlösen aus Klasse 8: d) Zwei Ampibienfarzeuge (Farzeuge, die sowol über Land faren als auc über Wasser gleiten können) faren entlang des Äquators der (ideale Kugel) einander entgegen. Das erste Farzeug färt mit einer durcscnittlicen Gescwindigkeit von 00 / und das zweite Farzeug mit einer durcscnittlicen Gescwindigkeit von 0 /. Wann treffen sic die beiden Farzeuge? Welce Herangeensweisen an die Lösung dieser Aufgabe kennst du? Wie viel sind die beiden Farzeuge bis dain bereits gefaren? Welcen Teil des Kreisumfangs durcläuft jedes Farzeug zwiscen den zwei Begegnungen?
Lösung: Aufgabe.a) V r V Kugel 4 π r.08.9.000.000 4 π Der Erdradius beträgt 6.7..08.9.000.000 6.7 Aufgabe.b) O OKugel 4 π r Das Meer nimmt 7% der Erdoberfläce ein. O 50.064.47,9 ² 7% OKugel 7% 4 π r 7% 50.064.47,9 ² 0,7 6.45.775 Das Meer bedeckt 6.45.775 ² der Erdoberfläce. Aufgabe.c) Die dritte Antwort ist rictig: Die Scnurverlängerung beträgt weniger als einen Kilometer. Kreis π r 40.00, 7 Meine Köpergröße beträgt,65m: ( 6.7 0, ) + Mensc π + 0065 + Mensc 40.00, 8 Der Scnur muss um 0,0 0 m länger als der Erdumfang sein, damit ic indurc passe! Aufgabe.d) π r 40.00, 7 zurückgelegterweg Gescwindi gkeit v benötigte Zeit Die beiden Farzeuge benötigen folgende Zeiten, um die zu umrunden: s 40.00,7 t 400, v 00 s 40.00,7 t, 58 v 0 s t
Lösungsvariante : grapisc y Weg, den das erste Farzeug noc zurücklegen muss, um die einmal zu umrunden y zurückgelegter Weg des zweiten Farzeugs y y 40.00,7 00 t 0 t Treffpunkt zweier Farzeuge, die die umrunden: Weg in 50000 40000 0000 0000 0000 0 0 00 00 00 400 500 Zeit in Nac ca. 8 Stunden treffen sic die beiden Farzeuge. Das erste Farzeug ist in dieser Zeit 8.00 gefaren und das zweite Farzeug.840. Das entsprict für das erste Farzeug ca. 45,47 % und das zweite Farzeug ca. 54,56 % des Erdumfangs. Lösungsvariante : algebraisc y + y 40.00,7 y 00 t y 0 t 00 t + 0 t 40.00,7 0 t 40.00,7 t 8,96 Die beiden Farzeuge treffen sic nac 8,96. Das erste Farzeug ist in dieser Zeit 8.96 gefaren, das zweite.85,. Das entsprict für das erste Farzeug ca. 45,46 % und das zweite Farzeug ca. 54,55 % des Erdumfangs.
Lösungsvariante : Tabelle Zeit in Farzeug Farzeug Summe 0 0 0 0 50 5000 6000 000 00 0000 000 000 50 5000 8000 000 60 6000 900 500 70 7000 0400 7400 80 8000 600 9600 90 9000 800 4800 00 0000 4000 44000 50 5000 0000 55000 00 0000 6000 66000 50 5000 4000 77000 400 40000 48000 88000 Zeit in Farzeug Farzeug Summe 80 8000 600 9600 8 800 70 980 8 800 840 40040 8 800 960 4060 84 8400 080 40480 Nac ca. 8 treffen sie sic! Das erste Farzeug ist in dieser Zeit 8.00 und das zweite Farzeug.840 gefaren. Das entsprict für das erste Farzeug ca. 45,47 % und das zweite Farzeug ca. 54,56 % des Erdumfangs.
Aufgabe : Der Baum Der Stamm eines Baumes verzweigt sic erst in einiger Höe über dem Boden. Er gibt den Menscen Auskunft darüber, wie alt er ist, denn er wäcst in jedem Jar um einen kreisförmigen Ring an. Die Breite der Jaresringe ängt von den Wetterbedingungen im Jaresverlauf ab. Es kann jedoc gesagt werden, dass der mfang des Stammes um durcscnittlic,5 cm pro Jar zunimmt! Mance Baumarten wie Rosenölzer und Tannen wacsen allerdings scneller, andere wie Eiben, Linden und Rostkastanien wacsen langsamer. Welces Volumen besitzt die Baumkrone des nebensteenden Baumes? Lösung: Modellierungsanname: Die Baumkrone ist eine ideale Kugel! Der Baum ist, wenn wir mit dem Lineal nacmessen,,8 cm oc. Das entsprict (wie angegeben) einer realen Höe von 0 m. Der Durcmesser der Baumkrone beträgt ungefär,4 cm, d.. der reale Durcmesser der Baumkrone beträgt demzufolge:,4cm d 0 m 6, m,8cm 4 4 6,m V Baumkrone r π π,8m Die Baumkrone besitzt ein reales Volumen von,8 m³.
Aufgabe : Kugel und Würfel Eine Kugel und ein Würfel aben denselben Mittelpunkt und entweder gleices Volumen oder gleice Oberfläce. Berecne für beide Fälle a) den Radius r der Kugel, wenn der Würfel die Kantenlänge a 0 cm at, b) die Kantenlänge a des Würfels, wenn die Kugel den Radius r 0 cm at. c) Begründe, dass in beiden Fällen die Kugel die Würfelfläcen scneidet, aber nict die Würfelkanten. Tipp: Horizontalscnitt, Pytagoras Lösung: a) Kantenlänge a 0 cm V W ( 0cm) 8000cm O W 6 (0cm) 400cm V K 4 π 8000cm r O K π 400cm 4 r 8000cm r, 4cm 4π 400cm r, 8cm 4π b) Radius r 0 cm 4 π V K (0cm) V W.50cm a.50cm O K π O W 4 (0cm) 506,6cm 506,6cm 6 a 506,6cm a.50cm, cm a 8, 9cm 6
c) Die Kugel scneidet die Würfelfläcen, weil r > a: Werte aus a) Werte aus b),4cm > 0cm ;,8cm > 0cm 0cm >, cm ; 0cm > 8, 9cm Mit Hilfe einer Mittelebene des Würfels lässt sic die Fläcendiagonale b mit dem Satz des Pytagoras bestimmen. Die Kugel scneidet die Kanten nict, wenn r < b. Werte aus a) b a + a a (0cm) 8, 8cm Werte aus b),4cm < 8, 8cm ;,8cm < 8, 8cm b a (,cm) 45, 5cm 0cm < 45, 5cm b a (8,9cm) 40, 9cm 0cm < 40, 9cm