. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen in Parameterform dar. (b) Bestimmen Sie die Schnittmenge G = E F. (c) Welche der Mengen G, E, F ist ein Unterraum von R? Begründen Sie ihre Antwort. Lösung : (a) Parameterdarstellung von E Die Ebene E wird durch eine einzige Gleichung x = x beschrieben. Da wir drei Unbekannte haben, dürfen wir hier x beliebig wählen: x = t, t R. eine der Variablen x, x beliebig wählen. Sei x = s, s R. Dann ist x = s. Wir erhalten also drei Gleichungen mit zwei Parametern s und t. Dies führt auf die Parameterform E : x(s, t) = s + t, s, t R. Beachte, dass der Stützvektor von E der Nullvektor ist. Parameterdarstellung von F Seien a, b und c die Ortsvektoren der Punkte A, B und C. Dann ist eine Parameterdarstellung von F : F : x(α, β) = c + α(a c) + β(b c) = + α + β, α, β R. Beachte, dass die Parameterdarstellung von F nicht eindeutig ist. (b) Bestimmen der Schnittmenge G mit Hilfe der Parameterform von E und F Wir suchen also nach s, t bzw. α, β, sodass folgende Vektorgleichung erfüllt ist: s + t = Das zugehörige lineare Gleichungssystem lauetet s t α β s t α β + α + β. Aus der ersten Gleichung erhält man α =. In der zweiten Gleichung sind t oder β unabhängige Variablen. Sei β = r, r R. Dann ist t = r. Die dritte Gleichung liefert s = r. Nun setzen wir entweder s und t in E, oder α und β in F ein und erhalten die Lösungsmenge. Diese stellt eine Gerade dar: G : x(r) = r +, r R. (c) Nach Lemma. sind Geraden und Ebenen dann Unterräume, wenn sie das Nullelement enthalten. Die Ebene E ist also ein Unterraum, da der Stützvektor der Nullvektor ist. Das Nullelement liegt außerhalb von F. Somit kann diese Ebene kein Unterraum von R sein. Die Gerade G verläuft ebenfalls nicht durch das Nullelement, also ist G kein Unterraum. Aufgabe : Gegeben sind die Gerade G und die Menge E in R durch G : x = (,,, ) + λ (,,, ), λ R, E : x + x =. (a) Bestimmen Sie die Schnittmenge von G und E. (b) Geben Sie die Menge F der Form a x +a x +a x +a x = c an, die den Punkt ( ) enthält und senkrecht zu G ist. (c) Bestimmen Sie alle Punkte auf G, die von der Menge E den gleichen Abstand wie von der Menge F aus Aufgabenteil (b) haben. Lösung :
(a) Einsetzen der Parametrisierung von G in die Gleichung von E liefert: ( + λ) + ( + λ) = λ 8! = Also ist λ =, damit ist x = (,,, ) + (,,, ) = (,,, ) und G E = {(,,, ) }. (b) Die Menge F ist also senkrecht zu n = (,,, ), damit lautet F in Normalform: x + x + x = d. Nun ist noch d zu bestimmen. Einsetzen des Punkts (,,, ) liefert d = + =. Die Menge F ist also gegeben durch x + x + x =. (c) Wir bestimmen die Abstände von Punkten auf G mit Hilfe der Hesse Normalformen: d E (x) = x + x (λ) + ( ) λ = = 9 + d F (x) = x + x + x λ + λ + + λ = = λ + + Da die Hessesche Normalform den orientierten Abstand berechnet, bedeutet gleicher Abstand zu E und F einer der folgenden Fälle: d E (λ) = d F (λ): Also λ = λ, oder λ =, damit ist x = ( 8,,, ). G P P Die Punkte P und P haben jeweils den gleichen Abstand zu E und F. F E d E (λ) = d F (λ): Also ist λ = λ, und somit λ = 7. Damit lautet der zweite Punkt x = ( 8 7, 7, 7, ). Aufgabe : Betrachten Sie die Ebene E : x(s, t) = (,, ) + s(,, ) + t(,, ) und die beiden Geraden G : x(u) = (,, ) + u(,, ) und H : x(v) = (,, ) + v(,, ). (a) Berechnen Sie Schnittmengen der beiden Gerade mit E sowie die Abstände der beiden Geraden zu E. (b) Bestimmen Sie die Orthogonalprojektionen von G und H auf E. Lösung : Als erstes finden wir die Normalform x n = d von E, da die Normalform für die Bestimmung der Schnittmengen und Projektionen, sowie für Berechnung des Abstandes besser geeignet ist. Wir bestimmen erst einen Normalenvektor n = (a, b, c) zu E, d.h. den Vektor, der die Bedingungen a a b c = a b + c = und b c = c = erfüllt. Man hat: c = und a = b. Wir können z.b. n = (,, ) wählen. Ferner bestimmen wir den Koeffizienten d aus der Gleichung d = Die Normalform der Ebene E ist damit n = = + =. x + x =. () (a) Um die Schnittmenge E G zu bestimmen, setzen wir x = (,, ) + u(,, ) in (). Das ergibt + + u =, also u =. Die Schnittmenge besteht also aus einem Punkt S: E G = {S} mit OS = =. Da die Schnittmenge nicht leer ist, ist der Abstand zwischen E und G gleich null. Analog verfahren wir bei E H : zu lösen ist + v + v =.
Das ergibt =, d.h. die Schnittmenge ist leer: E H =. Die Gerade H ist zu der Ebene E parallel. Der Abstand von H zu E ist gegeben durch dist(q, E), wobei Q H ein beliebiger Punkt ist. Mit Q = ( ) H hat man OP n d dist (P, E) = = =. n (b) Wir beginnen mit der Geraden G, die die Ebene schneidet. Für die orthogonale Projektion Ĝ benötigen wir einen weiteren vom Schnittpunkt S verschiedenen Punkt Y der Geraden G, dessen Projektionspunkt Ŷ wir berechnen. Ĝ ist dann diejenige Gerade, die durch den Punkt S und den Projektionspunkt Ŷ verläuft, also Ĝ : x(u) = OS + u( OS O Ŷ ). Wir wählen den Punkt Y = ( ) auf G, stellen die Hilfsgerade G h : x(u) = OY + u(,, ) auf, die senkrecht zur Ebene steht und durch den Punkt Y verläuft. G h : x(u) = + u Jetzt schneiden wir E mit G h, um den Projektionspunkt Ŷ zu erhalten: G h E : + u + + u =. Also u = und damit Ŷ = ( ). Wir stellen die Gerade auf, die durch die Punkte S und Ŷ verläuft: Ĝ : x(u) = + u = + u Nun kommen wir zur Geraden H: Im Teil (a) der Aufagbe haben wir gesehen, dass E und H parallel sind. Als Richtungsvektor der orthogonalen Projektion Ĥ können wir also den Richtungsvektor von H nehmen. Für den Stützvektor projezieren wir den Stützvektor von H auf die Ebene E. Wir stellen wieder eine Hilfsgerade auf: H h : x(u) = + u und schneiden diese mit E : + u + + u =, also u = und der Stützvektor von gegeben. Die orthogonale Projektion von H auf E ist gegeben durch: Ĥ : x(u) = + u Ĥ ist durch (,, ) Aufgabe : Gegeben sind die Gerade G : x(s) = (,, ) + s(,, ), s R, sowie die Punkte P = ( ) und Q = ( ). (a) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden H, die durch P und Q verläuft. (b) Bestimmen Sie den Punkt R auf G so, dass die Ebene E durch P, Q und R parallel ist zur Ebene E, die durch x + x x = beschrieben ist. Welchen Abstand haben die Ebenen von einander? (c) Unter welchem Winkel schneidet G die beiden Ebenen? Lösung : (a) Der Richtungsvektor von h ist r = QP = OP OQ = (,, ) (,, ) = (,, ), dann ist die Parameterdarstellung h : x (t) = + t, t R. (b) Wir überprüfen erst, dass P Q parallel zu E ist. Der Normalenvektor zu E ist n = (,, ). Es ist tatsächlich QP = =. Der Ansatz für R ist OR = Es soll gelten P R n =. Das ergibt die Gleichung = + s + s = ( + s) + + ( + s) = 7 + 7s.. = + s s
Daraus finden wir s =, also ist OR = (,, ) (,, ) = (,, ). Die Normalform von E ist durch x + x x = d gegeben, da der Normalenvektor n ist. Soll der Punkt P = ( ) dieser Ebene angehören, muss die Gleichung d = + = gelten. Jetzt können wir den Abstand zwischen E und E bestimmen dist (E, E ) = d = n (, ) = / + + 9 = / 7. (c) Wir bestimmen erst den Winkel ϕ zwischen dem Richtungsvektor (,, ) von g und dem Normalenvektor n von E, : cos ϕ = (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) = 8 + 9 7 = + 9 7. Also ist ϕ = arccos ( 7/ ). Der gesuchte Winkel ist π/ ϕ = π/ arccos ( 7/ ). Aufgabe : Gegeben ist die Gerade G = x = + t R : t R. Bestimmen Sie alle Ebenen E R in Normalform, die G enthalten und den Abstand vom Ursprung haben. Lösung : Da nach dem Abstand zum Ursprung gefragt ist, beschreiben wir eine solche Ebene durch Ihre Hessesche Normalform, d.h. E = {x R : n x = } mit Normaleneinheitsvektor n. Die Bedingung G E impliziert n + tn = ± für alle t R. Insbesondere folgt n (,, ) = bzw. n = n. Die Normalenvektoren haben alle die Form ñ = (λ, µ, λ) mit λ, µ R. Zusammen mit der Norm ñ = λ + µ ergibt sich die weitere Bedingung bzw. Damit erhalten wir Es ergeben sich vier Fälle: Entweder ist µ =. Wir erhalten die Ebenen E, = x R : oder es ist (mit µ =, λ = ) mit ñ ñ (,, λ + µ λ ) = λ + µ = ± (µ λ) λ + µ =. (µ λ)µ =. x = ±, E, = {x R : n x = ± } n = Nun müssen wir noch überprüfen, in welcher Ebene die Gerade auch tatsächlich enthalten ist. Wir nehmen dazu einen Punkt aus der Gerade x = + t und setzen diesen in die Ebenengleichungen ein. Beginnen wir mit E, : x =. = ( ) =. Nun setzen wir x noch in E, ein: x = =.
Als Lösung bekommen wir die beiden Ebenen E = x R : x =, und (mit µ =, λ = ) E = {x R : x = }.